División de un segmento en una razón dada

Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) los extremos de un segmento, entonces la razón en que el punto P(x,y) divide al segmento P1P2 en dos partes proporcionales se define como:

Por geometría, los triángulos P1PQ y PP2R son semejantes, la proporcionalidad que existe entre sus lados es:

Por otro lado P1Q= x-x1, PR = x2 –x

QP = y – y1, RP2 = y2 -y

Formulas:1) Para determinar la razón conociendo los extremos y el punto de división se emplea:

2) Para encontrar las coordenadas del punto de división conociendo los extremos y la razón se utiliza:

Las 2 formulas

Solamente una de las dos

Signo de la razónindica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.

1) Cuando P(x,y) está entre P1 y P2, la razón es positiva (r > 0)

2) Cuando P(x,y) no está entre P1 yP2 , la razón es negativa (r < 0)

Cual es la razón en que el punto P(2,7) divide al segmento determinado por los puntos P1(-1,1) y P2(6,15)

Sustituyendo valores de x = 2, x1 = - 1, x2 = 6, en la formula

Se obtiene el mismo valor de r si se toman los valores de las ordenadas