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Tarea de polinomios
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Leccin 10: Divisin de Polinomios
Dra. Noem L. Ruiz Limardo
2009
Objetivos de la leccin
Al finalizar esta leccin los estudiantes:
Dividirn polinomios de dos o ms trminos por polinomios de uno y dos trminos.
Aplicarn el mtodo de la divisin larga al dividir por un binomio.
Aplicarn el mtodo de la divisin sinttica al dividir por un binomio del tipo (x- a).
Introduccin
La divisin de polinomios es muy til en muchas aplicaciones relativas a la economa, fsica e ingeniera, entre otras.
Entre estas aplicaciones se encuentran la teora de nmeros, el anlisis numrico, la teora de operadores, la teora de representacin de grupos y la mecnica cuntica, por citar algunas.
Introduccin Para dividir polinomios podemos aplicar varios
mtodos.
En esta leccin estudiaremos cmo se dividen polinomios de dos o ms trminos por polinomios de uno y dos trminos.
Estudiaremos el mtodo de la divisin larga y el mtodo de la divisin sinttica.
La divisin larga aplica a todo tipo de polinomio. La divisin sinttica aplica solo a unos casos particulares que discutiremos ms adelante.
Comprendiendo la Divisin
Comprendiendo la Divisin
La divisin es una operacin matemtica que consiste en saber cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido en otro nmero (el dividendo).
Ejemplo: Cuando decimos 6 dividido por 2 (6 2),
queremos determinar cuntas veces est contenido el 2 dentro de 6.
En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo.
DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO
Componentes de la Divisin Los componentes de la divisin son los siguientes:
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo
Se le llama cociente al resultado de la divisin y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor.
La relacin existente entre estos componentes es la siguiente:
) Dividendo- (cociente x divisor)
Residuo
DivisorCociente
Relacin entre los Componentes de la Divisin
A veces es conveniente expresar la relacin de divisin anterior de otra manera.
Si dividimos cada lado de la ecuacin anterior por el divisor,
DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO
DIVISOR DIVISOR DIVISOR
Obtenemos la siguiente expresin:
Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.
DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO
DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUODIVISOR DIVISOR
1
1
Relacin entre los Grados de los Componentes de la Divisin
Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del
divisor.
As tambin, la divisin de polinomios asume que el grado del dividendo ser mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendra exponentes negativos y entonces no sera un polinomio.
Esta relacin nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operacin.
Gradoresiduo < Gradodivisor Gradodivdendo
Formas de Expresar la Divisin
Existen tres formas de expresar la divisin:
Forma 1: a b, donde a es el dividendo y b es el divisor.
Forma 2: , donde a es el dividendo y b es el divisor.
Forma 3: , donde a es el dividendo y b es el divisor.
ab
b
a
La forma 2 se conoce como la forma de la casita de divisin. La forma 3 se conoce como la forma de fraccin.
Formas de Expresar la Divisin Es necesario que podamos intercambiar entre una
expresin y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de divisin.
Por ejemplo: -En la expresin (x2 + 2x + 1) (x + 1) debemos saber que la expresin a la izquierda del signo de divisin (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor.-Podemos expresar esa divisin de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de divisin y el divisor se coloca fuera de la misma:
-Tambin, podemos expresar esa divisin de la siguiente manera:
121 2 xxx
1
122
x
xx
Ejemplo 1 Exprese la siguiente divisin usando la forma 2
(casita de divisin):
Cuando tenemos la forma de fraccin, el polinomio que est en el numerador es el dividendo y el que est en el denominador esel divisor.
En la forma 2 el dividendo es el trmino queva dentro de la casita de divisin y el divisor el que va fuera:
3
1272
x
xx
1273 2 xxx
Ejemplo 2 Exprese la siguiente divisin usando la forma 3
(forma de fraccin):
En la forma 1 el dividendo es el trmino que que est a la izquierda del smbolo de divisin y el divisor es el que est a la derecha:
En la forma 3 el dividendo es el trmino que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador:
2
652
x
xx
)2()65( 2 xxx
Divisin de Polinomios por un Monomio
Divisin por un Monomio
Ejemplo 1: (16x5 8x4 + 5x3 2x2) 4x
Para dividir por un monomio es conveniente expresar la divisin de esta forma:
Observa que esto es una expresin racional, es decir, una fraccin con numerador y denominador.
En una expresin racional, el denominador es comn a todos los trminos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresin de la siguiente forma:
x
xxxx
4
25816 2345
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
4
5
4
8
4
16 2345
Contina en la prxima pantalla.
Divisin por un Monomio En una expresin como la anterior, donde tenemos
varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada expresin:
Esto es, se dividen los coeficientes numricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales.
Siempre se resta el exponente de la variable que est en el numerador menos el exponente de la variable que est en el denominador.
Si los coeficientes numricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como estn o se simplifican si tienen algn factor comn entre s.
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
4
5
4
8
4
16 2345
Divisin por un Monomio Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio
anterior tenemos:
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
2
1
4
524
4
2
4
5
4
8
4
16 2342345
Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,
dividimos cada trmino del polinomio por el monomio, en
forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.
Ejemplo 2
Divide ( ) por 4x.
Escribimos en forma de fraccin y dividimos cada trmino del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:
4812 23 xxx
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
4
4
44
8
4
12
4
4812 2323
xxx
1
4
123 2
Ejemplo 3
Divide ( ) por
Escribimos en forma de fraccin y dividimos cada trmino del polinomio por el monomio . Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:
324354 538 yxyxyx
32
32
32
43
32
54
32
324354 538538
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxyx
538 22 xyyx
32yx
32yx
Divisin de Polinomios por un Binomio:
Mtodo de la Divisin Larga
Divisin por un binomio
Divide ( ) por ( ).
Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el mtodo de la divisin larga.
El mtodo de divisin larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos nmeros cardinales cualesquiera.
En la prxima pantalla repasaremos la divisin de nmeros cardinales.
852 xx 3x
Repaso de Divisin de Cardinales Si deseamos dividir (4565 25) utilizamos la casita de
divisin y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera:
Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.
Cociente
DividendoDivisor
Residuo
456525
182
-25
206
-200
65
-50
15
Divisin por un binomio
Divide ( ) por ( ) .852 xx 3x
853 2 xxx1. Se divide x2 y el resultado es x.
x
2. Se coloca el resultado x en el
cociente.
x
3. Se multiplica el cociente x por todo
el divisor (x+ 3) y se coloca debajo
del dividendo.
x2 + 3x
4. Ahora tendramos que restar:
(x2 + 5x) (x2 +3x). Veremos en la prxima pantalla.
Divisin por un binomio
Divide por .)85( 2 xx )3(x
853 2 xxx
x
6. Se efecta la suma del opuesto y se
baja el prximo trmino del
dividendo. Observa que el primer
trmino x2 y -x2 se eliminan.
-x2 + -3x
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de
cada trmino del segundo polinomio:
(x2 + 5x) (x2 +3x) = (x2 + 5x) + (-x2 + -3x)
Observa que los signos del segundo
polinomio cambian al opuesto de lo que
eran y ahora se suma, y no se resta.
2x + 8
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la prxima pantalla.
Divisin por un binomio
Divide por .)85( 2 xx )3(x
853 2 xxx
x
11. Se efecta la suma del opuesto.
Observa que el primer trmino 2x
se elimina.
-x2 + -3x
2x + 8
8. Se divide 2x y el resultado es 2.
x
9. Se coloca el resultado + 2 en el
cociente.
10. Se multiplica el cociente +2 por todo el
divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se
coloca este resultado debajo del
anterior. Ahora tendramos que restar y
como restar equivale a sumar el
opuesto tendramos:
(2x + 8) (2x +6) = (2x + 8) + (-2x + -6)
+ 2
-2x + -6
12. Hemos finalizado el proceso ya que
no tenemos ningn otro trmino en el
dividendo que tengamos que bajar. El
resultado es (x + 2) con residuo 2.
2
Divisin por un binomio
Divide por .852 xx 3x
Podemos expresar esta divisin de la
siguiente manera:8532 xxx
x
-x2 + -3x
2x + 8
+ 2
-2x + -6
23
2)2(
3
852
xx
x
xx
Observa que el residuo 2 es una parte
fraccionaria del divisor.
Cociente Residuo
Ejemplo 2
Divide por .)8635( 234 xxxx )1(x
86351 234 xxxxx1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.
x
2. Se coloca el resultado 5x3 en el
cociente.
5x3
3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo
el divisor (x - 1) y se coloca debajo
del dividendo.
5x4 - 5x3
4. Ahora tendramos que restar:
(5x4 + x3) (5x4 5x3). Veremos en la prxima pantalla.
Continuacin de Ejemplo 2
Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6. Se efecta la suma del opuesto y se
baja el prximo trmino del
dividendo. Observa que el primer
trmino 5x4 y -5x4 se eliminan.
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de cada
trmino del segundo polinomio:
(5x4 + x3) (5x4 5x3) = (5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la prxima pantalla.
6x3 3x2
Continuacin de Ejemplo 2
Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 3x2
8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.
x
9. Se coloca el resultado + 6x2 en el
cociente.
10.Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el
divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 6x2. Se coloca este resultado debajo del anterior.
Ahora tendramos que restar y como restar
equivale a sumar el opuesto tendramos:
(6x3 3x2) (6x3 6x2) = (6x3 3x2) + (-6x3 + 6x2)
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
11. Se eliminan los primeros trminos
6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .
12. Se baja el prximo trmino -6x.
Continuacin de Ejemplo 2
Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
13. Se repite el proceso de dividir,
luego multiplicar, luego restar,
finalmente bajar el prximo y
ltimo trmino.
-3x2 + 3x
+ 3x
-3x - 8
- 3
3x - 3
- 11
Observa que cuando se ha
bajado el ltimo trmino del
dividendo y se ha obtenido el
residuo correspondiente a ste,
el proceso de divisin finaliza.
Este ser el resultado final.
Continuacin de Ejemplo 2
Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
-3x2 + 3x
+ 3x
-3x - 8
- 3
3x - 3
- 11
Podemos expresar esta divisin de la
siguiente manera:
1
11)3365(
1
8635 23234
xxxx
x
xxxx
Observa que el residuo -11 es una
parte fraccionaria del divisor.
Cociente Residuo
Reflexin
Cuando se aplica la divisin larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir.
El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables.
Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x 0x2 0x3, dependiende de la potencia que falte.
Ejemplo 3:
En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor estn ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.
Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.
80012525 23 xxxx
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
Contina en la prxima pantalla.
Continuacin Ejemplo 3:
Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos:
Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos:
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
125x3 50x2
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
Contina en la prxima pantalla.
Observa que si no
hubiramos reservado el
espacio de la potencia
de x2 , no hubiramos
podido sumar ya que los
trminos no hubieran
sido semejantes.
Continuacin Ejemplo 3:
Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el prximo trmino.
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
Contina en la prxima pantalla.
+ 10x
-50x2 + 20x
20x 8
Continuacin Ejemplo 3:
No hemos terminado de dividir ya que aunque se baj el ltimo trmino, todava no hemos obtenido el residuo.
Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo.
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
+ 10x
-50x2 + 20x
20x 8
+ 4
-20x + 8
0 Residuo
Ejemplo 4:
Se ilustra el proceso para dividir:
El resultado es:
2
59 24
x
xx
50902 234 xxxxx-x4 + 2x3
2x3 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 10x
-10x 5
Residuo
10x 20
x3 + 2x2 5x 10
25
2
251052 23
xxxx
Ejemplo 4:
Se ilustra el proceso para dividir:
El resultado es:
2
59 24
x
xx
50902 234 xxxxx-x4 + 2x3
2x3 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 10x
-10x 5
Residuo
10x 20
x3 + 2x2 5x 10
25
2
251052 23
xxxx
Divisin de Polinomios por Binomios de la forma (x a):
Mtodo de la Divisin Sinttica
Divisin Sinttica
La divisin sinttica es un proceso de divisin sintetizado o resumido.
Esto implica que es un proceso ms corto, lo nico que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x a), o sea el coeficiente de x es 1.
La divisin sinttica se conoce tambin por el Mtodo de Ruffini.
Para entender mejor este mtodo observa la prxima pantalla.
Divisin Sinttica
Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. Qu observas?
La columna a la izquierda ilustra el mtodo de divisin larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables.
853 2 xxx
x
-x2 + -3x
2x + 8
+ 2
-2x + -6
2
85131
1
-1 + -3
2 + 8
+ 2
-2 + -6
2
Divisin Sinttica Veamos otro ejemplo
Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer trmino tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer trmino del dividendo, excepto por el signo opuesto.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
1 2
Divisin Sinttica Veamos otro ejemplo
Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros trminos cuando se van a sumar.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
1 2 7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
4
Divisin Sinttica Veamos otro ejemplo
Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener tambin si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
1 2
Reflexin
En la divisin sinttica se sintetiza el proceso de divisin larga al tomar en consideracin las observaciones anteriores.
Ilustraremos el proceso de divisin sinttica usando el mismo ejercicio anterior.
Veamos en la prxima pantalla:
2
734 23
x
xxx
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
Aqu se colocan los coeficientes del
dividendo en orden descendente. Si falta
alguna potencia de la variable, se reserva el
espacio con un cero
Este es el smbolo que se usa para representar la
divisin sinttica
Contina en la prxima pantalla.
Se coloca esta lnea para separar los coeficientes de
la suma
Aqu se escribe el opuesto del segundo
coeficiente del divisor.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
1 El proceso comienza
siempre bajando el
primer trmino.
2. Luego se multiplica el
primer coeficiente por el
coeficiente que
representa el divisor y se
coloca debajo del
segundo trmino del
dividendo.
3. Se suman los
segundos coeficientes.
4. Se repite el paso 2 y 3
pero con el nuevo
coeficiente hallado.
4 5 11 29
8 10 22
5. Colocamos una lnea
para separar el residuo
del cociente.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
4 5 11 29
8 10 22
RESIDUO
COCIENTE
Observa que al dividir por un divisor de
grado 1 (x-a), se producir un cociente de
grado uno menos que el grado del
dividendo. Esto es, si el dividendo es de
grado 3, el cociente ser de grado 2.
Grado 3
Grado 1
Es por esto que podemos
construir el cociente
asignando a los
coeficientes encontrados,
comenzando con la
variable en un grado
menos que el grado del
dividendo. Las dems
potencias de las variables
quedarn en forma
descendente.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
4 5 11 29
8 10 22
2
29)1154(
2
734 223
xxx
x
xxx
4x2 + 5x+ 11Grado 1
Grado 2
Grado 0
Como el residuo es parte
fraccionaria del divisor tenemos que
29 representa: 29
x - 2
Grado 3
Ejemplo 2:
1 6 -1 -30
2
306 23
x
xxx
+ 2
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
Bajamos el primer
coeficiente.
1
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
2
8
Sumamos los
segundos
coeficientes
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
16
15
30
0
RESIDUOCOCIENTE
Comenzamos colocando
los coeficientes del
dividendo asegurndonos
que las variables estn
en orden descendente.
Ejemplo 2:
1 6 -1 -30
2
306 23
x
xxx
+ 2
1
2
8
16
15
30
0
x2 + 8x+ 15Grado 1
Grado 2
Grado 0
RESIDUO
1580)158(2
306 2223
xxxxx
xxx
Cociente + Residuo
Ejemplo 3:
2 7 0 -5
3
572 23
x
xx
-3
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
Bajamos el primer
coeficiente.
2
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
-6
1
Sumamos los
segundos
coeficientes
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
-3
-3
9
4
RESIDUOCOCIENTE
Colocamos los
coeficientes del dividendo
en orden descendente.
Como falta la potencia x,
reservamos el espacio
con un cero
Ejemplo 3:
2 7 0 -5
3
572 23
x
xx
-3
2
-6
1
-3
-3
9
4
COCIENTE
32 2 xx
RESIDUO
3
4
x
3
4)32(
3
572 223
xxx
x
xx
Ejemplo 4:
1 0 0 0 -1
1
14
x
x
+1
1
1
1
-1
1
1
1
1
0
COCIENTE
123 xxx
RESIDUO
1
0
x
)1(1
1 234
xxxx
x
Ejercicios de Prctica
Instrucciones
En tu libreta, realiza los ejercicios a continuacin.
Luego, haz clic para ver resultados.
Ejercicios de Prctica
Divide los polinomios a continuacin.
2
256
6
361824
x
xxx 634 34 xx
2
247
5
152045
y
yyy
)2()221432( 222334 babababa
349 25 yy
11716 22 abba
Ejercicios de Prctica
Divide los polinomios a continuacin.
7x)3()2110(2 xxx
)4()168( 2 aaa
)42()1464( 23 yyy
)2()652( 2234 xxxxx
4
32)2(
aa
42
6)22( 2
yyy
2
123)92(
2
2
x
xxx
Ejercicios de Prctica
Divide los polinomios a continuacin.
1
4)1( 2
xxx)1()522(
23 xxxx
)4()1911( 2 aaa
)3()18253( 24 xxx
)2()16( 4 yy
4
47)7(
aa
)6293( 23 xxx
)842( 23 yyy