Distribuciones de Probabilidad [Modo de Compatibilidad]

VARIABLE ALEATORIA

DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIA

DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD

1

Por: Aracelli Pomape

II.. VARIABLEVARIABLE ALEATORIAALEATORIA (X)(X)

Se denota por una X. Es aquella que puede tomar

diferentes valores a travs del tiempoo de sujeto a sujeto.

Es una funcin que asigna un nmeroreal a cada resultados del espaciomuestral.

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Se denota por una X. Es aquella que puede tomar

diferentes valores a travs del tiempoo de sujeto a sujeto.

Es una funcin que asigna un nmeroreal a cada resultados del espaciomuestral.

Por: Aracelli Pomape

II.. VARIABLEVARIABLE ALEATORIAALEATORIA (X)(X)

3Por: Aracelli Pomape

Consideremos el experimento que consiste en revisar tres componentes deuna bomba centrfuga, que pueden ser defectuosos (D) y no defectuosos (N)

NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDDDefinimos la variable aleatoria X,

X = como el nmero de componentes defectuosos

= Revisar tres componentes de una bomba centrfuga, el espacio muestral ser:

EJEMPLO 1EJEMPLO 1


Definimos la variable aleatoria X,

X = como el nmero de componentes defectuosos

X(DDD) = 3X(NDD) = X (DND) = X ( DDN) = 2X ( NND) = X(NDN) = X(DNN) = 1X ( NNN) =0

X = 3,2,1,0

EJEMPLOEJEMPLO 22::

X: Ventas diarias de una empresa. X: Presin de una botella X: N de accidentes en un proceso. X: N de automviles que llegan a una Estacin de

Servicio. X: Contenido de un baln de gas X: N de llamadas telefnicas que recibe una central X: Edad de las personas. X : Peso de un envase X: Tiempo de vida de un neumtico. X: N de artculos defectuosos de un proceso

productivo.


X: Ventas diarias de una empresa. X: Presin de una botella X: N de accidentes en un proceso. X: N de automviles que llegan a una Estacin de

Servicio. X: Contenido de un baln de gas X: N de llamadas telefnicas que recibe una central X: Edad de las personas. X : Peso de un envase X: Tiempo de vida de un neumtico. X: N de artculos defectuosos de un proceso

productivo.

TiposTipos dede VariablesVariables AleatoriasAleatorias::

Variable Aleatoria Discreta:Cuando la variable aleatoriatoma valores discretos(nmeros anteros) se diceque es una v.a.d.

Variable Aleatoria Continua.Cuando la variable aleatoriatoma valores de la recta real(nmero reales) se dice quela variable es una v.a.c. .


Variable Aleatoria Discreta:Cuando la variable aleatoriatoma valores discretos(nmeros anteros) se diceque es una v.a.d.

Variable Aleatoria Continua.Cuando la variable aleatoriatoma valores de la recta real(nmero reales) se dice quela variable es una v.a.c. .

Un lote de artculos contiene artculos conformes (C) y no conformes (N). Seextrae sucesivamente 2 artculos. Definimos como v.a. X : nmero deartculos no conformes obtenidos.Definir el experimento:E:Definir el espacio muestral={CC, NC, CN, NN}Definir la variable aleatoria. X:El recorrido de X. Rx= { }X(CC) = 0X(NC) = 1X(CN) = 1X(NN) = 2

Rx = { 0 , 1 , 2 }


Un lote de artculos contiene artculos conformes (C) y no conformes (N). Seextrae sucesivamente 2 artculos. Definimos como v.a. X : nmero deartculos no conformes obtenidos.Definir el experimento:E:Definir el espacio muestral={CC, NC, CN, NN}Definir la variable aleatoria. X:El recorrido de X. Rx= { }X(CC) = 0X(NC) = 1X(CN) = 1X(NN) = 2 Nmero DISCRETOS

v.a. X : Nmero de artculosno conformes obtenidos.

Sea X una variable aleatoria que representa la Resistencia de los eslabonesusados en la fabricacin de cadenas industriales.

La resistencia es una variable aleatoria continua, pues su espacio muestral (losvalores que pueden tomar) son todos los puntos de un intervalo

Identificar el recorrido de la variable definida anteriormente:


Sea X una variable aleatoria que representa la Resistencia de los eslabonesusados en la fabricacin de cadenas industriales.

La resistencia es una variable aleatoria continua, pues su espacio muestral (losvalores que pueden tomar) son todos los puntos de un intervalo

Identificar el recorrido de la variable definida anteriormente:

X = {. }

Nmero CONTINUO

FUNCIN DE PROBABILIDAD DE UNAFUNCIN DE PROBABILIDAD DE UNAVARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA DISCRETA

FUNCIN DE PROBABILIDAD DE UNAFUNCIN DE PROBABILIDAD DE UNAVARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA DISCRETA

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FuncinFuncin dede probabilidadprobabilidad discretadiscreta

10

EjemploEjemplo

11

Valor Esperado y Varianza de unavariable Aleatoria Discreta

13

En el Ejemplo Anterior:

14

Una distribucin de probabilidad es unmodelo matemtico que desarrolla en formaanaltica el comportamiento de un fenmeno(variable) real .

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD


Una distribucin de probabilidad es unmodelo matemtico que desarrolla en formaanaltica el comportamiento de un fenmeno(variable) real .

LASLAS DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES DISCRETASDISCRETAS_Distribucin Bernoulli Distribucin Binomial Distribucin Poisson

LASLAS DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES CONTINUASCONTINUAS Distribucin Normal Distribucin Normal Estndar Distribucin t de StudentDistribucin Chi-cuadrado 2 Distribucin F

III. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS


LASLAS DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES DISCRETASDISCRETAS_Distribucin Bernoulli Distribucin Binomial Distribucin Poisson

LASLAS DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES CONTINUASCONTINUAS Distribucin Normal Distribucin Normal Estndar Distribucin t de StudentDistribucin Chi-cuadrado 2 Distribucin F

DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONESDISCRETASDISCRETAS


DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONESDISCRETASDISCRETAS

DISTRIBUCIN BERNOULLIDISTRIBUCIN BERNOULLI

Si X es una variable aleatoria que mide"nmero de xitos", y se realiza unnico experimento con dos posiblesresultados (xito o fracaso), se diceque la variable aleatoria X se distribuyecomo una Bernouilli de parmetro p.

X Be (p)

Funcin de probabilidad

DISTRIBUCIONES DISCRETAS


Si X es una variable aleatoria que mide"nmero de xitos", y se realiza unnico experimento con dos posiblesresultados (xito o fracaso), se diceque la variable aleatoria X se distribuyecomo una Bernouilli de parmetro p.

X Be (p) Parmetro:

p

Un experimento al cual se aplica la distribucin de Bernoulli seconoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y laserie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Media o Valor Esperado

pXE == )( Varianza

DISTRIBUCIN BERNOULLIDISTRIBUCIN BERNOULLI


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Varianzapq=2

Desviacin Estndar

pq=

Cada ensayo tienen solo dosresultados posibles. Para variablesdicotmicas.

Los ensayos sonindependientes.

La probabilidad de xito p esconstante en cada ensayo.

FUNCIN DE PROBABILIDADBINOMIALEs la probabilidad de obtener exactamentex xitos en n pruebas independientes deun experimento, con p como laprobabilidad de xito para cada prueba.

xnx p)(1pp)n,b(x;x)P(X

===

x

n

Donde x = 0, 1, 2, , n


DISTRIBUCIN BINOMIALDISTRIBUCIN BINOMIAL


Cada ensayo tienen solo dosresultados posibles. Para variablesdicotmicas.

Los ensayos sonindependientes.

La probabilidad de xito p esconstante en cada ensayo.

FUNCIN DE PROBABILIDADBINOMIALEs la probabilidad de obtener exactamentex xitos en n pruebas independientes deun experimento, con p como laprobabilidad de xito para cada prueba.

Parmetros:

n , p

Media o Valor Esperado

npXE == )( Varianza



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Varianzanpq=2

Desviacin Estndar

npq=

Un almacenero de laboratorio, reporta que el 25% depuntas de un dosificador electrnico estn malogradas. Sise extrae una muestra aleatoria de cinco de estas puntas.

Encuentre la probabilidad de que :

a) Ninguna est malograda.b) Exactamente una sea defectuosac) Menos de dos sea defectuosa

Ejercicio 1:



Un almacenero de laboratorio, reporta que el 25% depuntas de un dosificador electrnico estn malogradas. Sise extrae una muestra aleatoria de cinco de estas puntas.

Encuentre la probabilidad de que :

a) Ninguna est malograda.b) Exactamente una sea defectuosac) Menos de dos sea defectuosa

xnx p)(1pp)n,b(x;x)P(X

===

x

n


50.75)0(250

05)b(0;5,0.250)P(X .

===

a) Ninguna est malograda.

DISTRIBUCINDISTRIBUCINBINOMIALBINOMIAL

Solucin de Ejercicio 1:


41.75)0(250

15)b(1;5,0.251)P(X .

=== 1)P(X0)P(X1)P(X2)P(X =+=== = =

= =

DISTRIBUCIN POISSONDISTRIBUCIN POISSON


Aproximacin de la Binomial a la PoissonEn problemas dedistribucin binomialdonde n es grande y laprobabilidad de xito pes bastante pequea,las probabilidades sepueden aproximarusando la distribucinde Poisson.

Se cumple que:np =

En problemas dedistribucin binomialdonde n es grande y laprobabilidad de xito pes bastante pequea,las probabilidades sepueden aproximarusando la distribucinde Poisson.

Se cumple que:np =

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En un proceso en el cual se producen piezas devidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionandoque la pieza no sea apta para la venta. Se sabe queen promedio 1 de cada mil piezas tiene una o msburbujas. Cul es la probabilidad de que en unamuestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 7 deellas tengan burbujas?

Aproximacin de la Binomial a la PoissonEjercicio 2:

En un proceso en el cual se producen piezas devidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionandoque la pieza no sea apta para la venta. Se sabe queen promedio 1 de cada mil piezas tiene una o msburbujas. Cul es la probabilidad de que en unamuestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 7 deellas tengan burbujas?

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Datos: n=8000p=0.001(por dato:1 de cada1000=1/1000=0.001)ste es por tanto un experimento binomial, pero dadoque : p se acerca a 0 y n es bastante grande, se hacela aproximacin con la distribucin de Poisson.Entonces: =np=8000*0.001=8Nos piden: P( X

DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONESCONTINUASCONTINUAS


DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONESCONTINUASCONTINUAS

LA DISTRIBUCIN NORMALLA DISTRIBUCIN NORMAL


=x

ur

21

dre2

1x)P(X

2

Para - < x

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