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186 Metodo de separacion de variables
2.8 Solucion de los problemas multidimensionales
1.- El problema bidimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]
(vxx + vyy) = v, en [0, `1] [0, `2]v(t, 0, y) = v(t, `1, y) = 0, t [0,+), y [0, `2]v(t, x, 0) = v(t, x, `2) = 0, t [0,+), x [0, `1].
[PA]
Por tanto, si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal deautofunciones de [PA], la solucion del problema se expresa en la forma
u(t, x, y) =l=0
Tl(t)vl(x, y),
donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemas
de autovalores unidimensionales
[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,[P2] (y) = (y); (0) = (`2) = 0.
y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por
nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.
Como los problemas [P1] y [P2] son problemas de Dirichlet, sus autovalores y autofunciones estandados respectivamente por
n =n2pi2
`21; n(x) =
2`1
sen(npi`1
x), n N;
m =m2pi2
`22; m(y) =
2`2
sen(mpi`2
y), m N.
Por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por
nm =pi2
`21`22
(`22n
2 + `21m2), vnm(x, y) =
2`1`2
sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y), n,m N.
Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de valor inicial T nm(t) + nmTnm(t) =
2`1`2
Fnm(t), Tnm(0) = 2`1`2 fnm,
Solucion de los problemas multidimensionales 187
donde
Fnm(t) = `
0
`0F (t, x, y) sen
(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy
fnm = `
0
`0f(x, y) sen
(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy
lo que implica que
Tnm(t) = enmt2`1`2
(fnm +
t0enmsFnm(s) ds
).
Por tanto la solucion del problema es
u(t, x, y) =4`1`2
n,m=1
enmt(fnm +
t0enmsFnm(s) ds
)sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)
2.- Como el problema de autovalores tridimensional asociado es el problema de Neumann el el cubo[0, `]3,
(vxx + vyy + vzz) = v;vx(0, y, z) = vx(`, y, z) = 0, y, z [0, `]vy(x, 0, z) = vy(x, `, z) = 0, x, z [0, `]vz(x, y, 0) = vz(x, y, `) = 0, y, z [0, `]
[PA],
si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones de [PA], expresaremos la solucion del problema en la forma
u(t, x, y, z) =l=0
Tl(t)vl(x, y, z),
donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos {n}n=1 la suce-
sion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema de Neumann unidimensional)
[P] (x) = (x); (0) = (`) = 0.
Sabemos entonces que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA] estan dados respectivamente por
nmk = k + n + m, vknm(x, y, z) = k(x)n(y)m(z), k, n,m N
y como los autovalores y las autofunciones de [P] son
k =k2pi2
`, k N, 0 =
1`, k(x) =
2`
cos(k pi`x), k N,
188 Metodo de separacion de variables
resulta que la sucesion de autovalores de [PA] esta dada por
knm =pi2
`2(k2 + n2 +m2), k, n,m N
y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dada por
v000(x, y, z) =1
``;
vk00(x, y, z) =1`
2`
cos(k pi
`x
), k N;
v0n0(x, y, z) =1`
2`
cos(npi
`y
), n N;
v00m(x, y, z) =1`
2`
cos(mpi
`z
), m N;
vkn0(x, y, z) =2
``
cos(k pi
`x
)cos
(npi
`y
), k, n N;
vk0m(x, y, z) =2
``
cos(k pi
`x
)cos
(mpi
`z
), k,m N;
v0nm(x, y, z) =2
``
cos(npi
`y
)cos
(mpi
`z
), n,m N;
vknm(x, y, z) =2
2``
cos(k pi
`x
)cos
(npi
`y
)cos
(mpi
`z
), k, n,m N.
Por otra parte, como para cada k, n,m N, Tknm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vknm,debe ser solucion del problema de valor inicial
T knm(t) + knmTknm(t) = 0, Tknm(0) = fknm = `
0
`0
`0f(x, y, z)vknm(x, y, z) dx dy dz,
obtenemos que Tknm(t) = fknmeknmt y por tanto que
u(t, x, y, z) =k=0
n=0
m=0
fknm eknmt vknm(x, y, z),
es decir,
u(t, x, y, z) =k=0
n=0
m=0
fknm e pi2`2
(k2+n2+m2) k(x)n(y)m(z)
Por ultimo, en el caso particular en el que f(x, y, z) = x y z, aplicando el Teorema de Fubini,obtenemos que
fknm = `
0
`0
`0x y z k(x)n(y)m(z) dx dy dz
=
( `0xk(x) dx
)( `0y n(y) dy
)( `0z m(z) dz
)
Solucion de los problemas multidimensionales 189
y por tanto,
f000 =1
``
( `0s ds
)3=`4`
8;
fk00 =1`
2`
( `0s ds
)2( `0x cos
(k pi
`x
)dx
)=`4
2 `4 k2pi2
((1)k 1
), k N;
f0n0 =1`
2`
( `0s ds
)2( `0y cos
(npi
`y
)dy
)=`4
2 `4n2pi2
((1)n 1
), n N;
f00m =1`
2`
( `0s ds
)2( `0z cos
(mpi
`z
)dz
)=`4
2 `4m2pi2
((1)m 1
), m N;
fkn0 =2
``
( `0z dz
)( `0x cos
(k pi
`x
)dx
)( `0y cos
(npi
`y
)dy
)
=`4`
k2n2pi4
((1)k 1
) ((1)n 1
), k, n N;
fk0m =2
``
( `0y dy
)( `0x cos
(k pi
`x
)dx
)( `0z cos
(mpi
`z
)dz
)
=`4`
k2m2pi4
((1)k 1
) ((1)m 1
), k,m N;
f0nm =2
``
( `0x dx
)( `0y cos
(npi
`y
)dy
)( `0z cos
(mpi
`z
)dz
)
=`4`
n2m2pi4
((1)n 1
) ((1)m 1
), n,m N;
fknm =2
2``
( `0x cos
(k pi
`x
)dx
) ( `0y cos
(npi
`y
)dy
)( `0z cos
(mpi
`z
)dz
)
=2 `4
2 `k2n2m2pi6
((1)k 1
) ((1)n 1
) ((1)m 1
), k, n,m N.
3.- El problema bidimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]
(vxx + vyy) = v, en [0, `1] [0, `2]v(t, 0, y) = v(t, `1, y) = 0, t [0,+), y [0, `2]v(t, x, 0) = v(t, x, `2) = 0, t [0,+), x [0, `1].
[PA]
Por tanto, si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal deautofunciones de [PA], la solucion del problema se expresa en la forma
u(t, x, y) =l=0
Tl(t)vl(x, y),
190 Metodo de separacion de variables
donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl. Como el anteriorproblema de autovalores es el mismo que el del Problema 1, resulta que su sucesion de autovaloresy la correspondiente base ortonormal de autofunciones de [PA] estan dados por
nm =pi2
`21`22
(`22n
2 + `21m2), vnm(x, y) =
2`1`2
sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y), n,m N.
Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de valor inicial
T nm(t) + nmTnm(t) =2`1`2
Fnm(t), Tnm(0) =2`1`2
fnm, Tnm(0) =
2`1`2
gnm,
donde
Fnm(t) = `1
0
`20
F (t, x, y) sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy,
fnm = `1
0
`20
f(x, y) sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy,
gnm = `1
0
`20
g(x, y) sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy.
Por tanto, si consideramos nm =nm =
pi
`1`2
`22n
2 + `21m2, resulta que
Tnm(t) =2`1`2
1nm
(gnmsen(nmt) + nmfnmcos(nmt) +
t0
sen(nm(t s))Fnm(s) ds).
Por tanto la solucion del problema es
u(t, x, y) =4`1`2
n,m=1
1nm
(gnmsen(nmt) + nmfnmcos(nmt)
)sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)
+4`1`2
n,m=1
1nm
( t0
sen(nm(t s))Fnm(s) ds)
sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)
4.- El problema tridimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en C = [0, `]3
(vxx + vyy + vzz) = v, en C,v(t, 0, y, z) = v(t, `, y, z) = 0, t [0,+), y, z [0, `],v(t, x, 0, z) = v(t, x, `, z) = 0, t [0,+), x, z [0, `],v(t, x, y, 0) = v(t, x, y, `) = 0, t [0,+), x, y [0, `].
[PA]
Por tanto, si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal deautofunciones de [PA], la solucion del problema se expresa en la forma
u(t, x, y, z) =l=0
Tl(t)vl(x, y, z),
Solucion de los problemas multidimensionales 191
donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos {n}n=1 la suce-
sion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema de Dirichlet unidimensional)
[P] (x) = (x); (0) = (`) = 0.
Sabemos entonces que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA] estan dados respectivamente por
nmk = k + n + m, vknm(x, y, z) = k(x)n(y)m(z), k, n,m N
y como los autovalores y las autofunciones de [P] son
k =k2pi2
`, k(x) =
2`
sen(k pi`x), k N,
resulta que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por
nmk =pi2
`2(n2 +m2 + k2), vnmk(x, y, z) =
2`
2`
sen(npi`x)sen(mpi`
y)sen(mpi`
z), n,m, k N
y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dada por Por otra parte, como paracada k, n,m N, Tknm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vknm, debe ser solucion delproblema de valor inicial
T nmk(t)+2rTnmk(t)+nmkTnmk(t) =
2`
2`Fnmk(t), Tnmk(0) =
2`
2`fnmk, T
nmk(0) =
2`
2`gnmk,
donde
Fnmk(t) = `
0
`0
`0F (t, x, y, z) sen
(npi`x)
sen(mpi`y)
sen(kpi`z)dx dy dz
fnmk = `
0
`0
`0f(x, y, z) sen
(npi`x)
sen(mpi`y)
sen(kpi`z)dx dy dz
gnmk = `
0
`0
`0g(x, y, z) sen
(npi`x)
sen(mpi`y)
sen(kpi`z)dx dy dz.
Como Pnmk(X) = (X + r)2 + nmk r2 es el polinomio caracterstico de la EDO que determinaTnmk, la expresion de sus races depende de si nmk es mayor, menor, igual a r2. Por simplicidadsupondremos aqu que `2r2 < 3, de manera que nmk > r2 para cada n,m, k N. As, siconsideramos nmk =
nmk r2, resulta que
Tnmk(t) =2`
2`
ert
nmk((gnmk + rfnmk) sen(nmkt) + nmkfnmkcos(nmkt))
+2`
2`
ert
nmk
t0ersFnmk(s) sen(nmk(t s)) ds
192 Metodo de separacion de variables
y por tanto la solucion del problema es
u(t, x, y, z) =8 ert
`3
n,m,k=1
(gnmk + rfnmk)
nmksen(nmkt) + fnmkcos(nmkt) sen
(npi
`x)
sen(mpi
`y)
sen(kpi
`z)
+8 ert
`3
n,m.k=1
1
nmk
( t0
ersFnmk(s) sen(nmk(t s)) ds)
sen(npi
`x)
sen(mpi
`y)
sen(kpi
`z)
En particular, si g = 0, f es constante y F (t, x, y, z) = ertx y z, entonces para cada n,m, k Nse tiene que gnmk = 0 y tambien que
fnmk =f `3
pi3n3m3k3
(1 (1)n
) (1 (1)m
) (1 (1)k
)y Fnmk(t) = ert `
6
pi3nmk(1)n+m+k,
de manera que en este caso, la solucion del problema es
u(t, x, y, z) =8 f ert
pi3
n,m,k=1
cnmkn3m3k3nmk
(r sen(nmkt) + nmkcos(nmkt)
)sen(npi
`x)
sen(mpi
`y)
sen(kpi
`z)
8 `3ert
pi3
n,m.k=1
(1)n+m+knmk 2nmk
(1 cos(nmkt)
)sen(npi
`x)
sen(mpi
`y)
sen(kpi
`z),
con cnmk =(1 (1)n
) (1 (1)m
) (1 (1)k
).
5.- Como las condiciones de contorno en las variables x e y son homogeneas, el problema bidimen-sional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]
vxx + vyy = v, en [0, `1] [0, `2],v(0, y, z) = v(`1, y, z) = 0, y [0, `2], z [0, `3],v(x, 0, z) = v(x, `2, z) = 0, x [0, `1], z [0, `3].
[PA]
Por tanto, si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal deautofunciones de [PA], la solucion del problema se expresa en la forma
u(x, y, z) =l=0
Tl(z)vl(x, y),
donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemas
de autovalores unidimensionales
[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,[P2] (y) = (y); (0) = (`2) = 0.
y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondiente
Solucion de los problemas multidimensionales 193
base ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por
nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.
Como los problemas [P1] y [P2] son problemas de Dirichlet, sus autovalores y autofunciones estandados respectivamente por
n = n2pi2
`21; n(x) =
2`1
sen(npi`1
x), n N;
m = m2pi2
`22; m(y) =
2`2
sen(mpi`2
y), m N.
Por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por
nm = pi2
`21`22
(`22n
2 + `21m2), vnm(x, y) =
2`1`2
sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y), n,m N.
Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de contorno mixto en [0, `3]
T nm(z) + nmTnm(z) = 0, Tnm(0) =
2`1`2
fnm, Tnm(`3) = 0,
donde fnm = `1
0
`20
f(x, y) sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)dx dy.
Por tanto, si para cada n,m N consideramos nm =nm = pi
`1`2
`22n
2 + `1m2, entonces
Tnm(z) = 2`1`2
fnmnmch(nm`3)
sh(nm(`3 z)),
lo que implica que
u(x, y, z) = 4`1`2
n,m=1
fnmnmch(nm`3)
sh(nm(`3 z)) sen(npi`1
x)
sen(mpi`2
y)
En particular, si f(x, y) = sen( pi`1x)
sen(3pi`2y)
= sen( pi`1x) sen
( pi`1x)
cos2( pi`2y), entonces para
cada n,m N se tiene que
fnm =
( `10
sen( pi`1x)
sen(npi`1
x)dx
)( `20
sen(3pi`2y)
sen(mpi`2
y)dy
)
194 Metodo de separacion de variables
lo que implica que fnm = 0 si n 2 o si m 6= 3 y ademas que f13 = `1`24 . En definitiva, en estecaso se tiene que
u(x, y, z) = 113ch(13`3)
sh(13(`3 z)) sen( pi`1x)
sen(3pi`2y)
6.- Como las condiciones de contorno en las variables x e y son homogeneas, el problema deautovalores bidimensional asociado es el siguiente problema mixto Dirichlet-Neumann:
vxx + vyy = v;v(0, y) = vx(`1, y) = 0, y [0, `2];v(x, 0) = vy(x, `2) = 0, x [0, `1].
[PA]Por tanto, si consideraremos {l}l=1 la sucesion de autovalores y {vl}l=1 la correspondiente baseortonormal de autofunciones del problema [PA], expresaremos la solucion del problema en la forma
u(x, y, z) =l=1
Tl(z)vl(x, y),
donde para cada l N, Tl, el coeficiente de Fourier de u respecto de vl, debe ser solucion delproblema de contorno
T l (z) + (l 1)Tl(z) = 0, T l (0) = fl, Tl(`3) = 0,
donde fl = `1
0
`20
(2x `1)vl(x, y) dx dy.
Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemasde autovalores unidimensionales
[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,
[P2] (x) = (x); (0) = (`2) = 0.
y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por
nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.Como los problemas [P1] y [P2] son del tipo mixto, sus autovalores y autofunciones estan dadosrespectivamente por
n = pi2
4`21(2n 1)2; n(x) =
2`1
sen( pi
2`1(2n 1)x
), n N;
m = pi2
4`22(2m 1)2; m(y) =
2`2
sen( pi
2`2(2m 1) y
), m N.
Solucion de los problemas multidimensionales 195
Por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por
nm = pi2
4`21`22
(`21(2n 1)2 + `22(2m 1)2
),
vnm(x, y) =2`1`2
sen( pi
2`1(2n 1)x
)sen( pi
2`2(2m 1) y
), n,m N.
Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debeser solucion del problema de contorno
[PC]nm Tnm(z) + (nm 1)Tnm(z) = 0, T nm(0) = fnm, Tnm(`3) = 0
donde fnm =2`1`2
`10
`20
(2x `1) sen(pi
2`1(2n 1)x
)sen
(pi
2`2(2m 1) y
)dx dy.
Como para cada nm < 0, si consideramos
nm =
1 nm = 12 `1`2(4`21`
22 + pi
2(`21(2n 1)2 + `22(2m 1)2
)) 12 ,
la solucion del problema [PC]nm esta dada por
Tnm(z) = Ash(nm(`3 z)
)+Bch
(nm(`3 z)
),
donde A y B deben satisfacer 0 = Tnm(`3) = B, fnm = T nm(0) = Anmch(nm`3). Por tanto,para cada n,m N,
Tnm(z) = fnmnm
sh(nm(`3 z)
)ch(nm`3)
.
Para finalizar,
fnm =2`1`2
( `10
(2x `1) sen(pi
2`1(2n 1)x
)dx
)( `20
sen(pi
2`1(2m 1) y
)dy
)
=8`1`2
(2`1 + pi (2n 1)
)pi3(2n 1)2(2m 1) ,
y por tanto si consideramos cnm =
(2`1 + pi (2n 1)
)(2n 1)2(2m 1)
1nmch(nm`3)
, entonces
u(x, y, z) =16pi3
n=1
m=1
cnmsh(nm(z `3)
)sen
(pi
2`1(2n 1)x
)sen
(pi
2`2(2m 1) y
)
196 Metodo de separacion de variables
7.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores
((r vr)r +
1rv)
= r v,
v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, a],v(r,pi) = v(r, pi), r (0, a],v(a, ) = 0, [pi, pi],v(r, ) acotada en r = 0
[PA]
y expresaremos la solucion del problema en la forma u(t, r, ) =l=0
Tl(t)vl(r, ), donde para cada
l N y cada t 0, Tl(t) = a
0
pipiu(t, r, ) vl(r, ) r dr d.
Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos primero {n}n=0la sucesion de autovalores y {n}n=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema de contorno (problema periodico unidimensional)
[P] () = (); (pi) = (pi), (pi) = (pi).
Ahora, para cada n N, consideremos {nm}m=1 la sucesion de autovalores y {nm}m=1 la co-rrespondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )
[P]n (r(r)) +nr(r) = r (r); (a) = 0, acotada en r = 0.
Entonces, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados por
nm, vnm = n()nm(r), n N, m N.
Los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son
0 = 0, v0 =
12pi, n = n2, wn() =
1pi
sen(n ), vn() =
1pi
cos(n ), n N.
Para calcular los autovalores del problema [P]n, observemos primero que si es autovalor y es una autofuncion no nula correspondiente a , entonces multiplicando por a ambos lados de laecuacion diferencial que aparece en [P]n e integrando por partes, obtenemos que
a02(r) r dr = a(a)(a) +
a0
((r))2 r dr + n2 a
0
1r2(r) dr
= a
0((r))2 r dr + n2
a0
1r2(r) dr,
lo que implica que > 0.
Solucion de los problemas multidimensionales 197
Por otra parte, observemos que la ecuacion (r(r)) +(n2r r (r)
)= 0 es equivalente a
la ecuacion
r2(r) + r(r) + (r2 n2)(r) = 0,
que mediante el cambio de variable s = r se tranforma en la ecuacion de Bessel de orden n,
es decir en s2x(s) + rx(r) + (r2 n2)x(s) = 0. Sabemos que las soluciones de esta ecuacion queestan acotadas en r = 0 son x(s) = AJn(s), A IR, donde Jn es la funcion de Bessel de orden n.Por tanto, deshaciendo el cambio, las soluciones de la ecuacion (r(r)) +
(n2r r (r)
)= 0
que estan acotadas en r = 0 son todas de la forma (r) = AJn( r). En definitiva, es
autovalor de [P]n sii Jn( a) = 0, es decir sii
a es un cero de Jn. Por tanto, si para cada
n N consideramos {nm}m=1, la sucesion de ceros positivos de Jn, obtenemos que la sucesionde autovalores de [P]n esta dada por {
2nma2}m=1. Ademas, si tomamos anm =
a0J2n
(nma
r
)r dr,
resulta que anm =a2
2J2n+1(nm) y sabemos que el sistema { 1anm Jn(nma r)}m=1 es base ortonormal
en [0, a], respecto del peso p(r) = r.
Esto implica que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA], estan determinadas por las expresiones
20ma2
, v0m =1
api J1(0m)
J0(0ma
r), m N,
2nma2
, vnm =
2apiJn+1(nm)
Jn(nma
r)
sen(n), n,m N,2nma2
, wnm =
2apiJn+1(nm)
Jn(nma
r)
cos(n), n,m N.
Por tanto, la solucion del problema se expresa como
u(t, r, ) =1
api
m=1
1J1(0m)
J0(0ma
r)T0m(t)
+
2api
n,m=1
1Jn+1(nm)
Jn(nma
r) (Knm(t) sen(n) + Tnm(t) cos(n)
),
donde para cada n,m N
T 0m(t) +c220ma2
T0m(t) = 0, T0m(0) =1
api J1(0m)
f0m, T0m(0) = 0,
T nm(t) +c22nma2
Tnm(t) = 0, Tnm(0) =
2apiJn+1(nm)
fnm, Tnm(0) = 0,
K nm(t) +c22nma2
Knm(t) = 0, Knm(0) =
2apiJn+1(nm)
fnm, Knm(0) = 0
198 Metodo de separacion de variables
con
f0m = a
0
pipif(r, ) J0
(0ma
r)r dr d, fnm =
a0
pipif(r, ) Jn
(nma
r)
cos(n) r dr d,
fnm = a
0
pipif(r, ) Jn
(nma
r)
sen(n) r dr d.
Por tanto,
T0m(t) =f0m
api J1(0m)
cos(0ma
ct
),
Tnm(t) =fnm
2apiJn+1(nm)
cos(nma
ct
), Knm(t) =
fnm
2apiJn+1(nm)
cos(nma
ct
)y en definitiva,
u(t, r, ) =1a2pi
m=1
f0mJ21 (0m)
J0(0ma
r)
cos(0ma
ct
)+
2a2pi
n,m=1
1J2n+1(nm)
Jn(nma
r) (fnmsen(n) + fnmcos(n)
)cos
(nma
ct
)
8.- En este caso, f0m = 2pi a
0f(r) J0
(0ma
r)r dr y fnm = fnm = 0 para cada n,m N. Por
tanto,
u(t, r, ) =2a2
m=1
1J21 (0m)
( a0f(r) J0
(0ma
r)r dr
)J0(0ma
r)
cos(0ma
ct
)
Observar que la solucion no depende de y es por tanto una funcion radial.
9.- En esta situacion, 0k = ka, f0m = 0 si m 6= k, mientras que f0k = Api a2 J21 (0k), lo queimplica que
u(t, r, )) = AJ0(kr)cos(kct)
10.- En este caso, f01 = piJ21 (1), f03 = 0.5piJ21 (3), f05 = 0.25piJ
21 (5), mientras que f0m = 0 si
m 6= 1, 3, 5. Por tanto,
u(t, r, ) = J0(1 r) cos(1 ct) 0.5J0(3 r) cos(3 ct) + 0.25J0(5 r) cos(5 ct)
Solucion de los problemas multidimensionales 199
12.- El problema es analogo al Problema 7 y se diferencia de el en la eleccion de las condicionesiniciales. Por tanto, si para cada n N, {nm}m=1 es la sucesion de ceros positivos de Jn yconsideramos anm =
a2
2J2n+1(nm), entonces la solucion del problema se expresa como
u(t, r, ) =12pi
m=1
1a0m
J0(0ma
r)T0m(t)
+1pi
n,m=1
1anm
Jn(nma
r) (Knm(t) sen(n) + Tnm(t) cos(n)
),
donde para cada n,m N
T 0m(t) +c220ma2
T0m(t) = 0, T0m(0) = 0, T 0m(0) =1
2pia0mg0m,
T nm(t) +c22nma2
Tnm(t) = 0, Tnm(0) = 0, T nm(0) =1pianm
gnm,
K nm(t) +c22nma2
Knm(t) = 0, Knm(0) =, K nm(0) =1pianm
gnm
con
g0m = a
0
pipiJ0(0ma
r)r dr d, gnm =
a0
pipiJn(nma
r)
cos(n) r dr d = 0,
gnm = a
0
pipiJn(nma
r)
sen(n) r dr d = 0.
Esto implica que Tnm = Knm = 0 para cada n,m N y tambien que para cada m N,
T0m =a g0m
c 0m
2pia0msen
(0ma
ct
).
As pues, la solucion del problema esta dada por
u(t, r, ) =1acpi
m=1
g0m0mJ21 (0m)
J0(0ma
r)
cos(0ma
ct
)
Para finalizar, como (sJ1(s))
= sJ0(s), resulta que
g0m = 2pi a
0J0(0ma
r)r dr =
2pi a2
20m
0m0
J0(s) s ds =2pi a2
0mJ1(0m)
y en definitiva que
u(t, r, ) =2ac
m=1
120mJ1(0m)
J0(0ma
r)
cos(0ma
ct
)
13.- Consideremos el problema de autovalores
[P] (r(r)) = r (r); (1) = 0, acotada en r = 0
200 Metodo de separacion de variables
y sean {n}n=1 y {n}m=1 la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal deautofunciones. Entonces la solucion del problema se expresa como u(t, r) =
n=1
Tn(t)n(r), donde
para cada n N, Tn queda unvocamente determinado por el problema de valores iniciales
T n(t) + nTn(t) = 0, Tn(0) = 1
0n(r) r dr.
Por otra parte, [P] coincide con el problema de autovalores [P]0 del Problema 7, de manera quesi {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J0, entonces los autovalores y la base ortonormalde autofunciones estan dados por 2j y j(r) =
2
J1(j)J0(j r), respectivamente. Como rJ1(r) es
una primitiva de rJ0(r), resulta que 1
0j(r) r dr =
2
jpara cada j N. Por tanto, para cada
j N se tiene que Tj(t) =
2j
e2j t y en definitiva,
u(t, r) = 2j=1
e2j t
1jJ1(j)
J0(j r)
14.- Supongamos la placa del problema anterior con un termino convectivo en la ecuacion
ut = urr +1rur bu
siendo b una constante positiva. Obtener la solucion considerando esta en la forma . Si u(r, t) =v(r, t) ebt, entonces u es solucion del problema sii v es solucion del Problema 13. Por tanto,
v(t, r) = 2j=1
e2j t
1jJ1(j)
J0(j r) y en definitiva,
u(t, r) = 2ebtj=1
e2j t
1jJ1(j)
J0(j r)
15.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores
((r vr)r +
1rv)
= r v,
v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(R, ) = 0, [0, 2pi],v(r, ) acotada en r = 0
[PA]
Solucion de los problemas multidimensionales 201
y expresaremos la solucion del problema en la forma u(t, r, ) =l=0
Tl(t)vl(r, ), donde para cada
l N y cada t 0, Tl(t) = R
0
2pi0
u(t, r, ) vl(r, ) r dr d.
La sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema[PA], estan determinadas por las expresiones (ver la solucion del Problema 7)
20mR2
, v0m =1
Rpi J1(0m)
J0(0mR
r), m N,
2nmR2
, wnm =
2Rpi Jn+1(nm)
Jn(nmR
r)
sen(n), n,m N,2nmR2
, vnm =
2Rpi Jn+1(nm)
Jn(nmR
r)
cos(n), n,m N.
Por tanto, la solucion del problema se expresa como
u(t, r, ) =1
Rpi
m=1
1J1(0m)
J0(0mR
r)T0m(t)
+
2Rpi
n,m=1
1Jn+1(nm)
Jn(nmR
r) (Knm(t) sen(n) + Tnm(t) cos(n)
),
donde para cada n,m N
T 0m(t) +20mR2
T0m(t) = 0, T0m(0) =1
Rpi J1(0m)
f0m,
T nm(t) +2nmR2
Tnm(t) = 0, Tnm(0) =
2RpiJn+1(nm)
fnm, ,
K nm(t) +2nmR2
Knm(t) = 0, Knm(0) =
2RpiJn+1(nm)
fnm,
con
f0m = R
0
pipif(r, ) J0
(0mR
r)r dr d, fnm =
R0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
cos(n) r dr d,
fnm = R
0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
sen(n) r dr d.
Por tanto,
T0m(t) =f0m
Rpi J1(0m)
e20mR2
t,
Tnm(t) =fnm
2RpiJn+1(nm)
e2nmR2
t, Knm(t) =fnm
2apiJn+1(nm)
e2nmR2
t
Por otra parte, para cada n N y cada m N, Tnm el coeficiente de Fourier de u respecto devnm debe ser solucion del problema de valores iniciales
T nm(t) +2nmR2
Tnm(t) = 0, Tnm(0) = fnm,
202 Metodo de separacion de variables
donde fnm = R
0
2pi0
f(r, ) vnm(r, ) r dr d y por tanto, Tnm(t) = fnm e
2nmt
R2 . Para finalizar,
u(t, r, ) =1
R2pi
m=1
f0mJ21 (0m)
e20mR2
tJ0(0mR
r)
+2
R2pi
n,m=1
1J2n+1(nm)
e2nmR2
tJn(nmR
r)[fnmsen(n) + fnmcos(n)
]
16.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores [PA]
((r vr)r +
1rv)
= r v,
v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],vr(R, ) = 0, [0, 2pi],v(r, ) acotada en r = 0
[PA]
y expresaremos la solucion del problema en la forma u(t, r, ) =l=0
Tl(t)vl(r, ), donde para cada
l N y cada t 0, Tl(t) = R
0
2pi0
u(t, r, ) vl(r, ) r dr d.
Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], procederemos de maneraanaloga al caso del problema [PA] en los problemas 7 y 15: consideremos primero {n}n=0 la suce-sion de autovalores y {n}n=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema periodico unidimensional)
[P] () = (); (0) = (2pi), (0) = (2pi).
Ahora, para cada n N, consideremos {nm}m=1 la sucesion de autovalores y {nm}m=1 la co-rrespondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )
[P]n (r(r)) +nr(r) = r (r); (R) = 0, acotada en r = 0.
Entonces, la sucesion de autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estandados por
nm, vnm = n()nm(r), n N, m N.Los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son
0 = 0, v0 =
12pi, n = n2, wn() =
1pi
sen(n ), vn() =
1pi
cos(n ), n N.
Solucion de los problemas multidimensionales 203
Para calcular los autovalores del problema [P]n, observemos primero que si es autovalor y es una autofuncion no nula correspondiente a , entonces, integrando por partes y utilizando ahoraque (R) = 0, obtenemos que
R02(r) r dr = R(R)(R) +
R0
((r))2 r dr + n2 R
0
1r2(r) dr
= R
0((r))2 r dr + n2
R0
1r2(r) dr,
lo que implica que 0. Ademas, = 0 solo puede ser autovalor cuando R
0((r))2 r dr + n2
R0
1r2(r) dr = 0,
es decir, cuando se satisface simulltaneamente que n = 0 y que = 0, o de forma equivalentecuando n = 0 y es constante.
El mismo razonamiento que el efectuado en el caso de problema [PA] que las soluciones de la
ecuacion (r(r)) +(n2r r (r)
)= 0 que estan acotadas en r = 0 son todas de la forma
(r) = AJn( r). En definitiva, > 0 es autovalor de [P]n sii J
n( R) = 0, es decir sii
R es
un cero de J n. Por tanto, si para cada n N consideramos {nm}m=1, la sucesion de ceros positivosde J n, obtenemos que la sucesion de autovalores de [P]n esta dada por {
2nmR2}m=1. Ademas, si
tomamos anm = R
0J2n
(nmR
r
)r dr =
R2
2J2n(nm), sabemos que el sistema { 1anm Jn
(nmR r
)}m=1es base ortonormal en [0, R], respecto del peso p(r) = r. Esto implica que la sucesion de autovaloresy la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA], estan determinadas porlas expresiones
0, v00 =1
Rpi,
20mR2
, v0m =1
Rpi J0(0m)
J0(0mR
r), m N,
2nmR2
, wnm =
2Rpi Jn(nm)
Jn(nmR
r)
sen(n), n,m N,2nmR2
, vnm =
2Rpi Jn(nm)
Jn(nmR
r)
cos(n), n,m N.
Por tanto, la solucion del problema se expresa como
u(t, r, ) =1
RpiT00(t) +
1Rpi
m=1
1J0(0m)
J0(0mR
r)T0m(t)
+
2Rpi
n,m=1
1Jn(nm)
Jn(nmR
r) (Knm(t) sen(n) + Tnm(t) cos(n)
),
204 Metodo de separacion de variables
donde para cada n,m N
T 00(t) = 0, T00(0) =1
Rpif00,
T 0m(t) +20mR2
T0m(t) = 0, T0m(0) =1
Rpi J0(0m)
f0m,
T nm(t) +2nmR2
Tnm(t) = 0, Tnm(0) =
2RpiJn(nm)
fnm, ,
K nm(t) +2nmR2
Knm(t) = 0, Knm(0) =
2RpiJn(nm)
fnm,
con
f00 = R
0
pipif(r, ) r dr d, f0m =
R0
pipif(r, ) J0
(0mR
r)r dr d,
fnm = R
0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
cos(n) r dr d, fnm = R
0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
sen(n) r dr d.
Por tanto,
T00 =f0mRpi, T0m(t) =
f0mRpi J0(0m)
e20mR2
t,
Tnm(t) =fnm
2RpiJn(nm)
e2nmR2
t, Knm(t) =fnm
2RpiJn(nm)
e2nmR2
t.
Finalmente,
u(t, r, ) =f00R2pi
+1
R2pi
m=1
f0mJ20 (0m)
e20mR2
tJ0(0mR
r)
+2
R2pi
n,m=1
1J2n(nm)
e2nmR2
tJn(nmR
r)[fnmsen(n) + fnmcos(n)
]
17.- Observemos primero que el problema de contorno planteado se corresponde con el problema[P]0 analizado en el Problema 16. Por tanto, si {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J 0,entonces los autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dados por
0 = 0, 0(r) =
2c, j =
2jc2, j(r) =
2
cJ0(j)J0
(jcr
), j N.
Como ademas J 0 = J1, resulta que {j}j=1 es de hecho la sucesion de ceros positivos de J1.Por otra parte, la solucion del problema se expresa como
u(t, r) =
2cT0(t) +
2c
j=1
1J0(j)
Tj(t) J0(jcr
)
Solucion de los problemas multidimensionales 205
donde T 0(t) = 0, T0(0) =f0
2c
, T j(t) +k2jc2
Tj(t) = 0, Tj(0) =fj
2cJ0(j)
, j N, con
f0 = c
0f(r) r dr, fj =
c0f(r) J0
(jcr
)r dr, j N,
lo que implica que
u(t, r) =2f0c2
+2c2
j=1
fjJ20 (j)
ek2j
c2t J0
(jcr
)
Por tanto, la distribucion estacionaria de temperatura es limtu(t, x) =
2f0c2
En particular, si f(r) = , entonces f0 = c2
2, fj = 0, j N y por tanto u(t, r) = que
coincide con la distribucion estacionaria de temperatura.
18.- Observar que la ausencia de fuentes de calor implica que la temperatura debe mantenerseacotada.
Consideremos el problema de autovalores
[P] (r(r)) = r (r); (1) = 0, acotada en r = 0
y sean {n}n=1 y {n}m=1 la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal deautofunciones. Entonces la solucion del problema se expresa como u(r, z) =
n=1
Tn(z)n(r), donde
para cada n N, Tn queda unvocamente determinado por sersolucion del problema
T n (z) + nTn(z) = 0, Tn(0) = 1
0n(r) r dr, Tn acotada.
Por otra parte, el problema [P] coincide basicamente con el problema de autovalores [P] analizado enel Problema 13. Por tanto, si {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J0, entonces los autovaloresy la base ortonormal de autofunciones de [P] estan dados por 2j y j(r) =
2
J1(j)J0(j r),
respectivamente. Como rJ1(r) es una primitiva de rJ0(r), resulta que 1
0j(r) r dr =
2
jpara
cada j N. Por tanto, para cada j N se tiene que Tj(z) =
2j
ejz y en definitiva,
u(t, r) = 2j=1
1jJ1(j)
ejz J0(j r)
206 Metodo de separacion de variables
19.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores
((rur)r +
1ru + r uzz
)= r v, (r, , z) [1, R] [0, 2pi] [0, `]
v(r, 0, z) = u(r, 2pi, z), (r, z) (0, R] [0, `],v(r, 0, z) = u(r, 2pi, z), (r, z) (0, R] [0, `],
v(R, , z) = 0, (, z) [0, 2pi] [0, `],v(r, , 0) = vz(r, , `) = 0, (r, ) (0, R] [0, 2pi],
v(r, , z) acotada en r = 0,
[PA]
y expresaremos la solucion del problema en la forma u(x, y, z) =l=0
Tl(t)vl(x, y, z), donde para
cada l N y cada t 0, Tl(t) = R
0
2pi0
`0u(t, r, , z) vl(r, , z) r dr d dz.
Para calcular los autovalores y las autofunciones de [PA], consideremos el problema de auto-valores unidimensional [PU] (problema mixto Dirichlet-Neumann)
h(z) = h(z); h(0) = h(z) = 0
y tambien el problema de autovalores bidimensional
((r wr)r +
1rw
)= r w,
w(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],w(r, 0) = w(r, 2pi), r (0, R],w(R, ) = 0, [0, 2pi],w(r, ) acotada en r = 0
[PA]
Sean {m}m=1 la sucesion de autovalores y {hm}m=1 la correspondiente base ortonormal de aut-ofunciones del problema [PU] y {k}k=1 la sucesion de autovalores y {wk}k=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [PA]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por
km = k + m, vkm(r, , z) = wk(r, )hm(z), k,m N.
Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos primero {k}=0la sucesion de autovalores y {k}k=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema de contorno (problema periodico unidimensional)
[P] () = (); (0) = (2pi), (0) = (2pi).
Solucion de los problemas multidimensionales 207
Ahora, para cada k N, consideremos {kn}n=1 la sucesion de autovalores y {kn}n=1 la cor-respondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )
[P]k (r(r)) +kr(r) = r (r); (R) = 0, acotada en r = 0.
Entonces, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados por
kn, kn(r, ) = k()kn(r), k N, n N
y por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados respectivamente por
knm = kn + m, knm(r, , z) = k()kn(r) hm(z), k N, , n,m N.
La sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de [PU], estandadas por
m =pi2
4`2(2m 1)2 h(z) =
2`
sen( pi
2`(2m 1) z
), m N,
mientras que los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son
0 = 0, v0 =
12pi, n = n2, wn() =
1pi
sen(n ), vn() =
1pi
cos(n ), n N.Por otra parte, el mismo razonamiento que el efectuado en el Problema 7 muestra que la sucesionde autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA], estandeterminadas por las expresiones
20nR2
, v0n =1
Rpi J1(0n)
J0(0nR
r), n N,
2knR2
, wkn =
2Rpi Jk+1(km)
Jk(knR
r)
sen(k), k, n N,2knR2
, vkn =
2Rpi Jk+1(km)
Jk(knR
r)
cos(k), k, n N
donde para cada k N, {kn}n=1 es la sucesion de ceros positivos de Jk. Por tanto, la solucion delproblema se expresa como
u(t, r, , z) =
2R`pi
m,k=1
T0mk(t)J1(0m)
J0(0mR
r)
sen( pi
2`(2k 1) z
)
+2
R`pi
n,m,k=1
(Knmk(t) sen(n) + Tnmk(t) cos(n)
)Jn+1(nm)
Jn(nmR
r)
sen( pi
2`(2k 1) z
),
donde para cada n,m, k N
T 0mk(t) + c20mk T0mk(t) = 0, T0mk(0) =
2
R`pi J1(0m)
f0mk, T0mk(0) = 0,
T nmk(t) + c2nmk Tnmk(t) = 0, Tnm(0) =
2R`piJn+1(nm)
fnmk, Tnmk(0) = 0,
K nmk(t) + c2nmkKnmk(t) = 0, Knmk(0) =
2R`piJn+1(nm)
fnmk, Knmk(0) = 0,
208 Metodo de separacion de variables
con
f0mk = R
0
pipif(r, ) J0
(0mR
r)
sen( pi
2`(2k 1) z
)r dr d dz,
fnmk = R
0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
cos(n) sen( pi
2`(2k 1) z
)r dr d dz,
fnmk = R
0
pipif(r, ) Jn
(nmR
r)
sen(n) sen( pi
2`(2k 1) z
)r dr d dz.
Por tanto, si nmk = cnmk =
c
2`R
4`22nm +R2pi2(2k 1)2, resulta que
T0m(t) =f0mk
2
R`pi J1(0m)
cos(0mk t),
Tnm(t) =2fnm
R`piJn+1(nm)
cos(nmk t), Knm(t) =2fnm
R`piJn+1(nm)
cos(nmk t).
Para finalizar,
u(t, r, , z) =2
R2`pi
m,k=1
f0mkJ21 (0m)
cos(0mk t)J0(0mR
r)
sen( pi
2`(2k 1) z
)
+4
R2`pi
n,m,k=1
(fnmksen(n) + fnmkcos(n)
)J2n+1(nm)
cos(nmk t) Jn(nmR
r)
sen( pi
2`(2k 1) z
)