Dpto. Electrónica y Electromagnetismo Oscar Guerra Vinuesa TEMA 4 Síntesis de Filtros Pasivos

Dpto. Electrónica y Electromagnetismo Oscar Guerra Vinuesa

TEMA 4

Síntesis de Filtros Pasivos


• Los primeros desarrollados cronológicamente• Necesidad de tres tipos de elementos diferentes (RLC)• Las resistencias de fuente y de carga suponen un modelo

adecuado• Al no haber disipación de potencia dentro de la bipuerta, los filtros

tienen unas magníficas características de sensibilidad• Las técnicas activas se basan en muchos casos en emulación

activa de escaleras pasivas RLC

Bipuerta LC(M)

(sin pérdidas)VS

RSRL

V 1

I1

V2

I2

Bipuerta LC(M)

(sin pérdidas)VS

RSRL

V 1

I1

V2

I2


• Proceso de síntesis:– Obtener, a partir de la función de transferencia, y tras elegir unos

valores de resistencias terminales, una descripción funcional de la bipuerta LC que necesitamos, normalmente en forma de parámetros de impedancia y/o admitancia.

– A partir de la descripción funcional de la bipuerta, y tras comprobar que dichas especificaciones son realizables, obtener la descripción a nivel eléctrico de la misma: su topología y los valores de los elementos.

Aproximaciones clásicas: especificaciones de magnitud y ceros de transmisión en jw: estructuras en escalera (tienen por definición sus C.T. en jw)

V1I1V2 I2

FILTRO PASIVO = FILTRO RLC = FILTRO LC DOBLEMENTE TERMINADO = FILTRO ESCALERA LC (DOBLEMENTE TERMINADO)


BIPUERTA V1

V1

I1

V2

I2

BIPUERTAV1

I1

V2

I2

V2

I1

I2

BIPUERTAV1

I1

V2

I1

I2

I2

Circuiteríaexterna

Puerta 1

CircuiteríaexternaPuerta 2

V1

z11

I1

z12

I2

+=

V2

z21

I1

z22

I2

+=

I1

y11

V1

y12

V2

+=

I2

y21

V1

y22

V2

+=

Representacioneshíbridas

Representaciónmediante parámetros

de impedancia

Representaciónmediante parámetros

de admitancia


V1

V2

z11 z12

z21 z22

I1

I2=

V Z I=

z11V 1

I1------

I2

0=

= z12V1

I2------

I1

0=

=

z21V 2

I1------

I2

0=

= z22V2

I2------

I1

0=

=

I1

I2

y11 y12

y21 y22

V1

V2=

I Y V=

y11I1

V1------

V2

0=

= y12I1

V2------

V1

0=

=

y21I2

V1------

V2

0=

= y22I2

V2------

V1

0=

=

z12 z21=

y12 y21=

Excitación en intensidad Excitación en tensión

Teorema de Reciprocidad

y11

y22

z11

z22

Admitancias

Impedancias


• Caracterización de monopuertas– Se caracterizan por su inmitancia (admitancia o impedancia). Son

inversas y por lo tanto si una es realizable, la otra también lo será.

• F(s) es realizable LC sii F(s) es función racional real y:

–

– Todos los polos de F(s) están en jw, son simples y con residuos reales y positivos

• Esto es válido tanto para Z(s) como para Y(s) (son inversas).

Re F j 0=


• Propiedades de las Inmitancias LC:– Polos y ceros imaginarios, puros y simples (incluídos s = 0 y s → ∞)

– Los residuos de los polos son reales y positivos

– Polos y ceros por pares complejo-conjugados (salvo s = 0 y s → ∞)

– F(s) es impar: F(s) = -F(-s)

–

– Orden(num) = orden(den) ± 1

– Polos y ceros de F(s) alternados en jw

– N(s) y D(s) tienen la forma:

– D(s) es par y N(s) es impar o viceversa

– En s = 0 y en s → ∞ habrá siempre o un cero o un polo.

F s ksk0

s-----

K1 s

s2

12

+-----------------

K2s

s2

22

+-----------------

Kns

s2

n2

+-----------------+ +++ +=

P s s s2

12

+ s2

22

+ =


• Realizaciones canónicas de inmitancias LC:– Trataremos de descomponer F(s) para que cada sumando se

corresponda con una L, una C o una asociación simple LC.• Suma de admitancias → asociación de elementos en paralelo• Suma de impedancias → asociación de elementos en serie

– Menor coste = menor número de elementos

– Realización canónica: coste mínimo (nº de elementos = nº de polos de la inmitancia)

– Más coste = más flexibilidad (restricciones adicionales)

Z s( ) sL kZs= = k

Z L=

Y s( ) 1sL------

kY0s

---------= = kY 0

1 L=

L

L kZ 1 k

Y 0= =

C Z s( )1

sC------

kZ0s

--------= = kZ0

1 C=

Y s( ) s C kYs= = k

Y C=

C kY 1 k

Z0= =


C

L

C

L

Z s( )1

sC1sL------+

-------------------

1C---- s

s2 1LC--------+

-------------------K

Zis

s2 i2+

-----------------= = =

KZi

1 C=

i

1

LC------------=

Y s( ) sC1s L------+ k

Ysk

Y 0s

---------+= =k

Y C=

kY0

1 L=

Z s( ) sL1

sC------+ k

Zsk

Z0s

--------+= =k

Z L=

kZ0

1 C=

Y s( )1

sL1

sC------+

-------------------

1L--- s

s2 1LC--------+

-------------------K

Y is

s2 i2+

-----------------= = =

KYi

1 L=

i

1

LC------------=

C kY 1 K

Zi= =

L 1 kY 0

KZi

i2= =

C 1 kZ0

KY i

i2= =

L kZ 1 K

Y i= =


• Síntesis de FOSTER:

– FOSTER 1: Realización basada en fracciones simples de Z(s)

– FOSTER 2: Realización basada en fracciones simples de Y(s)

F s ksk0

s-----

K1s

s2

12

+-----------------

K2s

s2

22

+-----------------

Kns

s2

n2

+-----------------+ +++ +=

1 kZ0

K

Z1

12

kZ

1 KZ1

KZn

n2

1 KZn

Z s( ) Y s( )

kY

1k

Y 0

---------Z s( ) Y s( )1

KY1

----------

KY1

12

----------

1K

Y n

----------

KY n

n2

----------

FOSTER 1

FOSTER 2


• Síntesis de CAUER:– En cada eliminación se elige el tipo de polo “contrario” al eliminado antes:

realización en escalera (un polo de admitancia: rama paralelo; un polo de impedancia: rama serie)

– a) CAUER 1: Eliminación de polos siempre en s → ∞

– b) CAUER 2: Eliminación de polos siempre en s = 0

1 kZ03

1 kY 02

Z s( ) Y s( )

1 kZ05

1 kY 04

1 kZ07

1 kY06

1 kZ01

kZ

3

kY

2

kZ

5

kY

4

kZ

7

kY

6

kZ

1

Z s( ) Y s( )

a)

b)


• Realizaciones no canónicas: eliminaciones parciales– Hasta ahora el circuito se implementa dando a cada elemento (o par de

elementos) el valor del residuo del correspondiente sumando: el polo desaparece totalmente de la inmitancia restante.

– Si se asocia sólo parte de este residuo, se genera una topología idéntica pero con valores de los elementos distintos y la inmitancia restante aún contiene el polo ya generado. Se habla entonces de eliminación parcial.

– La inmitancia restante tiene aún el sumando eliminado parcialmente pero con un valor menor

– Residuo parcial = [0 , residuo completo]

– Da lugar a realizaciones no canónicas porque empleamos 1 elemento (si la eliminación es en s = 0 ó s → ∞) o dos (polos finitos) sin por ello reducir el orden de la inmitancia.

– No debe usarse salvo en el caso de restricciones impuestas por situaciones externas porque conducen a circuitos más complejos


• Diagramas Polo-Cero: efecto de las eliminaciones– Eliminación parcial y total de un polo en infinito

F j( ) j f =

F 1 s( ) F s( ) ks–= ó f1( ) f ( ) k–=


• Diagramas Polo-Cero: efecto de las eliminaciones– Eliminación parcial y total de un polo en cero

G j( )1

F j( )-------------

1j f ----------------- j

1–f ----------- j g = = = =

G1 s( ) G s( )ks---–= ó g1 ( ) g ( )

k----–

–=


• Diagramas Polo-Cero: efecto de las eliminaciones– Eliminación parcial y total de un polo interno

F j( ) j f =

F1 s( ) F s( )Ks

s2 32+

-----------------–= ó f1( ) f ( )

K

32 2–

-------------------–=


• Diagramas Polo-Cero: efecto de las eliminaciones– Los ceros internos se mueven hacia la localización del polo eliminado total

o parcialmente

– Ningún polo se desplaza

– Los ceros en cero o infinito no se desplazan (salvo que sean los últimos que quedan)

– Los ceros internos en su desplazamiento nunca cruzan un polo adyacente

– El desplazamiento de cada cero es mayor cuanto más residuo eliminemos

– Cuanto más cerca está un cero del polo eliminado mayor es su desplazamiento (cuidado con el concepto de distancia)

– Eliminación total de un polo en cero o infinito:• El polo desaparece totalmente y el cero finito más cercano queda situado en la

posición del polo eliminado

– Eliminación total de un polo interno:• El polo desaparece junto con uno de sus ceros adyacentes, quedando el otro

cero adyacente en las cercanías de la posición del polo eliminado


• Realizabilidad LCM de Bipuertas

– Todos los elementos fij(s) de F(s) deben ser funciones racionales reales y la bipuerta debe ser recíproca:

– La expresión debe ser una función racional real positiva para todo a1 y a2 reales, con las mismas restricciones necesarias para que una inmitancia sea realizable LCM, es decir

• • Todos los polos de F(s) deben estar en jw, ser simples y con residuos reales

y positivos

– Haciendo a1 = 0 ó a2 = 0 se deduce que f11(s) y f22(s) deben cumplir las mismas condiciones que F(s) (lógico, son inmitancias)

– • Polos en el eje jw, simples y con residuos reales (no tienen porqué ser

positivos)

F s( )f11 s( ) f12 s( )

f21 s( ) f22 s( )=

f12 s( ) f21 s( )=

F s a12f11 s( ) 2a1a2f12 s( ) a 2

2f22 s( )+ +=

Re F j 0= a1 a2 2

f12 s( )1

2a1a2--------------F s

a1

2a2--------f11 s( )–

a2

2a1--------f22 s( )–=


• Condición de los residuos– Debe cumplirse en todos los polos

– Se deduce que todos los polos de f12(s) son necesariamente polos de f11(s) y de f22(s) mientras que lo contrario no tiene porqué ser cierto

k11 i k22 i k12 i2

– 0 i 1 m =


• Propiedades de los parámetros de inmitancias de bipuertas LC:– Polos y ceros de f11(s) y f22(s) y polos de f12(s) imaginarios, puros y

simples. Los ceros de f12(s) pueden tener parte real no nula y ser múltiples

– Los residuos de los polos de f11(s) y f22(s) son reales y positivos. Los de f12(s) son reales pero pueden ser negativos

– Todos los polos y ceros por pares complejo-conjugados (salvo s = 0 y s → ∞)

– Las funciones f11(s), f22(s) y f12(s) son todas impares

–

– Para f11(s) y f22(s) la diferencia en el orden entre num y den es +1 ó -1

– Polos y ceros de f11(s) y f22(s) alternados en jw

– N(s) de f11(s) y f22(s) y D(s) de las tres tienen la forma:

– D(s) es par y N(s) es impar o viceversa– En s = 0 y en s → ∞ habrá siempre o un cero o un polo.

f ij s k ij sk ij 0

s----------

Kij 1 s

s2

ij 12

+----------------------

Kij n s

s2

ij n2

+----------------------+++ +=

P s s s2

12

+ s2

22

+ =


• Clasificación de los polos de los parámetros de inmitancia– Polos compartidos: El residuo de los tres parámetros de inmitancia es

no nulo.

– Polos privados: Caso contrario

– No pueden existir polos privados de f12(s) (ver condición de los residuos)

– Un polo privado puede serlo de f11(s), de f22(s) o de ambos (considerarlo como dos polos privados en ese caso)

– Polos compactos: La condición de los residuos se cumple con una igualdad estricta

– Polos no compactos: Caso contrario

• Los polos compartidos pueden ser compactos o no• Los polos privados siempre son compactos salvo cuando son comunes a

f11(s) y f22(s) en cuyo caso son siempre no compactos


pi

k12 i

0 Polo Compartido (PC)

ó

k12 i

0= Polo Privado (PP)k

11 i 0 PP de f11

s( )

y/o y/o

k22 i 0 PP de f

22s( )

pi

k11 i

k22 i k

12 i2– 0= Polo Compacto

ó

k11 i k

22 i k12 i2– 0 Polo No Compacto

• Clasificación de los polos de los parámetros de inmitancia


• Caracterización de filtros LC pasivos doblemente terminados: parámetros de transducción

H j 2 P1

Pmax-----------

P2

Pmax-----------

4RS

RL----------

V 2 j( )

VS j( )-----------------

2= = =

H j 2 P1

Pmax-----------

P max Pr–

P max---------------------- 1

Pr

P max-----------–= = =

j( )2 Pr

Pmax-----------=

H j 21 j( )

2–=

K j 2 1

H j 2--------------------- 1–

Pmax

P1----------- 1–

P max P1–

P1-----------------------

Pr

P1-----= = = =

Coeficiente de reflexión


• Caracterización de filtros LC pasivos doblemente terminados: parámetros de transducción

H j 2 1

1 K j 2+

------------------------------ 1 j( )2

–= =

j( )2 K j 2

1 K j 2+

------------------------------ 1 H j( )2

–= =

K j 2 j( )2

1 j( )2

–---------------------------

1

H j 2--------------------- 1–= =

K j 2 j( )2

H j 2---------------------=

H j 2 4RSRe Zin j( )

RS Zin j( )+2

---------------------------------------- 1RS Zin j( )–

2

RS Zin j( )+2

------------------------------------–= =

j 2 Pr

Pmax-----------

RS Zin j( )–2

RS Zin j( )+2

------------------------------------= = K j 2 Pr

P1-----

RS Zin j( )–2

4RSRe Zin j( ) ----------------------------------------= =


• Relación entre parámetros de transducción y de inmitancia

H s 4RS

RL----------

V2 s( )

VS s( )-------------=

s RS Zin s( )–

RS Zin s( )+---------------------------=

K s s( )H s -----------=

Zin s( ) z11

z122

z22 RL+--------------------–=

z11 RSA p Kp–

Ai K i+-------------------=

z22 RLAp Kp+

Ai Ki+--------------------=

z12RSRL

Ai Ki+------------------=

y11 GSA p Kp+

Ai K i–--------------------=

y22 GLAp Kp–

Ai Ki–-------------------=

y12G SGL–

Ai Ki–----------------------=


• Relación entre parámetros de transducción y de inmitancia


• Realización de bipuertas LC en escalera– z11

– z22

– y11

– Y22

– Monopuerta ¿Bipuerta? (Necesitamos elegir la 2ª puerta)

– Hay que garantizar la realización simultánea de las 3 inmitancias

Inmitancia de síntesisz12

y12

zijyij

yij = Ii/Vj con Vi = 0 zij = Vi/Ij con Ii = 0


• Ceros de Transmisión y parámetros de Inmitancia

– Sintentizando la I.S. aseguramos que los polos de transinmitancia también se sintetizan correctamente (condición de los residuos)

– Los ceros de la transinmitancia deben crearse mediante la eliminación de los polos de la I.S.

– Sólo pueden existir TRES causas para la aparición de un cero de transmisión en filtros LC doblemente terminados:

• A) Un cero de transinmitancia• B) Un polo privado• C) Un polo compartido no compacto

– Un polo compartido compacto NUNCA crea un cero de transmisión!!

H s( )2 RSRLz12

RS z11+ RL z22+ z122

–----------------------------------------------------------------

2– GSGLy12

G S y11+ GL y22+ y122

–------------------------------------------------------------------= =


• Teoremas de Bader

– Inmitancias prescritas: los parámetros de inmitancia que se desean realizar

– Inmitancias realizadas: los parámetros de inmitancia que se miden sobre el circuito implementado

• Primer Teorema de Bader: – Si en el proceso de realización de la inmitancia de síntesis, todas las

eliminaciones parciales son seguidas por una eliminación total a la misma frecuencia, entonces los parámetros de inmitancia realizados tendrán una inmitancia en la otra puerta en la que todos sus polos son polos compartidos compactos



0 1 2 3 4

2

z12 s( )

2z11 s( )

P.R. 2y1 s( )

2y2 s( )

2z2 s( )

C.R.

C.R.

2z3 s( )

2y3 s( )

I.S.

Se usa como referencia para ver dónde están los ceros de transinmitancia



– Primer corolario del primer Teorema de Bader:

– Si en el proceso de realización de la inmitancia de síntesis se realiza alguna eliminación parcial a una frecuencia que no es polo de la inmitancia de síntesis, y esta eliminación parcial no es seguida por una eliminación total a la misma frecuencia, entonces los parámetros de inmitancia realizados tendrán un polo privado de la inmitancia de la otra puerta a esa frecuencia


0 2,322 3 z12 s( )

z11 s( )

y1 s( )

P.R.

y2 s( )

z2 s( )

C.R.

C.R.

C.R.

z3 s( )

y3 s( )

y4 s( )

2,37

2,41

z4 s( )

z5 s( )

P.R.

y5 s( )

0,79I.S.

Esta frecuencia no es polo de la I.S.

z22 realizada tendrá un PP

en ∞



– Segundo corolario al primer Teorema de Bader:

– Si en el proceso de realización de la inmitancia de síntesis se realiza alguna eliminación parcial a una frecuencia que sí es polo de la inmitancia de síntesis, y esta eliminación parcial no es seguida por una eliminación total a la misma frecuencia, entonces los parámetros de inmitancia realizados tendrán un polo compartido no compacto a esa frecuencia

0 y12 s( )

y11 s( )

y2 s( )

z2 s( )

P.R.

C.R.

1 21

1 18

P.C.N.C.

Esta frecuencia sí es polo de la I.S.

y22 realizada tendrá un

PCNP en ∞



– Segundo Teorema de Bader:

– Aquellos polos de la inmitancia de síntesis a cuya frecuencia no se haya realizado ninguna eliminación en el proceso de realización, serán polos compartidos compactos de los parámetros de inmitancia realizados

0 1 2 3 4

2

z12 s( )

2z11 s( )

P.R. 2y1 s( )

2y2 s( )

2z2 s( )

C.R.

C.R.

2z3 s( )

2y3 s( )

Estos polos resultan ser PCC de los parámetros de

inmitancia realizados


• Proceso de síntesis de la bipuerta

– 1) Tomar como I.S. aquella que tenga (si los hay) polos privados y eliminarlos en primer lugar. Si no existen, tomar una al azar (mayor orden)

– 2) Durante la realización de la inmitancia de síntesis estamos obligados a realizar eliminaciones totales a las frecuencias de los ceros de transmisión debidos a ceros de la transinmitancia

– Se implementa así la I.S., creando a la vez los ceros de transmisión de la transinmitancia. Los polos de la transinmitancia se crearán simultáneamente con los de la I.S., porque son todos compartidos

– 3) En el proceso de realización de la I.S. no podemos realizar ninguna eliminación a ninguna frecuencia que no sea un cero de transmisión del filtro especificado


• Proceso de síntesis de la bipuerta

• 1) Análisis de los polos y ceros de las inmitancias seleccionadas:

– f11(s) → PCCs, PPs, PCNCs

– f22(s) → PCCs, PPs, PCNCs

– f12(s) → PCCs, PCNCs; CEROS de TRANSINMITANCIA

• Aparecen diferentes casos que estudiaremos por separado:

– A) Todos los polos resultan ser PCCs

– B) Existe 1 (o varios) PP asociado a una única inmitancia (los restantes son PCCs)

– C) Existe 1 (o varios) PP asociado a las dos inmitancias (los restantes son PCCs)

– D) Existe 1 (o varios) PCNC


• A) Si todos los polos resultan ser PCCs

• 1) Se toma f11(s) ó f22(s) como I.S.

• 2) Se realiza la I.S. realizando eliminaciones sólo en las frecuencias de los ceros de transinmitancia siempre respetando los Teoremas de Bader– Así se asegura que todos los polos realizados se implementan como

PCCs.

– fiir(s) = fiip(s) (ver 2º Teorema de Bader)

– f12 prescrita = K·f12 realizada


z'22 K2z22=

y'221

K2

------y22=

• Implementación de la constante de la transinmitancia


V1

I1

V2

I2

1 K

V2

I2

K 00 1– K

V1

I1

= V

2KV

1=

I2

1K----– I

1=

1 KBIPUERTA 1

zij y ij

BIPUERTA 2 z'ij y' ij

z'11 z11=

y'11 y11=

z'12 Kz12=

y'121K----y12=

Kz'12

z12--------

z12 Prescrita

z12 Realizada

---------------------------= = Ky12

y'12--------

y12 Realizada

y12 Prescrita

---------------------------= =

Impedancia Admitancia


• Eliminación del transformador

1 K

ZL 1 YL=ZI YI

ZI1

K2------ZL=

YI K2YL=

V2

I2

K 00 1– K

V1

I1

=

Z s( )

RL

1 KV

s

RS

VoLC

Kz

12 Prescritaz

12 Realizada

----------------------------=

Z s( ) K2

RL

K2Vs

RS

Vo'LC

Vo'

Vo

K------=

1 K

Y s( )

GL

Vs

GS

VoLC

Ky

12Re alizada

y12

Prescrita

----------------------------=

Y s( ) K2

K2GL

Vs

GS

LC Vo'

Vo'

Vo

K------=


• B) Si existe 1 PP (o varios) asociado a una única inmitancia con todos los demás polos siendo PCCs

• 1) Se toma dicha inmitancia como I.S. (es la de mayor orden)

• 2) Se elimina en primer lugar el/los PP/s existente/s

• 3) Se realiza la I.S. realizando eliminaciones sólo en las frecuencias de los ceros de transinmitancia siempre respetando los Teoremas de Bader (así se asegura que todos los polos realizados se implementan como PCCs)– fiir(s) = fiip(s) (ver 2º Teorema de Bader)



z11 como I.S.:

PP

+

_V1

I1

+

_V2

I2

z22(s) = V2 / I2 con I1 = 0z12(s) = V1 / I2 con I1 = 0

PP

+

_V1

I1

+

_V2

I2

z11(s) = V1 / I1 con I2 = 0z12(s) = V2 / I1 con I2 = 0

z22 como I.S.:

y11 como I.S.:

PP

+

_V1

I1

+

_V2

I2

y22(s) = I2 / V2 con V1 = 0y12(s) = I1 / V2 con V1 = 0

PP

+

_V1

I1

+

_V2

I2

y11(s) = I1 / V1 con V2 = 0y12(s) = I2 / V1 con V2 = 0

y22 como I.S.:

• ¿Porqué se elimina 1º el PP de la I.S.?


• C) Si existe 1 PP (o varios) asociado a las dos inmitancias con todos los demás polos siendo PCCs

• 1) Se toma como I.S. la de mayor orden• 2) Se elimina en primer lugar el/los PP/s existente/s en la I.S.• 3) Se realiza la I.S. realizando eliminaciones sólo en las frecuencias

de los ceros de transinmitancia siempre respetando los Teoremas de Bader (así se asegura que todos los polos realizados se implementan como PCCs)– fISr(s) = fISp(s) (ver 2º Teorema de Bader)

– f12p(s) = K·f12r(s)

– fOPr(s) = fOPp(s) salvo por el/los PP/s (es uno o varios sumandos de fOPp(s) que no han sido realizados)

Se añade el/los correspondiente/s bloque/s en serie o paralelo en la otra puerta


• D) Si existe 1 PCNC (o varios) con todos los demás polos PCCs

• 1) Se toma como I.S. la de mayor orden• 2) Se realiza la I.S. realizando eliminaciones sólo en las frecuencias

de los ceros de transinmitancia siempre respetando los Teoremas de Bader (así se asegura que todos los polos realizados se implementan como PCCs)– fISr(s) = fISp(s) (ver 2º Teorema de Bader)

– f12p(s) = K·f12r(s)

– fOPr(s) = fOPp(s) salvo por el/los PCNC/s (es uno o varios sumandos de fOPp(s) que han sido realizados pero sólo con una parte del residuo que les corresponde)

– Se añade un bloque (en serie o paralelo) por cada PCNC en la otra puerta con la diferencia de residuo resultante

pi

k11 i

k22 i k


ó

k11 i k



• A) Si existe 1 PCNC (o varios) con todos los demás polos PCCs

• 1) Se añade un bloque (en serie o paralelo) por cada PCNC en la última rama de la otra puerta con la diferencia de residuo resultante:

F fO.P.PRESCRITA

fO.P.REALIZADA

–=

F k i

s j i–---------------

i

=

pi

k11 i

k22 i k


ó

k11 i k


Podemos asegurar que k22p > k22r luego Δk > 0 → Elemento/s de valor positivo

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Dpto. Electrónica y Electromagnetismo Oscar Guerra Vinuesa TEMA 4 Síntesis de Filtros Pasivos