0

PROBLEMAS

RESUELTOS Y EXPLICADOS

DE

INGENIERIA

GRAFICA (APLICACIONES DE LA

GEOMETRIA DESCRIPTIVA)

TEMA 1/15

DISTANCIAS

RICARDO BARTOLOME RAMIREZ

(Prof. Tit. de Expresión Gráfica en la Ingeniería)

1

Tema 1. DISTANCIAS

1-1 En cierta explotación minera, existen dos galerías subterráneas, (r) y (s), que se

cruzan. Se desea enlazar ambas galerías mediante una tercera que sea horizontal y tenga

la menor longitud posible.

Determinar gráficamente los puntos sobre (r) y (s) donde se han de comenzar los

trabajos de excavación para construir la tercera galería.

Hallar, también, la longitud de la misma.

DATOS: Galería (r): Vr (123, 0, 57) Hr (0, 121, 0)

Galería s): Vs (34, 0, 8) Hs (0, 76, 129)

En primer lugar calcularemos la distancia entre las galerías (r) y (s), para ello:

Por el punto (1) de la recta (s) se traza la recta paralela a la (r), resultando (r1).

Se determina el plano α definido por las rectas (r1) y (s).

Por un punto cualquiera (2) de la recta (r) se traza la recta (p) perpendicular al plano ; su

intersección con determina el punto (3).

Por el punto (3) trazaremos la recta (t) paralela a la (r1); la intersección de (t) con (s) define el

punto (4).

Desde el punto (4) se traza una recta (m) perpendicular a ; (m) y (r) se cortan en el punto

(5).

El segmento (4)-(5) representa la distancia entre las rectas (r) y (s), es decir la que separa a

ambas galerías.

Una vez hallada la recta (4)-(5), se observa que no es una recta horizontal, como se pide en el

problema (si lo hubiera sido el problema ya estaría resuelto), para conseguirla:

Por el punto (4) se traza un plano horizontal ; la intersección de (r) con determina el punto

(A).

La unión del punto (4) con el punto (A) establece un tramo de galería horizontal que enlaza las

galerías (r) y (s).

Lo mismo se puede realizar con el punto (5).

En el problema se ha elegido como solución la galería (4)-(A) por ser, de las dos posibles, la de

menor longitud.

Por tanto, los puntos donde se han de comenzar las excavaciones son el (4) en la galería (s) y el

(A) en la galería (r).

La longitud de la tercera galería es (d).

(Resolución gráfica en página siguiente)

2

Fig. 1-1

3

1-2 Se desea lanzar una sonda espacial con el fin de obtener información sobre cuatro

estrellas de una determinada constelación. La sonda dispone de una serie de sensores, de

temperatura, presión, humedad, cámaras de vídeo...., que tienen cierto radio de acción.

Determinar la posición que ha de ocupar la sonda espacial, para que las cuatro estrellas

estén bajo el mismo radio de alcance de los sensores.

Calcular la distancia que separa a la sonda de las estrellas.

DATOS: Estrella A (17,18,0) Estrella B (34,14,16)

Estrella C (9,52,47) Estrella D (40,28,72)

De la lectura del problema se deduce que la posición de la sonda debe ser tal, que equidiste de

las cuatro estrellas. Por tanto, todo se reduce a calcular un punto (posición de la sonda), que

equidiste de otros cuatro (las cuatro estrellas).

El procedimiento a realizar es el siguiente:

Se traza el plano formado por las estrellas, representadas por los puntos A, B y C (plano ), y se

abate junto con los puntos.

En el abatimiento se dibujan las mediatrices de los segmentos A0B0 y B0C0. Dichas mediatrices

se cortan en el punto O0.

Se desabate el plano , y por el punto O (O´´, O´) se traza una recta (p) perpendicular al plano.

Cualquier punto que se tome de dicha perpendicular, equidista de los puntos A, B y C.

Se une C con D, y se determina el punto medio (M), del segmento.

Trazamos un plano () por el punto M que sea perpendicular a CD.

La intersección del plano con (p) da como resultado el punto I, solución del problema.

La distancia (d), que separa a las estrellas de la sonda, se determina gráficamente.

(Resolución gráfica en la página siguiente)

4

5

1-3 Los puntos A (28,10,0) y B (71,77,82) representan las posiciones que ocupan,

respecto a un sistema diédrico de proyecciones, las torres de control de dos helipuertos.

Sabiendo que un helicóptero vuela por la zona a una altura constante de 8200 m..

Calcular la posición que debe ocupar el helicóptero para que la distancia que le separe

de cada una de las torres A y B sea igual a la que existe entre ambas torres de control.

De la lectura del enunciado se deduce que se trata de calcular un punto sobre un plano horizontal

tal que unido con A y B se obtenga un triángulo equilátero de lado AB. El plano horizontal

queda definido a una cota igual a la altura en la que se mueve el helicóptero.

Una vez definidos los elementos del problema, es decir, el plano y los puntos A y B:

Se unen mediante una recta los puntos A y B y por el punto medio M del segmento AB se traza

el plano perpendicular a dicha recta.

Se halla la intersección del plano con el plano , recta ( i). Sobre esta recta (i) se encuentran

puntos que unidos con A y B dan como resultado triángulos isósceles; entre todos estos puntos

existen dos que determinan triángulos equiláteros.

Determinamos el plano formado por el punto A y la recta ( i). Para ello se toma un punto C de

(i) y se une con A obteniendo la recta (t), el plano formado por (t) é (i) es el .

Se abate el plano , y con él, la recta (i) y el punto A.

En el abatimiento, y con centro en A se traza un arco de circunferencia de radio AB (d).

El arco corta a io en los puntos Xo e Yo que una vez desabatidos nos determinan la solución del

problema.

6

Fig. 1-3

7

1-4 Determinar la posición que ocupa un satélite de televisión cuando equidista de tres

puntos A, B y C, situados sobre la superficie terrestre a distinta altura, y está a una

distancia (h) de la misma.

Nota: Se supone que la superficie terrestre citada coincide con un plano horizontal

Situaremos en primer lugar los puntos A, B y C.

Determinaremos el plano (1 2) definido por los puntos A, B y C.

Para hallar las trazas del plano , se recurre a las trazas de las rectas: r(AB) y s(CB).

Se traza un plano (1 2) paralelo al plano horizontal, que representa a la superficie terrestre a

una altura (h).

Seguidamente sobre el plano , se obtiene el circuncentro del triángulo de vértices los puntos

A,B y C , punto Cc.

Se traza desde Cc una recta (t) perpendicular al plano .

Por último determinamos la posición del satélite hallando la intersección del plano con la recta

(t), resultando el punto I(I'I''), solución del problema.

8

Fig. 1-4

9

1-5 En el Sótano de un edificio existen dos tuberías de pequeño diámetro y una viga

estructural metálica. Con el fin de dar mayor sujeción a las tuberías se desea soldar los

extremos de una barra rígida, que puede ser cortada al tamaño adecuado, a cada una de

ellas.

La barra rígida tendrá una disposición tal que podrá ser soldada, a su vez, al punto

medio de la viga.

SE PIDE:1.-Dibujar las proyecciones diédricas del tramo de barra rígida que une las

dos tuberías.

2.-Determinar el valor de los ángulos formados entre la barra rígida y cada una de las

tuberías.

DATOS: 1.- Una de las tuberías está definida por los puntos A (0,20,-60) y B (50,20,10).

2.- La otra está definida por los puntos C (0,90,50) y D (100,90,0).

3.- La viga está definida por los puntos E (50,90,-40) y F (50,20,70).

Una vez situados los datos se realizan los siguientes pasos:

Se determina el punto medio de la viga, punto (M).

A continuación se determina un plano , que contenga a una de las tuberías y al punto medio

(M) de la viga.

Seguidamente se determina un plano , que contenga a la otra tubería y al punto M.

A continuación se halla la intersección entre los plano y . Se obtiene como resultado una

recta que pasa por el punto medio de la viga y además corta a las tuberías en los puntos 1, y 2.

Por último se determinan los ángulos que forma la barra con las tuberías.

El ángulo entre la barra y (r) es de 85, y el de la barra con (s) es de 66,5.

10

11

1-6 En la instalación de una fábrica, que se dedica a la elaboración de productos

químicos existen tres tuberías de conducción de líquidos, dos de ellas son secundarias, y

la otra es considerada la tubería principal.

Se desea conectar las dos redes de tuberías secundarias, desde dos puntos, (A) y (B) que

pertenecen a cada una de ellas a un único punto de la red principal, empleando para ello

la mínima longitud de tubo.

El eje de la tubería principal es (r), de trazas { Vr(92,0,0), y Hr(0,40,76)}.

Los ejes de las tuberías secundarias son (s) y (t), de trazas { Vs(63,0,30), y Hs(0,107,0)};

{Vt(122,0,123), y Ht(0,143,106)}.

El punto A que pertenece a (s) es A(31,58,14).

El punto B que pertenece a (t) es B(56,78,114).

Dibujar a Escala 1/100 la trayectoria de la tubería solución.

Se define el plano que pasa por el punto (A) y por la recta (r).

Por el punto (B) se traza el plano perpendicular a la recta (r). y se determina la recta (i) de

intersección del plano con el .

La recta (i) corta a la recta (r) en un punto P (P', P''). El segmento BP se lleva sobre la recta (i),

obteniendo el punto (N).

Uniendo(N) con (A), obtenemos la recta situada en el plano , la cuál corta a la recta (r) en el

punto (M).

Finalmente solo queda unir los puntos (A) y (B) con (M).

12

13

1-7 Determinar las dos tuberías de diámetro máximo que atraviesan una fosa

ortoédrica, cuyos ejes uno horizontal y otro frontal llevan las direcciones indicadas en el

gráfico. Obtener después:

1.- Proyecciones de los tres elementos.

2.- Punto de tangencia de las tuberías.

3.- Plano tangente común y trazas con los planos de la fosa.

Nota: Las intersecciones de las caras de la fosa con las tuberías deben ser circunferencias,

no elipses.

NORTE

N 45 E

Frontal

S 45 O

Horizontal

Para resolver el problema se podría pensar en hallar la recta perpendicular común a los ejes de

las tuberías, recta (r), y determinar el punto medio M. La distancia del punto M al punto de

contacto de (r) con cualquiera de los ejes, seria el radio de las tuberías, y M el punto de tangencia

entre ambas. Las tuberías en su intersección con las paredes de la fosa darían lugar a secciones

elípticas. por lo tanto este método no sería válido para resolver el problema puesto que una de

las premisas del mismo es que las intersecciones entre las tuberías y la fosa sean circulares.

Para resolver el problema según lo indicado se realiza un cambio de plano para que uno de los

planos de la fosa resulte paralelo al plano vertical y se obtienen las nuevas proyecciones de los

ejes de las tuberías. Se realiza un cambio de plano para situar uno de los ejes perpendicular al

plano vertical. Se hace pasar por un punto cualquiera (A) del eje de la tubería un plano

perpendicular .

Suponiendo un radio cualquiera, (a), para las tuberías, se dibuja la intersección de una de las

tuberías con el plano Vertical y la otra con el plano . Sabiendo que estas intersecciones son

elipses. La intersección (elipse) de la tubería de eje e1 con el plano Vertical es E1 y la

intersección de la tubería de eje e2 con el plano es E2.

Se toma un punto cualquiera P y por él se hacen pasar las rectas paralelas a los ejes e1 y e2;

Ambas nos determinan el plano . Seguidamente se hace pasar un plano tangente a la elipse

E1, y otro plano tangente a la elipse E2. Se traza un plano que equidiste y sea paralelo a y .

El plano es tangente a las dos tuberías.

Por último, para hallar el punto C(c', c'') de tangencia, se calcula la intersección del plano con

la recta r, perpendicular común a los ejes de las tuberías (e1 y e2 ).

14

15

1-8 Se observa que una bomba es lanzada desde un avión, situado a 130 metros de

altura en dirección 27° SO, y a una distancia de 23 metros del objetivo.

Uno con seis segundos más tarde se ve la misma bomba a 114 metros de altura en

dirección 71° SO, y a una distancia de 20 metros del objetivo.

Mediante un disparo de cañón se pretende interceptar a la bomba en su recorrido con

objeto de que no alcance su objetivo.

DETERMINAR:

Si el cañón está situado a una altura de 15 m, la posición que debe ocupar y el ángulo

que tiene que formar con el plano del suelo.

Calcular el tiempo que transcurrirá desde que se dispara el cañón hasta que impacta

con la bomba.

En el problema el punto A nos indica la situación del cañón A(15,0,0); el punto B, el primer

instante de la bomba B(130,10,20); y el punto C el segundo instante de la bomba C(114,19,7).

Uniendo el punto B y C se determina la recta r(r', r''), que representa la trayectoria y la dirección

de la bomba.

La intersección de la recta r con el plano horizontal nos determina el punto O(O'O''), (lugar de

impacto de la bomba con el suelo, si esta no fuera interceptada).

La posición y ángulo del cañón, para interceptar la bomba se determina de la siguiente forma.

Por el punto A se traza un plano (1,2) perpendicular a la recta r.

La intersección del plano con la recta r determina el punto I(I', I''). El punto I es el de impacto

entre la bomba y el proyectil del cañón.

La inclinación del cañón es de 37 SE.

El espacio recorrido (a los 1,6 segundos) entre B y C es de e=27 metros. Si V=e/t la velocidad

es, v= 1,0125 Km/h.

Si la distancia entre B e I es de e=97 metros, la velocidad es constante y valor v=1,0125 Km/h,

aplicando t=e/v queda que t=5,7 segundos.

16

17

1-9 Las rectas AB y CD representan los ejes de dos tuberías, que tienen una pendiente

del 30%. Son conducciones de agua a lo largo de la falda de una montaña, y que se

adaptan a la superficie supuestamente plana de ésta. Se necesita situar una tubería

también con una pendiente del 30%, para la conexión de ambas.

En primer lugar determinaremos la situación de AB y CD. Por A' trazamos la perpendicular a

A'B' y en el punto B' llevaremos la pendiente del 30% y donde corte a la perpendicular será la

cota (c) del punto A, respecto de B. Determinando así la recta AB con una pendiente del 30%.

Análogamente se hará lo mismo con la recta CD.

Se puede considerar la tubería de conexión como un elemento recto (generatriz) de una

superficie cónica de 30 % de pendiente cuyo vértice está en la recta AB. El otro extremo de la

tubería de conexión estará donde la recta CD corte a la superficie cónica de 30% de pendiente.

Podemos suponer que B va a ser el vértice de la superficie cónica. El plano que contiene a B y a

la recta CD es BCD. BD corta al plano de la base en N. Por lo tanto, MN es la intersección del

plano BCD con el plano de la base del cono. MN corta a la circunferencia de la base en K. La

recta BK se encuentra en el plano BCD y corta a CD en P. Por lo que BP es la recta de 30% de

pendiente que conecta AB y CD.

18

19

1-10 Hallar la conexión horizontal más corta posible, que une dos túneles que se cruzan,

representados sus ejes por las rectas AB y CE.

El mínimo segmento horizontal que une dos rectas que se cruzan se verá en verdadera magnitud

en proyecciones diédricas cuando el plano que contenga a una de las rectas que se cruzan y que

sea paralelo a la otra aparezca en su vista de perfil. Todos los demás segmentos horizontales que

unan éstas dos rectas que se cruzan aparecerán reducidos. El plano ABM contiene a la recta AB

y es paralelo a la recta que se cruza CE. Se realiza un cambio del plano vertical.de proyección.

La nueva línea de tierra será perpendicular a B'M'. Como en este cambio de plano C"E" es

paralelo a la vista de perfil del plano ABM, todas las rectas horizontales parecerán que son de la

misma longitud, sin embargo, solo tendrá una de ellas la verdadera longitud en esta vista y será,

por tanto, el mínimo segmento horizontal que une las rectas. Para saber cual es la verdadera,

realizamos un nuevo cambio, en este caso del plano horizontal de proyección. La nueva línea de

tierra será perpendicular a la anterior. En la proyección horizontal la solución será la recta

mínima en su vista de punta, que coincidirá con el punto de cruce de las rectas AB y CE, siendo

la solución la recta OP.

20

21

1-11 Se debe efectuar una conexión eléctrica para una casa de campo desde una línea

principal de la que conocemos un punto A cuya cota es de 945 metros y cuyo alejamiento

figurado es de 330 metros. La dirección de dicha línea principal es 76°30` NO y la

inclinación descendente es de 23°. El edificio se encuentra a 1.515 metros al oeste y 415

metros al sur de A, con base en una colina a 615 metros de altura.

Encontrar la línea de unión más económica en cable, su longitud, dirección, pendiente y

distancia desde A hasta el punto de unión, medida a lo largo de la línea principal.

Suponer que la dirección que nos indica el norte es perpendicular a la línea referente

de un sistema diédrico de proyecciones. Utilizar la escala 1:150.

Comenzamos tomando una línea referente (LT) cualquiera, a partir de la cual situamos los datos

dados. Para obtener el recorrido de la línea principal, trazamos su proyección horizontal según

una recta r’, que pasando por A`, lleve la dirección 7630`NO, y una recta r1` paralela a LT que

pase por A`. En el plano vertical, y pasando por A", trazamos una recta r1" que forme 23 en

pendiente negativa. De esta forma, consideramos que las proyecciones r1` y r1" corresponden a la

recta r girada, de la que, conociendo su proyección r`, y por medio de un punto auxiliar 1(1`-1")

y su correspondiente punto girado 11(11'-11"), encontramos, deshaciendo el giro, su proyección

vertical r".

Para hallar el punto de unión a la línea principal, de forma que sea lo más económico posible, se

deberá determinar según la mínima distancia entre la línea y el edificio representado por E (E`,

E"). Para ello trazamos el plano ß (ß1-ß2), que pasando por E, sea perpendicular a la línea. Esto

se resuelve mediante una recta horizontal de plano que pasa por E, y cuya proyección horizontal

es perpendicular a r`.

Hallamos ahora el punto de intersección entre el plano ß y la línea, obteniendo el punto I (I`, I")

que será el punto donde se deberá realizar la conexión para utilizar la mínima longitud de cable

posible. Uniendo E con I, tendremos la línea de unión y sus proyecciones.

La dirección la tomamos de la proyección horizontal, midiendo el ángulo existente entre la

perpendicular a LT por E` y el segmento E`I`. Tendremos así la dirección 1930`NE. Su longitud

y pendiente se obtienen situando, mediante un giro de eje vertical, el segmento E`I` paralelo a

L.T., obteniendo así E`I2` y E"I2". Midiendo el ángulo que forma E"-I2" con la horizontal,

tendremos la pendiente, que será de 15, y su longitud según E"I2".

Para hallar la longitud de la línea principal desde A hasta E, se realiza mediante un giro,

obteniéndola según A"I1".

22

23

1-12 Se ha realizado la instalación de un tendido eléctrico de alta tensión hasta un

pabellón industrial. Dicho tendido cruza en su recorrido bajo una línea telefónica. Al ser

la línea telefónica anterior, la Cía. Telefónica exige la comprobación de la distancia de

seguridad existente entre ambas líneas, ya que la línea de tensión podría interferir en el

normal transcurso de las comunicaciones a través del tendido telefónico.

La resolución de este supuesto se simplifica en gran parte, utilizando la técnica de cambios de

planos de proyección. En concreto si situamos por ejemplo mediante dos cambios de plano, uno

de los tendidos de punta, de forma que en una de sus proyecciones aparezca como un punto.

Bastará en esa situación con trazar la perpendicular a la proyección de la otra línea desde dicho

punto para tener así la proyección de la distancia verdadera, o mínima distancia entre las dos

líneas. Deshaciendo los dos cambios de plano, situaremos la mínima distancia en su posición

real.

Comenzamos tomando una LT de forma que la recta (A) (línea telefónica) pase a ser paralela al

nuevo plano vertical de proyección, (recta frontal). Para hallar las nuevas proyecciones de las

líneas, telefónica y eléctrica nos ayudamos de los puntos en los que se fijan a los aislantes de los

postes y de la fachada del pabellón, puntos 1,2 y 3, y un punto cualquiera de la línea telefónica,

punto 4.

Trazando por 1’ una recta perpendicular a la nueva LT., llevamos sobre ella, y a partir de la

nueva LT, la cota del punto 1. Obtenemos así 11". Haciendo lo mismo con los otros tres puntos,

obtendremos las proyecciones A1" y C1".

Para situar la recta (A) de punta, tomamos una nueva LT perpendicular a la proyección A1", y

llevando sobre ella el alejamiento del punto 1, obtenemos la proyección 11’, que será la

proyección horizontal de la recta. Obtenemos también en el nuevo sistema de planos la

proyección C1’ de la recta C. Trazando por 11’ la perpendicular a C 1’ obtenemos la verdadera

magnitud de la distancia de seguridad, o mínima distancia según D1”.Se deshacen los cambios

de plano realizados para situar la distancia en su posición real. Se comprueba así que la distancia existente entre los dos conductores es mayor que la exigida,

por lo que la instalación se aprueba y pasa a ser considerada como definitiva.

24