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Transformadas de Laplace. Selena González Palomino 4.- B Instituto Tecnológico Superior de Venustiano Carranza Docente: Jesús Hernández Pérez. Materia: Ecuaciones Diferenciales. Unidad 3. Selena González Palomino 4.- B 14VC0084 19/04/2016

Transformadas de Laplace. Selena González Palomino 4.- B

Transformada de Laplace Página 2

Índice Tema1 Definición de la transformada de Laplace ............................................................................. 3

Tema2 Transformada inversa .......................................................................................................... 5

Tema 3 Función escalar unitaria ................................................................................................. 6

Tema 4 Propiedades de la transformada de Laplace ...................................................................... 7

Tema 5 Linealidad y teorema de traslación ............................................................................... 9



Tema 1.Definición de la transformada de Laplace.

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de

ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada

de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están

definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una

variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace

puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones

Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes

variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un

requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED.

Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que

aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada. Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

Cuando tal integral converge. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s. Las condiciones para la existencia de la transformada de una función son: de orden exponencial, y continua a trozos. la transformada de laplace puede encontrarse a partir de su definición como una integral impropia que se calcula mediante el uso de un límite infinito Dentro de las propiedades más importantes de esta transformación es la linealidad ya que al ser una integral esta propiedad se hereda. Y en este tutorial se habla acerca de ello pero sin ir detalles formales. es una integral que va desde menos infinito a más infinito y que tiene la siguiente forma: L[f(t)]=∫(e^-st)f(t)dt,evaluada entre cero e infinito, lo que nos dice esta expresión es que si yo tengo una función del tiempo, esta es igual a la integral desde menos infinito a más infinito de e elevado a la menos s por t que multiplica a una función variante de t, cuando resolvemos esta integral pasamos de una función que está en términos del tiempo t a una función que está en términos de s, de hecho, decimos que vamos a pasar de f(t)→F(s). e usa continuamente para resolver ecuaciones diferenciales de funciones continuas a tramos: Debido a que la trasformada de Laplace es una integral, esta cumple con las propiedades de linealidad que tienen las integrales, para ver estas propiedades veremos un ejemplo: Nos dicen que hallemos la trasformada de



Laplace de la siguiente función: L[sen(4t)-2t^3], entonces podemos decir que la transformada de Laplace de Laplace de esta función es: : L[sen(4t)-2t^3]=L[sen(4t)]-2L[t^3] , como vemos podemos sacar las constantes de la trasformada y distribuir las sumas o restas. Ejemplo: Halle la trasformada de Laplace para la siguiente función: f(t)=t, entonces aplicando la definición tenemos que la transformada de esta función es: L[t]= ∫(e^-st)tdt, vemos que el problema se reduce ahora a un problema de cálculo integral debido a que lo que tenemos que hacer es resolver la integral. Para resolver esta integral la escribiremos como un límite, tenemos entonces que:

L[t]=lim(p→∞)∫(e^-st)tdt calculando la integral tenemos: ∫(e^-st)tdt=[(e^-st)/-s](t)- [(e^-st)/-s^2] evaluando entre cero y p, evaluando la integral y luego sacando el limite, llegamos a que la solución es: L[t]=1/s^2. Aplicaciones de la transformada de Laplace

la transformada de Laplace para determinar la carga en el capacitador en un circuito.

La transformada de Laplace los

procesos automatización en

modelo de avión comercial.

Transformada de la place en

procesos de automatización en

satélites.



Tema 2. Transformada de Laplace inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función

de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir.

si es que acaso,

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

Se explica como a partir de los resultados obtenidos para la transformada de

laplace se pueden encontrar las transformadas inversas de laplace para funciones

en s.

El resultado de esta inversa será encontrar siempre una función en el dominio t a

partir de una función en el dominio s. Goza de la propiedad de linealidad frente al

producto y distribución frente a la suma tal como la transformada de Laplace.

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en

una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y(s), es decir, Y(s) =

G(S). Ahora, como {L} {y(t) } = Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la

solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa

{L}^{-1} {Y(s) }, para hallar la función y(t).

Entonces definamos la transformada inversa. La transformada inversa de Laplace

de F(s), no necesariamente es unica. Por ejemplo la función.

y la función g(t) = 1 (obsérvese que f(t) 6= g(t)) tienen la misma transformada, es

decir, £{f(t)} = £{g(t)} = 1 s . Sin embargo £−1{ 1 s } = f(t) y £−1{ 1 s } = g(t) son

diferentes. Define: Si F(s) es la transformada de Laplace de una función continua

f(t), es decir, {L} {f(t) } =F(s), entonces la transformada inversa de Laplace de

F(s), escrita { L}^{-1} { F(s) \} es f(t), es decir, {L}^{-1} {F(s) } =f(t).



Tema 3. Función escalar unitaria

Esta función es de especial importancia en matemáticas especiales para

ingeniería dados sus diversos usos, utilizada para ayudar a definir funciones a

tramos en forma compacta lo cual permitirá encontrar la transformada de laplace

de una forma más ágil. La función escalón unitario, que no es más que una

función por tramos que tiene la siguiente definición matemática: La función u(t-a)

toma el valor de cero para valores de t menores que a (t), grafiquemos la siguiente

función: f(t) =(sent)u(t-4π), debido a que hay un escalón vemos que la función

toma un valor de cero para valores menores a 4π y toma el valor de 1 para valores

mayores o iguales a 4π, a su vez, como esta función esta multiplicada por la

función seno de t, vemos que sent (0)=0 para valores de t menores a 4π y sent(1)

= sent para valores de t mayores o iguales a 4π, como podemos observar al

construir la grafica de esta función, decimos que el punto de quiebre es 4π y que

la gráfica de la función se apaga para valores menores a 4π y que la función se

prende para valores mayores o iguales a 4π. La utilidad que tendrá entonces esta

función es definir funciones a tramos en forma compacta lo cual permitirá

encontrar la transformada de Laplace de una forma más ágil.

Una función escalar unitaria es una función matemática que tiene como

característica, el tener un valor de 0, para todos los valore negativos de su

argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresando

matemáticamente.

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el

argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.

Esta función se usa normalmente para presentar variables que se interrumpen en

un instante de tiempo, ´para esto se multiplica la función escalon unitario por la

función que define la variable del tiempo. En ingeniería es común encontrar

funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por

ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión

eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto

tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene

introducir una función especial llamada función escalón unitario. La función

escalón unitario H: [0, + ∞] R se define como:

Observación: la función se definio sobre el intervalo [0,+ ∞], pues esto es

suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general H(t-a)=0

para t < a.



Tema 4. Propiedades de la transformada de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones

que poseen transformada de Laplace.

1.- Linealidad

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca

constantes que multiplican. para la inversa:

2.- Primer Teorema de Traslación

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación

en la variable s. para la inversa:

3.- Teorema de la transformada de la derivada

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4.- Teorema de la transformada de la integral

5.- Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

6.- Teorema de la derivada de la transformada



7.- Transformada de la función escalón.

Si representa la función escalón unitario entonces:

8.- Segundo teorema de Traslación

9.- Transformada de una función periódica.

Si f(t) es una función periódica con período T:

10.- Teorema de la Convolución.

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces.



Tema 5. Linealidad y teorema de traslación

Linealidad de Laplace.

Si f(t) y g(t) son tales que sus transformadas de Laplace existen, entonces.

para cualesquiera constantes a,b.

con esto se comprueba que la transformada de Laplace es un operador lineal.

Teorema de traslación.

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una

transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular { L}

{e^{kt}Sen(t) }, es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos

teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que {L} {f(t) } =F(s), podemos calcular la transformada de { L}

{e^{kt} f(t) } como una traslación, de F(s) a F(s-k), como lo enuncia el siguiente

teorema.

Si k es un número real y { L} { f(t) } existe, entonces:

Si es un número real y existe, entonces.

Cuando necesitemos encontrar la transforma de Laplace del producto de la función exponencial eât por una función f(t), sin usar la definición, podemos decir que la transformada es igual F(s-a) donde F(s) es la transformada de Laplace de f(t) y F(s-a) implica sustituir por s a s-a en la transformada F(s). A esto se le conoce como el primer teorema de traslación de la transformada de Laplace, el cual en este video no solo mostramos como usarlo sino que también demostramos porque es cierto. Cuando tengamos que hallar la transformada de Laplace de una función exponencial que multiplica a una función cualquiera f(t), vamos a decir que esta transformada es igual a transformar a f(t) de la siguiente manera: F(s)=L[f(t)] y sustituir a s en F(s) por s-a, matemáticamente estas palabras se expresan como L[(eât)f(t)]=F(s-a) con F(s)= L[f(t)], esta manera de escribir la transformada de Laplace se conoce como el primer teorema de translación , otra forma de ver esto es: L[(eât)f(t)]= L[f(t)]s→s-a. este teorema nos permite ahorrar mucho tiempo ya que nos evita tener que usar la definición de la transformada de Laplace.

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