MODELOS DE VECTORES AUTORREGRESIVOS(Modelos VAR)

1. Introduccin Modelos Macroeconomtricos a gran escala Tradicionalmente, las pruebas de hiptesis y predicciones macroeconomtricas se realizaban con modelos macroeconomtricos de gran escala. Se estimaban ecuaciones estructurales de forma individual y luego se agregaban. Ejemplo: ecuaciones de consumo (para cada componente), de inversin, gasto de gobierno, exportaciones, importaciones, sector financiero; ecuaciones de determinacin de diferentes precios. Sims (1980) critica la validez de los supuestos de comportamiento "ad hoc" de estos modelos: Cul es el criterio para eliminar regresores en las ecuaciones? Estas restricciones bsicamente restringen las funciones de utilidad. Modelos Uniecuacionales (funciones de transferencia) Por otro lado, muchos monetaristas usaban ecuaciones forma-reducida para analizar los efectos de poltica sobre la macroeconoma. Ejemplo, el modelo de St. Louis (Anderson y Jordan, 1968):

Donde: es el cambio en el PBI nominal, el cambio en la base monetaria y el cambio en el dficit presupuestal. La hiptesis nula que la suma de coeficientes es cero se rechaza para la poltica monetaria, pero no para la poltica fiscal. Se concluye que la poltica fiscal no es efectiva; slo la poltica monetaria es efectiva. Sims seala que este tipo de anlisis uniecuacional tambin presenta problemas pues: No hay seguridad acerca del nmero de rezagos ptimo. La presencia de autocorrelacin en los residuos de un modelo AR(p) implican sesgo e inconsistencia. Es posible que exista doble causalidad entre PBI nominal y dinero.

A partir de estos dos tipos de modelos, Sims (1980) propone estimar modelos macroeconmicos a gran escala como formas reducidas irrestrictas, tratando como endgenas a todas las variables.

2. Modelo VAR estructural y forma reducida Es una generalizacin de los modelos AR(p) univariados: cada serie se modela como un proceso AR(p) e incluye los rezagos de las otras variables.

Sea el siguiente sistema estructural bivariado, denominado VAR estructural:

Donde los errores son ruido blanco: Este es un modelo VAR de orden 1 (nmero mximo de rezagos) de dos variables.

En notacin matricial:

La forma reducida se denomina modelo VAR estndar (o simplemente modelo VAR):

Las ecuaciones especificas del modelo VAR son:

Punto crucial: los errores de cada ecuacin forma reducida son combinaciones lineales de los errores de cada ecuacin de la forma estructural:

Lo cual implica que:

En cada ecuacin, los errores de la forma reducida son ruido blanco: Sin embargo, entre ecuaciones forma reducida, los errores forma reducida estn correlacionados:

As, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de la forma reducida es:

El modelo VAR es un sistema de ecuaciones en diferencias estocsticas. Se puede demostrar que la condicin de estabilidad del modelo VAR implica que las series sean estacionarias.

3. Estimacin del modelo VAR La estimacin del modelo VAR es ecuacin por ecuacin y se usa MCO, pues es un sistema en "forma reducida": El estimador MCO es consistente y asintticamente eficiente. El estimador MCO es igual de eficiente que el estimador SUR pues los regresores son los mismos en todas las ecuaciones. La estimacin del modelo VAR involucra lo siguiente: Determinar las variables que se incluyen en el modelo, lo cual depender del modelo econmico relevante. Determinar el nmero de rezagos "ptimo" para minimizar la "sobre-parametrizacin" del modelo. El nmero de rezagos se determina utilizando pruebas de rezagos ptimos basadas en criterios de informacin (AIC, SIC, HQC), el estadstico ratio de verosimilitud (LM) y prueba de prediccin (FPE), entre otros. Si las series son no estacionarias, Sims, Stock y Watson (1990) recomiendan "no diferenciarlas", pues la idea del modelo VAR no es determinar los coeficientes estimados, sino determinar la interrelacin entre las variables. El modelo estimado puede usarse para predecir, de manera anloga a la prediccin basada en modelos uniecuacionales AR(p).

4. Estimacin del modelo VAR estructural: Identificacin Usualmente, el inters se centra en estimar los parmetros estructurales del modelo VAR. Para esto, tenemos dos opciones: Estimar las ecuaciones estructurales utilizando un enfoque de variables instrumentales (las ecuaciones deberan estar exactamente o sobre-identificadas). Estimar los parmetros estructurales a partir de los estimados de la forma reducida, para lo cual se necesita un modelo exactamente identificado. Es posible identificar los parmetros de la forma reducida a partir de los parmetros de la forma estructural? La respuesta es: NO, a menos que se impongan restricciones al modelo estructural. El modelo estructural est (sub o sobre) identificado si el nmero de parmetros estructurales es (mayor o menor) igual al nmero de parmetros de la forma reducida que pueden ser estimados. El modelo estructural tiene 10 parmetros, mientras que el modelo reducido tiene 9 parmetros estimables. Necesitamos imponer una restriccin sobre el modelo estructural. Sims (1980) usa una restriccin que implica un tipo de identificacin recursiva: En el modelo analizado, una restriccin de este tipo es Esta restriccin implica que es exgena. Esta restriccin modifica el modelo estructural de la siguiente forma:

O, en notacin matricial:

Las ecuaciones especficas del modelo VAR (forma reducida) son las mismas:

O, en notacin matricial:

Los errores de la forma estructural son identificables a partir de la estimacin de los errores de la forma reducida, pues:

Es decir,

La descomposicin de los residuos de la forma reducida es tal que la matriz B es triangular (superior). A esta descomposicin se denomina "descomposicin de Cholesky". En la prctica, la descomposicin de Cholesky implica supuestos sobre la exogeneidad de las variables, denominado "ordenamiento" de las variables: En este caso, se asume que zt es exgena pues no se ve afectada contemporneamente por choques en yt. En este caso, el "ordenamiento" de las variables es z, y

5. Funciones Impulso-Respuesta (FIR) Las funciones impulso-respuesta permiten medir la respuesta de yt (zt) ante un choque luego de i periodos de ocurrido. Se obtienen a partir de la representacin "medias mviles" vectorial (VMA) del vector autorregresivo forma reducida, VAR.

Las secuencias de coeficientes que dependen del perodo "i" se denominan funciones impulso-respuesta (FIR). Por ejemplo, mide la respuesta de yt ante un choque luego de i periodos de ocurrido el choque.

Observaciones importantes La estimacin de las FIR dependen crucialmente de la identificacin del modelo. Una forma de identificar el modelo es usando la descomposicin de Cholesky, la cual implica una identificacin recursiva: Para cada posible ordenamiento "Cholesky" se obtienen diferentes funciones impulso respuesta (FIR): Si la correlacin entre residuos (de la forma reducida) es cercana a uno (cero), entonces las diferencias entre las FIR para diferentes ordenamientos Cholesky tienden a ser mayores (menores).

6. Descomposicin de la Varianza (DV) Un modelo VAR tiene el problema de sobreparametrizacin, pues se imponen el mismo nmero de rezagos en todas la ecuaciones. A pesar de ello, las propiedades de los errores de prediccin (obtenidos a partir del modelo estimado) ayudan mucho a descubrir las interrelaciones de las variables del sistema. La denominada descomposicin de la varianza (DV), que se basa en los errores de prediccin, es otra herramienta que junto con las FIR- permite analizar las implicancias de un modelo VAR. La DV permite calcular la porcin del total de la varianza de cualquier de las variables del modelo VAR que es explicada por algunos de los errores estructurales.

6.1. Errores de prediccin y errores forma reducida El error de prediccin "un perodo hacia adelante" (one-step ahead forecast) es:

El error de prediccin "dos perodos hacia adelante" (two-step ahead forecast) es: As, el error de prediccin "n perodos hacia adelante" es:

6.2. Errores de prediccin y errores estructurales Considere nuevamente la representacin VMA del modelo VAR:

El error de prediccin "un perodo hacia adelante" (one-step ahead forecast) es:

El error de prediccin "dos perodos hacia adelante" (two-step ahead forecast) es:

En general, el error de prediccin "n perodos hacia adelante" es:

A partir de esta expresin, el error de prediccin para yt es:

6.3. La descomposicin de la varianza. Adems de las funciones impulso-respuesta, el anlisis de los modelos VAR se basa en la descomposicin de la varianza de las variables, la cual se basa en los errores de prediccin. La varianza de yt+n basada en el error de prediccin es:

La descomposicin de la varianza de la prediccin de yt basada en el error de prediccin (forecast error variance decomposicin) est dada por: Esta descomposicin indica la proporcin del movimiento de una variable debido a sus "propios choques", , y a los choques de la otra variable, Si los choques no explican nada de la varianza de error de prediccin de en todo el horizonte de prediccin, se dice que la secuencia es exgena: En este caso, la secuencia evoluciona de manera independiente de los choques y de la secuencia . En el caso opuesto, la variable yt sera completamente endgena. En las aplicaciones, lo usual es que en horizontes cortos cada variable explique casi toda su varianza, mientras que esta explicacin disminuye con horizontes ms largos. La descomposicin de la varianza, al igual que las FIR dependen de la identificacin del modelo y es sensible al "ordenamiento" Cholesky. 7. Pruebas de hiptesis Para probar cualquier tipo de hiptesis o restriccin entre ecuaciones (cross-equation restrictions), , se puede utilizar una prueba Ratio de Verosimilitud (LR). Para ello, es importante identificar la matriz de varianzas y covarianzas del modelo irrestricto, , y del restringido, . Adems, si las ecuaciones del modelo irrestricto contienen diferente nmero de regresores, es til definir "c" como el mximo nmero de regresores contenido en la ecuacin ms grande. Con esta informacin, la estructura de la prueba LR para "q" hiptesis o restricciones es la siguiente:

La prueba LR puede utilizarse para determinar el nmero de rezagos ptimo. Sin embargo, presenta dos problemas potenciales: Slo es vlida cuando un modelo es una versin restringida del otro. Es una prueba asinttica que no necesariamente se comporta bien en muestras pequeas. Sin embargo, es posible utilizar los criterios de informacin multivariados de Akaike, Schwarz y Hannan-Quinn.

donde "N" es el nmero total de parmetros estimados en todas las ecuaciones.

Observaciones Si se concluye que algunos rezagos de ciertas ecuaciones no son significativos, el modelo VAR deja de ser simtrico. Un modelo VAR con diferente nmero de rezagos, y por ende con diferentes regresores para cada ecuacin, se denomina modelo "near-VAR". Un modelo "near-VAR" debe estimarse utilizando la metodologa SUR, pues en este caso es ms eficiente que MCO.

8. Causalidad a la Granger Considere la siguiente ecuacin dinmica que incluye series estacionarias: Se dice que "z" no causa en el sentido de Granger a "y" si los rezagos de "z" no mejoran la prediccin de "y" basada slo en sus propios rezagos. En trminos de los coeficientes, "z" no causa en el sentido de Granger a "y" si sucede que: . 8.1. Prueba de Causalidad en el sentido de Granger Si las series son estacionarias, para este VAR(1) de dos variables la causalidad en el sentido de Granger de zt a yt se basa en:

8.2. Prueba de Causalidad en el sentido de Granger por Bloques Para evaluar si es necesario incorporar una variable en el VAR se puede utilizar una prueba de exogeneidad/causalidad (en el sentido de Granger) por bloques. La idea es determinar si los rezagos de una variable causa en el sentido de Granger a alguna de las otras del sistema. Sea un modelo VAR con 3 variables y "p" rezagos:

La estructura de la prueba de causalidad a la Granger por bloques es:

8.3. Precedencia y Causalidad

A pesar del nombre, la prueba de Granger no es una prueba de causalidad en el sentido causa-efecto. La ausencia de causalidad en el sentido de Granger de zt a yt no es suficiente para concluir que yt es exgeno. Para que la variable yt sea exgena es necesario que el valor contemporneo de zt no la afecte.

8.4. Ejemplo de causalidad en el sentido de Granger

En los aos 1970s, exista el consenso de que las fluctuaciones en el dinero contenan informacin importante sobre los valores futuros de los precios y del ingreso real. Ms an, el argumento en favor de una poltica monetaria activa era que exista una relacin sistemtica entre los valores actuales de la oferta monetaria y los valores futuros de los precios y/o ingreso real. Sin embargo, se publicaron trabajos, como el de Friedman y Kuttner (1992) en donde se encontraba evidencia que esta relacin se haba quebrado. En particular, Friedman y Kuttner afirmaban que le problema era determinar si las fluctuaciones en el dinero ayudaban a predecir fluctuaciones futuras en el ingreso que no eran predichas usando el propio ingreso u otras variables ya observadas. Para ello, parte de su anlisis se bas en una versin modificada de la ecuacin de St. Louis, que incluye las primeras diferencias del logaritmo del ingreso nominal, , la cantidad de dinero, , y el gasto pblico, : Los resultados muestran que: Todos los agregados monetarios causan en el sentido de Granger al ingreso nominal con datos anteriores a 1980. Ninguno de los agregados monetarios causa en el sentido de Granger al ingreso nominal para muestras que incluyen datos de los aos 1980s.

9. Modelo VAR y series no estacionarias Cuando se trabaja con un modelo VAR que contiene series estacionarias y no estacionarias, es importante tomar en cuenta los siguientes resultados: Es posible realizar pruebas "t" y "F" sobre los parmetros asociados a las series estacionarias. Las pruebas de rezagos ptimos puede realizarse sobre cualquier variable o conjunto de variables, independientemente que sean estacionarias o no estacionarias. Bajo ciertas condiciones, es posible usar una prueba "F" para saber si una serie no estacionaria causa en el sentido de Granger a otra. Este caso sucede si la variable causal puede aparecer slo en primeras diferencias. Para ilustrar el punto anterior, considere el siguiente ejemplo: Sean xt, yt y zt series integradas de orden 1. Asuma que es posible escribir la ecuacin para yt como: Es posible determinar si zt causa en el sentido de Granger a yt . No es posible determinar si xt causa en el sentido de Granger a yt . No se puede evaluar la hiptesis conjunta . Si un VAR con series no estacionarias puede ser especificado completamente en primeras diferencias (i.e. cuando no cointegran), entonces pueden llevarse a cabo pruebas de hiptesis usando las pruebas "t" y "F" para cualquier ecuacin o conjunto de ecuaciones. 10. Ejemplo: Midiendo el efecto de la poltica monetaria en el Per 10.1. Grficos de las series

Los grficos de las series muestran evidencia de estacionariedad, resultado que debe ser ratificado por pruebas de races unitarias. Sin embargo, recordemos que es posible estimar un modelo VAR con series estacionarias y no estacionarias, y que en algunos casos an podemos llevar a cabo pruebas de hiptesis.

10.2. Pruebas de raz unitaria

Se concluye que DPR es estacionaria; sin embargo, no se puede rechazar la hiptesis de raz unitaria para la tasa de crecimiento del PBI real, DLYA.

La prueba KPSS muestra evidencia a favor de la estacionariedad de DLYA:

La teora econmica indica que la tasa de crecimiento del PBI real es estacionaria.

10.3. Estimacin del modelo VAR(4)

10.4. Anlisis de estabilidad del modelo VAR(4)

El modelo VAR es estable pues todas las races son menores a uno en mdulo.

10.5. Pruebas de rezagos ptimos, considerando hasta 12 rezagos.

De acuerdo a los criterios FPE y AIC el nmero de rezagos ptimo es 4, mientras que de acuerdo a los criterios LR, SC y HQ es 2.

10.6. Anlisis de los residuos

10.7. Causalidad en el sentido de Granger

Al 1% de significancia, la variable DLYA causa en el sentido de Granger a la variable DPR, pero no viceversa.

10.8. Correlacin entre los residuos de las ecuaciones Si la matriz de correlaciones muestra que los residuos no estn correlacionados, entonces el ordenamiento Cholesky no afectar las funciones impulso-respuesta y la descomposicin de la varianza. Sin embargo, en este modelo los residuos si estn correlacionados. Por ello, ordenamiento Cholesky es importante para los resultados .

10.8. Funciones impulso-respuesta (10 perodos)Ordenamiento Cholesky: DLYA, DPR Ante un choque positivo en DPR (cambio de la tasa de referencia) equivalente a un desvo estndar (0.15 puntos porcentuales 15 puntos bsicos), la tasa de crecimiento del PBI (DLYA) aumenta luego de dos perodos en 0.03 puntos porcentuales. Esto significa que el PBI crece 0.03 puntos porcentuales adicionales a la tasa de crecimiento que hubiera prevalecido en ausencia del choque de tasa de inters. Por ejemplo, en vez de crecer 5% hubiera crecido en 5.03%. El efecto mximo del choque de tasa de inters sobre el producto se da luego de 4 perodos (0.05 puntos porcentuales). Sin embargo, tomando en cuenta las bandas de confianza, el nico efecto estadsticamente significativo sobre DLYA se da en el perodo 4.

Ordenamiento Cholesky: DPR, DLYA Ante un choque positivo en DPR (cambio de la tasa de referencia) equivalente a un desvo estndar (0.15 puntos porcentuales 15 puntos bsicos), la tasa de crecimiento del PBI (DLYA) aumenta luego de dos perodos en 0.04 puntos porcentuales. Esto significa que el PBI crece 0.04 puntos porcentuales adicionales a la tasa de crecimiento que hubiera prevalecido en ausencia del choque de tasa de inters. Por ejemplo, en vez de crecer 5% hubiera crecido en 5.04%. El efecto mximo del choque de tasa de inters sobre el producto se da luego de 4 perodos (0.07 puntos porcentuales). Sin embargo, tomando en cuenta las bandas de confianza, los nicos efectos estadsticamente significativo sobre DLYA se dan en los perodos 3 y 4.

10.10. Descomposicin de la varianza (20 perodos) Ordenamiento Cholesky: DLYA, DPR En el corto plazo, la varianza de la prediccin de DPR est explicada principalmente por sus propios choques: 95% el primer y segundo perodo de prediccin, mientras que slo 5% es explicado por choques de DLYA. Sin embargo, a partir del tercer perodo en adelante, el porcentaje de la varianza de DPR explicada por sus propios choques empieza a decrecer hasta alcanzar 59% en el largo plazo, mientras que los choques de DLYA aumentan su importancia a 41%. Adems, la varianza de la prediccin de DYLA est explicada por sus propios choques en el corto plazo: 100% el primer perodo, 98% y 96% el segundo y tercer perodos de prediccin, mientras que la diferencia es explicada por choques de DPR (0%, 2% y 4% el primer, segundo y tercer perodo respectivamente). Este comportamiento se mantiene en el largo plazo: 92% de la varianza de la prediccin de DLYA est explicada por sus propios choques, mientras que slo 8% se explica por choques en DPR.

En resumen, el anlisis de la descomposicin de la varianza sugiere que la tasa de crecimiento del PBI, DLYA, muestra un comportamiento independiente de DPR, pero no viceversa.

Ordenamiento Cholesky: DPR, DLYA El anlisis es similar al caso anterior.

10.11. Prediccin con el modelo VAR estimado con MCO

10.12. Estimacin de un modelo near-VAR (usando SUR) y prediccin Dado que DPR no causa en el sentido a la Granger a DLYA, el modelo se reduce: la ecuacin de DLYA no incluye rezagos de DPR. Por ello, el sistema de dos ecuaciones tiene que ser estimado usando el estimador SUR.

Prediccin del modelo near-VAR

11. Extensiones de los modelos VAR Una de las extensiones ms utilizadas en la literatura son los modelos VAR estructurales o SVAR. La idea es identificar el modelo VAR (para recuperar los parmetros estructurales) utilizando restricciones consistentes con un modelo econmico. La descomposicin de Cholesky es un caso particular de descomposicin estructural, donde las restricciones implican un modelo recursivo. Los modelos SVAR ms utilizados se basan en: Descomposiciones estructurales de corto plazo: Bernanke (1986), Sims (1986). Descomposiciones estructurales de largo plazo: Blanchard y Quah (1989).

MODELOS DE VECTORES AUTOREGRESIVOS ESTRUCTURALES (Modelos SVAR) 1. Introduccin El enfoque VAR de Sims (1980) tiene la propiedad deseable que todas las variables son tratadas de forma simtrica, de tal forma que el econometrista no se basa en cualquier identificacin increble. Un VAR puede ser muy til para: Analizar la relacin entre un grupo de variables econmicas. Predecir. Algunas crticas comunes a los modelos VAR son: El nico rol de la economa es determinar que variables deben ser incluidas. La contabilidad de las innovaciones (innovation accounting) requiere un orden, pero ste es ad-hoc. Los errores en una descomposicin de Cholesky no tienen una interpretacin econmica directa a menos que el modelo estructural pueda ser identificado a partir del VAR forma reducida. Una de las extensiones ms utilizadas en la literatura son los modelos VAR , estructurales o SVAR, el cual permite: Identificar los errores estructurales a partir de los errores de un modelo VAR. Estimar los parmetros de un modelo estructural dinmico a partir de la estimacin de los parmetros del VAR. Los modelos SVAR ms utilizados se basan en: Descomposiciones estructurales de corto plazo: Bernanke (1986), Sims (1986). Descomposiciones estructurales de largo plazo: Blanchard y Quah (1989).

2. Modelo Dinmico Estructural y VAR Vamos a demostrar que un modelo VAR puede ser visto como la forma reducida de un modelo dinmico estructural. Considere el siguiente modelo dinmico estructural:

Las variables endgenas son gt y rt . Los rezagos de gt y rt , denominadas variables pre-determinadas, son variables exgenas. En cada ecuacin hay ms de una variable endgena, que capturan efectos contemporneos. Cada error estructural ut es un proceso ruido blanco:

Los errores entre ecuaciones estructurales no estn correlacionados, es decir . Asi, la matriz de variabzas y covarianzas de los errores estructurales puede escribirse como:

En trminos matriciales, el modelo dinmico estructural se representa como:

Usando notacin matricial: B0 se denomina la matriz de efectos contemporneos. B0 no tiene que ser simtrica necesariamente. En este caso, dado que , ambas variables se afectan mutua contemporneamente. Todo sistema dinmico bien definido tiene una representacin denominada forma reducida. Esto es, puede escribirse como funcin de trminos conocidos: parmetros, errores y variables exgenas y/o pre-determinadas. En trminos matriciales, la forma reducida del modelo dinmico estructural es:

Donde,

y, dado que . De esta forma, un modelo VAR puede verse como la forma reducida de un modelo estructural dinmico.

3. errores ortogonales y errores estructurales En el modelo anterior, los errores estructurales del modelo anterior estn relacionados a los errores de su representacin VAR, de donde: Por otro lado, los errores ortogonalizados de un modelo VAR cualquiera se pueden obtener usando la descomposicin :

Si fuera el caso que , entonces los errores ortogonalizados del VAR coincidiran con los errores del modelo estructural: Esto no siempre sucede. Cuando sucede, entonces el mtodo de ortogonalizacin Cholesky permitira identificar errores estructurales. Dado que A es triangular inferior, A-1 tambin lo es. Entonces requiere que sea triangular inferior. En el ejemplo analizado, que B0 sea triangular inferior equivale a imponer una restriccin "cero" sobre los parmetros de la matriz de efectos contemporneos.

o, en notacin matricial: La serie de errores de la forma estructural son identificables a partir de la estimacin de los errores de la forma reducida, pues:

4. Estimacin del modelo estructural Usualmente, el inters se centra en estimar los parmetros estructurales del modelo VAR. Para esto, tenemos dos opciones: Estimar las ecuaciones estructurales utilizando un enfoque de variables instrumentales (las ecuaciones deberan estar exactamente o sobre-identificadas). Estimar los parmetros estructurales a partir de los estimados de la forma reducida, para lo cual se necesita un modelo exactamente identificado. Es posible identificar los parmetros de la forma reducida a partir de los parmetros de la forma estructural? No, a menos que se impongan restricciones. Para estimar los parmetros estructurales a partir de los parmetros forma reducida, se requiere asegurar que existe una relacin nica (o ms de una) entre ellos. Identificacin exacta: si existe una relacin nica (nmero de parmetros de la forma reducida es igual al nmero de parmetros estructurales). Sobre-identificacin: si existe ms de una relacin (nmero de parmetros de la forma reducida es mayor al nmero de parmetros estructurales). Sub-identificacin: si no es posible establecer alguna relacin (nmero de parmetros de la forma reducida es menor al nmero de parmetros estructurales). Para el ejemplo estudiado, la relacin se obtiene a partir de:

El objetivo es encontrar una solucin para los parmetros estructurales,

Observaciones En general, se requieren restricciones sobre el modelo estructural para identificarlo a partir del modelo VAR estimado. Esta identificacin estructural se denomina recursiva, pues requiere que sea triangular inferior a travs de una "restriccin cero" o restriccin de exclusin. Sin embargo, es posible identificar el modelo imponiendo restricciones que no impliquen un B0 sea triangula inferior.

5. VAR Estructural de Sims (1986) Modelo de 6 variables, datos trimestrales para el perodo 1948Q1-1979Q3. Las variables son el PNB real (y) , inversin real ajustada por el ciclo (i), el deflactor del PNB (p), la oferta de dinero medida como M1 (m), la tasa de desempleo (u), la tasa de inters de bonos del tesoro americano (r). Se estima un VAR con 4 rezagos y un intercepto. Obtiene 36 funciones impulso respuesta (IRFs) usando la descomposicin de Cholesky con el ordenamiento: Algunas IRFs parecen razonables, aunque la del dinero no pues sugiere que ste tiene poco efecto sobre os precios, el producto o la tasa de inters. Sims propone una identificacin alternativa consistente (estructural) con el equilibrio del mercado de dinero.

Sims interpreta las dos primeras ecuaciones como la oferta y demanda por dinero. Las innovaciones a la inversin son autnomas. Se imponen 17 restricciones en la matriz de efectos contemporneos, por lo cual el sistema est sobre-identificado. Para determinar si las restricciones son vlidas se aplica una prueba de "restricciones sobre-identificadoras". La prueba estadstica que permite evaluar la validez de restricciones (o hiptesis) contenidas en la expresin vectorial , tiene la siguiente estructura:

La prueba estadstica que permite evaluar la validez de restricciones (o hiptesis) contenidas en la expresin vectorial , tiene la siguiente estructura:

6. VAR Estructural de Blanchard y Quah (1989) Falta..

6.5. Resultados Algunos detalles del modelo estimado: Usan la primera diferencia del logaritmo del PBI real y el nivel de desempleo (Des). Desempleo presenta una tendencia aparente y hay una desaceleracin en el crecimiento real que empieza a mediados de 1970s. Estiman cuatro modelos VAR: dos incluyen una tendencia determinstica en el desempleo y dos una variable dummy para el crecimiento real. Usan datos trimestrales (1950Q2-1987Q4) y estiman un VAR(8). Anlisis de los choques estructurales: Dos tipos de choques: con efectos transitorios y con efectos permanentes. Presentan un modelo donde choques de demanda tienen efectos transitorios sobre el producto, y choques de oferta tienen efectos permanentes sobre el producto. Identificacin: Los choques de demanda no tienen efectos de largo plazo en el PBI real. En trminos de la representacin VMA,