DOSSIER RECUPERACIÓ REFORÇ DE MATEMÀTIQUES 3r ESO · Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un trapezi qualsevol, comparant-la amb la del rectangle, que ja coneixem: Suposem

DOSSIER

RECUPERACIÓ

REFORÇ DE

MATEMÀTIQUES

3r ESO

Nom______________________________________________________

INSTRUCCIONS:

- Aquest dossier serveix per a preparar la recuperació de la optativa de 3r: Reforç de

matemàtiques.

- S’ha de fer durant les vacances d’estiu.

- És obligatori lliurar-lo completament fet per recuperar la matèria, sense necessitat de fer

l’examen.

DOSSIER GEOMETRIA 3r REFORÇ MATES Nom__________________________________________________________________________

FITXA 1: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS RECTANGLES ÀREA D’UN RECTANGLE

L’àrea d’una figura geomètrica és la superfície que queda tancada entre els límits (contorn)

d’aquesta figura

Amb uns senzills exemples deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un rectangle qualsevol:

Fes les següents multiplicacions:

a) 7 x 3 =

b) 6 x 4 =

c) 4 x 5 =

Observa els següents rectangles i respon a

les preguntes:

a)

La base mesura ............ unitats

La altura mesura ............ unitats

El rectangle conté ............ quadrats

b)




c)




Si comparem els productes de la esquerra i els resultats de la dreta podem deduir que:

Quan multipliquem dos nombres naturals en realitat calculem l’àrea d’un rectangle de

base igual al primer nombre i altura igual al segon nombre. Per tant:

Àrea rectangle = base x altura (AR = b · h)


PERÍMETRE D’UN RECTANGLE

El perímetre d'una figura geomètrica és la longitud del seu contorn.

Fixa’t en el següent rectangle i contesta a les preguntes:


Quants costats en total mesuren el mateix que la base? :..........


Quants costats en total mesuren el mateix que la altura? :..........

Per a calcular el perímetre hem de sumar les longituds dels seus costats. Fes-ho:

Així deduïm que:

Quan sumem les longituds dels costats d’un rectangle hem de tindre en compte que hi ha

dos costats que mesuren com la base i altres dos que mesuren com la altura. Per tant:

Perímetre rectangle = 2 x base + 2 x altura (PR = 2b + 2h)

Exercicis: Calcula l’àrea i el perímetre dels següents rectangles (para atenció a les unitats): a) b) AR = AR = PR = PR =


FITXA 2: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS QUADRATS ÀREA D’UN QUADRAT

L’àrea d’una figura geomètrica és la superfície que queda tancada entre els límits d’aquesta figura

(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un quadrat qualsevol, comparant-la amb la del rectangle,

que ja coneixem:

Dibuixa un rectangle de base = 8 unitats,

altura = 5 unitats i calcula la seva àrea.

AR =

Dibuixa un rectangle de base = 7 unitats,

altura = 7 unitats i calcula la seva àrea.

AR =

Ara contesta les següents preguntes:

- En realitat quina figura geomètrica és la de la dreta? ........................................................

- Com són l’altura i la base de la figura de la dreta? ........................................................

- Com s’anomena la base d’un quadrat? ........................................................

- Com s’anomena l’altura d’un quadrat? ........................................................

- Si substituïm base i altura per costat, com queda la fórmula de l’àrea? .............................

Així deduïm que:

Un quadrat és un rectangle amb la mateixa longitud de base i altura i tots dos s’anomenen

costat. Per tant:

Àrea quadrat = costat x costat (AQ = c·c = c2)


PERÍMETRE D’UN QUADRAT


Fixa’t en el següent quadrat i contesta a les preguntes:



Quants costats en total mesuren el mateix que la base i la altura? :..........


Així deduïm que:

Quan sumem les longituds dels costats d’un quadrat hem de tindre en compte que els

quatre costats mesuren el mateix. Per tant:

Perímetre quadrat = 4 x costat (PQ = 4c)

Exercicis: Calcula l’àrea i el perímetre dels següents quadrats (para atenció a les unitats):

a) b) AQ = AQ = PQ = PQ =


FITXA 3: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS TRIANGLES ÀREA D’UN TRIANGLE


(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un triangle qualsevol, comparant-la amb la del rectangle,

que ja coneixem:

Suposem que ens demanen calcular

l’àrea d’aquest triangle:

1r → construïm un rectangle amb la Quina és l’ àrea del rectangle?

mateixa base (b) i altura (h) → AR =

2n → Dibuixem el triangle dins del

rectangle

3r → Retallem el triangle i el comparem amb els trossos que ens han sobrat.

Com són? →

Quina és l’ àrea del triangle com-

parada amb la del rectangle?

Àrea del triangle Àrea sobrant → AT =

Hem deduït que:

Un triangle té la meitat d’àrea que un rectangle d’igual base i altura. Per tant:

Àrea triangle = base x altura (AT = b · h ) 2 2


PERÍMETRE D’UN TRIANGLE


En el cas del triangle el càlcul és molt senzill si coneixem els tres costats:

Però no sempre ens donen totes les dades i hem de deduir-les:

TRIANGLE EQUILÀTER TRIANGLE ISÒSCELES TRIANGLE ESCALÉ

Calcula el perímetre de: Calcula el perímetre de: Calcula el perímetre de:

28 cm 12 m 15 m

18 m

PT = PT = PT =

El perímetre d’un triangle és la suma dels seus costats. Per tant:

Perímetre triangle = costat a + costat b + costat c (PT = a + b + c)

Exercicis: Calcula l’àrea dels següents quadrats (para atenció a les unitats): a) AT = b) AT = c) AT =


FITXA 4: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS ROMBES ÀREA D’UN ROMBE


(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un triangle qualsevol, comparant-la amb la del rectangle,

que ja coneixem:


l’àrea d’aquest rombe:

1r → construïm un rectangle amb: Quina és l’ àrea del rectangle?

→ La base = Diagonal major del rombe → AR =

→ L’altura = diagonal menor del rombe

2n → Dibuixem el rombe dins del

rectangle

3r → Retallem el rombe i el comparem amb els trossos que ens han sobrat:

Com són? →

Quina és l’ àrea del rombe com-


Àrea del triangle Àrea sobrant → AR =

Hem deduït que:

Un rombe té la meitat d’àrea que un rectangle de base igual a la Diagonal major i altura

igual a la diagonal menor del rombe. Per tant:

Àrea rombe = Diagonal major x diagonal menor (AR = D · d ) 2 2


PERÍMETRE D’UN ROMBE


Fixa’t en el següent rombe i contesta a les preguntes:

Si un costat mesura c unitats...

Quant mesuren la resta?:.....................


Així deduïm que:

Quan sumem les longituds dels costats d’un rombe hem de tindre en compte que els

quatre costats mesuren el mateix. Per tant:

Perímetre rombe = 4 x costat (PR = 4c)

Exercicis: Calcula l’àrea i el perímetre dels següents rombes (para atenció a les unitats): a) b) AR = AR = PR = PR =


FITXA 5: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS ROMBOIDES ÀREA D’UN ROMBOIDE


(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un romboide qualsevol, comparant-la amb la del

rectangle, que ja coneixem:


l’àrea d’aquest romboide:


mateixa base (b) i altura (h) → AR =

2n → Dibuixem el romboide dins del

Rectangle:

3r → Retallem el sobrant del romboide, el col·loquem a l’altre costat i comparem amb el rectangle:

Com són? →

Quina és l’ àrea del romboide com-


Retallem... i el col·loquem a l’altre costat → AR =

Hem deduït que:

L’àrea d’un romboide és la mateixa que la d’un rectangle d’igual base i altura. Per tant:

Àrea romboide = base x altura (AT = b · h )


PERÍMETRE D’UN ROMBOIDE


Fixa’t en el següent romboide i contesta a les preguntes:

Quants costats en total mesuren el mateix que la base? :..........

Quants costats en total mesuren el mateix que la altura? :..........

Si la base mesura b unitats i el costat lateral mesura c unitats,

quant mesurarà l’àrea del romboide? Calcula’l:

Així deduïm que:

Quan sumem les longituds dels costats d’un romboide hem de tindre en compte que hi ha

dos costats que mesuren com la base i altres dos que mesuren com el costat lateral.

Per tant:

Perímetre romboide = 2 x base + 2 x costat lateral (PR = 2b + 2c)

Exercicis: Calcula l’àrea i el perímetre dels següents romboides (para atenció a les unitats): a) b) 5 cm 3 dam 3,5 dam 8 dam

AR = AR = PR = PR =


FITXA 6: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS TRAPEZIS ÀREA D’UN TRAPEZI


(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un trapezi qualsevol, comparant-la amb la del rectangle,

que ja coneixem:


l’àrea d’aquest trapezi:


base igual a la suma de la base major i → AR =

la base menor del trapezi base = B + b

i la mateixa altura (h)

2n → Ara agafem dos trapezis, girem un

i els col·loquem formant un romboide

3r → Dibuixem els dos trapezis dins del

rectangle:

4t → Retallem el sobrant del trapezi, el col·loquem a l’altre costat i comparem amb el rectangle:

Com són? →

Quina és l’ àrea dels dos trapezis

comparada amb la del rectangle?

Retallem... i el col·loquem a l’altre costat → A2T =

Quina serà l’àrea d’un trapezi?

→ AT =

Hem deduït que:

L’àrea d’un trapezi és la meitat que la d’un rectangle amb:

- base = la suma de les dues bases del trapezi

- altura = l’altura del trapezi. Per tant:

Àrea trapezi = (base major + base menor) x altura (AT = (B + b) · a ) 2 2


PERÍMETRE D’UN TRAPEZI


En el cas del trapezi el càlcul és molt senzill si coneixem els quatre costats:

Però no sempre ens donen totes les dades i hem de deduir-les:

TRAPEZI RECTANGLE TRAPEZI ISÒSCELES TRAPEZI ESCALÉ

Calcula el perímetre de: Calcula el perímetre de: Calcula el perímetre de:

10 dm 35 m 2,8 cm

8 dm 9 dm 15 m 17m 2,2 cm 2 cm 2,4 cm

15dm 45 m 3,6 cm

PT = PT = PT =

El perímetre d’un trapezi és la suma dels seus costats. Per tant:

Perímetre triangle = base major + base menor + costat a + costat c

(PT = B + b + a + c)

Exercicis: Calcula l’àrea dels següents quadrats (para atenció a les unitats): a) b) c)

10 dm 35 m 2,8 cm

8 dm 9 dm 15 m 17m 2,2 cm 2 cm 2,4 cm

15dm 45 m 3,6 cm

AT = AT = AT =


FITXA 7: DEDUCCIÓ DE L’ÀREA I EL PERÍMETRE DELS POLÍGONS REGULARS ÀREA D’UN POLÍGON REGULAR


(el seu contorn)

Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un polígon qualsevol, fent servir l’àrea dels triangles,

que ja coneixem:

Suposem que ens demanen calcular → nombre de costats → n = ....

l’àrea d’aquest polígon regular (en → costat → c

aquest cas un hexàgon) → apotema → a

1r → Podem trencar la figura en n tri- En quants triangles hem

angles iguals trencat el hexàgon?

→ .....................

Amb quin nombre coincideix?

→ ....................

2n → Calculem l’àrea de cada triangle Quina és l’àrea del triangle?

→ La base és el ................ del polígon → AT =

→ La altura és la ................ del polígon

Per tant, l’àrea del pentàgon quantes vegades serà l’àrea del triangle? :...............................

→ Quina és la fórmula de l’àrea del pentàgon? → AT =

→ I la fórmula de l’àrea d’un polígon qualsevol de n costats? → AT =

Hem deduït que:

L’àrea d’un polígon regular de n costats és n vegades l’àrea d’un triangle amb:

- base = costat del polígon

- altura = apotema del polígon. Per tant:

Àrea polígon = nombre de costats x costat x apotema (APR = n·c·a ) 2 2


PERÍMETRE D’UN POLÍGON REGULAR


Fixa’t en el següent hexàgon i contesta a les preguntes:

Si un costat mesura c unitats...

Quant mesuren la resta? :.....................

Quants costats té aquest hexàgon? n = ...............


Així deduïm que:

Per a calcular perímetre d’un polígon regular hem de tindre en compte que tots els costats

són iguals. Per tant hem de multiplicar la longitud del costat (c) pel nombre de costats del

polígon (n):

Perímetre polígon regular = nombre de costats x costat (PPR = n x c)

Exercicis: Calcula l’àrea i el perímetre dels següents polígons (para atenció a les unitats):

a) b) 5,5 cm 5 cm 9 dam 8 dam

APR = APR = PPR = PPR =


FITXA 8: COMPROBACIÓ DE L’ÀREA DEL CERCLE I LA LONGITUD DE CIRCUMFERÈNCIA ÀREA D’UN CERCLE


(el seu contorn)

L’àrea d’un cercle es calcula amb la següent fórmula:

Àrea cercle = “pi” x radi al quadrat (AC = π·r2)

Amb π = nombre “pi” π = 3,1416... Nosaltres agafarem π = 3,14

r = radi del cercle

A continuació demostrarem que aquesta fórmula es compleix:

1r Dibuixa un cercle de radi = 8cm (cada quadre té un costat de 1cm)

2n Ratlla els quadres que queden dins del cercle

3r Calcula l’àrea de cada quadrat en centímetres i multiplica pel nombre de quadrats

4t → Calcula l’àrea del cercle mitjançant la fórmula

5é → Compara els dos resultats

AQUADRAT = Nombre de quadrats = A TOTAL = ACERCLE = Conclusió:


LONGITUD DE CIRCUMFERÈNCIA


El perímetre d’un cercle (longitud de circumferència) es calcula amb la següent fórmula:

Perímetre circumferència = 2 x “pi” x radi (PC = 2·π·r) Amb π = nombre “pi” π = 3,1416... Nosaltres agafarem π = 3,14

r = radi del cercle

A continuació demostrarem que aquesta fórmula es compleix:

1r Dibuixa el contorn d’una goma elàstica amb un llapis.

2n Mesura el diàmetre i divideix entre 2 per trobar el radi

3r → Calcula la longitud de circumferència fent servir la fórmula

4t → A continuació talla la goma i mesura la seva longitud amb un regle

5é → Comprova si les dos longituds coincideixen

Diàmetre = Radi = LCIRCUM. = Longitud goma = Conclusió

Exercicis: Calcula l’àrea i la longitud de circumferència dels següents cercles:

a) b) APR = APR = PPR = PPR =


FITXA 9: PROBLEMES DE FIGURES COMPOSTES Exercici 1: Calcula l’àrea de la següent figura composta:

Exercici 2: Calcula l’àrea de la següent figura composta:




Exercici 5: Una porta té les següents dimensions. Calcula l’àrea:

Exercici 6: Calcula l’àrea del següent cor:


Exercici 5: Calcula l’àrea de les zones ombrejades: a) b) Exercici 6: La roda d’una bicicleta té un diàmetre interior de 80cm. Si té un radi cada 5cm, quants

radis tindrà?


Exercici 7: Calcula l’àrea del polígon irregular fent servir la triangulació:

Exercici 8: Triangula la figura i calcula la seva àrea sabent que la distància entre punts és d’un

centímetre:


TAULA RESUM DE’ÀREES I PERÍMETRES

FIGURA ELEMENTS PERÍMETRE ÀREA

Quadrat c = costat

P = 4·c

A = c2

Rectangle b = base h = altura

P = 2b + 2h

A = b·h

Triangle b = base h = altura c = costat a = costat

P = a + b + c

A = b·a 2

Rombe

D = diagonal major d = diagonal menor c = costat

P = 4·c

A = D·d 2

Romboide b = base h = altura c = costat

P = 2b + 2c

A = b·h

Trapezi

B = base major b = base menor h = altura c = costat a = costat

P = B + b + a + c

A = (B + b)·h 2

Polígon regular

n = nombre de costats c = costat a = apotema

P = n·c

A = n·c·a 2

Cercle

r = radi D = diámetre

P = 2·π·r

A = π·r2

semicercle

r = radi D = diàmetre

L corona circular = π·r

A = π·r2 2

Sector circular

r = radi D = diàmetre α = angle

L corona circular = 2·π·r·α

360

A = π·r2·α

360

DOSSIER TEOREMA DE PITÀGORES 3r ESO REFORÇ MATES

Nom__________________________________________________________________________

RECORDATORI DE GEOMETRIA

CLASSIFICACIÓ D’ANGLES

angle < 90º angle = 90º angle > 90º angle = 180º angle = 360º Ex1: Digues quin tipus d’angle és i quant mesura.

2

TEOREMA DE PITÀGORES

A. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA

En tot triangle rectangle tenim:

a: la hipotenusa, es pot reconèixer amb dos trucs:

És el costat més llarg

Està enfront de l’angle recte

b y c: els catets

Ex3: Assenyala la hipotenusa dels següents triangles rectangles:

El teorema de Pitàgores ens diu que en tot triangle rectangle es compleix que:

“El quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets”

a2 = b2 + c2

Ho demostrarem geomètricament:

Construïm tres quadrats en cada cara del triangle L’àrea de cada quadrat és:

Costat a (hipotenusa) Aa = a2

Costat b (catet) Ab = b2

Costat c (catet) Ac = c2

Es compleix que: Aa = Ab + Ac Per tant demostrem que: a2 = b2 + c2

3

B. UTILITAT DE PITÀGORES

S’aplica només a triangles rectangles.

Coneguts dos costats d’un triangle, serveix per a trobar el costat que falta.

a= hipotenusa

b= catet

c= catet

a) Podem trobar la hipotenusa si coneixem els catets.

b) Si coneixem la longitud d'un catet i la de la hipotenusa, podem determinar l'altre catet.

4

C. PROBLEMES

Ex4. Una escala de longitud 3,7m està recolzada a 1,2 m de la paret, a quina alçada arriba?

Ex5. El Jaume vol construir una vela en forma de triangle rectangle per a la seva planxa de windsurf. Un cop acabada mesura els tres costats i fan 8, 15 i 17 dm. Ha construït correctament la vela?

Ex6. En una piscina hi ha un tobogan amb una escala de 3m d'altura, de manera que la distància del peu de l'escala al punt més baix del tobogan és de 4m. Quant mesura el tobogan?

Ex7. Volem fer dos finestrons per cobrir la paret d'un àtic. La paret de l'àtic mesura 7 m de llargària i 2,5 metres d'altura. Quina serà la hipotenusa d’una de les finestres triangulars?

5

(7.2) APLICACIONS GEOMÈTRIQUES

A. Diagonal d'un quadrat o un rectangle

Exemple. El costat d'un quadrat mesura 2.6 cm, quant mesura la diagonal?

Ex8. En una finca que ocupa una superfície rectangular s'hi ha construït un camí que la travessa en diagonal. Si les dimensions de la finca són 3 km i 1,5 km, quina longitud té el camí?

Ex9. Una tele mesura 37,5 polzades de llargària i 26,5 polzades d’alçària. Si sabem que les televisions es classifiquen segons la longitud de la diagonal, de quantes polzades es la tele?

B. Altura d'un triangle equilàter o isòsceles

Exemple. El costat desigual d'un triangle isòsceles fa 10 cm, i els costats iguals fan 13 cm. Calcula l'altura d'aquest triangle.

Ex10. Quina és l'altura d'un triangle isòsceles de costats iguals 8 cm i costat desigual 5 cm?

6

Ex11. Trobeu l'altura d'un triangle equilàter el costat del qual mesura 12 cm.

C. Apotema d'un hexàgon regular

Exemple. Quina és l'apotema d'un hexàgon regular de costat 2cm?

Ex12. Quina és l'apotema d'un hexàgon regular de costat 6m?

D. Altres aplicacions geomètriques

Ex13. En un rombe de diagonals 12cm i 16 cm, quant mesuren els costats?

Ex13. Disposem de rajoles quadrades que fan 18.2 cm de costat i volem enrajolar la paret, però volem posar les rajoles "en forma de rombe". Quantes rajoles haurem de posar, en cada filera si la paret fa 7.6 metres de llargària?

1

DOSSIER T8 COSSOS GEOMÈTRICS 3r REFORÇ MATES

Nom__________________________________________________________________________

A. CLASSIFICACIÓ COSSOS GEOMÈTRICS

COSSOS GEOMÈTRICS

POLIEDRES (formats per polígons plans)

o PRISMES: Tenen dues cares iguals i paral·leles (bases) unides per cares laterals

rectangulars

o PIRÀMIDES

o POLIEDRES REGULARS : es cares són figures planes regulars i iguals

Tetraedre Hexaedre Octaedre Dodecaedre Icosaedre

COSSOS DE REVOLUCIÓ (tenen un eix entorn al qual gira una figura plana)

o CILINDRES (un rectangle (o quadrat) girant entorn a l’eix)

o CONS (un triangle girant entorn a l’eix)

o ESFERES (un semicercle girant entorn a l’eix)

2

B. PRISMES RECTES

Elements:

Identifica en el dibuix les següents parts dels prismes:

- Alçada

- Bases

- Cares laterals

- Arestes bàsiques

- Arestes laterals

Desenvolupament, superfície i àrea d’un prisma recte:

Si ens fixem en el desenvolupament d’aquest prisma rectangular podem calcular:

Àrea prisma = 2·A base + n·A cares laterals amb:

- A base = àrea de la base (en aquest cas la del pentàgon de costat c)

- n = nombre de costats de la base (en aquest cas 5, perquè és un pentàgon)

- A cares laterals = àrea de les cares laterals (en aquest cas la del rectangle de base c i altura h)

Volum prisma = A base·h amb:

- A base = àrea de la base (en aquest cas la del pentàgon de costa c)

- h = alçada

3

Exercici 1: Donat el següent prisma triangular calcula:

Dades: - costat de la base: 5cm

- alçada del prisma: 8cm

a) Dibuixa les dades en el prisma desenvolupat (dibuix de l’esquerra)

b) L’àrea de la base:

c) L’àrea ‘una cara lateral:

d) L’àrea total:

e) El volum del prisma:

4

ExercicI 2: Donat el següent prisma quadrat calcula:

Dades: - costat de la base: 3mm

- alçadaa del prisma: 10mm

a) Dibuixa les dades en el prisma desenvolupat (dibuix de l’esquerra)

b) L’àrea de la base:

c) L’àrea ‘una cara lateral:

d) L’àrea total:

e) El volum del prisma:

5

Exercici 3

6

Exercici 4

Exercici 5

Documents

DOSSIER RECUPERACIÓ REFORÇ DE MATEMÀTIQUES 3r ESO · Deduirem quina és la fórmula de l’àrea d’un trapezi qualsevol, comparant-la amb la del rectangle, que ja coneixem: Suposem