E02_Gráficas----fisica general

MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL – 9ª Edición DAFI – FCF – UNMSM

EXP. Nº 02 GRÁFICAS

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Nota

GGRRÁÁFFIICCAASS

EXPERIENCIA N° 02

René Descartes

"Consideraría que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar

cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden

ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las

Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo

realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento".

I. OBJETIVOS • Trabajar con datos experimentales organizados en tablas.

• Graficar y obtener ecuaciones a partir de datos experimentales y predecir el comportamiento de los fenómenos estudiados.

II. MATERIALES

Papel milimetrado (04 hojas) Papel logarítmico (02 hojas) Papel semilogarítmico (01 hojas) Calculadora cientifica

NOTA: Los alumnos vendrán a clase con estos materiales.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Los datos que se obtienen en un proceso de medición se organizan frecuentemente en tablas. Los datos ordenados en estas tablas proporcionan valiosa información acerca de las relaciones entre las cantidades físicas observables. Una alternativa para establecer estas relaciones es construir representaciones gráficas referidas a un sistema coordenado dado. Para esto, normalmente, se usan coordenadas cartesianas y papeles con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas. Las gráficas obtenidas se suelen linealizar (aproximar a una recta), facilitando la construcción de fórmulas experimentales que corresponden a las leyes que gobiernan al fenómeno estudiado. Comúnmente se acostumbra proceder de la siguiente forma: a) Se grafican los datos tabulados en un papel adecuado: milimetrado, logarítmico,

semilogarítmico, polar, entre otros. b) Seguidamente, se identifica el tipo de gráfica obtenida comparándola con curvas

conocidas. Toda ecuación tiene una representación gráfica y viceversa. A



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continuación se muestran las representaciones gráficas de curvas, y sus ecuaciones, que aparecen con mayor frecuencia.

Identificada la forma de la distribución de puntos, en una siguiente etapa se procede a realizar el ajuste de curva; usualmente se usa la técnica de mínimos cuadrados. El modelo de ajuste es normalmente lineal (recta). Esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma:

bmxy += (1)

donde m es la pendiente y b es el intercepto (constantes a determinar). En la actualidad se cuenta con programas de cómputo que facilitan enormemente este trabajo.

y=kx2

y=kx1,5

120

100

80

60

40

20

0

0 5 10 15 20 25

y

x

300

250

200

150

100

50

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

y

x

y=kx-1

y=kx-2

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0

0 5 10 15 20 25

y

x

y=kx0,5

30

25

20

15

10

5

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

y

x

y=k10mx

120

100

80

60

40

20

0

0 2 4 6 8 10 12

y

x

y=k10-mx

2,0

1,5

1,0

0,5

0

-0,5

-1,0

2 4 6 8 10 12

y = 1,5

x

y = -0,8

y

30

25

20

15

10

5

0

0 2 4 6 8 10 12

y = b + mx

y = b - mx

y

x



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Si al graficar los datos a un papel milimetrado se observa que la distribución de puntos no presenta una tendencia lineal, convendrá usar papel logarítmico o semilogarítmico según que la gráfica muestre una tendencia lineal.

Una ecuación potencial n

kxy = , con n ≠ 1, graficada en papel logarítmico da una

recta con pendiente nm = y ordenada en el origen kb = . En este caso se recomienda preferentemente, usar papel logarítmico 3 x 3. Donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede arbitrariamente empezar con: …, 10-1, 100 , 101, 102, 103,.. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar papel semilogarítmico. Para ecuaciones de curvas, es posible construir gráficas lineales en papel milimetrado, dependiendo de la función y los valores asignados a los ejes coordenados.

Ejemplo:

De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogarítmico se calcula la pendiente m y la ordenada en el origen b (intersección de

la recta con el eje de la ordenada, denominada ordenada en el origen).

Linealizar es encontrar la curva de mejor ajuste (recta). Lo más adecuado es aplicar el método de mínimos cuadrados.

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Con los datos xi , yi construye la siguiente Tabla:

xi yi x yi i xi

2

x1 y1 x1 y1 x1

2

x2 y2 x2 y2 x2

2

.

.

.

x p

.

.

.

y p

.

.

.

x yp p

.

.

.

x p

2

∑∑∑∑xi ∑∑∑∑yi ∑∑∑∑xi yi ∑∑∑∑x2

Luego, se calculan la pendiente “m” y el intercepto “b” en el origen, de la manera siguiente:

25,1 xy =

Abscisa x: 0 1 2 3 4

Ordenada y: 0 1,5 6,0 13,5 24,0

Gráfico: Parábola

Abscisa x2: 0 1 4 9 16

Ordenada y: 0 1,5 6,0 13,5 24

Gráfico: Recta



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( )∑ ∑

∑ ∑ ∑−

−=

22

ii

iiii

xxp

yxyxpm ,

( )∑ ∑

∑ ∑ ∑∑−

−=

22

2

ii

iiiii

xxp

yxxyxb (2)

donde p es el número de medidas.

La fórmula experimental es la ecuación de la recta: bmxy +=

Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos para encontrar la fórmula experimental buscada y graficar primero en papel milimetrado. Para obtener las distribuciones lineales de las fórmulas experimentales siguientes, conviene graficar en:

mbxy = .......................................… papel logarítmico

mxby 10= , mx

bey303,2

= ……........... papel semilogarítmico

Considerando que, 303,210 e= .

Dado que el ajuste lineal se realiza con el método de los mínimos cuadrados, la tabla se convierte en logarítmica y semilogarítmica. Cuide colocar los valores con redondeo a mínimo cuatro decimales en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

log log logy m x b= + , y log logy mx b= +

Luego el valor de “b” obtenido por la fórmula será b' que corresponde a logb por lo

cual b es calculada como antilogaritmo de b' . Así:

b anti b= log '

En caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calculará con la pendiente de la distribución lineal y el valor b será el correspondiente al punto de corte al prolongar la recta hasta cortar el eje de la ordenada.

IV. PROCEDIMIENTO

Se analizarán los datos obtenidos de los siguientes experimentos:

• Calentamiento del agua.

• Evacuación de agua de un depósito.

• Actividad radiactiva del radón.



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1. En la Tabla 1, se tienen las medidas del incremento de temperatura ΔT (diferencia de temperatura con las temperaturas iníciales) para dos volúmenes de agua y el tiempo de calentamiento. Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado.

Hacer una gráfica de ΔT versus t. Intérprete lo obtebido:

2. La Tabla 2 muestra datos de medidas del tiempo t de evacuación de agua de un

depósito a través de una llave de cierto diámetro D de salida, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura h de agua del mismo depósito. Requerimiento: 2 hojas de papel milimetrado y 2 hojas de papel logarítmicos.

Tabla 2 h (cm) 30 10 4 1

D (cm) Tiempo de vaciado t (s)

1,5 2,0 3,0 5,0

73,0 43,0 26,7 13,5 41,2 23,7 15,0 7,2 18,4 10,5 6,8 3,7 6,8 3,9 2,2 1,5

Haga una gráfica de t versus D y t versus h. Use papel milimetrado. Interprete (Pegue la gráfica aquí)

3. La Tabla 3, muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4,30x1018 núcleos. Requerimiento: Una hoja milimetrada y una hoja semilogarítmica.

Haga una gráfica de A versus t. Use papel milimetrado. Interprete.

Tabla 1 Vagua (ml) 100 150

t (min) ΔT (ºC) ΔT (ºC)

1 2 3 4

6,5 13,0 19,5 27,0

4,5 9,0

14,0 18,0

Tabla 3

t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

EXP. N° 02 – GRÁFICAS FECHA:

V.B. del Profesor

ALUMNO:

MATRÍCULA:



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V. EVALUACIÓN

1. Adjuntar la gráfica de la tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de mínimos cuadrados.

(Pegue las gráficas aquí)

2. Si la fuente de calor es constante y la temperatura inicial del agua fue de 20°C. ¿Cuál es el tiempo que transcurrirá para que el volumen de agua de 100ml alcance la temperatura de ebullición? ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

3. Analice y discuta la gráfica obtenida de la Tabla 1. ¿Cuál es el significado físico de la

pendiente y el intercepto? ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

4. Considerando las distribuciones no lineales correspondientes grafique:

a) t = t ( h ) en papel logarítmico. b) A = A ( t ) en papel semilogarítmico. c) t = t ( D ) en papel logarítmico. d) Primero calcule z = 1/D

2 y luego grafique t = t (z ) en papel milimetrado. (Pegue las gráficas aquí)

5. Halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

6. Encuentre los nuevos valores iay obtenidos usando la fórmula experimental con

los valores experimentales de salida iy aplicado al caso t = t (D).

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................



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...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

7. Compare los valores iay , obtenidos usando la fórmula experimental, con los

valores de salida iy medidos o experimentales aplicado a los casos: t = t (D).

..................................................................................................................................

.................................................................................................................................. …………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………….

8. Calcule 2

D

hw = para las alturas y diámetros correspondientes a:

t (s) 73,0 43,0 26,7 15,0 10,5 3,9 1,5

w

9. Calcule 2

D

hw = para las alturas y diámetros correspondientes a:

t (s) 73,0 43,0 26,7 15,0 10,5 3,9 1,5

w

10. Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal determine el

ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente,

( )Dhtt ,=

(Pegue la gráfica aquí)

11. Halle los tiempos de vaciado del agua con la fórmula experimental que obtendrá en la pregunta 10 . Usando los datos de interpolación y extrapolación ( pregunte estos términos a su profesor) :

CASOS ALTURA h ( cm ) DIAMETRO D ( cm ) TIEMPO t ( s)

01 15 4,5

02 25 1,0

03 40 3,0

04 64 1,2

12. Dibuje sobre papel milimetrado una escala logarítmica horizontal de 2 ciclos (décadas), cada ciclo tendrá una longitud de 10 cm, y una escala vertical de 4 ciclos; cada ciclo de longitud de 5 cm. Grafique los puntos A(7,0; 0,5), B(15, 9), C(60, 45). (coloque la página de la gráfica aquí)



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13. La gráfica muestra el

comportamiento de las variables P y R en papel logarítmico para algunos valores fijos de la variable Q.

Según esto encuentre:

• El valor de P para R = 4,5 y Q = 30 aproximadamente.

• La ecuación que relaciona P y Q considerando R = 9.

• La ecuación que relaciona las tres variables. (Pegue aquí lo pedido)

VI. CONCLUSIONES ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................

VII. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................

1 10

10

100

Q=45

Q=30

Q=15

R

P

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