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Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010 Filtros Pasivos de RF 1 Capítulo 8 Filtros pasivos de RF Filtros pasivos de RF Funciones de un filtro pasivo de RF Permite el paso con baja atenuación de Permite el paso con baja atenuación de una banda de frecuencia: Banda de Paso (Pass Band) Produce una alta atenuación en otra banda de frecuencia: Banda Eliminada (Stop Band) 2 (Stop Band) No se especifica la atenuación en las Bandas de Transición

EC0908-Filtros.ppt [Modo de compatibilidad]€¦ · Filtros Pasivos de RF 6 Chebyshev paso bajo Rizado=0.5dB Respuesta en frecuencia L(dB) 10 50 60 70 80 90 100 2 3 5 4 11-1 -0.5

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Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 1

Capítulo 8

Filtros pasivos de RFFiltros pasivos de RF

Funciones de un filtro pasivo de RF

Permite el paso con baja atenuación dePermite el paso con baja atenuación de una banda de frecuencia: Banda de Paso (Pass Band)Produce una alta atenuación en otra banda de frecuencia: Banda Eliminada (Stop Band)

2

(Stop Band)No se especifica la atenuación en las Bandas de Transición

Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 2

Esquemas de bandas

L(dB)L(dB)

Banda de paso

Atenuación en la BE

Banda espuria

3

f

Banda eliminada Banda eliminada

de paso

Rizado en la BP

Atenuación en la BP

Especificaciones

Función de transferencia H(ω)Función de transferencia H(ω)Banda o bandas de pasoAtenuación máxima en la banda de pasoRizado en la banda de pasoTiempo de retardo en la banda de paso

4

Rizado en el tiempo de retardoBanda o bandas eliminadasAtenuación mínima en la banda eliminada

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Filtros Pasivos de RF 3

Funciones de filtradoTipo de respuesta Función de Transferencia Circuito Paso-Bajo

1Butterworth

(maximalmente plano) nF 22

2

11ωε+

=

Chebyshev

(Rizado constante en

la banda de paso) ( )[ ]( )[ ] 1 sicoshcosh)(T

1ω sicoscos)(T

)(T11

1

1

222

>=<=

+=

ωωωωω

ωε

nn

F

n

n

n

Chebyshev Inverso )(T 2 ω s

11010 −=Rizado

ε

5

Chebyshev Inverso

(Rizado constante en

la banda eliminada) )(T)(T

)(T

222

2

ωωωε

ωs

nsn

nF

+=

Elíptico

(Rizado constante en

la banda de paso y en

la banda eliminada)

∏= −

−+

=n

k k

kmF

122

222

2

11

1

ωωωω

ωε

Funciones de filtrado.Respuesta en amplitud.

50

20

25

30

35

40

45L(dB)

Butterworth

ElípticoChebyshev inversoChebyshev

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

ω’

Elíptico

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Filtros Pasivos de RF 4

Funciones de filtrado.Respuesta en tiempo de retardo.

5τ(s)

2

3

4

( )

ButterworthChebyshevChebyshev inversoElíptico

70 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

ω’

Prototipo Butterworth paso bajo

g gBanda de paso 0<ω’<1nF 22

2

11ωε+

=

Orden g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 2.0000 1.00002 1.4142 1.4142 1.00003 1.0000 2.0000 1.0000 1.00004 0 7654 1 8480 1 8480 0 7654 1 0000

g0 g1

g2

g3

g4

g5g6

Banda eliminada ω’>ω’1

Rizado en la banda de paso R=3dB

Pérdidas en la banda de paso F(ω’1)dB

1 ωε+

110 10)(

−=dBR

ε

8

4 0.7654 1.8480 1.8480 0.7654 1.00005 0.6180 1.6180 2.0000 1.6180 0.6180 1.00006 0.5176 1.4142 1.9320 1.9320 1.4142 0.5176 1.00007 0.4450 1.2470 1.8020 2.0000 1.8020 1.2470 0.4450 1.00008 0.3902 1.1111 1.6630 1.9620 1.9620 1.6630 1.1111 0.3902 1.00009 0.3473 1.0000 1.5320 1.8790 2.0000 1.8790 1.5320 1.0000 0.3473 1.000010 0.3129 0.9080 1.4142 1.7820 1.9750 1.9750 1.7820 1.4142 0.9080 0.3129 1.0000

Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 5

Prototipo Butterworth paso bajoRespuesta en frecuencia

L(dB)

50

60

70

80

90

100( )

2

3

4

510

9

-1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

Log(ω’-1)

n=1

1.1'=ω 2'=ω 11'=ω 101'=ω

Prototipo Chebyshev paso bajo Rizado=0.5dB

Banda de paso 0<ω’<112F =

Elemento Orden

g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 0.6986 1.0000 2 1 4029 0 7071 1 9841

g0 g1

g2

g3

g4

g5g6

Banda eliminada ω’>ω’1

Rizado en la banda de paso RdB

Pérdidas en la banda de paso F(ω’1)dB

)(T1 22 ωε n

F+

=

110 10 −=Rizado

ε

10

2 1.4029 0.7071 1.9841 3 1.5963 1.0967 1.5963 1.0000 4 1.6703 1.1926 2.3661 0.8419 1.9841 5 1.7058 1.2296 2.5408 1.2296 1.7058 1.0000 6 1.7254 1.2479 2.6064 1.3137 2.4758 0.8696 1.9841 7 1.7273 1.2583 2.6381 1.3444 2.6381 1.2583 1.7273 1.0000 8 1.7451 1.2647 2.6364 1.3590 2.6964 1.3389 2.5093 0.8796 1.9841 9 1.7504 1.2690 2.6678 1.3673 2.7230 1.3673 2.6678 1.2690 1.7504 1.0000

10 1.7543 1.2721 2.6754 1.3725 2.7392 1.3806 2.7231 1.2458 2.5239 0.8842 1.9841

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Filtros Pasivos de RF 6

Chebyshev paso bajo Rizado=0.5dB Respuesta en frecuencia

L(dB)10

50

60

70

80

90

100( )

2

3

4510

11-1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

Log(ω’-1)

n=1

2

Transformación de frecuencia.

Tipo Frecuenciasde transición

Función detransformación

Transformada de Lserie

Transformada deC paralelo

Paso ω1 ωω

'= Lg Ri= 0 C

gi=Bajo ωω

=1

L =1ω

CR

=0 1ω

PasoAlto

ω1 ωωω

'= 1 Cg Ri

=1

0 1ωL

Rgi

= 0

1ωPasoBanda

ω1 y ω2ω

ωω

ωω

' = −⎛

⎝⎜

⎠⎟

1

0

0

wω ω ω0 1 2=

w =−ω ωω

2 1

LC serie

Lg Rw

Cw

g R

i

i

=

=

0

0

0 0

ω

ω

LC paralelo

LwRg

Cg

R w

i

i

=

=

0

0

0 0

ω

ω

12

ω0

BandaElimi-nada

ω1 y ω2 ωωω

ωω

'=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

w

0

0

ω ω ω0 1 2=

w =−ω ωω

2 1

0

LC paralelo

Lg wR

Cg wR

i

i

=

=

0

0

0 0

ω

LC serie

LR

g w

CwgR

i

i

=

=

0

0

0 0

ω

ω

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Filtros Pasivos de RF 7

Transformación de frecuencia

L(dB) L(dB)L(dB) ( )

13

f

f0f1

f3

Diseño de filtros

1 S fij l álib d d1. Se fija el gálibo deseado2. Se transforma del gálibo a paso bajo normalizado (Tabla

8.2)3. Se selecciona el tipo de filtro: Butterworth, Chebyshev..4. Se diseña el filtro paso bajo normalizado (Apéndice 8.1)5. Se transforman componentes:

1 Desnormalización de frecuencia (Tabla 8 2)

14

1. Desnormalización de frecuencia (Tabla 8.2)2. Conversión de L y C a redes LC (Tabla 8.2)3. Transformación de impedancias respecto de generador

y carga6. Diseño del filtro de cavidades a partir de las redes LC

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Filtros Pasivos de RF 8

Ejemplo 8.1Chebyshev paso bajo Rizado=0.5dB

L(dB)10

50

60

70

80

90

100( )

2

3

4510

54.6dB

15-1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

Log(ω’-1)

n=1

2

31.4dB

8.8dB

Cavidades más frecuentesTipo de Cavidad Margen de

frecuencia Factor de

calidad Otros factores o comentarios

Circuitos LC 1MHz a 1GHz 104 a 102 Q limitado por las bobinas Circuitos LC (Integrados de

1GH a 10GH

102 a 10

Bobinas y capacidades impresas en el AsGa(Integrados de

microondas) 1GHz a 10GHz 102 a 10 en el AsGa

Cristal de Cuarzo 100kHz a 100MHz 106 a 104 Muy estables

Cerámicas de OAS (SAW)

10MHz a 1GHz 106 a 104 Muy estables Filtros fijos

Resonadores en Líneas planas

100MHz a 10GHz 103 a 10 Fáciles de construir Compatibles con otros circuitos

Resonadores en Líneas coaxiales

100MHz a 10GHz 104 a 102 Fáciles de construir, poco estables con la temperatura

Cavidades en Guía 1GHz a 100GHz 105 a 103 Poco estable con la temperatura

16

Cavidades en Guía de Onda

1GHz a 100GHz 10 a 10 Poco estable con la temperatura

Cavidades Dieléctricas

1GHz a 20 GHz 105 a 103 Muy estables Reducido tamaño

Diodos varactores

10MHz a 20 GHz

102 a 10

Sustituyen a la capacidad en circuitos LC o como capacidad de ajuste

Cavidad YIG 100MHz a 10GHz 104 a 103 Variable con el campo magnético de polarización

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Filtros Pasivos de RF 9

Filtros de alta frecuencia. Cavidades

En muchos casos no podemos trabajar conEn muchos casos no podemos trabajar con elementos discretos L y CEl elemento de diseño es la cavidad resonante.Es frecuente trabajar con cavidades cuando:

La frecuencia es muy alta: Cavidades en guía, Cavidades dieléctricas etc.

17

Cuando el filtro es muy selectivo: Cavidades de cuarzo o cerámicasCuando necesitamos elementos variables.

Parámetros de un filtro de cavidad

⎧ XElemento resonante serie

( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⇒⎪⎭

⎪⎬

===

0

0

0

00

0

0

0

2

11

ωω

ωω

ωωω

ω

ω

ω

XX

dd

jQ

XZ

RLQCLX

LC

0

X

0ωCavidad resonanteCerca de la resonancia se puede

18

Cerca de la resonancia se puede caracterizar con

0

X

QX y , 00ω

( )( )( )4444 34444 21

serie Cavidad

Xdd

2X

0X

0

00

0

ω

ωω

ω=

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Filtros Pasivos de RF 10

Parámetros de un filtro de cavidadElemento resonante paralelo

( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

ω=ω

ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

+=ω⇒

⎪⎭

⎪⎬

ω===ω

ω 0

0

0

00

0

0

0

Y2Ydd

jQ1YY

GCQLCY

LC1

0

Cavidad resonante• Cerca de la resonancia se puede

19

• Cerca de la resonancia se puede caracterizar con Qy Y , 00ω

( )( )( )4444 34444 21

paralelo Cavidad

Bdd

2B

0B

0

00

0

ω

ωω

ω=

=ω 0

B

Modelo de filtro de cavidades acopladas.

GG

Inversor

J01

Resonadorparalelo

B1

Inversor

J12

Resonadorparalelo

B2

Inversor

J23

Resonadorparalelo

B3

Inversor

J34

GbGa

11

11

01 ++

+ === nbnn

iiii

a wbGJbbwJwbGJ

20

11,

11,

1001

++

++

nnnn

iiii gggggg

LC

ddBb ==

= 0

)(2

0

ωωωωω

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Filtros Pasivos de RF 11

Elementos de acoplo

Esquema Constante de inversión

Tipo de Cavidades

Comentarios

-C

C

-C

J=ωC Paralelo Banda Ancha De uso muy

yfrecuente

-C

C

-C

K=1/ωC Serie Banda Ancha

-L -LL

J=1/ωL Paralelo Banda Ancha Poco utilizado por tener inductancias

lt

21

muy altasK

L1 L2

J=1/ωM=1/ωK(L1L2)1/2 k=ωM L1 y L2 deben formar parte de los circuitos resonantes.

Paralelo Serie

Banda muy ancha Muy utilizado

Z0

L=λ/4

J=1/Z0 K=Z0

Paralelo Serie

Banda estrecha Utilizado en filtros de microondas

Ejemplo de filtro de cavidad

22

Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 12

Ejemplo de filtro de cavidad

Guia de Onda

Cavidad

Acoplo por IrisEntrada

Salida

23

Efecto de las pérdidas

Atenuación en la banda de pasoAtenuación en la banda de paso

Limitación de la atenuación máxima en la banda eliminada

∑=

=n

1i i

i0 wQ

g344dBL .)(

( )L dB L Q Ln ⎛

⎜⎞

∑( ) 20 104

24

Reducción de la pendiente entre bandas

( )L dB Log g wQ Logg gi i

i n∞

= +

= −⎝⎜

⎠∑( ) 20 10101

100 1

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Filtros Pasivos de RF 13

Preguntas de TestP8.1 Los cristales de cuarzo permiten la construcción de filtros de banda muy estrecha por su

alto factor de calidad pero están limitados aproximadamente a la banda:alto factor de calidad, pero están limitados aproximadamente a la banda:a) 1kHz a 100kHzb) 100kHz a 100MHzc) 1MHz a 1000MHzd) 10MHz a 10GHz

P8.2 Las pérdidas por disipación en la banda de paso de un filtro paso banda:a) Aumentan al aumentar el factor de calidad de los resonadores.b) Aumentan al aumentar el número de etapas del filtro.c) Aumentan al aumentar el ancho de banda relativo del filtro.

25

)d) Aumentan al disminuir la frecuencia central del filtro.

P8.3 Si se quiere un filtro paso banda de banda muy estrecha en una frecuencia central de 15GHz utilizaremos:

a) Componentes LC de alto factor de calidad.b) Cristales de cuarzo de alta frecuencia.c) Cavidades en guía de onda metálica.d) Circuitos integrados monolíticos de AsGa.

Preguntas de TestP8.4 Las pérdidas por disipación en la banda de paso de un filtro paso banda...

a) Son inversamente proporcionales al factor de calidad de los elementos resonantesa) Son inversamente proporcionales al factor de calidad de los elementos resonantes.b) Aumentan al aumentar el número de etapas del filtro.c) Aumentan al disminuir del ancho de banda relativo del filtro.d) Todos los anteriores son ciertos.

P8.5 Actualmente se está investigando en filtros de microondas con materiales superconductoresporque:

a) Son filtros que generan poco ruido.b) Son filtros de muy bajas pérdidas.c) Non insensibles al pulso electromagnético en explosiones nucleares.

26

) p g pd) Tienen tamaños muy pequeños.

P8.6 Un filtro SAW (Onda Acústica Superficial) utiliza cerámicas piezoeléctricas y funciona en labanda de:

a) 50 GHz a 200 GHz.b) 10GHz a 50GHz.c) 2GHz a 10GHzd) 0.1 GHz a 2 GHz.

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Filtros Pasivos de RF 14

Preguntas de TestP8.7 Las cavidades en guía de onda no se suelen utilizar para construir filtros en frecuencias

inferiores a 1GHz porque:inferiores a 1GHz porque:a) Tienen muchas pérdidas en la banda de paso.b) Su tamaño es muy grande.c) No existen guías de onda en frecuencias tan bajas.d) Sólo se utilizan en circuitos integrados de microondas.

P8.8 Los resonadores LC se utilizan poco para hacer filtros de microondas porque:a) Son muy pequeños y tienen muchas pérdidas.b) Son muy grandes para los sistemas modernos de reducido tamaño.c) Las bobinas de microondas necesitan núcleos de ferrita.

27

)d) Los condensadores de microondas varían mucho con la temperatura.

Preguntas de TestP8. 9 Las transformaciones de frecuencia (descritas en el apartado 8.2) tienen por objeto:

a) Construir filtros para altas frecuencias utilizando componentes de bajas frecuenciasa) Construir filtros para altas frecuencias utilizando componentes de bajas frecuencias.b) Considerar el efecto pelicular en los diseños.c) Simplificar el diseño de los filtros transformándolos en filtros paso bajo.d) Simplificar el diseño de los filtros transformándolos en filtros paso bajo con frecuencia de corte

normalizada.

P8.10 Si se diseña un filtro paso banda a partir de un filtro normalizado:a) Las L serie se transforman en C paralelo y viceversa.b) Las L se transforman en asociaciones LC serie y las C en asociaciones LC paralelo.c) Las L serie se transforman en L paralelo.

28

) pd) Las L se transforman en C y viceversa.

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Filtros Pasivos de RF 15

Ejercicio 8.4El transmisor de un radioenlace para televisión analógica en la banda de 11 GHz permite trasmitir

12 canales en cada sentido con modulación en frecuencia (FM) y con multiplexación por12 canales en cada sentido con modulación en frecuencia (FM) y con multiplexación por división en frecuencia (FDM). La banda base de la señal de televisión es de 5.5MHz y se modula en FM con una desviación máxima de frecuencia de 7MHz. La separación entre portadoras es de 40MHz. En el diseño del transmisor se plantean dos alternativas que deben obtener una potencia total de salida de 50w.

Canal1

Modul.FM

O ador

Amp. dePotencia

Filtro decanal Canal

1Modul.

FM

Osc

Filtro decanal

29

Canaln

Modul.FM

Osc.F1

Osc.F1

Osc.

Osc.

f=F2+40

f=F2+40n

Com

bina

dor -

ate

nua

Filtro desalida Canal

nModul.

FM

Osc.F1

Osc.F1

Osc.

Osc.

f=F2+40

f=F2+40n

Filtr

om

ultip

lexo

r

Amp. dePotencia

Ejercicio 8.41. Determine la banda ocupada por canal. ¿Cuál es la misión del filtro de canal posterior a la conversión? P l l f i i t di F1 it filt dProponga un valor para la frecuencia intermedia F1 que permita un filtrado cómodo de la señal antes y después de la conversión. ¿Qué valor deberá tener F2 para que la frecuencia portadora del canal más bajo sea de 10515 MHz?

30

Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 16

Ejercicio 8.42. La primera solución forma la señal completa en niveles bajos de potencia y requiere un amplificador de potencia lineal para asegurar que no existe i t d l ióintermodulación. Determine el punto de cruce de la intermodulación de tercer orden (PI3) a la salida del amplificador para que la relación entre potencia de señal y productos de intermodulación (S/I) a la salida sea mejor de 30dB en el caso peor. (Suponga el filtro de salida sin pérdidas)

31

Ejercicio 8.43. La segunda solución permite amplificadores no lineales de alto rendimiento, pero el filtro multiplexor puede ser difícil de construir en guía de onda. D t i l ú d t i l filt d d l i h dDetermine el número de etapas necesarias para el filtro de cada canal si ha de rechazar el canal adyacente 20dB. Estime la atenuación que impone cada filtro si el factor de calidad de las cavidades utilizadas es de 3000. (Suponga un Chebyschev de rizado 0.5dB y utilice las gráficas adjuntas)

32

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Filtros Pasivos de RF 17

Ejercicio 8.44.- Estime el rendimiento total del transmisor en cada uno de los dos casos suponiendo que las etapas previas a las de potencia tienen un consumo total de 30 w. Haga las suposiciones que crea conveniente sobre los rendimientos parciales de los amplificadores de potencia. ¿Qué solución elegiría?

33

Respuesta en frecuencia del filtro Chebyschev

100L(dB)

510

30

40

50

60

70

80

90

2

3

45

34

-1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

Log(ω’-1)

n=1

Respuesta de atenuación en la banda atenuada del filtro de Chebyschev Rizado=0.5dB

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Filtros Pasivos de RF 18

Problema 3: Sept. 2007

Se quiere analizar un sistema transceptor (transmisor y receptor) de q p ( y p )Bluetooth para comunicaciones inalámbricas entre ordenadores portátiles. El sistema propuesto está basado en el circuito integrado ML7050LA de OKI Semiconductors, y su esquema de bloques es el siguiente:

ML7050LA

DEMOD BB (RX)

ML7050LA

DEMOD BB (RX)

35

PLL Modulador FSK

BB (TX)PLL Modulador FSK

BB (TX)

Problema 3: Sept. 2007

El funcionamiento del dispositivo es el siguiente: el sistema tiene una p gúnica antena y un único filtro que funcionan tanto en transmisión como en recepción.

• El conmutador de salida del circuito ML7050LA selecciona la rama de transmisión o la de recepción.

• El receptor es superheterodino siendo el primer elemento un amplificador de bajo nivel de ruido (LNA), al que le sigue un mezclador con rechazo de banda imagen (IRM). A continuación están el filtro de frecuencia intermedia y el amplificador de

i i bl L ñ l d il d l l d t d l

36

ganancia variable. La señal de oscilador local de entrada al mezclador IRM la genera el propio PLL de la rama de transmisión, activando el conmutador de la rama de transmisión.

• El transmisor es homodino, y consta de un modulador FSK basado en un VCO estabilizado con un PLL sintetizador de frecuencia, un amplificador de baja señal y un amplificador de potencia.

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Filtros Pasivos de RF 19

Prob. 3: Sept. 2007: Cadena tx.

Los datos generales del sistema son:• Banda de paso del filtro de entrada: 2 4 a 2 5 GHz• Banda de paso del filtro de entrada: 2.4 a 2.5 GHz• Frecuencias portadoras: 2402 a 2480 MHz con saltos de 1 MHz. Nótese

que en transmisión y en recepción se utiliza la misma banda de frecuencia.

• Frecuencia intermedia: 2 MHz• El sistema de espectro ensanchado funciona en modo salto de frecuencia

con una velocidad de salto de 1600 saltos/sg

Cuando el sistema funciona en transmisión el PLL modulador FSK genera una

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Cuando el sistema funciona en transmisión, el PLL modulador FSK genera unaseñal de -30 dBm de potencia. El sistema está compuesto por un amplificador debaja señal, un amplificador de potencia y el filtro de salida. Además existen dosconmutadores en la cadena que se pueden considerar sin pérdidas. El filtro desalida es de Chebysev de ε=0.5 dB, cuya frecuencia central es de 2450 MHz ytiene un ancho de banda de 100 MHz

Prob. 3: Sept. 2007: Cadena tx.

1 Calcule el número de etapas para conseguir un rechazo de 45 dB a la1. Calcule el número de etapas para conseguir un rechazo de 45 dB a la frecuencia de 2 GHz. Calcule las pérdidas añadidas en la banda de paso de dicho filtro, si el factor de calidad de los resonadores es igual a 200. ¿Es posible alcanzar esta atenuación de 45 dB con el filtro diseñado? (4p)

2. Si la potencia de salida del sistema Bluetooth es de 20 dBm y el mezclador de la cadena receptora necesita un oscilador local de -10 dBm de potencia para su correcto funcionamiento, calcule las ganancias de los dos amplificadores. Indique también cuál es el punto de compresión a 1 dB de

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ambos amplificadores. (3p)

3. Justifique qué tipo de amplificador de potencia utilizaría, y estime el rendimiento del sistema transmisor incluyendo el filtro de salida, sabiendo que el consumo del PLL modulador FSK y del primer amplificador es de 10 mW. (3p)

Electrónica de Comunicaciones Curso 2009/2010

Filtros Pasivos de RF 20

Prob. 3: Sept. 2007: Cadena tx.

100L(dB)

10

40

50

60

70

80

90

2

3

45

39

-1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

Log(ω’-1)

n=1