Dominio Frecuencia Bode v08s02

1Anlisis en el Dominio de la Frecuencia

Sistemas de Control El desempeo se mide por

caractersticas en el dominio del tiempo

Respuesta en el tiempo es dficil de determinar analticamente, sobretodo en sistemas de orden superior

Anlisis en el Dominio de la Frecuencia

Dominio de la Frecuencia Se tiene un conjunto de mtodos grficos, no

limitados a sistemas de orden bajo Las propiedades en el dominio del tiempo se

pueden deducir con base en las caractersticas en el dominio de la frecuencia

El dominio de la frecuencia es mas conveniente para mediciones de sensibilidad al ruido del sistema


Dominio de la Frecuencia Las pruebas de respuesta son sencillas

Se puede determinar experimentalmente las funciones de transferencia de sistemas complicados mediante pruebas de respuesta de frecuencia


Respuesta de frecuencia Hace referencia a la respuesta de un sistema en

estado estacionario ante una entrada senoidal

Se utiliza anlisis de frecuencia en control por: Conveniencia Disponibilidad de herramientas

2Salida en estado estacionario para una entrada senoidal

T(s)r(t) y(t)

R(s) Y(s)

+=

=

fasedeoCorrimient

AmplitudYtYty

Entonces

Frecuencia

AmplitudRtRtr

:

:)sin()(

:

:)sin()(

0

0

0

T(s) es la funcin de transferencia de un sistema SISO

Salida en estado estacionario para una entrada senoidal

)()()(

)()(lim)(lim

jRjTjY

sRsTsY

js

jsjs

=

=

T(s)r(t) y(t)

R(s) Y(s)T(s) es la funcin de transferencia de un sistema SISO

En el dominio de la frecuencia compleja: Y(s) = T(s) R(s)

Para realizar el nalisis en rgimen senoidal permanente, se hace que s tienda a j


)()()(

)()()(

jYjYjY

Donde

jRjTjY

=

=

)()()(

)()()(

jRjTjY

fasederelacinlay

jRjTjY

+=

=

Considerando T(j) y R(j) complejos, tenemos:


)(0

jTRY =

Para las seales x(t) y y(t) descritas:

La amplitud de la senoidal de salida est dada por:

La fase de salida:

)(

)()()(

jT

jTjRjY

===

|T(j)| y el argumento de T(j) describen el comportamiento en estado estable para una entrada senoidal

3Salida en estado estacionario para una entrada senoidal

La magnitud y la fase de un sistema a lazo cerrado se puede utilizar para describir el comportamiento del sistema en estado estable, as como el transitorio en el dominio del tiempo

Respuesta en frecuencia de sistemas en lazo cerrado

)()(1

)(

)()(1

)()(

jHjG

jG

jHjG

jGjT

+=

+=

La magnitud de T(j) es:

La fase de T(j) es:

( ))()(1)()( jHjGjGjT +=

Especificaciones en el dominio de la frecuencia

Pico de resonancia (Mr o Tr) Es el valor mximo de |T(j)|. Da indicacin de la estabilidad relativa de un

sistema estable a lazo cerrado Ligado al sobreimpulso mximo

Frecuencia de resonancia (r) Frecuencia a la cual ocurre el pico de

resonancia

Especificaciones en el dominio de la frecuencia

Ancho de banda (BW ) Frecuencia a la cual |T(j)| cae al 70.7% (3dB)

de su valor a =0 (frecuencia de corte inferior) Da indicacin de propiedades de la respuesta

transitoria, las caractersticas de filtrado de ruido y robustez del sistema

Razn de corte Pendiente de |T(j)| de frecuencias altas

4Relacin entre r ,BW, Mr y , n

21;21 2 0,707 la frecuencia de resonancia (r) es cero y el pico de resonancia (Tr) es uno

Pico de resonancia

Tr es funcin solamente de

Relacin entre r ,BW, Mr y , n

( ) 24421 242 ++= n

BW

Ancho de Banda

Para valores de > 0,707 la frecuencia de resonancia (r) es cero y el pico de resonancia (Tr) es uno

Magnitud en funcin de la frecuencia normalizada de un sistema de control en lazo cerrado

referencia[3]

Fase normalizada en un sistema de 2doorden

(referencia [3])

5Tr en funcin de en un sistema de 2do Orden ur en funcin de en un sistema de 2do Orden

Correlacin entre respuesta en frecuencia y respuesta en el tiempo de un sistema de 2do Orden

(referencia [3])

Caracterstica de la respuesta en frecuencia en forma grfica

T(j) est caracterizada por: Magnitud ngulo de fase

En general se utilizan tres representaciones grficas: Diagrama de Bode o Diagrama Logartmico Diagrama de Nyquist o Diagrama Polar Diagrama de Nichols (Magnitud log contra la fase)

6Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode

Respuesta aproximada de frecuencia

Grfica asinttica logaritmica de G(j).

Compuesta por dos curvas |G(j)| en decibeles respecto a log G(j) en grados como funcin de log

Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode

Puesto que |G(j)| est expresada en decibeles entonces los factores multiplicativos y divisin se transforman en sumas y restas

Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode

En general

Magnitud

Fase

( )( )222121)(1()1)(1(

)(nna sssTs

sTsTKsG

+++++

=

( ) ( ) )//21()1()()1()1()(

2

21

nna jTj

jTjTjKjG

++

++++=

( ) ( ) |//21|log20|1|log20||log20

|1|log20|1|log20)log(20))(log(20|)(|

2

21

nn

a

dB

j

Tjj

TjTjKjGjG

+

+

++++==

Pginas a consultar

http://lims.mech.northwestern.edu/~lynch/courses/ME391/2003/bodesketching.pdf

http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Bode/BodeHow.html

7Informacin que se obtiene de la respuesta de frecuencia a lazo abierto

Regin de bajas frecuencias Indica comportamiento de estado estable del

sistema a lazo cerrado

Regin de frecuencias medias Estabilidad relativa

Regin de altas frecuencias Da idea de la complejidad del sistema

Anlisis del Sistema usando Grficas de Bode

La funcin de transferencia de un sistema SISO es:

La ecuacin caracterstica del sistema es:

)()()(lim

)()()(

)()(1

)()(

11

11

jHjGKsLy

sHsKGsL

abiertolazoaciatransferendeFuncin

sHsG

sGsT

js=

=

+=

0)(1)()(1 =+=+= sLsHsGs

Identificacin de polos y ceros del sistema

Polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado son los ceros de 1+L(s)

Los ceros de 1+L(s) son las races de la ecuacin caracterstica

Condiciones de estabilidad (1) Estabilidad a lazo abierto

Si los polos de L(s) estn todos en el semiplano izquierdo del plano s

Estabilidad en lazo cerrado Un sistema es estable en lazo cerrado o

simplemente estable si los polos de T(s)(ceros de 1+L(s)) estn en el semiplano izquierdo del plano s

8Condiciones de estabilidad (2) El sistema es inestable si la magnitud

de la ganancia es mayor a uno, a una frecuencia en la que la fase del sistema sea 180

Es decir, el sistema es inestable si:

=

>=

180)()(

1||

1|)()(|

11

11

jHjGy

kjHjG

Condiciones de estabilidad (3) Margen de ganancia

Es la cantidad de ganancia en decibeles que se puede aadir al lazo antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable

Se define como la ganancia de amplitud necesaria para hacer |L(j)|=1 cuando L(j) es de 180

==

180)()(0

jLjLMG

Condiciones de estabilidad (4) Margen de fase

Es la diferencia hacia 180de la fase del sistema a una ganancia de 0 dB

Si hay cruces mltiples de 180entonces el margen de fase es la menor de las posibilidades

dBjLjLMF

01)|(|)(180

==

+=

Condiciones de estabilidad (5) Para que un sistema sea estable debe

cumplirse que los MG y MF deben ser positivos segn las definiciones

MG es positivo y el sistema es estable si |L(j)| al cruce de fase (p) es negativo en decibeles

MF es positivo y el sistema es estable si L(j)es mayor que 180en el cruce de ganancia (g)

9Margen de ganancia y Margen de fase [3]

(referencia [3])

Ventajas de las grficas de Bode Las grficas se pueden aproximar por

segmentos de rectas

Los cruces de ganancia y fase as como MG y MF se pueden determinar fcilmente

Para propsitos de diseo es fcil visualizar el efecto de aadir controladores y sus parmetros se visualizan fcilmente (mejor que sobre una grfica de Nyquist)

Desventajas de las grficas de Bode

Grfica de Bode es til slo para estudios de estabilidad de sistemas con funciones de transferencia de fase mnima

Ejemplo (Margen de fase)

10

Ejemplo (Margen de Ganancia) Sistemas de fase Mnima y No Mnima Trmino proviene de las caractersticas de

cambio de fase de tal sistema cuando estsujeto a entradas senoidales

Sistema de fase Mnima Si los polos y los ceros de un sistema se

encuentran todos en el semiplano izquierdo del plano s

Sistemas de fase Mnima y No Mnima

Sistema de fase No Mnima El sistema tiene al menos un polo o un

cero en el semiplano derecho del plano s

Las grficas de Bode de funciones de transferencia de trayectoria directa de fase no mnima no deben utilizarse para el anlisis de estabilidad de control en lazo cerrado

Sistemas de fase Mnima La mayora de funciones de transferencia en

procesos de control de sistemas LTI son de fase mnima

Una propiedad importante de los sistemas de fase mnima es que sus caractersticas de magnitud y fase estn relacionadas de forma nica

Para una funcin de fase mnima con m ceros y npolos (excluyendo los polos en s=0), cuando sj y vara de a 0, la variacin de fase total de G(j)es (n m)*90

11

Caracterstica generales Para un sistema de fase mnima, MG y MF deben ser

positivos con el fin de que el sistema sea estable

Los dos valores delimitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca de la frecuencia de resonancia

Rendimiento satisfactorio MF entre 30y 60 MG mayor que 6 dB

Este requisito de MF en el diagrama de Bode significa que la pendiente de la curva de |L(j)|dB en la frecuencia de cruce de ganancia (g) debe ser menor que 40dB/dcada

Caracterstica generales

Para estabilidad es conveniente una pendiente de 20dB en la frecuencia de cruce de ganancia

Si la pendiente es de 40dB el sistema puede ser estable o inestable

Si la pendiente es de 60dB o superior es muy probable que el sistema sea inestable

10-2 10-1 100 101 102 103-180

-135

-90

-45

0

Fase

(d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec)

Frecuencia [rad/s] (rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

System: untitled1Frequency (rad/sec): 17.9Magnitude (dB): -6.03

System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.012Magnitude (dB): 25.3

Mag

nitu

d (d

B)

MF=45

Error de estado estacionarioEl valor en dB de los coeficientes de error (Kp, Kv y Ka, dependiendo del tipo de sistema) se obtienen leyendo la interseccin de la recta en = 1 con la asntota de la curva de magnitud a = 0.

KpdB = 25.3 dBKp = 18.41

Respuesta en el tiempo

ess =1/(1+Kp)ess=1/(1+18.41)ess = 5.15%

Respuesta ante escaln

Tiempo [s] (sec)

Ampl

itud

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1Rise Time (sec): 0.105

System: untitled1Final Value: 0.948

tr

ess

12

Referencias [1] Dorf, Richard, Bishop Robert. Sistemas de control

moderno, 10 Ed., Prentice Hall, 2005, Espaa.

[2] Ogata, Katsuhiko. Ingeniera de Control Moderna, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4 Ed., Madrid.

[3] Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, Mxico.

Documents

Dominio Frecuencia Bode v08s02