DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS CARLOS PANDAL

DIVISION DE POLINOMIOS

DIVISION ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Es una operación que se realiza entre dos polinomios

Donde el °������ ≥ °����� (condición necesaria).

Luego de efectuarla se obtienen dos polinomios:

Cumpliendo la identidad fundamental de la división:

TIPOS DE DIVISIÓN

• EXACTA. Es cuando ��� ≡ 0

• INEXACTA. Cuando ��� ≠ 0 y °����� < °�����

De donde �á�°����� = °����� − 1

Ejemplo:

Ejercicio:

Halle � + � si la división

������������ ��!"�����# es exacta.

Rpta. -7

Ejercicio: UNMSM97

Si el polinomio P�%� = &' + (&) − *&+ + ,& − - es

divisible por �& − -��& + -��& − +�. Halle � + � + 0

Rpta. 0

Ejemplo

Ejercicio

Halle el resto de la división:

�� − 4�� + �� − 5�# + 7�� − 4��� − 5�

Rpta ��� = 2� − 2

MÉTODO DE HORNER

William George Horner (1789-1837) fue un matemático

inglés contribuyó con el algoritmo de Horner para resolver

ecuaciones algebraicas (1819), aunque este método ya

había sido empleado 500 años antes por Zhu Shijie en

China.

Ejemplo:

Dividir

36�� + 17�� + 4�# + 189�" + 2� − 4

Veamos:

El dividendo y el divisor deben estar completos y

ordenados, así:

36�� + 17�� + 4�# + 0�" + 0� + 189�" + 2� − 4

Luego:

36 17 4 0 0 18 9 -2+4

4 1 2 0 8 18

÷ -8 16

÷

+

-2 4

+

÷ -4 8

+ + +

se les cambió el signo

0 0÷

{

COEFICIENTES DEL COCIENTE COEF. DEL RESTO

Entonces:

el cociente es 9�&� = '&) − &+ + +& + : y

el resto es ;�&� = <& + -<

De rojo: Coeficientes del dividendo.

De azul: Coeficientes del divisor

Ejemplo:

Dividir

6�� + 4�� + 9�# − 12�# + � − 1

6 4 9 0 0 -1 2 0- 1+1

3 2 3 1 -1 2

÷ 0 -3 3

÷

+

0 -2 2

+

÷ 0 -3 3

+ + +

se les cambió el signo {Entonces:

el cociente es 9�&� = )&+ + +& + ) y

el resto es ;�&� = &+ − & + +

�� − 3�= + �� − 4�# + 6�" − 7� + 12

�� − 3�= + �� − 4�# + 6 ≡ �> − )��> − '�. ?�>� + �> + �@ABACDEFGH

∴ ��� = 2� − 1

+� + � = -

Halle el resto de la división:

Resolución

Por la identidad fundamental de la división:

Haciendo > = ): J = ). � + � …(I)

Haciendo > = ': K = '. � + � …(II)

(II) - (I): � = + luego � = −-

2" + L. 2 + M = �2 − 2�. N�"� + 5

+� + � = -

El resto de dividir D�%� = &+ + (& + * entre

d�%� = & − + es 5. Determine el valor de +( + *.

Resolución

Por la identidad fundamental de la división:

>+ + �> + � ≡ �> − +�. ?�>� + J

Haciendo > = + tenemos:

De donde:

���� ≡ ���. N��� + ���

N��� = 4�# + �" + 2� ← Cociente.

��� = 8� + 18 ← Resto o residuo.

36�� + 17�� + 4�# + 189�" + 2� − 4 ←RSTSUVW X���

←RSTSXYZXV R���

DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS CARLOS PANDAL

Ejercicios

Efectúe las siguientes divisiones

a� ��\�����]���^

"�����^ b�

�`�������"��#���^�^�#��"��

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA_1

PROBLEMA_2

PROBLEMA_3

PROBLEMA_3

PROBLEMA_4

“Una educación divorciada de su contexto carece de

valor”.

…Henry Giroux

VILLA EL SALVADOR, 13 DE MAYO DEL 2012

Halle a+b si el polinomio

P�x� = L�� + M�# − 7�" + 2� + 1 es divisible por

F�%� = 5�2 − 3� + 1. RESOLUCIÓN

Si P�%� es divisible por F�%� entonces P�%� F�%� n op o�LqrL

Nota: Cuando una división es exacta se puede aplicar el

método de Horner invirtiendo el orden de los

coeficientes del dividendo y divisor. (Horner Invertido )

1 2 -7 b a 1+3- 5

1 5 3 0 0

÷ 3 -5

÷

+

15 -25

+

÷

+

9 -15

+

El cociente también tiene los coeficientes en orden

invertido.

El cociente es 9�&� = 3&+ + J& + -

Se tiene que b – 25 + 9 = 0 entonces b = 16

a – 15 = 0 entonces a = 15

Por lo tanto a + b = 31

Si en la división "s���� ���#!���^`t��]X

����`��" Se

obtiene un cociente cuyos coeficientes van

aumentando de 4 en 4 y deja un resto 34x+3. Halle

a+b+c+d

RESOLUCIÓN

20 6a -3b -17c 9d 5+7- 2

4 34 38 12

÷ 28 -8

÷

+

56 -16

+

÷

+ +

84 -24

+

Aumentan de 4 en 4 De donde:

� �"=

� = 8 entonces L = 2

�#!�=���

� = 12 entonces M = −4

−17q − 16 + 84 = 34 entonces q = 2

9 − 24 = 3 entonces = 3

Por lo tanto L + M + q + = 3

2�� + 3�" + L� + M2�" + 2� + 3

Halle a.b en la división exacta

RESOLUCIÓN

2 0 3 a b 2- 2- 3

1 -1 1 0 0

÷ -2 -3

÷

+

2 3

+

÷

+ +

-2 -3

De donde:

a + 3 – 2=0 -> a = -1

b – 3 = 0 -> b=3

Por a. b = - 3

Si el resto de la división �\�^� ���!��t

���"��# es

70x+38 y la suma de coeficientes del cociente es 32.

Hallar a+b+c

RESOLUCIÓN

a 0 0 -14a b c 1 2 3

a 2a 7a 6a 70 38

÷ 2a 3a

÷

+

4a 6a

+

÷

+ +

14a 21a12a 18a÷

+

Por dato a + 2.a +7.a+6.a = 32 entonces a=2

Como b + 21.a + 12.a = 70 entonces b=4

Como c + 18.a = 38 entonces c = 2

Por tanto a + b + c = 8.

Halle a.b si al dividir

������������ ��!"�����#

se obtiene como resto 4x+10.

RESOLUCIÓN

6 5 -4 a b 2- 1+3

3 1 2 4 10

÷ -3 9

÷

+

-1 3

+

÷

+ +

-2 6

De donde a = 3 y b = 4

Rpta. 12