Distribuciones de probabilidad - RUA: Principal · Variable aleatoria: Cualquier función medible que asocia a cada ... 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 30-39 40-49 50-59

Estadística

Distribuciones de probabilidad

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff

Inferencia estadística:

Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir de una pequeña parte de éstos (Población - Muestra)

Características de la muestra

Tipos de procedimientos:

• Inferencia paramétrica: Se admite que la distribución de la pob. pertenece a una familia paramétrica de distribuciones

• Inferencia no paramétrica: No supone una distribución de prob. y las hipótesis son más generales (como simetría)

Estadística Introducción

• Representativa de la población • Alcanzar objetivos precisión fijados


Inferencia Estadística

Muestra Población

x µ

s σ

Tipos de variables

• Variables cualitativas, categóricas o atributos: No toman valores numéricos y describen cualidades. Ej. Clasificación en base a una cualidad.

• Variables cuantitativas discretas: Toman valores enteros, por lo generar contar el nº de veces que ocurre un suceso.

• Variables cuantitativas continuas: Toman valores en un intervalo, por lo general medir magnitudes continuas.

Variables aleatorias


Variables aleatorias

Variable aleatoria: Cualquier función medible que asocia a cada suceso en un experimento aleatorio un número real

Variable aleatoria discretas: Una variable aleatoria es discreta si toma valores aislados o puntuales

Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dentro de uno o varios intervalos determinados


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 1 2 3 4 5 6

Intervalo

fr ac

um.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89

Edad

fr

Ejemplo: Estudio de dejar de fumar con parches de nicotina respecto a la edad de dichos pacientes sobre 189 pacientes.

Nº de intervalos entre 4 y 10


9558.8)189(log33.31 ≈=+=r)ln(33.11 nr +=

Caracterización:

Variables aleatorias discretas (v.a.d.):

Función de probabilidad: Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Para valores x1, x2, …, xn,… se asocia una p1, p2, …, pn,… donde

y

Función de distribución: F(x) en un valor x es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado


)( ixXP = ∑∞

=

=)/(

11

n

iip

)()( xXPxF ≤=

Caracterización:

Variables aleatorias continuas (v.a.c.):

Función de densidad: Es una función no negativa de integral 1

Función de distribución: Para las v.a.c. queda definida por:


∫ ∞−=≤=x

duufxXPxF )()()(

)()()()()( aFbFdxxfbXaPbXaPb

a−==≤≤=<< ∫

Función de Probabilidad frente a Función de densidad


Función de Distribución

Función esperanza matemática:

Variables aleatorias discretas:

Variables aleatorias continuas con función de densidad f:

E[X] es el primer momento respecto al origen y por tanto

representa la media, esperanza o valor de X


∑≥

=1

][i

ii pxXE

∫+∞

∞−= dxxxfXE )(][

Función Varianza:

El momento de orden 2 respecto a la media responde a V[X] y se define como:

1. Discretas:

2. Continuas:


dxxfXExXV )()][(][ 22 ∫

+∞

∞−−== µ

ii pXExXV 22 )][(][ ∑ −== µ

Estadística

Modelos de distribución discreta

Proceso de Bernoulli

Ejemplo: Se ha efectuado un experimento sobre avistamientos de cetáceos en un punto determinado. En 200 salidas efectuadas se han anotado 10 avistamientos de cachalote. Describir el experimento:

Solución: X = Avistar cachalotes

• X=1 (éxito) = 10/200 = 0.05 (5%)

• X=0 (fracaso)

Estadística

05.0≈p95.01 =−≈ pq

Resultado de ejecutar n veces un experimento de Bernoulli. Condiciones:

• Condiciones no varían

• Experimentos independientes (prob. no condicional)

Definición del proceso:

•  Nº de éxitos en los n intentos independientes

• Cantidad de veces que se ejecuta (n)

• Prob. de éxito (p)

• Veces que se obtiene el éxito en las veces que se ejecuta (k)

Estadística Distribución Binomial

≡X

Distribución Binomial

Definición: Distribución discreta aplicable a poblaciones con solo dos

elementos complementarios (ser o no ser).

Condición: Las definidas por las pruebas de Bernoulli:

• Solo pueden darse dos resultados

• Pruebas independientes entre si

• Probabilidades constantes Ejemplos de aplicación:

• Situaciones duales día seco/ día húmedo

Estadística

np=µ npq=2σ


Expresión: Para p=prob. de éxito y q=1-p=prob. de fracaso

¿Cuándo utilizarla?

• Cuando nos dan una determinada cantidad de elementos

• Cada elemento puede o no cumplir la condición

• Dan o se puede calcular la prob. de que se de la condición

• La pregunta es ¿Cuál es la prob. de que determinados elementos cumplan la condición?

Estadística

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∀

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−

otrox

nxqpxn

xXPxnx

0

0)(

De una población de cetáceos se sabe que el 60% son machos. Si se extrae un conjunto de 10 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 hembras?

• X = Nº de hembras en el conjunto • n = 10 • P = 0.4

¿Cuál es la probabilidad de que hayan 3 o menos hembras? Tabla Binomial

Ejemplo


042.06.04.0710

)7( 7107 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −XP

382.0)3()2()1()0()3( ==+=+=+==≤ XPXPXPXPXP

¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 machos o menos? PROBLEMA CON LAS TABLAS (p hasta 0.5)


0.1673)2(1)3( =≤−=≥ XPXP

• n = 10 • P = 0.4 • P(X>3)

• n = 10 • P = 0.6 • P(X<7)

Complementario

8327.00.16731)7( =−=≤XP


Proceso de Poisson

Generalización en un soporte continuo del proceso de Bernoulli.

Características:

• Proceso estable: A largo plazo produce un número medio de sucesos constante por unidad de observación

• Aparece aleatoriamente de forma independiente (sin memoria)

•  Nº de éxitos en los n intentos en el soporte continuo

• La función viene caracterizada por el parámetro

Estadística Distribución de Poisson

≡X

][][ XVarXE ==λ

Distribución de Poisson

Definición: La distr. De Poisson con parámetro es la que tiene como función de masa: Suele presentarse como límite de la distribución binomial cuando y

Estadística

∞→n

)0( >λλ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥==−

00

0!)(x

xx

exXPxλλ

0→p 0→p

][][ XVarXE ==λ


¿Cuándo y cómo utilizarla?

• Se conoce como “de sucesos raros”.

• Suele utilizarse como aproximación de una binomial con la misma media y o con

• Su función de probabilidad puede ajustarse sustituyendo el parámetro de la función por la media.

Estadística

30>n 1.0<p

Binomial Poisson

Normal

1>= λnp

1.0<p

5>λ5>npqnp=µnpq=σ

λµ =

λσ =

A partir de Peña, 2001

30>= λnp


Estadística

Ejemplo

Los avistamientos de cachalotes sigue una distribución de Poisson de media 2 avistamientos en un transecto de muestreo de 1km de recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de:

1.  Ningún avistamiento en el recorrido del barco:

2.  Menos de cinco en el mismo recorrido:

3.  Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km


135.0!02)0(0

2 === −eXP

947.0!42

!32

!2221)4(

4322 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=≤ −eXP

067.0!5

10!4

10!3

10!2

10!110

!010)/5(

54321010' =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=≤ −eXP λ

105' =⋅= λλ

Y menos de nueve si consideramos un recorrido de 2km

Utilización de la tabla


42' =⋅= λλ

978.00.03+0.06+0.104+0.156+0.195+0.195+0.147+0.073+0.018)/8( ' ==≤ λXP


Estadística

Comando a utilizar con R: • dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad

• pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada

• qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles

• rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios

Distribución Poisson

Estadística

Comando a utilizar con R: • dpois(x,lambda): Función de probabilidad

• ppois(x,lambda): F. prob. acumulada

• qpois(prob,lambda): Quantiles

• rpois(nobs,lambda): Números pseudoaleatorios

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