CURSO EN LINEA DE CLCULO 1

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Dominio y Rango de una FuncinObjetivos de Aprendizaje Definir el dominio y el rango. Identificar el dominio y el rango de relaciones descritas con palabras, smbolos, tablas, conjuntos de pares ordenados y grficas.IntroduccinLas relaciones y las funciones describen la interaccin entre variables que estn ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. Tambin incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango. El dominio de una funcin o relacin es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relacin puede tener. Es la coleccin de todas las entradas posibles.El rango de una funcin o relacin es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relacin puede producir. Es la coleccin de todas las salidas posibles.Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.Dominio y Rango: Ejemplos y NotacinEl dominio y el rango de una funcin estn normalmente limitados por la naturaleza de la relacin. Por ejemplo, considera la funcin de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo despus de que la atrapas es irrelevante, ya que la funcin slo aplica para la duracin del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante ste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, slo el valor inicial y el valor final.El rango es cada altura de la pelota mientras est en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto ms alto alcanzado antes que sta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia ms alta que alcanz fue de 12 pies tambin con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante ste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, slo el valor inicial y el valor final.Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aqu hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

Podemos crear una funcin a partir de stas usando el nmero de la figura como la entrada, y el nmero de cuadros que la conforman como la salida.Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene slo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 est formada de 9 cuadros. El dominio de sta funcin se obtiene contando el nmero de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de sta funcin son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la funcin del lanzamiento de la pelota. Slo hay 3 figuras y por lo tanto las nicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de sta funcin es 1, 2, 3. Podemos agrupar sta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.Dominio: {1, 2, 3}El rango es el nmero de cuadros en cada figura. Las figuras tienen slo 1, 5, o 9 cuadros, y se es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro nmero de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.Rango: {1, 5, 9}Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque slo nos proporcionaron 3 figuras. Cmo sera la notacin del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrn continuara indefinidamente? Fcil! Slo aadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia contina, as:Dominio: {1, 2, 3, }Rango: {1, 5, 9, }Jamie vende pasteles caseros en $15 cada uno. La cantidad de dinero que gana es una funcin de cuntos pasteles puede vender: $0 si no vende ninguno, $15 si slo vende uno, $30 si vende 2, y as sucesivamente. Cules son el dominio y el rango de la funcin? A) Dominio: {0, 15, 30, } Rango: {0, 1, 2, }

B) Dominio: {0, 1, 2, } Rango: {0, 15, 30, }

C) Dominio: {0, 1, 2} Rango: {0, 15, 30}

D) Dominio: todos los nmeros mayores o iguales a 0

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A) Dominio: {0, 15, 30, } Rango: {0, 1, 2, }Incorrecto. El nmero de pasteles es la entrada, y la cantidad de dinero es la salida de la funcin. Esto significa que el dominio es la cantidad posible de pasteles, y el rango la cantidad posible de ganancias obtenidas por vender esos pasteles. La respuesta correcta es: Dominio: {0, 1, 2, } Rango: {0, 15, 30, }.B) Dominio: {0, 1, 2, } Rango: {0, 15, 30, }Correcto. El nmero de pasteles que puede vender es la entrada, y sta puede ser cualquier nmero entero desde 0. El dinero que obtiene de esos pasteles es siempre un mltiplo de 15: 0 por 0 pasteles, 15 por 1 pastel, 30 por dos, y as sucesivamente. Si bien hay un lmite prctico de cuntos pasteles puede cocinar Jamie, siempre podemos relacionar la cantidad de dinero con el nmero de pasteles, por lo que usamos tres puntos para mostrar que el patrn contina.C) Dominio: {0, 1, 2} Rango: {0, 15, 30}Incorrecto. El dominio y el rango continan ms all de esos valores Jamie puede vender ms de 2 pasteles y como resultado puede ganar ms de $30. Debes incluir todos los valores posibles aadiendo tres puntos al final de cada secuencia para indicar que el patrn contina. La respuesta correcta es: Dominio: {0, 1, 2, } Rango: {0, 15, 30, }.D) Dominio: todos los nmeros mayores o iguales a 0Incorrecto. Jamie no vende fracciones de pastel, por lo que las nicas entradas posibles son nmeros enteros y las nicas salidas posibles son mltiplos de $15. La respuesta correcta es: Dominio: {0, 1, 2, } Rango: {0, 15, 30, }.

Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares OrdenadosLas relaciones tambin pueden ser mostradas como tablas o como conjuntos de pares ordenados. Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y cuando recordemos qu es lo que significan los trminos. Si una relacin matemtica es dada en una tabla, los valores independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras que los valores dependientes normalmente se ponen en la columna derecha.. ValorIndependienteValorDependiente

-17

2-3

56

94

El dominio se puede encontrar al leer la primera columna {-1, 2, 5, 9}. El rango es todos los valores de la segunda columna {7, -3, 6, 4}.Cuando se trata de conjuntos de pares ordenados, simplemente necesitamos separar los pares en coordenadas x y coordenadas y. Ya que las coordenadas x conforman los valores independientes, nos dan el dominio. Las coordenadas y son los valores dependientes, lo que significa que son el rango. Intentmoslo.En el conjunto de pares ordenados {(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}, el dominio es el conjunto de los primeros nmeros de cada par (esos son las coordenadas x): {-2, 0, 2, 4}. El rango es el conjunto de los nmero que conforman el segundo componente de cada par (esos son las coordenadas y): {0, 6, 12, 18}.{(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}Dominio: {-2, 0, 2, 4}.Rango: {0, 6, 12, 18}Esta tabla describe y como una funcin de x.

Cul de las siguientes respuestas describe correctamente el valor de 2?A) Es parte del rango.

B) Es una salida.

C) Es un valor dependiente.

D) Es parte del dominio.

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A) Es parte del rango.Incorrecto. Como y es una funcin de x, el rango est formado de los valores de y. Los valores de x son las entradas y conforman el dominio de la funcin. La respuesta correcta es que 2 forma parte del dominio.B) Es una salida.Incorrecto. Como y es una funcin de x, los valores de x son las entradas y conforman el dominio de la funcin. La respuesta correcta es que 2 forma parte del dominio.C) Es un valor dependiente.Incorrecto. Como y es una funcin de x, los valores de x son entradas, no salidas. En conjunto forman el dominio de la funcin. La respuesta correcta es que 2 forma parte del dominio.D) Es parte del dominio.Correcto, Como y es una funcin de x, los valores de x son las entradas y conforman el dominio de la ecuacin. Entonces 2, que es un valor de x, es parte del dominio.

Dominio y Rango: GrficasTambin podemos representar funciones y relaciones con grficas. La cantidad independiente normalmente se grafica en el eje horizontal (x) lo que significa que los puntos en la coordenada x son el dominio. Como la cantidad dependiente normalmente se grafica en el eje vertical (y) , las coordenadas y conforman el rango. Veamos algunas grficas para entender cmo funciona esto.Primero, examina la grfica de puntos discretos. Los nicos valores que conocemos que satisfacen la ecuacin son los marcados con puntos. Simplemente leemos las coordenadas x, y los colocamos en un conjunto de valores que representan el dominio. Luego leemos las coordenadas y, y los ponemos en el rango. Para sta grfica, el dominio es {-2, 0, 2, 4}. Y el rango es {0, 6, 12, 18}.

Ahora veamos un tipo de grfica diferente, en el cual la funcin es una recta continua, que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. Esto significa que hay un nmero infinito de valores que son parte de la funcin. Para sta funcin, no hay restricciones para el dominio ni para el rango. Cualquier nmero real puede ser una entrada o una salida. Esto significa que todos los nmeros, enteros, fracciones y otros nmeros racionales, incluso nmeros irracionales, son parte del dominio y parte del rango. Como no podemos escribir todas estas posibilidades, simplemente decimos que el dominio y el rango son todos los nmeros reales.

En algunas situaciones slo uno de los dos, el dominio o el rango, est restringido. Considera la grfica del valor absoluto de la funcin, y = |x|. La lnea se extiende indefinidamente en ambas direcciones sobre el eje x, por lo que el dominio son todos los nmeros reales. Sin embargo, como el valor absoluto transforma cualquier valor negativo en uno positivo, no existen valores negativos en el rango. El rango est formado de todos los nmeros reales mayores o iguales a 0 aunque siguen siendo demasiados como para escribirlos todos.

SumarioLas funciones pueden definirse usando palabras, smbolos, grficas, tablas o conjuntos de pares ordenados, pero en cada caso las caractersticas son las mismas. El dominio es la entrada, el valor independiente es lo que entra a la funcin. El rango es la salida, el valor dependiente es lo que sale de la funcin. El dominio y el rango pueden estar limitados a unos pocos valores discretos o pueden incluir todos los nmeros reales, hasta el infinito y ms all.