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Profesora: Dolores García Martos
E-mail:[email protected]
Variables aleatorias y procesos
estocásticos. La FAC y el correlograma
Este documento es un resumen de la
documentación elaborada por D. Antoni Espasa
Econometría II
Grado en finanzas y contabilidad
Variables aleatorias y procesos estocásticos
•Se pretende construir un modelo para explicar la estructura y prever la
evolución de una variable que se observa a lo largo del tiempo.
•Los datos se disponen a intervalos regulares (meses, trimestre, años,
etc.)
•Se utiliza la información que proporciona la propia historia de la serie
La ley estadística que “gobierna” el comportamiento de la serie se
supone se mantendrá en el futuro.
•El marco teórico es La Teoría de procesos estocásticos
Es el modelo matemático o soporte teórico de una serie
temporal
Suponemos que el valor observado de una serie en el instante “t” es
una extracción al azar de una variable aleatoria definida en dicho
instante.
Por tanto, una serie temporal será una muestra de un vector de n
variables aleatorias ordenadas en el tiempo.
Se llama proceso estocástico al conjunto de las variables
Variables aleatorias y procesos estocásticos
Procesos estocásticos estacionarios
• No nos interesan las variables aleatorias independientemente, sino
conjuntamente
• Necesitamos saber la distribución de probabilidad conjunta. Bajo
determinadas condiciones, la estructura probabilística del proceso
aleatorio {W(t)}1 está completamente especificada y tendrá una
distribución de probabilidad:
F (W(t1), W(t2),……………….W(tn))
• La idea es que la distribución conjunta de un elevado número de
puntos servirá para describir el comportamiento global del proceso
1Nomenclatura estándar de un proceso estocástico estacionario
Procesos estocásticos estacionarios
Procesos estocásticos estacionarios
Si el proceso es gaussiano (sigue una distribución normal multivariante),
la estacionariedad en sentido estricto coincide con sentido amplio
• Un proceso gaussiano queda completamente definido por su
media, varianza y covarianzas (los momentos de orden
superior a dos son cero)
Procesos estocásticos estacionarios
Procesos estocásticos estacionarios
• La estacionariedad implica que la covarianza entre dos variables del
proceso solo dependen del desfase entre ellas
• La estacionariedad se obtiene diferenciando la serie y aplicando
logaritmos ( caso concreto de la transformación de Box-Cox).
•A partir de las covarianzas y, más concreto, de las correlaciones se
podrá tomar decisiones sobre el tipo de modelo estadístico más
adecuado para la serie.
•Con la imposición de estacionariedad, se ha reducido el número de
parámetros: µ, γ0 ,γk, k=1,2,3…..
•Todavía queda un número elevado de parámetros por γk
Procesos estocásticos estacionarios
• Dado el alto número de parámetros que se tiene, se necesita una
condición más:
• ERGODICIDAD (consistencia)
• Para realizar inferencia estadística sobre los parámetros se tiene una
serie temporal de T observaciones. Al aumentar el número de
observaciones aumentará el número de parámetros desconocidos.
•La lógica económica indica que las observaciones dependen de las
inmediatamente anteriores y que su relación con observaciones lejanas
es cada vez más pequeña e incluso inexistente.
•La condición de ergodicidad:
Una condición suficiente es que el lim γk = 0 cuando k tiende a
infinito
La correlación serial (entre variables) disminuye a medida
que nos alejamos en el tiempo (k tiende a infinito)
Proceso ruido blanco
•Es el modelo más simple de series temporales. Se trata de una
serie puramente aleatoria y se representa por at.
•Una serie temporal se corresponde con un proceso estocástico
ruido blanco cuando:
Su esperanza es constante,µ, e igual a cero
cov (at, at+k)= 0 para todo k≠ 0
• Se trata de un proceso en el que todas sus variables son
independientes.
•Ejemplos: los números ganadores de la lotería
Cada número es independiente del anterior
No hay dependencia entre el pasado y el futuro
Proceso ruido blanco
-0,0150
-0,0100
-0,0050
0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
1 6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
• La variable tiempo no influye. Al no haber dependencia entre
las variables, es totalmente impredecible.
•Ni siquiera habrá un valor medio que predecir
Ruido blanco (white noise)
Proceso ruido blanco
• El proceso ruido blanco va a tener un papel fundamental en la estimación
de modelos de series temporales
•Un modelo de series temporales adopta la siguiente expresión:
Wt = f(pasado) + at = f(W t-1, W t-2,…….)+ at
En t-1 la función es conocida
Pero at será desconocida (recuérdese que es una variable
aleatoria que no se puede predecir)
Sobre la base de la información conocida (pasado de la serie) se
puede obtener la predicción de la variable en Wt-1
Ŵ(t-1)+1 es la predicción de la variable que se obtiene a partir
de la función matemática sobre el pasado.
Entonces:
W t = Ŵ (t-1)+1 + a t
Es decir, la diferencia entre el valor real y la predicción es
at y se denomina innovación o sorpresa
Proceso ruido blanco
Proceso sendero aleatorio
El proceso sendero aleatorio adopta la siguiente expresión:
• X t = X t-1 + a t siendo at un proceso con estructura de ruido blanco
a t es un shock aleatorio que se incorpora a la serie en cada momento
Tiene una raiz unitaria ( coeficiente de X t-1) , por tanto, la serie muestra
un perfil evolutivo. Es no estacionario.
La desviación del presente con respecto al periodo inmediatamente
anterior es totalmente aleatorio
No presenta un crecimiento sistemático
•Es característico de mercados eficientes:
Un elevado número de agentes con información completa
Adaptan su comportamiento a la información disponible. Dado un
precio (por ej) en t-1, como no hay más información disponible, éste es el
precio que toman para futuro
En t, ocurren sucesos inesperados, información que incorporan a
la disponible y se conforma un nuevo precio que es el que toman de
referencia y utilizan a futuro
99,96
99,98
100,00
100,02
100,04
100,06
100,08
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Proceso sendero aleatorio
Serie temporal generada por un proceso sendero aleatorio
•Se parte de X0 =100
• a t se distribuye normal con media cero y desviación típica 0,005
Proceso sendero aleatorio
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios
Función de autocovarianza
• En un proceso gaussiano estacionario la media y la varianza son
independientes del tiempo y la covarianza entre dos variables va a
depender del desfase temporal, k, que halla entre ellas.
•Cov (W t , W t+k )= γ(k)= γ k ,para k= 1, 2, 3,…., para todo t
•γ k = E{ (Wt - µ) (W t+k - µ)}
• La función γ(k), se denomina “función de autocovarianzas del proceso” . Y
tiene las siguientes propiedades
•γ 0 > 0 ya que es la varianza
•γ k= γ -k es decir, es igual la covarianza entre una variable y otra
que presenta un desfase de k periodos ya sea hacia pasado (hacia
atrás) o hacia futuro (hacia futuro).
•| γ k | ≤ γ 0
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios
• Propiedades:
•Es simétrica
•Es semidefinida positiva. Es decir, El determinante de la matriz,Г, y
de todos sus menores principales son no negativos.
SI EL PROCESO NO ES ESTACIONARIO NO ESTÁN DEFINIDAS (la
media no es constante)
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios: Función de autocorrelación
Función de autocorrelación. FAC
• La función de autocovarianzas depende de la unidad de medida empleada.
Por ello, es importante buscar una expresión que sea independiente de dicha
unidad de medida. De ahí, el concepto de correlación.
Cor (W t , W t+k )= ρ(k)= γ k /γ0 ,para k= 1, ± 2, ± 3,…, para todo t
• La función ρ(k), se denomina “función de autocorelación del proceso” . Es
una función libre de las unidades de medida de la variable. Mide la
dependencia lineal existente entre las variables.
La FAC son parámetros fijos de la función de densidad conjunta del
vector de variables W 1 ,……………,W T y recoge la dependencia de
variables distanciadas por k periodos.
• Tiene las siguientes propiedades:
•ρ 0 =1
•ρ k= ρ -k es decir, es igual la correlación entre una variable y otra que
presenta un desfase de k periodos ya sea hacia pasado (hacia atrás) o
hacia futuro (hacia futuro).
•| ρ k | ≤ 1
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios: Función de autocorrelación
• En un proceso estacionario gaussiano toda la dependencia entre las
variables viene recogida por la FAC.
• Las matrices de autocovarianza y de autocorrelaciones tienen las
propiedades de ser simétricas, semidefinidas positivas y Toeplitz
• Hay que estimar:
La media
Varianza y T-1 covarianzas
T-1 correlaciones
• No obstante, en realidad hay el número de parámetros a estimar es
menor, porque estamos suponiendo que el proceso es ergódico, es decir,
a medida que nos alejamos del momento t, las covarianzas tienden a cero
A partir de un determinado retardo S< T γ k =0 para todo k>s
En definitiva se tendrán que estimar S+1 parámetros
La dependencia temporal en los procesos estocásticos
estacionarios: Función de autocorrelación
• Dada una serie temporal generada por un proceso estocástico estacionario
y ergódico, la media muestral es un estimador consistente de la media
poblacional
• La varianza de la media muestral la aproximaremos por la varianza del
proceso (estimada mediante la varianza muestral) dividida entre T (bajo la
hipótesis de ruido blanco)
•La media es asintóticamente normal
Estimación de la FAC
• Como consecuencia de que el proceso estocástico se supone ergódico, a
partir de un determinado retardo S, las autocorrelaciones serán
prácticamente nulas.
•El correlograma es la secuencia r 1 , r 2 ……….. de estimadores de los
correspondientes parámetros de la FAC
Estimación de las autocorrelaciones
•Estos estimadores son funciones, a su vez, de variables aleatorias y,
por tanto, son también variables aleatorias. Tendrán una distribución
de probabilidad, con esperanza y varianza.
•rk se distribuye asintóticamente normal y es insesgado. Es decir,
esperanza matemática es el parámetro poblacional ρk
•Su varianza viene dada por la expresión:
Var(r k ) ≈ 1/T Σqk=-q ρ
2k
Sustituyendo los parámetros poblacionales por sus
estimadores se obtendrá la fac muestral.
La varianza aumenta al aumentar k.
•Un correlograma está formado por las correlaciones estimadas y sus
desviaciones típicas.
Estimación de FAC´s
El correlograma: contrastes de significación
• Los valores del correlograma oscilarán con valores distintos de cero
aunque los correspondientes valores de la FAC sean cero.
•Es necesario contrastar mediante el estadístico “t” a partir de un
valor del correlograma, si el correspondiente parámetro de la FAC
es cero
Contraste de la Q
• Se denomina contraste de Box-Pierce & Ljung-Box
• Es un estadístico para contrastar la existencia de una correlación
superior a la de orden uno.
La hipótesis nula es que no hay autocorrelación de orden k.
•Se distribuye como un chi-cuadrado con un número de grados de
libertad igual al número de autocorrelaciones que se contrastan.
• El estadístico es el siguiente:
• Q= T (T+2) Σj=1k r2
j / (T-j)
El correlograma: contrastes de significación
