Division algebraica # 02

JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN

ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ


JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN

DIVISIÓN ALGEBRAICA

1111

TEOREMA DEL RESTO O DEDESCARTES

Este teorema tiene por objetivo determinar el restoen una división, sin efectuar la división.

ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra-cional y entero en “x” entre un binomio de la forma“ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di-cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a.

DEMOSTRACIÓN

En forma general, definamos:

Dividendo : P(x), racional y entero

Divisor : ax ± b

Cociente : q(x)

aResto : R = P (� ––)b

Toda división es de la forma:

D = dq + R

D = dividendo

d = divisor

q = cociente

R = resto

Reemplazando por sus equivalentes:

P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1)

bSi definimos x como: x = � ––a

y reemplazamos en (1):

b b bP(� ––)=[a(�––) � b]q(� ––) + R a a a

b bP(� ––)=(� b ± b) . q(� ––) + Ra a

El primer factor del segundo es cero, luego:

bP(� ––) = R a

o finalmente:

bR = P(� ––)a

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR ELRESTO

1º Se iguala el divisor a cero:

ax ± b = 0

2º Se despeja “x”:

bx = � ––a

3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por.

bx = � ––a

b∴ R = P(� ––)a

Ejemplo:

Hallar el resto de las siguientes divisiones:

(x - 3)64 + (x - 3)40 + (x - 1)16 - 164

i) ––––––––––––––––––––––––––––––x - 3

Solución:

• x - 3 = 0

• x = 3

Sustituyendo

• R = P(3) = (3-3)64 + (3-3)40 + (3-1)16 - 164

R = 0 + 0 + 216 - 164

R = 216 - (24)4 = 216 - 216 = 0

∴ R = 0

6x4 + x3 - 19x2 + 14x - 15ii) –––––––––––––––––––––––

2x - 3

1º 2x - 3 = 0

32º x = ––2

Sustituyendo

3 3 4 3 3 3 23º R = P(––) = 6(––) + (––) - 19(––)2 2 2 2

3+ 14(––) - 152






2222

243 27 171R = –––– + ––– - –––– + 21 - 15 8 8 4

simplificando: R = -3

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar el resto de la división:

nxn + (n -1)xn-1 + (n -2)xn-2 - 3n + 16–––––––––––––––––––––––––––––––––

x - 1

Solución:

De acuerdo con la regla práctica:

• x - 1 = 0

• x = 1

Sustituyendo:

• R = n(1)n + (n - 1)(1)n-1 + (n - 2)(1)n-2 - 3n + 16

R = n + n -1 + n -2 - 3n + 16

simplificando: R = 13


(x + a)7 - (x7+ a7)––––––––––––––––

x + 2a

Solución:

Utilizando la regla práctica:

• x + 2a = 0

• x = -2a

Sustituyendo

• R = (-2a + a)7 - [(-2a)7 + a7]

R = (-a)7 - (-128a7+ a7) = (-a)7 - (-127a7)

R = -a7 + 127a7

R = 126a7

3.- Hallar el resto en:

(x + y)2 + (x + y)(2z - 1) + z(z - 1)––––––––––––––––––––––––––––––

x + y + z - 3

Solución:


• x + y + z-3 = 0

• x = 3 - y - z

• R = (3 - y - z + y)2 + (3 - y - z + y) (2z - 1)

+ z(z - 1)

Efectuando operaciones y simplificando:

R = (3 - z)2 + (3 - z) (2z - 1) + z(z - 1)

R = 6


(5x4 + 7x2 + 5)2 + (5x4 + 7x2 + 7)3 + 8–––––––––––––––––––––––––––––––––

5x4 + 7x2 + 8

Solución:

Efectuemos el siguiente cambio de variable:

5x4 + 7x2 = y

Reemplazando, se obtiene la división equivalente:

(y + 5)2 + (y + 7)3 + 8––––––––––––––––––––

y + 8


• y + 8 = 0

• y = -8

• R = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8 = 9 - 1 + 8 = 0

R = 16


(x - 1)4n (x3 + 8)3 (x - 4)3

––––––––––––––––––––––x2 - 2x + 2

Solución:

Efectuando operaciones en el dividendo:

(x - 1)4n(x3+ 8)3(x - 4)3

= [(x - 1)2]2n[(x + 2)(x2 - 2x + 4)]3 (x - 4)3

= (x2 - 2x + 1)2n(x + 2)3(x2 - 2x + 4)3 (x - 4)3

α






3333

Ordenando:

= (x2 - 2x + 1)2n (x2 - 2x + 4)3 [(x + 2)(x - 4)]3

= (x2 - 2x + 1)2n (x2 - 2x + 4)3 [x2 - 2x - 8]3

Sustituyendo este equivalente en el numerador:

(x2 - 2x + 1)2n(x2 - 2x + 4)3(x2 - 2x - 8)3

––––––––––––––––––––––––––––––––––x2 - 2x + 2

y, haciendo: x2 - 2x = y:

resulta en:

(y + 1)2n(y + 4)3(y - 8)3

–––––––––––––––––––––y + 2

Para hallar el resto se aplica la regla práctica:

• y + 2 = 0

• y = -2

• R = (-2 + 1)2n (-2 + 4)3(-2 - 8)3 = (1)(2)3(-10)3

R = -8 000

6.- Hallar el resto en la división:

[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4

–––––––––––––––––––––––––––––––––x(x + 5) + 5

Solución:

Efectuando operaciones en el dividendo:

[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4

–––––––––––––––––––––––––––––––––x(x + 5) + 5

{3 + (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6)}4

–––––––––––––––––––––––––––––––––x2 + 5x + 5

haciendo: x2 + 5x = y

[3 + (y + 4)(y + 6)]4

–––––––––––––––––––y + 5

Para hallar el resto se aplica la regla práctica:

• y + 5 = 0

• y = -5

• R = [3 + (-5 + 4)(-5 + 6)]4

R = 16


a3b3 + a3c3 + b3c3 - 3a2b2c2

–––––––––––––––––––––––ab + ac + bc

Solución:

Agrupando convenientemente en el numerador:

(ab)3 + (ac)3 + (bc)3 - 3(ab)(ac)(bc)––––––––––––––––––––––––––––––

ab + ac + bc

Considerando que la variable es el producto ab,se calcula el resto por la regla práctica:

• ab + ac + bc = 0

• ab = -ac - bc = -(ac + bc)

• R =[-(ac + bc)]3 + (ac)3 + (bc)3

- 3[-(ac + bc)](ac)(bc)

R = -(ac + bc)3+(ac)3+(bc)3 + 3(ac + bc)(ac)(bc)

R = - (ac)3 - 3(ac)2(bc) - 3(ac)(bc)2

- (bc)3+(ac)3+(bc)3+3(ac)2(bc) + 3(ac)(bc)2

reduciendo términos semejantes:

R = 0


a - b a b (a + b)(a2 - b2)(––––)x2 - –– x - –– x + ––––––––––––2ab b a 2ab

––––––––––––––––––––––––––––––––––––(a + b)2

x - ––––––a - b

Solución:

Aplicando la regla práctica del resto:

(a + b)2

x - –––––––– = 0a - b






4444

(a + b)2

x = ––––––––a - b

a - b (a + b)2 2 a (a + b)2

R = (–––––) [–––––– ] - –– ––––––2ab a - b b (a - b)

b (a + b)2 (a + b)(a2 - b2)- –– –––––– + –––––––––––––

a (a - b) 2ab

Simplificando y agrupando:

(a + b)4 (a + b)2 a bR = ––––––––– - ––––––– [–– + ––]2ab(a - b) a - b b a

(a + b)(a2 - b2)+ –––––––––––––

2ab

Efectuando el corchete y multiplicando numeradory denominador por 2:

(a + b)4 2(a + b)2(a2 + b2)R = ––––––––– - –––––––––––––––

2ab(a - b) 2ab(a - b)

(a + b)(a + b)(a - b)(a - b)+ –––––––––––––––––––––––

2ab(a - b)

(a + b)4 - 2(a + b)2(a2+ b2) + (a + b)2(a - b)2

R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––2ab(a - b)

Sacando el factor común (a + b)2:

(a + b)2 [(a + b)2 - 2(a2 + b2) + (a - b)2]R = –––––––––––––––––––––––––––––––––

2ab(a - b)

Aplicando Legendre a los términos señalados:

(a + b)2 [2(a2 + b2) - 2(a2 + b2)]R = ––––––––––––––––––––––––––––

2ab(a - b)

(a + b)2 [0]R = –––––––––––

2(ab)(a - b)

R = 0


(x - 1)n + 2 + x2n + 1

–––––––––––––––––––––x2 - x + 1

Solución:

Aplicando la regla práctica del resto:

• x2 - x + 1 = 0

• x2 = x - 1

Reemplazando en el denominador esta equivalencia:

D = (x - 1)n+2 + (x-1)n . x

sacando factor común (x - 1)n:

D = (x - 1)n [(x - 1)2 + x]

D = (x - 1)n [x2 - 2x + 1 + x] = (x - 1)n[x2 - x + 1]

Sustituyendo:

x2 = x - 1se tiene:

• R = (x - 1)n (x - 1 - x + 1) = (x - 1)n (0) = 0

R = 0


(x + y)4m - (x - y)4m

–––––––––––––––––––(8xy) (x2 + y2)

Solución:

Transformando el divisor mediante la aplicaciónde productos notables e identidades:

8xy(x2 + y2) = [4xy][2(x2 + y2)]

= [(x + y)2 - (x - y)2] [(x + y)2 + (x - y)2]

= (x + y)4 - (x - y)4

Haciendo: (x + y)4 = a, (x - y)4 = b, se obtiene:

am - bm

–––––––––a - b

Para hallar el resto se sigue la regla práctica:

• a - b = 0

• a = b

• R = am - am

R = 0

α






5555

11.- Calcular “m” y “n” si la división:

xm(x - a)3m - 256(3a - x)2n

––––––––––––––––––––––––––x - 2a

es exacta.

Solución:

Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:

• x - 2a = 0

• x = 2a

• R = (2a)m(2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n

Según enunciado:

(2a)m(2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n = 0

efectuando:

2m . am . a3m = 256a2n

2ma4m = 28a2n

Identificando factores con bases iguales:

2m = 28 ⇒ m = 8

a4m = a2n ⇒ 4m = 2n

n = 2m

n = 2(8) = 16

Rpta.: m = 8

n = 16

12.- Hallar “m” si la división no deja resto:

x8 + (y2 - z2)2 - mx4(y2 + z2) ––––––––––––––––––––––––––

x2 - y - z

Solución:

Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:

• x2 - y - z = 0

• x2 = y + z

• R = (y + z)4 + (y2 - z2)2 - m(y + z)2(y2 + z2)

Por enunciado:

(y + z)4 + (y2 - z2)2 - m(y + z)2(y2 + z2) = 0

Por enunciado:

(y + z)4 + (y + z)2 (y - z)2 = m(y + z)2(y2 + z2)

(y + z)4 [(y + z)2 + (y - z)2] = m(y + z)2(y2 + z2)

simplificando y aplicando Legendre:

2(y2 + z2) = m(y2 + z2)

de donde: m = 2

13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7.

(x + 3a)7 - (x7 + ma7)–––––––––––––––––––––

x + 2a

Solución:

Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:

• x + 2a = 0

• x = -2a

• R = (-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7]

Por condición del problema:

(-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7] = 49a7

de donde:

a7 - (-128a7 + ma7) = 49a7

a7 +128a7 - ma7 = 49a7

operando: m = 80

14.- Calcular “m” si la división es exacta:

m(x + y + z)3 - (x + y)3 - (x + z)3 - (x + z)3

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––x + y + 2z

Solución:

Cálculo del resto:

• x + y + 2z = 0

• x = -y - 2z






6666

• R = m(-y -2z + y + z)3 - (-y - 2z + y)3

- (y + z)3 - (-y - 2z + z)3

Por condición del problema: R = 0 igualando acero y operando:

m(-z)3 - (-2z)3 - (y + z)3 -[-(y + z)]3 = 0

-mz3 + 8z3 - (y + z)3 + (y + z)3 = 0

8z3 = mz3 m = 8

15.- Hallar “m” para que el polinomio:

x3 + x2 - 3mx + 5

al dividirlo entre (x - 1) de como resto el dobledel resto de dividir dicho polinomio entre (x - 2).

Solución:

Cálculo de R1 (resto de la primera división):

• x - 1 = 0

• x = 1

• R1 = (1)3 + (1)2 - 3m(1) + 5

R1 = 7 - 3m

Cálculo de R2 (resto de dividir entre x - 2):

• x - 2 = 0

• x = 2

• R2 = (2)3 + (2)2 - 3m(2) + 5 = 8 + 4 - 6m + 5

R2 = 17 - 6m

Condición del problema:

R1 = 2R2

reemplazando:

7 - 3m = 2(17 - 6m)

efectuando: m = 3

16.- Hallar el valor de:

E = 2m + 5n

si el resto de la división:

mx8 + nx6 - 3x5 - 1––––––––––––––––––x3 + 1

es igual a 8x2 - 5

Solución:

Cálculo del resto:

• x3 + 1 = 0

• x3 = -1

El polinomio dividendo se puede escribir así:

m(x3)2x2 + m(x3)2 - 3(x3)x2 - 1

luego el resto es:

• R = m(-1)2x2 + n(-1)2 - 3(-1)x2 - 1

operando:

R = (m + 3)x2 + (n - 1)

este resto es idéntico al resto que el problemaindica; o sea:

(m + 3)x2 + (n - 1) ≡ 8x2 - 5

identificando coeficientes:

m + 3 = 8 ⇒ m = 5

n - 1 = -5 ⇒ n = -4

∴ E = 2(5) + 5(-4) = 10 - 20 = -10

Rpta.: E = -10

17.- Hallar el valor de “m” si la división es exacta.

(2m+3) (x+y+z)2- (y+z-x)3 + m(z+x-y)3 - (x+y-z)3

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––xyz

Solución:

Cálculo del resto:

• haciendo xyz = 0

• x = 0

α






7777

• R = (2m + 3)(y + z)3 - (y + z)3

+ m(y + z)3 - (y - z)3 = 0

agrupando e igualando a cero, por condición:

[(2m + 3)(y + z)3 - (y + z)3]

+ {m [-(y - z)]3 - (y - z)3} = 0

extrayendo factor común: (y + z)3 en el corchetey, -(y - z)3 en la llave:

(y + z)3(2m + 3 - 1) - (y - z)3(m + 1) = 0

factorizando:

(m + 1) [2(y + z)3 - (y - z)3] = 0

Igualando los factores a cero, basta con igualar acero el primer factor:

m + 1 = 0

m = -1

a18.- Hallar el valor de E = –– si en la división:

b

(a - b)xn + (a - b)2xn-1 + (a - b)3 xn-2

–––––––––––––––––––––––––––––––––––x - a + b

se obtiene como residuo : 3bn+1

Solución:

Cálculo del resto:

• x - a + b = 0

• x = a - b

• R = (a - b)(a - b)n + (a - b)2 (a - b)n-1

+ (a - b)3(a - b)n-2

Pero, según el problema: R = 3bn+1

igualando y operando:

(a - b)n+1 + (a - b)n+1 + (a - b)n+1 = 3bn+1

3(a - b)n+1 = 3bn+1

entonces: a - b = b

a–– = 2b

∴ E = 2

19.- Calcular el valor de:

b2E = ––––––––

a2 + c2

si la división:

(a + b)x3 + (b - c)x2 + (b + c)x + (a - b)–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

x2 + h2

es exacta.

Solución:

Para hallar el resto:

• x2 + h2 = 0

• x2 = -h2

El dividendo se puede escribir así:

(a + b)2 (x2)(x) + (b - c)x2 + (b + c)x + (a - b)

Luego, el resto será:

• R = (a + b)(-h2)(x) + (b - c)(-h2)

+ (b + c)x + (a - b)

Igualando a cero y operando:

-(a + b)h2x + (b + c)x - (b - c)h2 + (a - b) ≡ 0

[-(a + b)h2 + (b + c)]x + [-(b - c)h2 + (a - b)] ≡ 0

identificando coeficientes a cero:

• -(a + b)h2 + (b + c) = 0

b + ch2 = ––––– (α)a + b

• -(b - c)h2 + (a - b) = 0

a - bh2 = ––––– (β)b - c

igualando (α) = (β) :

b + c a - b–––––– = ––––––a + b b - c

Producto de medios igual a producto de extremos:

b2 - c2 = a2 - b2

2b2 = a2 + c2






8888

También:

a2 + c2

2 = ––––––b2

1∴ E = ––2

20.- Determinar “m” para que el polinomio:

x4 + y4 + z4 - m(x2 . y2 + y2 . z2 + x2 . z2)

sea divisible entre x + y + z

Solución:

Cálculo del resto:

• x + y + z = 0 ∴

• x = -y - z

• R = {-(y + z)}4 + y4 + z4 -m[{-(y + z)}2(y2 + z2)

+y2 . z2]

Como es divisible, el resto es cero; igualando acero y operando:

(y + z)4 + y4 + z4 = m[(y + z)2(y2 + z2) +y2z2]

[(y + z)2]2 + y4 + z4 = m[(y2 + 2yz + z2)(y2 + z2)

+ y2z2]

(y2 + 2yz + z2)2 + y4 + z4 = m[y4 + 2y3z + 2y2z2

+ 2yz3 + z4 + y2z2]

y4 + 4y2z2 + z4 + 4y3z + 2y2z2 + 4yz3 + y4 + z4

= m[y4 + z4 + 2y3z + 3y2z2 + 2yz3]

2(y4 + z4 + 2y3z + 3y2z2 + 2yz3)

=m(y4 + z4 + 2y3z + 3y2z2 + 2yz3)

m = 2Rpta.: m= 2

α

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular el resto que se obtiene al dividir:

(x2 + x + 1)2n + (x2 - x - 1)n––––––––––––––––––––––––

(x2 -x)

siendo “n” un número impar positivo.

a) 1 - (2x + 1)n b) -2x + 1

c) 2x + 1 d) 0

e) -2x

2. Hallar el resto de:

xn+1 - (n + 1)x + n–––––––––––––––––

(x + 1) (x - 1)

para n = número par positivo.

a) nx b) x c) 0

d) nx - n e) -nx + m

3. Sabiendo que el polinomio x4 + ax2 + b es divisi-ble entre x2 + bx + a, calcular el resto de ladivisión del polinomio entre ax + b.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Calcular el valor de “a” de tal manera que laexpresión:

xn -axn-1 + ax - 1

sea divisible por (x - 1)2

n n n - 2 a) ––––– b) ––––– c) ––––––n + 2 n - 2 n

n + 2d) ––––– e) nn

5. Calcular el valor de “m” de manera que el poli-nomio:

x3a+2 + x3b+1 + mx3c

sea divisible entre x2 + x + 1






9999

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) 7

6. Calcular m de manera que la división:

x4 (y + z)2 + y4(x + z)2 + z4(x + y)2

––––––––––––––––––––––––––––––––x2(y + z)x + yz

+ 2(xy + xz + yz)3 - mx2y2z2

––––––––––––––––––––––––Se exacta:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7. Hallar la diferencia m - n, si la división es exacta:

3x2 + mxy + 4y2 + 5y + ny–––––––––––––––––––––––

x + y

a) 2 b) -2 c) 12

d) -12 e) 7

8. Si un polinomio P(x) se divide entre (x2 + x + 1)el resto es 3x + 2, si el cociente se divide entre(x3 + 7), el resto es 2x2 - x + 3. Hallar el resto dela división de P(x) entre:

(x2 + x + 1)(x3 + 7)

Dar la suma de sus coeficientes.

a) 10 b) 14 c) 15

d) 17 e) 19

9. Si el siguiente polinomio:

(mx + 1)2 + (m + x)2 + mx

es divisible ente (x + 1). Calcular “m”.

a) 2 b) -2 c) 4

d) 5 e) 0

10. Calcular “m” si el resto de la división de:

x3 - mx2 + 7x - 1 entre x - 2

es el triple del resto de dividir:

x2 - (m + 2)x - 11 entre x + 2

a) -3 b) 4 c) 5

d) 3 e) -4

11. Si el polinomio:

P(x) = 2x3 + 3x2 - 32x + 15

se anula para x = -5 y x = 3. Calcular el otro valorde x para el cual también se anula.

a) 162 b) -1/2 c) 1

d) -1 e) Ninguna

12. Hallar m + n si la siguiente división es exacta:

(m+1)x28- (n+2)x22 + mx15- nx8 + (2m - 2)x7 + 1

entre (x7 + 1)

a) 3 b) 4 c) 7

d) 1 e) -1

13. Hallar el resto al dividir:

P(x) = (x - 1)6x3(2 - x)3 entre (x2 - 2x -2)

a) +128 b) -128 c) -216

d) 216 e) 0

14 Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4 seobtuvo como residuo:

(x3 - 3a2x + 2a3)

Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2

a) x + a b) 4 c) xa2 + 4a3

d) 4a3 e) x + 4a

15. Al dividir un polinomio P(x) entre (x - 3)2 dejaun residuo (x - 3). ¿Cuál es el resto de dividir elcuadrado de P(x) entre (x - 3)?






10101010

a) 3 b) 9 c) 0

d) -3 e ) 8

16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) seobtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a - 2;al dividir Q(y) entre (y + 2) se obtiene un restoigual a 2. Calcular el término independiente delresiduo al dividir P(y) entre (y - 3)(y + 2).

a) -8 b) 8 c) 12

d) -12 e) 15

17. Hallar el término cuadrático de un polinomio P(x)de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coe-ficientes son números enteros consecutivos, sesabe además que si se divide dicho polinomioentre (x - 1) el resto es 35.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

18. Si al dividir un polinomio P(x) entre x4-1 seobtuvo como residuo:

3x3 + bx2 + cx - 2

si se sabe además que el resto de dividir P(x)entre (x2 - 1) es dos veces más que el resto de ladivisión de P(x) entre (x2 + 1). Decir cuántovale: b + c.

a) -5 b) -3 c) 2

d) 3 e) 5

19. Hallar el residuo de:

[x 3 n+2

+ 3 3 n ] ÷ [ x 9 + 3]

a) 3n b) 3 3 n + 1 c) 3 3 n - 1

d) 0 e) 1 - 3 n 3

20. Hallar el resto de dividir el polinomio:

(x - n) (x - p) (x - m)(x - p)P (x) = –––––––––––– a + –––––––––––– b

(m - n)(m - p) (n - m)(n - p)

(x - m)(x - n)+ ––––––––––––– c

(p - m)(p - n)

entre el divisor (x - m)(x - n)(x - p)

a) x2 + x + 1 b) x c) x2 + 1

d) x - 1 e) x2 - 1

α

1) E 2) C 3) C 4) B 5) D

CLAVE DE RESPUESTAS

6) B 7) C 8) E 9) A 10) D

11) A 12) D 13) C 14) D 15) C

16) A 17) C 18) E 19) D 20) B

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Division algebraica # 02