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Distribución de probabilidad binomial

La distribución binomial tiene las siguientes características: El resultado de cada ensayo de un experimento se

clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes, a saber: éxito o fracaso.

La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.

La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos. Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso.

Los ensayos son independientes.

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Distribución de probabilidad binomial

Para construir una distribución binomial, sea:C es una combinación.n es el número de ensayos.x es el número de éxitos. es la probabilidad de éxito en cada

ensayo.

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Distribución de probabilidad binomial

La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:

xnxxn qpCxP )()()(

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Ejemplo 3

El departamento del trabajo de Alabama registra que el 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. Para una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades: Exactamente 3 están desempleados. Al menos 3 están desempleados. Al menos 1 está desempleado.

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Ejemplo 3 (Continuación)

La probabilidad de exactamente 3:

La probabilidad de al menos 3:2501.

)0859)(.0080)(.364()20.1()20(.)3( 113

314

CP

551.000....172.250.)80(.)20(....)80(.)20(.)3( 014

1414113

314

CCxP

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Ejemplo 3 (Continuación)

La probabilidad de al menos 1:

956.044.1)20.1()20(.1

)0(1)1(140

014

C

PxP

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Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica tiene las siguientes características:Hay sólo dos resultados posibles.La probabilidad de un éxito no es la misma en

cada ensayo.Ésta resulta de contar el número de éxitos en

un número fijo de ensayos.

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Distribución hipergeométrica

La fórmula para encontrar una probabilidad utilizando la distribución hipergeométrica es:

Donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos en una muestra de n observaciones.

P xC C

CS x N S n x

N n

( )( )( )

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Distribución hipergeométrica

Utilice la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o resultados si:La muestra es seleccionada de una población

finita sin reemplazo.El tamaño de la muestra n es mayor que el

5% del tamaño de la población N.

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Ejemplo 5

La fábrica de juguetes Andy, tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. De éstos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir cinco empleados aleatoriamente, para que integren un comité que hablará con el gerente acerca de la hora de inicio de los distintos turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al sindicato?

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Ejemplo 5 (Continuación)

N es 50, el número de empleados.S es 40, el número de empleados del sindicato.x es 4, el número de empleados del sindicato que

fueron seleccionados.n es 5, el número de empleados elegidos.

P(4) = 40C4(50-40C5-4/50C5 = (91390)(10)/2118760

= 0.431

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Distribución de probabilidad de Poisson

La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado.

Esta distribución también es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande.

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Distribución de probabilidad de Poisson La distribución de Poisson puede describirse matemáticamente

utilizando la siguiente fórmula:

Donde µ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo específico.

e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano).

x es el número de éxitos. P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado

de x.

P xex

x u

( )!

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Distribución de probabilidad de Poisson

La media del número de éxitos µ puede determinarse en una situación binomial así: n donde n es el número de ensayos y es la probabilidad de éxito.

La varianza de una distribución Poisson es también n(1 – ).

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Ejemplo 6

La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el banco del centro de Peralvillo. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo?µ = n = 40(.025) = 1P(3) = 13e-1/3! = 0.0613