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Limites y continuidad
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1
Bola o entorno de un punto
Sea Po(xo,yo) un punto del plano R2. Se denomina bola o entorno de centro Po y radio , al
conjunto de puntos P(x,y) del plano cuya distancia al punto Po es inferior a . Se designa por
E(Po, ), o bien, B(Po, ). Es decir:
E(Po, )=
2
o2
oo yyxx que talesy,xP,Pd que talesP 22 RR
Geométricamente, E(Po, ) es el conjunto de puntos interiores al círculo de
centro Po y radio .
El conjunto:
2
o2
oo yyxx que talesy,xP,Pd que talesP 22 RR ,
que representa geométricamente al conjunto de todos los puntos del círculo de centro Po y radio ,
incluida la circunferencia exterior, se le denomina bola o entorno cerrado de centro Po y radio . Se
designa por E (Po, ), o bien, B (Po, ).
Diremos que el punto A(x,y) del plano es un punto de acumulación de un conjunto DR2 si y
solo si todo entorno del punto A contiene puntos del conjunto D distintos de A.
Concepto de límite
Sean z=f(x,y) una función real de dos variables reales cuyo dominio es un subconjunto DR2 ,
L un número real y (xo,yo) un punto de acumulación del dominio D.
Diremos que el límite de la función z=f(x,y) cuando (x,y) tiende a (xo,yo) es el número L y
escribiremos
L)y,x(flímoo y,x)y,x(
si y solo si:
Para cualquier número >0, existe un número >0 tal que para todos los puntos (x,y)D, siendo
(x,y) (xo,yo), que verifiquen que d((x,y),(xo,yo))< entonces sus imágenes verifican que
d(f(x,y),L)< . Es decir:
L)y,x(flím
oo y,x)y,x(
oo y,xy)(x, todoque, tal0, ,0 con
L)y,x(fyyxx 2o
2o .
Continuidad en un punto
Una función z=f(x,y) es continua en un punto (xo,yo) si y solo si verifica las tres condiciones
siguientes:
1. Existe f(xo,yo), es decir (xo,yo) es un punto del dominio de la función.
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2. Existe
L)y,x(flímoo y,x)y,x(
, siendo L un número real finito.
3. L=f(xo,yo).
Teorema
Si f(x,y) y g(x,y) son dos funciones reales de dos variables reales tales que existen y son
finitos 1
y,x)y,x(L)y,x(flím
oo
y 2
y,x)y,x(L)y,x(glím
oo
, entonces se verifica:
1. Existe y es finito ( )
[ ]21
y,x→)y,x(L±L=)y,x(g±)y,x(flím
oo
.
2. Existe y es finito ( )
[ ]21
y,x→)y,x(LL=)y,x(g)y,x(flím
oo
.
3. Existe y es finito
1
y,x)y,x(y,x)y,x(kL)y,x(flímk)y,x(fklím
oooo
.
4. Si L20, entonces existe y es finito 2
1
y,x)y,x( L
L
)y,x(g
)y,x(flím
oo
.
Proposición
Los subconjuntos M de puntos del plano de la forma M= g(x)y que tales)y,x( 2R se
denominan caminos o líneas del plano R2, o en el plano R2.
Si el punto (xo,yo)M entonces se verifica que:
1. Si existe
L)y,x(flímoo y,x)y,x(
L)y,x(flím
M)y,x( y,x)y,x( oo
, o bien, no se puede calcular.
2. Si existen 1
M)y,x( y,x)y,x(
L)y,x(flím
1oo
y 2
M)y,x( y,x)y,x(
L)y,x(flím
2oo
; siendo M1 y M2 dos caminos del
plano R2 y:
i) L1L2, entonces podemos afirmar que no existe
)y,x(flímoo y,x)y,x(
ii) L1=L2=L, entonces no podemos afirmar que exista
L)y,x(flímoo y,x)y,x(
, solo podemos
afirmar que si dicho límite existiera su valor sería L
Luego el estudio de límites por caminos nos sirve para especular sobre su valor o negar su
existencia, pero en absoluto es concluyente sobre su existencia.
Límites reiterados
Dos caminos usuales para especular sobre el valor del límite de una función z=f(x,y) en un
punto (xo,yo), son los dos caminos determinados por dos lados del rectángulo de la figura :
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Estos dos caminos proporcionan los siguientes límites que se denominan límites reiterados:
2x→xy→y
1y→yx→x
L=)y,x(flímlímy L=)y,x(flímlímoooo
Cálculo de límites mediante coordenadas polares
Consiste en calcular
)y,x(flímoo y,x)y,x(
aplicando el cambio a coordenadas polares.
Para simplificar el proceso se acostumbra previamente a efectuar la traslación
0
0
y'yy
x'xx,
luego
)y,x(flímoo y,x)y,x(
)'y,'x(glím)0,0()'y,'x(
y aplicando el cambio
rseny'
rcosx' quedaría
)y,x(flím
oo y,x)y,x()'y,'x(glím
)0,0()'y,'x( = )senr,cosr(glím
0r
.
Si existe, sin depender de , el )senr,cosr(glím0r
=L, entonces existe
)y,x(flímoo y,x)y,x(
=L
Puede demostrarse también que, si
L-)y,x(flím0,0→)y,x(
( ),rh)r(glim0→r
, siendo 0=)r(glim0→r
y
( ),rh una función acotada, entonces ( )
L=)y,x(flím0,0→)y,x(
.
Criterio de la mayorante
Si (xo,yo) es un punto de acumulación del dominio de la función z=f(x,y) y
)y,x(flím
oo y,x)y,x(),r(glím
0r
=L, entonces
)y,x(flím
oo y,x)y,x(L )r(hL),r(g con tal que 0r si 0)r(h
Cálculo de límites
1. Si ),r(glím0r
=L sea cual sea R , entonces podemos afirmar que
)y,x(flímoo y,x)y,x(
L.
2. Si utilizando ciertos caminos en R2 (ya sea límites reiterados, límites radiales, parábolas, etc)
obtenemos que un posible valor de
)y,x(flímoo y,x)y,x(
puede ser L, debemos comprobar si esa
hipótesis es correcta confirmándolo, o bien verificando que efectivamente el límite en polares es L
sea cual sea R, o bien aplicando el criterio de la mayorante.
Ejemplo interesante de cálculo del límite en un punto de una función de dos variables
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Calcular el límite de la función f(x,y)=xy
x y
2
2 4, en el punto (0,0).
Resolución: Usaremos varios métodos para analizar su eficacia en este ejercicio concreto. 1. Como la variable y solo aparece con potencias pares, probamos a evaluar el valor del límite por
parábolas y2=mx. Entonces si existe el límite se verifica que:
lim
xy
x ylim
xmx
x mxlim
mx
x mlim
m
m
m
mx y x y x y x y, , , , , , , ,
0 0
2
2 4 0 0 2 2 0 0
2
2 2 0 0 2 21 1 1
Luego el límite de la función en el punto (0,0) depende de la parábola elegida y por tanto
podemos afirmar con rotundidad que:
42
2
0,0yx, yx
xylimexiste No
2. Si probamos a evaluar el límite mediante límites reiterados se obtiene:
lim limxy
x ylim
xlim
x y x y
0 0
2
2 4 0 2 0
00 0
lim limxy
x ylim
ylim
y x y y
0 0
2
2 4 0 4 0
00 0.
Con este método hubiéramos afirmado que el límite caso de existir valdría 0.
Para corroborar esta hipótesis (que ya sabemos falsa por 1) podríamos utilizar el método de la
mayorante o el cálculo del límite en coordenadas polares:
3. Cálculo del límite en coordenadas polares:
( ) ( )
2422
2
0→r4422
22
0→r42
2
0,0→y,x cos
0=
senr+cos
sencosrlim=
senr+cosr
senr cosrlim=
y+x
xylim . Esta expresión es
indeterminada si = 2
3
2, , . Luego el cálculo del límite mediante polares, en este caso, no nos
sirve para decidir la existencia o no del límite propuesto.
4. Criterio de la mayorante
2 2 2
2 2 4 4 2 2 4
r cos r sen r cos senf (x, y) 0 0
r cos r sen cos r sen
.
Ahora bien, cuando
0senr
0cos entonces ,0r además siy ,
1sen
0cos
2 2.
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Luego para el camino de valores de r tales que α
α=
2sen
cosr cuando
2
π→α es
2
1
coscos
cos
senrcos
sencosr22
2
422
2
=α+α
α=
α+α
αα. Por tanto:
( ) ( ) 42
2
0,0yx, yx
xylimexiste No
+→ .
En todo caso vemos que en este ejemplo es complicado hacer el estudio en polares
>> ezsurf('x*y^2/(x^2+y^4)',[-10,10,-10,10])
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
x
x y2/(x2+y4)
y
Otro ejemplo: Estudiar el límite de la función f(x,y)=22
2
yx
xy
−, en el punto (0,0).
1. Si probamos a evaluar el límite mediante límites reiterados se obtiene:
( ) 00limx
0lim
yx
xylimlim
0y20x22
2
0y0x==
=
− →→→→.
( ) 00limy
0lim
yx
xylimlim
0y20y22
2
0x0y==
−=
− →→→→.
Con este método solo podemos afirmar que el límite caso de existir valdría 0.
Para poder corroborar o no esta hipótesis vamos a utilizar el método de la mayorante.
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2. Criterio de la mayorante
α−α
αα=−
α−α
αα=−
22
2
2222
22
sencos
sencosr0
senrcosr
senrcosr0)y,x(f =
α−α
αα22
2
sencos
sencosr . Ahora bien
π+π
→α∞→α−α
ααk
4 si
sencos
sencos22
2
. Es decir, 0)y,x(f − no está acotada en las direcciones
π+π
=α k4
, por tanto el límite no es cero, luego:
( ) ( ) 22
2
0,0yx, yx
xylimexiste No
−→ .
>> ezsurf('x*y^2/(x^2-y^2)',[-10,10,-10,10])
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
10-100
-50
0
50
100
x
x y2/(x2-y2)
y
