Dpto de Matemáticas. IES García Bernalt. Salamanca

MATEMATICAS I I

CONTENIDOS

Unidad 1 - Sistemas de ecuaciones lineales. Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado. - Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas. - Sistemas escalonados. Método de Gauss. Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss. - Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro. Discusión de un sistema de ecuaciones. - Resolución de problemas mediante ecuaciones Unidad 2

- Matrices. Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular...

- Operaciones con matrices. - Suma, producto por un número, producto. Propiedades. - Matrices cuadradas. Matriz unidad. Matriz inversa de otra. - n-uplas de números reales. Dependencia e independencia lineal. Propiedad fundamental. - Rango de una matriz. Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro. Unidad 3 - Determinantes de órdenes dos y tres. Propiedades. Cálculo por la regla de Sarrus. - Determinantes de orden n. Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una

matriz cuadrada. Propiedades. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. - Rango de una matriz mediante determinantes Unidad 4 - Teorema de Rouché. Aplicación a la discusión de sistemas de ecuaciones. - Regla de Cramer. Aplicación a la resolución de sistemas. - Sistemas homogéneos. Resolución de sistemas homogéneos. - Discusión de sistemas. Aplicación de Rouché y Cramer a sistemas dependientes de parámetros. - Cálculo de la inversa de una matriz - Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. Resolución. Unidad 5 - Vectores en el espacio. Operaciones. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Base. - Producto escalar de vectores. Propiedades. Expresión analítica. - Módulo de un vector. Propiedades. Ángulo formado por dos vectores. Perpendicularidad de dos vectores. - Producto vectorial de vectores. Propiedades. Expresión analítica. Cálculos.

- Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Expresión analítica. Cálculos. Unidad 6 - Sistema de referencia en el espacio. Coordenadas de un punto. Sistema de referencia ortonormal. - Aplicación de los vectores a problemas geométricos (simétrico, alineados, división de un segmento) - Ecuaciones de una recta. Vectorial, paramétricas y continua de la recta. Posiciones relativas. - Ecuaciones de un plano. Ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita de un plano. Vector normal.

- Estudio de la posición relativa de dos o más planos. De un plano y una recta. Unidad 7 - Ángulos de rectas y planos - Distancia entre puntos, rectas y planos - Área de un triángulo y volumen de un paralelepípedo - Estudio de la esfera Unidad 8 - Sucesiones. Límite de una sucesión. El número e.

- Límite de una función. Límite de una función cuando x→+∞, x→ - ∞, x→a. Representación gráfica. - Expresiones infinitas. Operaciones. Indeterminación. Expresiones indeterminadas.

- Cálculo de límites: inmediatos, cuando x→+∞, x→ - ∞., cuando x→ a-, x→ a+, x→ a de cociente de polinomios o de otras expresiones infinitas, de diferencia de expresiones infinitas, de el número e.

- Continuidad. Discontinuidades. Tipos de discontinuidad. - Continuidad en un intervalo. Teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass. Aplicaciones de Bolzano. Unidad 9 - Derivada de una función en un punto Tasa de variación instantanea. Interpretación. Derivadas laterales. - Función derivada. Derivadas sucesivas. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto. - Reglas de derivación

- Diferencial de una función Aplicaciones. Unidad 10 - Aplicaciones de la primera derivada: tangente en un punto. Crecimiento. Puntos singulares. Optimización. - Aplicaciones de la segunda derivada. Función cóncava o convexa. Puntos de inflexión. - Regla de L’Hôpital. Cálculo de límites.

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- Teoremas de Rolle y del valor medio. Aplicaciónes. Unidad 11 - Herramientas básicas para la construcción de curvas: Dominio, simetrías, periodicidad, asíntotas y ramas

parabólicas, puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes... - Representación de funciones polinómicas, racionales. Unidad 12 - Primitiva de una función. Obtención de primitivas de funciones elementales. - Cambio de variables bajo el signo integral. Obtención de primitivas mediante cambio de variables. - Integración “por partes”. Cálculo de integrales “por partes”. - Cálculo de la integral de una función racional descomponiéndola en fracciones elementales. Unidad 13 - Integral definida. Concepto. Propiedades. Expresión del área mediante una integral. - Relación de la integral con la derivada. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. - Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Unidad 1 - Conoce lo que significa que un sistema sea incompatible o compatible, determinado - indeterminado, y aplica este conocimiento para formar un sistema de un cierto tipo o para reconocerlo. - Interpreta geométricamente sistemas lineales de 2, 3 ó 4 ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas. - Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. - Discute sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro por el método de Gauss. - Expresa algebraicamente un enunciado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelve e interpreta la

solución dentro del contexto del enunciado. Unidad 2 - Realiza operaciones combinadas con matrices. Calcula el rango de una matriz numérica. - Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o sus columnas. - Expresa un enunciado mediante una relación matricial y, en ese caso, lo resuelve e interpreta la solución. Unidad 3 - Calcula el valor de un determinante u obtiene la expresión de un determinante 3x3 con alguna letra. - Obtiene un determinante con variables haciendo uso razonado de las propiedades de los determinantes. - Halla el rango de una matriz numérica mediante determinantes. - Discute el valor del rango de una matriz en la que interviene un parámetro. Unidad 4 - Reconoce la existencia o no de la inversa de una matriz y la calcula en su caso. - Aplica el teorema de Rouché para discutir un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos. - Aplica la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 2x2 ó 3x3, con solución única. - Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro. Unidad 5 - Realiza operaciones con vectores, manejando correctamente la dependencia e independencia lineal.

- Domina el producto escalar de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades.

- Aplica el producto escalar a la resolución de problemas geométricos (módulo de un vector, ángulo de dos vectores, vector proyección de un vector sobre otro, perpendicularidad de vectores).

- Domina el producto vectorial de dos vectores y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (vector perpendicular a otros dos, área del paralelogramo determinado por dos vectores).

- Domina el producto mixto de tres vectores y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (volumen del paralelepípedo o si tres vectores son linealmente independientes).

Unidad 6 - Representa puntos de coordenadas en un sistema de referencia ortonormal.

- Utiliza los vectores para resolver algunos problemas geométricos: puntos de división de un segmento en partes iguales, comprobación de puntos alineados, simétrico de un punto respecto a otro...

- Resuelve problemas afines entre rectas (pertenencia de puntos, paralelismo, posiciones relativas). - Resuelve problemas afines entre planos (pertenencia de puntos, paralelismo...) Unidad 7 - Calcula los ángulos entre rectas y planos. Halla la distancia entre dos puntos o de un punto a un plano. - Halla la distancia de un punto a una recta mediante el plano perpendicular a la recta que pasa por el

punto, o bien haciendo uso del producto vectorial. - Halla la distancia entre dos rectas que se cruzan, justificando el proceso seguido. - Halla el área de un paralelogramo o de un triángulo. Halla el volumen de un paralelepípedo. - Halla el simétrico de un punto respecto de una recta o de un plano.

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- Resuelve problemas geométricos en los que intervengan perpendicularidades, distancias, ángulos, incidencia, paralelismo...

- Escribe la ecuación de una esfera a partir de su centro y su radio, y reconoce el centro y el radio de una esfera dada por su ecuación.

Unidad 8 - Calcula límites inmediatos que solo requieran conocer los resultados operativos y comparar infinitos.

- Calcula límites (x→+∞, x→ - ∞,) de cocientes o de diferencias y de potencias.

- Calcula límites (x→c) de cocientes,y de potencias. - Reconoce si una función es continua en un punto o el tipo de discontinuidad que presenta en él. - Determina el valor de un parámetro (o dos parámetros) para que una función definida “a trozos” sea

continua en el “punto (o puntos) de empalme”. - Enuncia el teorema de Bolzano en un caso concreto y lo aplica a la separación de raíces de una función. Unidad 9 - Halla la derivada de una función en un punto a partir de la definición.

Estudia la derivabilidad de una función definida “a trozos”. - Halla las derivadas de funciones no triviales. - Utiliza la derivación logarítmica para hallar la derivada de una función que lo requiera.

- Halla la derivada de una función implícita. Halla la derivada de una función conociendo la de su inversa. Unidad 10 - Dada una función explícita o implícita, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos.

- Dada una función, estudia si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión.

- Calcula límites aplicando la regla de L’Hôpital. - Aplica el teorema de Rolle o el del valor medio a funciones concretas, probando si cumple o no las

hipótesis y averiguando, en su caso, dónde se cumple la tesis. Unidad 11 - Representa funciones polinómicas, funciones racionales, funciones trigonométricas y exponenciales.

- Representa funciones en las que intervenga el valor absoluto. Unidad 12 - Halla la primitiva de una función elemental o de una función que, mediante simplificaciones adecuadas, se

transforme en elemental desde la óptica de la integración. - Halla la primitiva de una función utilizando el método de sustitución. - Halla la primitiva de una función mediante la integración por partes. - Halla la primitiva de una función racional cuyo denominador no tenga raíces imaginarias. Unidad 13 - Calcula el área bajo una curva entre dos abscisas. Calcula el área entre dos curvas. - Halla el área de una figura plana conocida obteniendo la expresión analítica de la curva que la determina e

integrando entre los límites adecuados. - Halla el volumen del cuerpo que se obtiene al girar un arco de curva alrededor del eje X.

CRITERIOS DE CALIFICACIÓN

Al finalizar cada tema o bloque de temas se realizara un examen que constara de algunas cuestiones relacionadas directamente con la teoría y cuestiones o problemas prácticos.

El alumno conocerá, cuales son los criterios concretos de corrección en cada ejercicio.

En general se valorará positivamente: El planteamiento correcto y la claridad de exposición.

La utilización del lenguaje matemático correcto.

Se valorará negativamente la falta de claridad en la exposición, el desorden y la ausencia de explicaciones.

No se tendrán en cuenta para una valoración positiva los conocimientos adquiridos en cursos anteriores si no sabe utilizarlos correctamente en el contexto que se le pide.

No se penalizarán los errores de cálculo numéricos siempre que se sea coherente con ellos, salvo que sean reiterados, o puedan parecer intencionados para simplificar el problema.

Si se penalizarán, rebajando la nota hasta un 25% en el ejercicio cada error de cálculo elemental, y teniendo en cuenta que si un ejercicio es de cálculo elemental un error en dicho cálculo penalizará la totalidad de la nota.

Se tendrá en cuenta la falta de asistencia injustificada, la actitud y el aprovechamiento en clase.

La nota de la evaluación será la correspondiente a los temas impartidos a lo largo de la misma, ponderando la importancia y extensión de los mismos teniendo en cuenta los siguientes porcentajes: Observaciones de la actividad de cada alumno, de sus actitudes en clase ante el trabajo, ante

los compañeros y ante el profesor: hasta un 10% de la nota. Control de los trabajos individuales o en grupo realizados por el alumno, teniendo en cuenta el

rigor y la expresión escrita adecuada al nivel correspondiente, presentación esmerada de los resultados. Control del cuaderno del alumno y del trabajo realizado en casa y en clase: hasta un 10% de la nota.

Dpto de Matemáticas. IES García Bernalt. Salamanca Realización de pruebas de carácter individual relativas a la adquisición y afianzamiento de los

conocimientos: desde un 80% de la nota.

Si en una evaluación hay dos o mas temas y en alguno de ellos el alumno no ha conseguido la puntuación suficiente para superarlo, la nota de la evaluación será insuficiente.

Se considera aprobada una evaluación cuando la nota obtenida es mayor o igual a 5 sobre 10.

Para superar la asignatura habrá que haber superado positivamente todas las evaluaciones.

La recuperación de los temas pendientes de cada evaluación se hará durante la evaluación siguiente. Esta norma general no es óbice para que si algún profesor lo cree conveniente y para alumnos que su progresión académica así lo aconseje, se realice una prueba global de suficiencia al final de curso.