EconometriaI Teoría

Econometra I VERANO - 2014-III EPIES-FIECS Msc. Magen Infante

Magen Infante 1

ECONOMETRIA I

I. INTRODUCCION

Econometria

Dos palabras de origen griego: Economa y Medida (Koutsoyiannis, 1977:3).

Trmino introducido por Ragnar Frisch en 1926, de origen noruego, para referirse a

estudios econmicos que hacen uso de mtodos estadsticos.

Desde sus orgenes y por su propia definicin, la econometra se ha movido entre

los campos de las teoras econmica y estadstica. As, en la medida en que ha

sido empleada tanto para proponer nuevas formulaciones como para apoyar o,

en su caso, refutar planteamientos ya hechos en la propia teora econmica, la

econometra se ha nutrido de las aportaciones de economistas cuyo campo de

accin es fundamentalmente la teora econmica (algo semejante puede decirse

de quienes centran su inters en la poltica econmica). Pero, simultneamente,

en la medida en que la econometra supone la aplicacin de la teora estadstica,

diversos estadsticos han incursionado en el terreno de aquella hacindola

evolucionar.

(Fuente: Para una breve historia de la econometra, Jos Fernndez Garca*/

Claramartha Adalid Daz de

Urdanivia)

En la literatura podran darse otras definiciones como:

1. Aplicacin de la Estadstica matemtica a la informacin econmica para dar

soporte emprico a los modelos construidos por la Economa Matemtica y

obtener resultados numricos.

2. Anlisis cuantitativo de fenmenos econmicos reales, basados en el desarrollo

simultneo de la teora y la observacin, relacionados mediante mtodos

apropiados de inferencia.

Es un apoyo para disipar la imagen de la Economa, considerada como una materia

donde se hacen afirmaciones y supuestos que para diferentes economistas tienen

diferentes interpretaciones.

Una clasificacin desde el punto de vista estadstico podra ser:


Magen Infante 2

Econometra Terica

Clsica

Bayesiana

Econometra Aplicada

Bayesiana

Clsica

En este curso desarrolla el enfoque clsico y aplicado

Econometra Aplicada

Utiliza herramientas de la Estadstica para estudiar modelos de algunos campos

especiales de la economa, los negocios u otros. En particular, puede estudiar temas

conocidos como:

1. Empleo

2. Desempleo

3. Crecimiento econmico

4. Consumo

5. Produccin

6. Inversin

7. Demanda y oferta

8. Inflacin

9. Importaciones

10. Portafolio, etc.


Magen Infante 3

II. QUE ES UN MODELO ECONOMETRICO

Modelo

Es una representacin simplificada de la realidad, estructurada de tal forma que permita

comprender el funcionamiento total o parcial de esa realidad o fenmeno.

Es una representacin formal de ideas o conocimientos acerca de un fenmeno

(teoras) que generalmente se traducen bajo la forma de un conjunto de ecuaciones

matemticas. Carneiro de Matos, Orlando; 2da Edicin;

Editora Atlas S.A., Sao Paulo - Brasil 1997

Clasificacin de los modelos

Como visto anteriormente, es una representacin simplificada de la realidad, que

involucra:

A. Por la Forma funcional

a. Lineales.- aquellos donde los parmetros son expresados en forma lineal o

pueden ser transformados a lineales.

b. No lineales.- lo contrario de lo anterior.

B. Por el nmero de ecuaciones

a. Uniecuacionales.- El modelo consta de solo una ecuacin.

cWbXaY b. Multi-ecuacionales.- El modelo consta de varias ecuaciones.

cWbXaY

fQeWdZ

tZY

C. Por la asociacin de las variables con el tiempo

a. Estaticos.- Todas las variables se refieren a un mismo periodo de tiempo.

ttt cWbXaY

b. Dinmicos.- Las variables se refieren a distintos periodos de tiempo.

ttt cWbXaY 1

D. Por la finalidad

a. Previsin.

b. Decisin.


Magen Infante 4

Modelo economtrico

Como visto anteriormente, es una representacin simplificada de la realidad, que

involucra:

a) Relaciones o ecuaciones.- Modelo matemtico.

b) Variables.- Caractersticas de inters observables que pueden tomar

distintos valores.

c) Parmetros.- (o coeficientes) son valores que permanecen constantes y son

desconocidos de aquella relacin matemtica.

d) Trmino aleatorio.- (perturbacin aleatoria) que representa a todas las

caractersticas que no han podido ser includas en el modelo o relacin

matemtica.

Proceso metodolgico de la Econometra

Fuente: Adaptacin de Intrilligator 1978


Magen Infante 5

Proceso metodolgico de la Econometra

Fuente: Adaptacin de Maddala 1996


Magen Infante 6

Teora

Econmica

Observacin

del

Mundo Real

Formulacin

de Hiptesis

Modelo

Matemtico

Modelo

Economtrico

Colecta de Datos

Apropiados

Estimacin

de los

Parmetros del

modelo

Evaluacin

de Resultados:

Hiptesis

del modelo

AceptablesNo Aceptables

Revisin

de la

Metodologa

Inferencia,

Previsin

Toma de

Decisiones

1ra ETAPA:

Especificacin oConstruccin delModelo

2da ETAPA:

Estimacin

del

Modelo

3ra ETAPA:

Evaluacin

del

Modelo

Estimado

Desistencia

de las

Hiptesis

Proceso Metodolgico de la Econometra

Fuente: Adaptacin de Carneiro de Matos, Orlando; 2da Edicin;



Magen Infante 7

Ejemplo: Proceso metodolgico de la econometra

1. Planteamiento de la teora o de la hiptesis.

2. Especificacin del modelo matemtico de la teora.

3. Especificacin del modelo economtrico de la teora.

4. Obtencin de datos.

5. Estimacin de parmetros del modelo economtrico.

6. Pruebas de hiptesis.

7. Pronstico o prediccin.

8. Utilizacin para fines de control o poltica.

1. Planteamiento de la teora o de la hiptesis.

Se establece un conjunto de hiptesis, leyes o conjeturas sobre el comportamiento de

un fenmeno de la vida real ya existente o contribuciones de nuevas teoras.

2. Especificacin del modelo matemtico de consumo.

Es una representacin formal de las ideas o conocimientos anteriormente mencionadas

acerca de las teoras que generalmente se traducen bajo la forma de un conjunto de

ecuaciones matemticas.

3. Especificacin del Modelo Economtrico de Consumo

Es la misma especificacin anterior pero incorporando un trmino aleatorio a la relacin

matemtica, ste trmino considerara todos los elementos que por alguna razn no

pueden ser considerados en la relacin matemtica.

El modelo matemtico dado en el paso 2, supone que existe una relacin exacta

determinstica entre las variables, lo que no es cierto en la mayora de los casos.

4. Obtencin de Informacin

Para estimar los valores desconocidos de la relacin economtrica, se necesitan datos,

generalmente se toman datos muestrales.

5. Estimacin del modelo economtrico

Los datos o informaciones obtenidas en el paso 4 permiten estimar los valores

desconocidos de la relacin matemtica para tomar decisiones.

6. Prueba de hiptesis

Para comprobar si los valores estimados concuerdan con la teora.

7. Proyeccin o prediccin

Si el modelo escogido confirma la teora, este modelo se puede utilizar para predecir

valores futuros o desconocidos.

8. Usos del modelo para fines de control o de poltica

Un modelo final estimado puede ser utilizado para fines de control o de poltica.


Magen Infante 8

Ejemplo 1: Teora Keynesiana del Consumo. (D. Gujarati)

a) Planteamiento de la teora o de la hiptesis.

KEYNES plantea:

La ley sicolgica fundamental. Consiste en que los hombres y mujeres como regla

general y en promedio, estn dispuestos a incrementar su consumo a medida que su

ingreso aumenta, pero no en la misma cuanta del aumento en su ingreso.

En otras palabras, Keynes postula que la propensin marginal a consumir (PMC), es

decir, la tasa de cambio del consumo generado por una unidad de cambio en el ingreso,

es mayor que cero pero menor que uno.

b) Especificacin del modelo matemtico de consumo.

Keynes postul una relacin positiva entre el consumo y el ingreso. Sin embargo, no

especific la relacin funcional entre las dos.

Por ejemplo, la forma ms simple de la funcin Keynesiana de consumo podra ser:

XY 21 10 2 (planteada por un Economista matemtico).

1 parmetro intercepto del modelo

2 parmetro pendiente del modelo, mide la PMC (Propensin Marginal a Consumir).

Y

X

PMC2

1

Intercepto1

}

}

Funcin Keynesiana de

Consumo

c) Especificacin del Modelo Economtrico de Consumo

El modelo matemtico dado en el paso 2, supone que existe una relacin exacta

determinstica entre el consumo y el ingreso. Pero las relaciones entre las variables

econmicas son en general inexactas.

Un econometrista modificara la funcin determinstica as

XY 21 10 2 = trmino de perturbacin o de error, es una variable aleatoria.

El trmino de representa todos aquellos factores que afectan el consumo pero que no son considerados en el modelo en forma explcita. Este ltimo sera


Magen Infante 9

el llamado Modelo de Regresin Lineal, el cual ser estudiado a lo largo del

curso.

d) Obtencin de Informacin

Para estimar los valores desconocidos de 1 y 2 se necesitan datos, por

ejemplo:

Mes Y=Consumo X=Ingreso

Enero 2009

Febrero 2009

Diciemb 2009

.

.

.

2505.6

2870.7.

.

.

.

.

.

3248.9

3761.3

4280.8

4822.1

e) Estimacin del modelo economtrico

A travs de un anlisis de regresin se obtendrn estimadores para 1 y 2 del

modelo teorico

XY 21 10 2

por ejemplo, se puede obtener:

XY 270.05.1 (Interpretar modelo ajustado) donde

1 =-1.5 estimador de 1 y

2 = 0.70 estimador de 2

f) Prueba de hiptesis

Si el modelo ajustado es una aproximacin razonablemente buena de la realidad, se

necesitan criterios apropiados para encontrar si los valores estimados obtenidos en una

ecuacin como la anterior, concuerda con las expectativas de la teora que est siendo

probada.

Del modelo anterior, Keynes esperaba que la PMC sea menor que 1.

Se quiere responder a la pregunta es 0.70 estadsticamente menor que 1?

Si lo es, puede apoyar la teora de Keynes.

Estos criterios son conocidos como parte de la Inferencia Estadstica.

g) Proyeccin o prediccin

Si el modelo escogido confirma la teora, este modelo se puede utilizar para predecir

valores futuros o desconocidos de la variable dependiente Y, siendo que se conoce el

valor de X (variable predoctora) y se utilizan los estimadores 1 y 2 anteriormente

hallados.


Magen Infante 10

h) Usos del modelo para fines de control o de poltica

Un modelo estimado como XY 270.05.1 puede ser utilizado para fines de control o

de poltica.

El gobierno por ejemplo podra manejar la variable de control

X Ingreso para producir el nivel deseado de la variable objetivo.

Y Consumo.

En resumen, en esta seccin hemos visto el planteamiento de un

modelo para un fenmeno de la realidad y la estimacin de este

modelo para luego interpretarlo. Ms adelante estudiaremos algo sobre

modelos.

Ejercicio: Responda:

1. Qu es un modelo?

2. Qu diferencia hay entre un modelo matemtico y un modelo economtrico?

3. Qu es un modelo no lineal?

4. Cules son las etapas del proceso metodolgico de la econometria?

5. Cules son los pasos del proceso metodolgico de la econometra?

6. Qu cree usted que es Especificacin de un modelo?

Carneiro de Matos, Orlando; 2da Edicin;


JMAEVResaltado


Magen Infante 11

III. CARACTERISTICAS DE LOS DATOS EN ECONOMETRA

Se puede encontrar los siguientes trminos como caractersticas de los datos

cuantitativos que podran ser empleados en anlisis de problemas de econometra:

1. Series de Tiempo

2. Datos de Corte Transversal

3. Datos Agrupados

4. Datos de Panel

5. Datos Agregados

6. Variables Ficticias

7. Variables Aproximadas

1. Series de tiempo

Esta informacin se obtiene de la observacin de la variable en diferentes periodos de

tiempo. En usual, que las series de tiempo tengan periodicidad diaria, semanal,

mensual, trimestral y anual. Las series de tiempo suelen estar altamente

correlacionadas debido a su evolucin paralela en el tiempo.

2. Datos de corte transversal

Consiste en datos de una o ms variables recogidos en un periodo de tiempo fijo y

determinado, registrados una sola vez para cada unidad. Puede ser, un da, una

semana, un mes, un ao, un periodo determinado para registrar una sola vez los datos.

3. Datos Agrupados

Los datos agrupados contienen informacin de corte transversal y de series de tiempo

juntos. Por ejemplo: En cada mes, se tomaron 3 registros de cada una de las 4

variables o caractersticas.

4. Datos de Panel ( longitudinales)

Este es un tipo especial de datos agrupados, en la cual la misma unidad de corte

transversal es observada a travs del tiempo.

Unidad

de tiempo V1 V2 V3 V4

ENERO

FEBRERO

MARZO


Magen Infante 12

5. Datos Agregados

Se dice de datos agregados cuando un economista cuenta con informacin agregada,

desconociendo el mtodo empleado para generarla.

Ejemplo: Se quiere estimar las Importaciones de un pas, (Mxico por ejemplo) se

deflacta las variables Importaciones mexicanas por el ndice de precios del productor

para bienes en los Estados Unidos.

Nota: Se produce un sesgo de sub o sobreestimacin

en el valor real de las importaciones ya que el ndice

citado difiere del ndice global de precios.

El ndice global podra calcularse, pero el costo y

dificultad en hacerlo podra no ser justificado.

6. Variables Ficticias

Son variables que toman valor 1 para una submuestra y 0 para la otra.

7. Variables Aproximadas

En ocasiones no se cuenta con informacin sobre alguna variable que interviene en el

modelo economtrico. Una posible solucin es utilizar una aproximacin a esta variable

bajo el supuesto de que su comportamiento es similar. A este tipo de datos se le llama

variable proxy y depende de la verificacin del supuesto.

Observacin:

En ocasiones, economistas con experiencia estudiando las estructuras de economa en

pases desarrollados donde se encuentra disponible gran parte de la informacin, no se

percatan de las restricciones de informacin que puedan existir en pases como el

nuestro por ejemplo. Si stos mismos profesionales desarrollan modelos para un pas

como el nuestro por ejemplo, es posible que no tenga la importancia prctica.


Magen Infante 13

IV. MODELO LINEAL SIMPLE

Modelo con dos variables

Un modelo linear es un intento de hacer un anlisis cuantitativo de la relacin que existe

entre la variable dependiente, con las variables explicativas para un conjunto de valores

observados de ambos tipos de variables. Un modelo lineal simple considera slo una

variable explicativa.

Otras denominaciones de la variable respuesta

Respuesta

Dependiente

Salida

Endgena

Regresiva

Explicada

Otras denominaciones de la variable explicativa

Estmulo

Independiente

Entrada

Exgena

Regresora

Explicativa

Predeterminada

Objetivo: Determinar un modelo con parmetros numricos que permita estimar o

aproximar el valor de una variable Y en base a otra variable X.

XY 21

Y variable dependiente o variable respuesta.

X variable explicativa error aleatorio

Ejemplo 3: (D. Gujarati)

Supngase un pueblo pequeo viven slo 60 familias. Se realiza un censo en este

poblado porque interesa a gobierno estudiar la relacin entre el Gasto de consumo


Magen Infante 14

familiar semanal Y; y el Ingreso familiar semanal X (luego de los impuestos de

ley).

En otras palabras, se quiere predecir el nivel de la media del Gasto de consumo

semanal por familia (de la poblacin) conociendo el ingreso semanal de la familia.

xxXYE 21)/(

ingresoingresoXConsumoE 21)/(

Se dividen las familias en 10 grupos, donde cada grupo tiene ingresos aproximados y

se registran las Gastos de consumo de cada familia para cada nivel de Ingresos.

Todos los registros son semanales.

Ingresos familiares semanales

X_i X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_10

Y 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

55 65 79 80 102 110 120 135 137 150

Gasto de 60 70 84 93 107 115 136 137 145 152

Consumo 65 74 90 95 110 120 140 140 155 165

Familiar 70 80 94 103 116 130 144 152 165 168

por 75 85 98 108 118 136 145 157 175 180

semana 88 113 125 140 160 180 185

115 162 191

173

E(Y/X=x) 65 77 89 100 113 125 137 149 161 173

60)(

60

1

Y

YE j

n

i

i

in

Y

XYE

j

1)/(

10,...,3,2,1

,...,3,2,1

j

ni j

As, tenemos: (para las familias)

La Esperanza o Promedio 65)80/( 1 XYE es el Consumo promedio semanal de

las familias que ganan 80 nuevos soles.

Similarmente,

El consumo promedio de las familias que ganan 160 es 113.

El consumo promedio de las familias que ganan 260 es 173.


Magen Infante 15

Funcin de regresin poblacional (FRP)

Muestra cmo el valor de Y vara en relacin a los valores de la variable X. Su forma

estocstica es la siguiente:

XY 21

1 y 2 son parmetros fijos, desconocidos (valores poblacionales) Se denominan coeficientes de regresin, intercepto, coeficiente de la pendiente de la

recta, etc.

As, el valor esperado de Y vara tambin de acuerdo a la variacin de X y se

denomina Lnea de Regresin Poblacional.

XXYE 21)/(

Interpretacin:

65)80/( XYE valor promedio de Y para 80X

La Regresin Poblacional para un valor particular de la variable dependiente es:

ii XY 21

Si en el modelo ii XY 21 reemplazamos cada uno de los valores de

consumo cuando el ingreso es 80X , nos da las siguientes expresiones:

1211 55 XY

2212 60 XY

3213 65 XY

4214 70 XY

5215 75 XY

La diferencia entre cada valor observado y cada valor promedio se debe al trmino de

perturbacin i

)()/( 21 XYXYEY iiii


Magen Infante 16

Interpretacin de i

Suponga que conseguimos conocer los valores de 1 y 2 , entonces slo faltara

conoce el valor del trmino de perturbacin i que representa a toda otra variable(s)

posible(s) de las que tambin depende iY que no estn incluidas en el modelo porque

es imposible medirlas. Tambin, i representa efectos aleatorios que no dependen

de las variables, denominada perturbacin estocstica o trmino de error estocstico.

1. Grfica de la FRP.- Lnea de Regresin Poblacional o Curva de Regresin

Poblacional. Es el lugar geomtrico de las esperanzas de la variable dependiente

para los valores fijos de las variables explicativas

La FRP en dos variables (en su forma estocstica) es

ii XY 21 .

Se grafica la esperanza de la FRP en dos variables: XXYE 21)/(

Y

X

)/( iXYE

80 220

149

101

65 *

*

*

Ingreso semanal140

Gasto de

Consumo

semanal

* : Media condicional

Lnea de Regresin

Poblacional

Esperanza Poblacional de Y dado iX : Cmo vara la esperanza de Y variando X.

Otra forma de escribir la FRP ii XY 21 es

ii XYEY )/(

Los valores de iY estn agrupados alrededor del valor esperado de todos los valores

de Y para un dado iX .


Magen Infante 17

Funcin de regresin muestral (FRM)

Es la que se obtiene a partir de una muestra de observaciones (no de la poblacin), y

se necesita estimar los parmetros del modelo lineal simple poblacional (o de la FRP), a

partir de la informacin proporcionada por la muestra. Su forma estocstica es la

siguiente:

ii XY 21

1 es un estimador de 1

2 es un estimador de 2

i es un estimador de i

iY aproxima (o es el ajuste de) iY

La Funcin de Regresin Muestral es:

XYi 21

iY estimador de )/( iXYE

1 estimador de 1

2 estimador de 2

i Al trmino de perturbacin obtenido de la muestra se le dice Residual.

)( 21 XYii

El i se estima a partir de los residuales i as: iii YY

Cuando no se dispone de toda la informacin poblacional, se toman muestras de Y

para valores dados de X.

Si se toman dos muestras aleatorias de Y para valores de X dados y se trazan dos

diagramas de dispersin de las muestras en el mismo grfico y se trazan las Lneas de

Regresin Muestral para cada muestra, se tiene:


Magen Infante 18

Y

X

.

.

. . ..

.

. . .

. .

.

.. . . . .

.

.

. ... .

.. .

FRM1

FRM2

Caractersticas:

1.- Cada lnea se conoce como lnea de regresin muestral.

2.- Cada lnea intenta representar la Funcin de Regresin Poblacional.

3.- Muestralmente, slo se considerar como aproximaciones de la verdadera FRP.

4.- Para n muestras, habrn n FRM, posiblemente todas diferentes.

Luego de obtener la informacin de una muestra y sustituirla en los estimadores, se

obtienen valores de 1 y 2 , a los que se les denomina valores estimados o

estimativas.

3. Estimacin

Dado que el objetivo principal es estimar la FRP: ii XY 21

Hallando la FRM: ii XY 21 ,

Como la FRM es apenas una aproximacin de la FRP, se desea una regla o un mtodo

que haga que esta aproximacin sea lo ms ajustada posible.

En otras palabras, se busca construir una FRM tal que 1 y 2 estn lo ms cercano

posible a los verdaderos valores de 1 y 2 , aunque nunca se llegue a conocer los

valores de 1 y 2 .


Magen Infante 19

Funcin de regresin muestral

X

FRM:

ii XXYE 21)/( FRP:

ii XY 21 .

.

.iiY

iY

iY

)/( iXYE

iX

4. Mtodo de Estimacin

El mtodo para la construccin de esta FRM es posible tanto para el caso bivariado

iii XY 21

como para el caso multivariado con k variables explicativas o independientes

iikkiii XXXY 23121

tambin visto en forma matricial para n observaciones como XY .

El mtodo ms utilizado para hallar la FRM es el Mtodo de Mnimos Cuadrados

Ordinarios (MCO).

Para utilizar el mtodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en la estimacin de los

parmetros, se requiere que el modelo sea lineal en los parmetros y se les conoce

simplemente como Modelos de Regresin Lineal.

Es posible que algunos modelos no presenten linealidad en los parmetros. Sin

embargo, es posible, a travs de una transformacin adecuada obtener un modelo

lineal en todos los parmetros, entonces, al modelo antes de la transformacin se le

considera como un Modelo de Regresin Lineal.


Magen Infante 20

5. Linealidad

Antes de obtener el modelo que mejor se ajuste al modelo real, conviene graficar las

observaciones de tal forma que permita lograr una configuracin a priori para facilitar la

eleccin de la forma funcional apropiada.

Las funciones reconocidas con ms frecuencia son:

(1) Lineal XY 10

(2) Cuadrtica 2

210 XXY

(3) Hiperblica o recproca X

Y1

10

(4) Semilogartmico )ln(10 XY

)ln()ln( 10 XY

(5) Semilogartmico inverso XY 10)ln(

(6) Logartmico o logartmico doble )ln()ln()ln( 10 XY

(7) Logartmico recproco X

Y1

)ln( 10

En los modelos de dos variables, la forma funcional puede deducirse a partir del

diagrama de dispersin, pero en un modelo de Regresin Mltiple, no es fcil

determinar la forma funcional apropiada porque grficamente no se puede visualizar los

diagramas de dispersin.

Todos los casos anteriores son funciones de regresin lineal en los parmetros.


Magen Infante 21

Y

X

Y

X

xy 10 xy 10

2

210 xxy

2

210 xxy

Y

X

Y

X

xy /10

xy /10 xy 10ln

Y

X

Y

X

xy 10ln

xy lnln 10

xy lnln 10

xy lnlnln 10

xy lnlnln 10

Ejemplo:

En el ejemplo de Consumo, i podra ser otras variables de las cuales tambin dependera el modelo como por ejemplo:

(21 XY Riqueza, tamao de la familia, consumo de un periodo

anterior, Variacin de precios al consumo, tasa de inters, etc. ) .


Magen Infante 22

Ejemplo:

Cules de los siguientes modelos pueden ser considerados lineales: (A, B, y son parmetros)

(1) eAXY

(2) XAY lnlnln

(3)

X

Y

(4) XY

Ejemplo:

Escriba 2 modelos no lineales con dos variables explicativas.

Laboratorio

1) Buscar una base de datos de por lo menos 5 variables explicativas (con la

variable dependiente son 6 variables).

2) Importar datos hacia R-project

JMAEVResaltado


Magen Infante 23

VI. MODELO LINEAL GENERAL CLASICO

Modelo lineal general

Suponga que existe una relacin lineal entre una variable Y , )1( k variables

explicativas 1X , 2X , kX y un trmino de perturbacin .

Modelo terico:

kkXXXY 23121

Para n observaciones se tiene un sistema de n ecuaciones de la forma:

iikkiii XXXY 23121 ni ....,2,1

1112311211 kkXXXY

nkkXXXY 222321212

nnkknnn XXXY 23121

matricialmente:

nknkn

k

k

n XX

XX

XX

Y

Y

Y

2

1

1

0

1

221

111

2

1

1

1

1

En notacin matricial:

11)1()1(1 nkknn XY .

o simplemente se puede escribir:

XY


Magen Infante 24

Escalarmente:

iY Variable aleatoria observable ni ....,2,1

ijX Variables no aleatorias observables fijas ni ....,2,1 , kj ....,2,1

j parmetros desconocidos kj ....,2,1

i error aleatorio no observable ni ....,2,1

Matricialmente:

Y Vector aleatorio observable

X Matriz de valores observables fijos

Vector de parmetros desconocidos Vector de errores aleatorios no observables

Supuestos del Modelo Lineal General Clsico

Escalarmente

(i) 0)( iE ni ,,2,1

(ii) 2)( iVar constante (homocedasticidad)

(iii) 0)( jiCov ji (no correlacin entre los errores)

(iv) ),0(2Ni (distribucin normal)

(v) No existe relacin lineal exacta entre los kXXX ,,, 21

(vi) los parmetros k ,,,, 210 permanecen constantes a los largo de toda la

muestra (estabilidad)

Matricialmente

(i) 0

0

0

)(

1

n

E

(ii) I2

1

1

)(

n

n

EE

nnnn

n

n

E

21

2

2

221

112

2

1

)( E


Magen Infante 25

)(),(),(

),()(),(

),(),()(

21

2212

1211

nnn

n

n

VarCovCov

CovVarCov

CovCovVar

I2

2

2

2

00

00

00

(iii)

nkn

k

k

kn

XX

XX

XX

1

221

111

1

1

1

X matriz de nmeros determinsticos

(iv) 1)( kRango X ( 1k =nro columnas de knX ) ( 1 kn )

El supuesto 1)( kRango X asegura que ninguna de las columnas de la

matriz knX deben ser linealmente independientes.

(v) ),(2

1

I0

N

n

en consecuencia: ),( 2IXY N


Magen Infante 26

VII. EVALUACIN DE LA NORMALIDAD

La variable respuesta del modelo clsico, deber evaluarse en la normalidad. Existen

diversos mtodos para evaluar la normalidad de las observaciones.

Fundamentalmente, se debe verificar las siguientes medidas.

Sesgadez.- Es una medida de asimetra de la distribucin de las series alrededor de

su media. La sesgadez se calcula como:

n

i

i YY

nS

1

3

1

donde

n

i

i

n

YY

1

2

La sesgadez de una distribucin simtrica es cero. Sesgadez positiva significa que la

distribucin tiene una larga cola hacia la derecha y sesgadez negativa significa que la

distribucin tiene una larga cola a la izquierda.

Kurtosis.- Mide el apuntalamiento o aplanamiento de la distribucin de la serie. La

Kurtosis se calcula como:

n

i

i YY

nK

1

4

1

donde

n

i

i

n

YY

1

2

La Kurtosis de la distribucin normal es 3. Si la Kurtosis excede a 3, la distribucin es

puntiaguda (leptocurtica) comparada con la normal. Si la Kurtosis es menor que 3, la

distribucin es aplanada (pleptocurtica) comparada con la normal.

Jarque-Bera (JB).- Es el test estadstico para probar si las series son o no distribudas

normalmente. Este test mide la diferencia de la sesgadez y kurtosis de las series con

aquellos de una distribucin normal. El estadstico es calculado como:

4

)3(

6

22 KS

knBeraJarque

Donde S es la sesgadez, K es la kurtosis y k representa el nmero de

coeficientes estimados utilizados para crear las series.

Contraste de hiptesis

:0H Las observaciones provienen de una distribucin Normal

:1H Las observaciones no provienen de una distribucin Normal

Estadstico de Prueba:

Bajo la hiptesis nula, es decir, suponiendo que la normalidad se cumple, el estadstico

de Jarque-Bera tiene una distribucin Chi-cuadrado con 2 grados de libertad.

Regla de decisin:

Rechazar 0H si 2

..2 lgBeraJarque a un nivel de significancia.


Magen Infante 27

Nota acerca de la normalidad:

Hay diversas pruebas de normalidad, entre las ms conocidas se tiene:

Distancia de Malahanobis

Kolmogorov-Smirnov

Cramer y Von Mises.

Kendall y Stuart.

Shapiro y Wilks

Shapiro y Francia

Qqplot=quantile-quantile plot

De todas las listadas arriba, al rechazar la prueba de normalidad, ninguna de ellas

proporciona una solucin si es que la hubiese.

Hay una prueba que ayudara a conocer qu tipo de transformacin de los datos podra

hacerlos aproximadamente normales para poder aplicarlo, como en este curso al

modelo lineal clsico. El mtodo de Box y Cox es una salida.

JMAEVResaltado


Magen Infante 28

VIII. ESTIMACIN MCO - MV

I. Mtodos de Estimacin de los Parmetros

El Modelo de Regresin Lineal Clsico tiene un conjunto de parmetros desconocidos,

tales como k ,,, 10 y 2 .

Existen diversos mtodos para estimar los parmetros k ,,, 10 y 2 del

modelo lineal clsico, de los cuales mencionamos:

a). Mtodo de Mnimos Cuadrados (MCO OLS).

b). Mtodo de Mxima Verosimilitud (MV).

c). Mtodos de Mnimos Cuadrados Generalizados (MCG).

Pueden existir otros mtodos, menos conocidos, pero la mayora de los mtodos de

estimacin se basan en los residuos o errores, que se definen como la diferencia entre

el valor real de la variable dependiente y su estimador a travs del modelo.

ii YY ni ,,2,1 Entre los mtodos para estimar los parmetros del modelo utilizando los residuos,, el

ms simple y conocido es el Mtodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO OLS).

II. Mtodo de mnimo cuadrados ordinarios

1 PARA DOS VARIABLES modelo ii XY

1.1 Estimadores para i

Dada una muestra de n observaciones de X y Y , se desea hallar la Funcin de Regresin Muestral (FRM) tal que la suma de los residuos al cuadrado sea mnima.

Dado una muestra de n observaciones:

SUMA DE RESIDUOS AL CUADRADO:

2

11

2)(

n

i

ii

n

i

i YY

Procedimiento:

Minimizar la suma de los residuos al cuadrado 2

1

10

2

11

22 )()(

n

i

i

n

i

ii

n

i

i XYYYS


Magen Infante 29

Derivando con respecto a 0 y 1 :

n

i

i

n

i

i

XY

XYS

1

10

0

1

2

10

0

2

0)1)((2

)(

n

i

i

n

i

i

XXY

XYS

1

10

1

1

2

10

1

2

0))((2

)(

Resolviendo las dos ecuaciones se obtiene:

ESTIMADORES DE MCO:

n

i

i

n

i

ii

X

YX

1

2

10 y

n

i

i

n

i

ii

XnX

YX

1

22

11

VALORES ESTIMADOS O ESTIMATIVAS:

n

i

i

n

i

ii

x

yx

b

1

2

10 y

n

i

i

n

i

ii

xnx

yx

b

1

22

11

Caractersticas:

(1) Los estimadores MCO se expresan en funcin de las variables X y Y.

(2) Son estimadores puntuales (escalar)

(3) La Lnea de Regresin Muestral pasa a travs de las medias muestrales X y

Y , por tanto, puede escribirse como XY 10 .

(4) La suma de los residuos estimados es igual a cero 01

n

i

i

Pregunta:

Cmo sera para tres variables? (la variable respuesta y dos variables explicativas)

JMAEVResaltado


Magen Infante 30

2.- MATRICIALMENTE modelo XY )(;( 21 IX)X'XY N

2.1 Estimador para

Hallar tal que minimice la Suma de Cuadrados de los Residuales:

)()(

)(1

2

1

2

1

1

Y(Y)'YY

n

i

ii

n

i

in

n

YY

(1) Utilizar la Suma de Cuadrados de los Residuales en su forma extensa

)()( Y(Y)'YY

)( X(Y)'XY

XX''YX''XY'YY'

XX''YX''YY' 2

(2) Derivar con respecto a e igualar a cero:

XX''YX''YY'

)2(

)'(

'XX'YX' 22

0

obteniendo el llamado Sistema de Ecuaciones Normales YX'XX'

y el Estimador de Mnimos Cuadrados Ordinarios es: YX'XX'1)(

(3) Derivar por segunda vez con respecto a para verificar que es un mnimo.

Como 02

)'(2

2

XX'

, se verifica que minimiza la Suma de Cuadrados de

los Residuos. (porque es positiva definida y simtrica).

2.2 Estimador para 2

Un estimador de , sera el residual . En consecuencia, la varianza del residual podra utilizarse como estimador de la varianza del trmino de perturbacin .

Utilizando este resultado y sabiendo que I'2)( E se puede probar que


Magen Infante 31

kn

'

2 es un estimador insesgado de 2 .

3. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO DE

(1) YX'XX'1)( es lineal en Y .

(2) es insesgado porque )(E

XX'XX'YX'XX'YX'XX' 111 )()()())(()( EEE .

(3) 21)()( XX'Var pues

21111 )()()()())(()( XX'XX'XYX'XX'YX'XX' VarVarVar .

(4) ))(;(21 XX' N .

(5) );(2 jjjj aN kj ,...,2,1,0 y jja es el i-simo elemento

de la diagonal de la matriz 1)( XX' .

(6) 2),( ijji aCov , kml ,...,2,1,0, y ija es el ij-simo elemento

fuera de la diagonal de la matriz 1)( XX' kji ,...,2,1,0, .

(7) i y j son independientes si y solo si 0ija ji

III. Mtodo de mxima verosimilitud

1.- FUNCIN DE VERSIMILITUD

Recordamos que )(;(21IX)X'XY N

En este caso, la funcin de verosimilitud viene dada por la densidad conjunta de la

normal multivariada L .

))(

2

1exp

2

1),/,(

2

2/

2

2 X(YXYXY

n

LL

Tomando logaritmo:

))(

2

1exp

2

1loglog

2

2/

2

X(YXY

n

L

))(2

1log

22log

2 22

X(YXY

nn

derivando con respecto a los parmetros:


Magen Infante 32

0)(2

2log

2

XX'YX'

L

0))(2

1

2log

422

X(YXY

nL

de las dos ltimas ecuaciones, los estimadores mximo verosmiles son:

YX'XX' 1)( mv y n

mv

'

2

donde 2

mv tambin se puede escribir asi:

nnmv

))('

2 X(YXY

Ejemplo 5: Asumiendo que la Renta de una persona puede depender de los Aos de

estudio y de la Edad. Para las observaciones dadas, hallar estimativas de los

parmetros utilizando los estimadores MCO y hallar un previsor de la variable

respuesta.

renta Y Aos de estudio Edad

i Y X_1 X_2

1 10 6 28

2 20 12 40

3 17 10 32

4 12 8 36

5 11 9 34

3491

3681

32101

40121

2861

X

58601562170

156242545

170455

3491

3681

32101

40121

2861

3436324028

9810126

11111

' XX

1001601960

1604001840

1960184050656

2880

1)'( 1XX

2430

665

70

'YX y

5

50

56

24

1

2

1

0

.

Los resultados de mostrados son las estimativas del vector de parmetros

verdadero .

Previsor de Y : 2121 2.01.23.224

5

24

50

24

56 XXXXY


Magen Infante 33

Para 71 X y 302 X entonces

7.10 Y estimativa de la renta media con 7 aos de estudios y 30 aos de edad.

previsin de la renta de un individuo con 7 aos de estudios, 30 aos de

edad.


Magen Infante 34

IX. COEFICIENTE DE DETERMINACIN - SUMAS DE CUADRADOS

La variabilidad de los modelos de regresin lineal se mide a travs de las sumas de

cuadrados definidas como sigue:

DEFINICIONES

1.- SUMA DE CUADRADOS DEL TOTAL (SCT)

Es la varianza muestral de la variable endgena multiplicada por n. Es una medida del

tamao de las fluctuaciones de dicha variable alrededor de su valor medio. La SCT es

la suma que el modelo economtrico pretende explicar.

2.- SUMA DE CUADRADOS DE LA REGRESIN (SCR)

Es el grado de fluctuacin de la variable estimada Y alrededor del promedioY , donde

Y es la variable generada por el modelo para representar a Y . Es el nivel de

fluctuacin de la variable Y que el modelo es capaz de explicar. Llamada tambin

Suma de Cuadrados Explicada.

3.- SUMA DE CUADRADOS DEL RESIDUAL (SCE)

Es un indicador del nivel de error del modelo en su intento de explicar Y .

Ejemplo 6: En el caso biviariado, la suma explicada es el grado de fluctuaciones de la

variable iY que el modelo pretende explicar.

Y

X

Y

iY

iY

})( ii YY Regresin Muestral

} )( YYi )( YYi


Magen Infante 35

(1) Sumas de Cuadrados para modelos con intercepto

Para un modelo con intercepto XY ,

nkn

k

k

XX

XX

XX

X

1

221

111

1

1

1

y

k

1

0

.

SCESCRSCT

donde

Y11IY

nYYSCT

n

i

i

''

1

2

(forma cuadrtica)

Y11X'X)X(X'Y 1

n

YYSCRn

i

i

''

1

2

(forma cuadrtica)

YX'X)X(X'IY 1

'1

2n

i

ii YYSCE (forma cuadrtica)

n

i

ii

n

i

i

n

i

i YYYYYY1

2

1

2

1

2

Interpretacin

n

i

ii

n

i

i

n

i

i YYYYYY1

2

1

2

1

2

Fi jo, no depende del

modelo. Puede verse

c o m o l a s u m a d e

cuadrados del resduo

del modelo YY

Cuanto mayor, mayor es

la diferencia entre YY y

kkXXY 110

Cuan t o m enor ,

ms motivos para

usar

kXXX ,,, 21 Reduccin en la suma decuadrados del resduo con

la introduccin de

kXXX ,,, 21 en el modelo


Magen Infante 36

(2) Sumas de Cuadrados para modelos sin intercepto

Para un modelo sin intercepto XY ,

nkn

k

k

XX

XX

XX

X

1

221

111

y

k

1

SCESCRSCT ncnc

donde

YY'1

2

n

i

inc YSCT (forma cuadrtica)

YY '1

2

n

i

inc YSCR (forma cuadrtica)

YX'X)X(X'IY 1

'1

2n

i

ii YYSCE (forma cuadrtica)

consecuentemente

n

i

ii

n

i

i

n

i

i YYYY1

2

1

2

1

2

(3) Coeficiente de determinacin 2R

En el MRLC iikkii XXY 110 , en su forma matricial

XY , es deseable tener alguna medida de que tan bien el modelo de

Regresin realmente se ajusta a las observaciones.

Se quiere responder:

a) Qu tan bien el modelo propuesto, conteniendo las variables explicativas

realmente explican las variaciones en la variable dependiente.

b) Qu tan bien la lnea de regresin estimada se acerca a todas las observaciones

juntas.

Observacin:

El paso (b) no es lo mismo que decir que la lnea de

regresin estimada se acerca a la lnea de regresin

poblacional porque sta ltima nunca es conocida.


Magen Infante 37

Se define al estadstico de bondad de ajuste del modelo coeficiente de

determinacin como SCT

SCE

SCT

SCRR 12

Y, al coeficiente de correlacin mltiple entre Y y Y como:

SCT

SCE

SCT

SCRR 1 .

Valores de 2R cercanos a 1 indica que el modelo explica cercanamente toda la

variabilidad de la variable dependiente alrededor de su valor.

Valores de 2R cercanos a 0 indica que el modelo se ajusta a los datos pobremente.

Como ilustracin graficamos los casos extremos en el modelo divariado:

Y

X

02 RRepresentado por una

l nea est imada l lana

(pendiente igual a cero).

12 RY

X

Cuando todos los puntos de

los datos caen exactamente

en la lnea estimada

Propiedades de 2R

a) 12 R

b) Si el modelo tiene trmino independiente ( 00 ), entonces 2R se puede

escribir como:

2

2

2

22

'

''

'

''

YnYY

YnXX

YnYY

YnYXR

)(

SCT

SCR

c) Si el modelo no tiene trmino independiente ( 00 ), entonces

ncnc

nc

SCT

SCE

SCT

SCRR 12 y puede tomar valores de 11 2 R el

exponente al cuadrado es considerado simplemente rotacional).

d) Cuando 02 R , entonces no tiene sentido el trmino

2R .

e) Para 02 R se considera que un modelo se ajusta bien a las observaciones si

2R es cercano a 1.


Magen Infante 38

(4) Problemas al utilizar 2R como bondad de ajuste

2R es simple de calcular, intuitivo de entender y provee una amplia indicacin del

ajuste del modelo a los datos.

Sin embargo, existen algunos problemas con 2R al utilizarlo como medida de bondad

de ajuste.

a) 2R es definido en trminos de variacin acerca de la medida de Y tal que si el

modelo es reparametrizado y se cambia la variable dependiente, 2R cambia

aunque el segundo modelo slo sea un reordenamiento del primer modelo con

idntica SCR . Por eso, 2R no es sensible a comparar modelos con diferentes

variables dependientes.

b) 2R nunca decrece si se agregan ms regresores al modelo aunque aunque la

variable agregada no sea realmente relevante para el modelo. Esta

caracterstica de 2R hace imposible utilizarlo como un determinante de si es

que, dada una variable, debera o no incluirse en el modelo.

c) Para regresiones con series de tiempo, con frecuencia, 2R toma valores de por

lo menos 0.9 y por lo tanto, 2R no es bueno para discriminar entre stos

modelos, ya que la mayora de stos tendrn valores altos de 2R .

(5) Coeficiente de determinancin ajustado 2R como bondad de ajuste

Para resolver el tem b) de los 3 problemas de 2R antes mencionados, se suele

tomar en cuenta la falta de grados de libertad asociado con la adicin de variables al

modelo.

El 2R o

2R ajustado es:

)1(

11 22 R

kn

nR

Si se agrega un regresor extra al modelo, k se incrementa y 2R disminuir siempre,

excepto en casos cuando 2R crezca compensatoriamente.

Observacin: No se pueden hacer pruebas

estadsticas con 2R y

2R porque sus distribuciones de probabilidad no estn disponibles.


Magen Infante 39

(6) Coeficiente de correlacin r Es una medida de asociacin entre dos variables

Poblacional Muestral

22

),(

YX

YXCovr

1

)(

1

)(

))((

1

2

1

2

1

n

YY

n

XX

YYXX

rn

i

i

n

i

i

n

i

ii

donde 2Rr 10 r

Propiedades

a) Es simtrica pues YXXY rr .

b) Si X y Y son estadsticamente independientes, el coeficiente de correlacin es

cero.

c) Si 0r , eso no implica independencia entre las variables.

d) 2Rr es una medida de asociacin lineal, es decir, mide la asociacin

lineal entre dos variables.

e) A r tambin se le denomina coeficiente de correlacin de orden cero.

(7) Coeficiente de correlacin de orden m Por orden se entiende el nmero de ndices secundarios, por ejemplo:

4.12r Coeficiente de correlacin de orden 1 ( de primer orden).

34.12r 2

345.12r 3

12r 0

As, 34.12r es el coeficiente de correlacin entre 1X y 2X manteniendo

constantes 3X y 4X .

De forma similar se interpretan los dems coeficientes de orden m .


Magen Infante 40

(8) Coeficiente de correlacin parcial

Las correlaciones parciales son los coeficientes de correlacin de primer orden, por

ejemplo:

)1)(1( 2232

13

2313123.12

rr

rrrr

)1)(1( 2132

12

1312231.23

rr

rrrr

)1)(1( 2232

12

2312132.13

rr

rrrr

IX. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES EN EL MRLC

Documents

EconometriaI Teoría