Dpto. Matematica Aplicada Universidad de Malaga · Motivaci´on para la deﬁnicion de los complejos La idea de la construccion de los nu´meros complejos es ampliar el cuerpo Rde

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El numero real y complejo

Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

M. Atencia & I. P. Cabrera El numero real y complejo

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Sistema de numeros reales

Numeros naturales N = {0, 1, 2, 3, . . .}Numeros enteros Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Numeros racionales Q =

{

p

q: p, q ∈ Z, con q 6= 0

}

Numeros irracionales R−Q


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Operaciones en R

(R,+) es un grupo abeliano

1 Asociativa:a + (b + c) = (a + b) + c para cualesquiera a, b, c ∈ R

2 Elemento neutro: existe un elemento 0 ∈ R tal que0 + x = x = x + 0 para todo x ∈ R.

3 Elemento opuesto: para cada x ∈ R existe −x ∈ R tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.

4 Conmutativa: a + b = b + a para cualesquiera a, b ∈ R


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Operaciones en R

(R, ·) es un grupo abeliano

1 Asociativa: a(bc) = (ab)c para cualesquiera a, b, c ∈ R

2 Elemento neutro: existe 1 ∈ R tal que1x = x = x1 para todo x ∈ R.

3 Existencia de inverso: para cada 0 6= x ∈ R existe x−1 ∈ R talque xx−1 = 1 = x−1x .

4 Conmutativa: ab = ba para cualesquiera a, b ∈ R

Propiedad distributiva:

a(b + c) = ab + ac para cualesquiera a, b, c ∈ R

(R,+, ·) es un cuerpo.


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R es un cuerpo totalmente ordenado

Dados dos numeros reales cualesquiera a, b ∈ R, se verifica uno ysolo uno de los casos siguientes:

a < b b < a a = b

Propiedades:

Si a < b entonces a + c < b + c para todo c ∈ R.

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc .

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc .

Si a < b y c < d , entonces a+ c < b + d .


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Intervalos

Dados dos numeros reales a, b con a ≤ b se definen

Intervalo abierto de extremos a y b:(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}Intervalo cerrado de extremos a y b:[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b:(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}Semirrectas abiertas:(a,+∞) = {x ∈ R : a < x} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}Semirrectas cerradas:[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}


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Valor absoluto de un numero real

Dado un numero real x se define el valor absoluto de x como elmaximo de {x ,−x} y se le designa por |x |. Es decir,

|x | ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

Propiedades:

|x | ≥ 0 para todo x ∈ R.

|x | = 0 si y solo si x = 0.

|x | = | − x | para todo x ∈ R.

−|x | ≤ x ≤ |x | para todo x ∈ R.

|x | ≤ ε si y solo si −ε ≤ x ≤ ε.

|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular) para cualesquiera x , y ∈R.

|xy | = |x | |y | para cualesquiera x , y ∈R.

| |x | − |y | | ≤ |x − y | para cualesquiera x , y ∈R.


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Motivacion para la definicion de los complejos

La idea de la construccion de los numeros complejos es ampliar elcuerpo R de los numeros reales a un conjunto que verifique las dospropiedades siguientes:

1 Contiene a R

2 existe un elemento,i , que cumple que i2 es igual al numeroreal −1, es decir, la ecuacion x2 + 1 = 0 tiene solucion.


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Construccion de los numeros complejos

Una vez definida la unidad imaginaria i como el elemento quecumple i2 = −1 o abreviadamente i =

√−1, se construye el

conjunto siguiente

C = {a + bi : a, b ∈ R}

en el que se definen las operaciones

suma (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i y

producto (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i


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Parte real e imaginaria

Dado un numero complejo z = a + bi ∈ C, se dice que

a es la parte real de z y

b es la parte imaginaria de z .

Los numeros reales estan contenidos en los complejos pues seidentifican con los numeros complejos cuya parte imaginariaes cero;

Un numero complejo cuya parte real es cero se llamaimaginario puro.


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Parte real e imaginaria

Dado un numero complejo z = a + bi ∈ C, se dice que

a es la parte real de z y

b es la parte imaginaria de z .

Los numeros reales estan contenidos en los complejos pues seidentifican con los numeros complejos cuya parte imaginariaes cero;

Un numero complejo cuya parte real es cero se llamaimaginario puro.


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Forma binomica de un numero complejo

Producto de un numero real por un complejo

λ(a + bi) = λa + λbi

Es posible establecer una correspondencia biunıvoca entre losnumeros complejos y los puntos del plano. Masconcretamente,

a + bi ≡ (a, b)


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Conjugado de un numero complejo

Dado un numero complejo z = a+ bi , se define el conjugado de z

como el numero complejo z = a − bi

Propiedades

z = z

z + w = z + w

z · w = z · wz + z = 2Re(z)

z − z = 2 i Im(z)


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Conjugado de un numero complejo

Dado un numero complejo z = a+ bi , se define el conjugado de z

como el numero complejo z = a − bi

Propiedades

z = z

z + w = z + w

z · w = z · wz + z = 2Re(z)

z − z = 2 i Im(z)


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Division de numeros complejos

Inverso de un numero complejoDado z = a + bi , se verifica que z · z = a2 + b2 por tanto, se

define el inverso de z como1

z=

z

a2 + b2


Dados z = a+ bi ,w = c + di se definez

wdel siguiente modo:

z

w=

z · ww · w =

ac − bd

c2 + d2+ i

ad + bc

c2 + d2


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Inverso de un numero complejoDado z = a + bi , se verifica que z · z = a2 + b2 por tanto, se

define el inverso de z como1

z=

z

a2 + b2


Dados z = a+ bi ,w = c + di se definez

wdel siguiente modo:

z

w=

z · ww · w =

ac − bd

c2 + d2+ i

ad + bc

c2 + d2


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Forma polar de un numero complejo

El modulo de un numero complejo z = a + bi es la distanciadel punto del plano P = (a, b) al origen de coordenadas O, esdecir | z |=

√a2 + b2

El argumento de z es el angulo α que forma el vector−→OP

con el eje de abcisas.

α =

arctg(b/a) si a > 0±π/2 si a = 0

arctg(b/a) + π si a < 0, b ≥ 0arctg(b/a)− π si a < 0, b < 0

Forma polar: z =| z | (cosα+ isenα), abreviadamente, zα.


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Forma polar de un numero complejo

El modulo de un numero complejo z = a + bi es la distanciadel punto del plano P = (a, b) al origen de coordenadas O, esdecir | z |=

√a2 + b2

El argumento de z es el angulo α que forma el vector−→OP

con el eje de abcisas.

α =

arctg(b/a) si a > 0±π/2 si a = 0

arctg(b/a) + π si a < 0, b ≥ 0arctg(b/a)− π si a < 0, b < 0

Forma polar: z =| z | (cosα+ isenα), abreviadamente, zα.


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Forma exponencial de un numero complejo

Formula de Euler

eiα = cosα+ isenα


z =| z | eiα

La forma exponencial permite simplificar las operacionesproducto y cociente de numeros complejos, pues se deducende las propiedades de las potencias.


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Formula de Euler



z =| z | eiα



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Formula de Euler



z =| z | eiα



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Raıces de numeros complejos

Se dice que w es raıs n-esima de z si wn = z . Usando laforma exponencial, se deduce

w = z1/n =| z |1/n eiα

n

Debido a la periodicidad de las razones trigonometricas, cadanumero complejo tiene n raıces n-esimas:

{

| z | 1n(

cos

(

α+ 2kπ

n

)

+ isen

(

α+ 2kπ

n

))

: k = 0, . . . , n − 1

}


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Polinomios. Raıces

Un polinomio de grado n con coeficientes en C es unaexpresion del tipo

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x + a0 donde ai ∈ C

Las raıces de un polinomio Pn(x) son las soluciones de laecuacion Pn(x) = 0.

Si a es raız del polinomio Pn(x) , entonces Pn(x) es divisiblepor (x − a). Luego Pn(x) = (x − a)Pn−1(x). donde Pn−1(x)tiene grado n− 1.

Si Pn(x) es divisible por (x − a)k , pero no es divisible por(x − a)k+1, se dice que a tiene multiplicidad k como raız dePn(x).

Una raız simple es la que tiene multiplicidad uno y una raızmultiple la que tiene multiplicidad mayor que uno.


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Teorema fundamental del Algebra

Teorema (fundamental del Algebra)

Todo polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n

tiene n raıces reales o complejas, donde cada raız multiple se

cuenta segun su multiplicidad.

Factorizacion de un polinomio Dado un polinomio Pn(x) deraıces z1, z2, . . . , zk con multiplicidades m1,m2, . . . ,mk ,respectivamente, se tiene que

Pn(x) = an(x − z1)m1 · (x − z2)

m2 · · · (x − zk)mk


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Teorema fundamental del Algebra

Teorema (fundamental del Algebra)

Todo polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n

tiene n raıces reales o complejas, donde cada raız multiple se

cuenta segun su multiplicidad.

Factorizacion de un polinomio Dado un polinomio Pn(x) deraıces z1, z2, . . . , zk con multiplicidades m1,m2, . . . ,mk ,respectivamente, se tiene que

Pn(x) = an(x − z1)m1 · (x − z2)

m2 · · · (x − zk)mk


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Ecuaciones con coeficientes reales

Sea Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x + a0 un polinomio concoeficientes reales, es decir, ai ∈ R. Entonces,

si z es raız de Pn(x), el conjugado z tambien es raız y ademastienen la misma multiplicidad.

Como (x − z) · (x − z) = x2 + px + q para p = −2Re(z) yq =| z |, el polinomio admite una descomposicion con factoresreales

Pn(x) = an(x−a1)m1 · · · (x−al )

ml ·(x2+p1x+q1)r1 · · · (x2+psx+qs)

rs

donde a1, a2, . . . , al son las raıces reales del polinomio ypi , qi ∈ R.


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