Divisibilidad. Los nmeros enteros

anton

iojrol

dan.e

s

1.1 Repaso

Tipos de nmeros

Notacin:

El conjunto de los nmeros naturales se escribe as:

anton

iojrol

dan.e

s

Nmeros enteros

Ejemplo:

Definicin: Los nmeros enteros son los naturales, sus negativos y el cero.

anton

iojrol

dan.e

s

Notacin: El conjunto de los nmeros enteros se escribe con la letra zeta mayscula:

{ }+3+2+1+012,3,= .......,,,,,---,........-

Crees que se puede alcanzar el infinito? an

tonioj

rolda

n.es

Valor absoluto

Definicin: El valor absoluto

de un nmero entero a es su distancia al 0. Se escribe as:

Definicin: El valor absoluto de un nmero a

es su distancia al 0.

Ejemplo: Calcula

a

3,3- +

Propiedad: Como la distancia del cero al cero es cero, .0=0

Pertenece a

anton

iojrol

dan.e

s

Entero opuesto

Definicin: Dos nmeros enteros a y b son opuestos

si tienen el mismo valor

absoluto pero distinto signo. Se escribe op(a).

Ejemplo: El -3 y el +3 son opuestos.

Observacin: Como el cero no tiene signo, no podemos calcular su opuesto. No puedes pedirle algo que no tiene

Me das tu sombrero? ?an

tonioj

rolda

n.es

Ejemplo:

1.2 Suma y resta de enteros

Suma de dos enteros

Mtodo: Para sumar dos nmeros

enteros, usamos la siguiente frmula.

anton

iojrol

dan.e

s

Observacin: Tambin puedes hacerlo como si fueran euros.

Sumar algo positivoDarte dinero.Sumar algo negativoEntregarte un recibo o una deuda para que pagues.

anton

iojrol

dan.e

s

Suma de varios enteros

Primer mtodo: Agrupando

positivos y negativos. Luego se suman.

Ejemplo:

Segundo mtodo: Trabajando de izquierda a derecha.

Ejemplo:

anton

iojrol

dan.e

s

Resta de dos enteros

Ejemplo:

Mtodo: Para restar dos nmeros

enteros, usamos la siguiente frmula: a-b=a+op(b)

Restar algo positivoQuitarte dinero.Restar

algo negativoPerdonarte una deuda,

equivale a darte dinero.

anton

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s

Ejemplo:

1.3 Multiplicacin y divisin exactade enteros

Multiplicacin

Mtodo: Para multiplicar dos nmeros

enteros, usamos la siguiente frmula.

anton

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s

Observacin: Si tenemos que multiplicar varios enteros, se puede hacer de izquierda a derecha.

Ejemplo:

anton

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s

a) Conmutativa: Si a y b son nmeros enteros, entonces

Propiedades de la multiplicacin

Ejemplo:

abba

)2()3()3()2(

anton

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dan.e

s

b) Asociativa: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces

Ejemplo:

cbacba

Observacin: La propiedad asociativa nos dice que para multiplicar varios nmeros enteros, podemos trabajar de izquierda a derecha

o de

derecha a izquierda.

anton

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c) Distributiva de la multiplicacin respecto a la suma: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces

Ejemplo: (Sin la propiedad)

(Con la propiedad)

cabacba

anton

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d) Factor comn: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces

Ejemplo: (Sin la propiedad)

(Con la propiedad)

( )c+ba=ca+ba

anton

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dan.e

s

Ejemplo:

Ejemplo:

anton

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dan.e

s

e) Elemento neutro: Si a es un nmero entero, entonces

aa11a f) Factor cero: Si a es un nmero entero, entonces

0a00a

anton

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Divisin exacta de enteros

Mtodo: Para dividir dos nmeros

enteros, usamos la siguiente frmula.

Observacin: No se puede dividir entre cero.

0a;0

a0

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1.4 Operaciones combinadas con enteros

Mtodo: Para resolver una operacin combinada

hay que seguir la prioridad

mediante los siguientes pasos:

1) Resuelve llaves, corchetes y parntesis. Si hay varios, desde el interior hacia el exterior.

2) Potencias y races.

3) Multiplicacin y divisin.

4) Sumas y restas.

5) En caso se igualdad de prioridad,

trabajamos de izquierda a derecha.an

tonioj

rolda

n.es

Ejemplo:

anton

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s

Ejemplo:

Observacin: Para cambiar un signo menos

delante de un parntesis por un ms, se puede hacer cambiando todos los signos del interior.

Ejemplo:

anton

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1.5 Divisibilidad

Ejemplo: 18 es mltiplo de 2 y de 3, porque 29=18 y 36=18

Definicin: Un nmero a es mltiplo

de otro b si a se puede obtener multiplicando b por otro nmero c. Es decir, a=bc.

Definicin: Un nmero b es divisor o factor

de otro a si se puede dividir a entre b obteniendo de resto cero.

Ejemplo: 4 y 8 son divisores de 24 porque 24:4=6 y 24:8=3

Ejemplo: Con 24 monedas de 2 euros vamos a hacer montones de modo que todos tengan el mismo nmero de monedas.

1 moneda24 montones; 2 monedas12 montones

3 monedas8 montones; 4 monedas6 montones

6 monedas4 montones; 8 monedas3 montones

12 monedas2 montones; 24 monedas1 montn

Mltiplos y divisores

anton

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Criterios de divisibilidadUn nmero es:

divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

divisible por 3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3.

divisible por 4, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 4.

divisible por 5, si termina en cero o cinco.

divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

divisible por 7

cuando la diferencia entre el nmero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0

mltiplo de 7.

Ejemplo: 343

34 -

2

3 = 28; 112 11 -

2

2 = 7 Ambos son mltiplo de 7.

anton

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divisible por 8, si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 8.

divisible por 9, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 9.

divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares menos las que ocupan los pares es 0

mltiplo de 11.

Ejemplo: 121 (1 + 1) -

2 = 0; 78408 (7 + 4+8) -

(8+0) = 19-8=11

Ambos son mltiplo de 11.

divisible por 25, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 25.

divisible por 125, si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 125.

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Definicin: Un nmero es primo

si slo tiene dos divisores: l mismo y la unidad.

Nmeros primos

Definicin: Un nmero es compuesto

si tiene ms de dos divisores.

Descomposin factorialMtodo: Para descomponer un nmero en producto de sus factores primos:

Se divide entre los nmeros primos, de menor a mayor (el 1 no es primo)

Cada cociente obtenido se divide por el siguiente nmero primo.

Se repite el proceso hasta llegar a 1.

Ejemplo:

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Ejemplo: Calcula el mcm(50,72)

Definicin: El mnimo comn mltiplo

(m.c.m.) de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo

de todos ellos. Para

calcularlo se descomponen los nmeros en factores primos y se multiplican todos los factores elevados al mayor exponente.

m.c.m. y m.c.d.

anton

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Ejemplo: Calcula el mcd(48,60)

Definicin: El mximo comn divisor

(m.c.d.) de dos o ms nmeros naturales es el mayor nmero que los divide

sin dejar resto. Para

calcularlo se descomponen los nmeros en factores primos y se multiplican todos los factores comunes elevados al menor exponente.

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Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29