ECONOMIA AGRARIA ANALISIS ECONOMICO DE LA OFERTA EL ENFOQUE DUAL Y SUS APLICACIONES Daniel Lema UCEMA

ECONOMIA AGRARIA

ANALISIS ECONOMICO DE LA OFERTA

EL ENFOQUE DUAL Y SUS APLICACIONES

Daniel LemaUCEMA

La Función de Producción• Dados los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el

producto y, tenemos:

• Propiedades: • Creciente:

• Cuasi-cóncava:

• Si y

• Entonces

)x(f)x,...,x(fy n1

0x/f

)x(f)x(f 10 10

)x(f)x)1(x(f 010

f(x)=y0x0+(1-)x1

x0

x1

X2

X1

f(x)=y1>y0

La Función de Producción Isocuantas y Convexidad:

Retornos a Escala Supongamos que la función de producción es:

=1 retornos a escala constantes

Duplicando los insumos, se duplica el producto

>1 retornos a escala crecientes: duplicando los

insumos más que se duplica el producto

<1 retornos a escala decrecientes: duplicando los

insumos menos que se duplica el producto

x)x(fy

DUALIDAD EN PRODUCCION


Concepto de Dualidad: si existe una función de costo que cumpla ciertas condiciones de regularidad, también existe una función de producción y ambas representan la misma tecnología.

La misma relación se encuentra entre la función de beneficios y la función de producción.


Esto implica que hay diferentes maneras de representar la misma tecnología:

A través de la función de producción (enfoque primal)

A través de las funciones de costos y beneficios (enfoque dual).

Usos del Enfoque Dual

Es un camino más fácil para obtener funciones de ofertas de productos y de demanda de insumos.

El dual se puede usar también para estimar y descomponer la ineficiencia en costos, a través de una frontera de costos y sus respectivos componentes, eficiencia técnica y asignativa.

El dual hace posible también la medición de la eficiencia en beneficios.

Las funciones de Costo y de beneficios pueden trabajar fácilmente con múltiples productos e insumos.

Las funciones de Costos y beneficios facilitan una clara distinción entre insumos fijos y variables.

Resolver

Demanda de Insumos(no condicionada)

xi = insumo iwi = precio insumo iY = productoP = precio

Función de oferta

Sustituyendo en y = f(x)

Diferenciando π con respecto a wi

Lema de Hottelling

pwwxi ,, 21* pwwy ,, 21

*

21

221121

,

),(*

xx

wxwxxxfpMax

y

ywwCypMax ,,* 21

pww ,, 21

Resolver

Sustituyendo y* enπ = p*y – C(wi,y)

Sustituyendo x* en π = p*f(xi) – x1w1-x2w2

Diferenciando π con respecto a p

Lema de Hottelling

0,, 21*

pwwy 0,, 21*

pwwxw i

i Función de beneficios

Función de beneficios DualFunción de beneficios DualFunción de beneficios DualFunción de beneficios Dual

),(: 21

_

2211

xxfyst

xwxwMin

_

21 ,, ywwxi

Resolver

Demanda Condicional de

insumos

donde:xi = insumo iwi = precio insumo iY = producto

_

21 ,, ywwC

Función deCostos dual

Sustituyendo en w1x1+w2x2

Diferenciando con respecto a wi

__

21

__

,,),(

ywwxw

ywCi

i

i

Lema de Shephard

Función de Costos DualFunción de Costos DualFunción de Costos DualFunción de Costos Dual

Funciones de Dualidad:Corto y Largo Plazo Costo Total (CT) = f(wi; y)

Costo Variable Total (CVT) = f(wi; y, z)

beneficiosTotal (π) = f(p, wi)

beneficios Variable Total (πVT) = f(p, wi; z)

Costos y Beneficios

Función de Costos: PropiedadesSi f es continua y estrictamente creciente, entonces c(w,y)

es

1. Cero cuando y=0

2. Creciente en w.

3. Homogénea de grado uno en w.

4. Cóncava en w.

5. Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos aplicar el lema de Shephard: c(w,y) es diferenciable en w (w0, y0 ) siempre que w>>0 y

ii wywcywx /),(),( 0000

Maximización de beneficios Mercado Competitivo: Los productores

individuales son tomadores de precios de los insumos y productos (bienes).

Comportamiento Racional: Las firmas maximizan beneficios (beneficio es la diferencia entre ingresos y costos de producción)

Propiedades de la Función de beneficios Dado f, y considerando un p0 y w0, la

función de beneficios (p,w), estará bien definida, será continua y

1. creciente en p

2. Decreciente en w.

3. Homogénea de grado uno en (p,w)

4. Convexa en (p,w)

5. Lema de Hotelling

),(),(

),(),(

wpxw

wpandwpy

p

wpi

i

Maximización de beneficios:

Minimización de costos

pwyywCpyy

pwxxwxpfx

y

x

,),(maxmax

,maxmax

*

*

Dualidad

),(

'minmin* ywx

yy s.a.

xwxCx

Teorema de la Envolvente

1) Sin restricciones Función objetivo:

Función objetivo indirecta:

1,2i )(0

;,maxmax

*21

21,, 2121

ii

xxxx

xxff

xxfy

)(*

*2

2

*1

1

*2

*1 (;,

xxf

fx

fx

f

valor) máximo de funciónxxf

Teorema de la Envolvente

0indirecto efectofx

directo efectof

xf

;

1) Sin restricciones Función objetivo indirecta:

Teorema de la envolvente

2) Con restricciones Función objetivo:

Función objetivo indirecta:

*,,,,

0,..

,maxxxgxfxL

xgas

xfx

fd

dxf

d

dxf

d

d

xxf

*

22

*1

1

*2

*1 ,)(,)(

fd

dxg

d

dxg

d

d

*2

2

*1

1


2) Con restricciones Función objetivo indirecta:

Condición de primer orden:

0

0;)(,)(*

22

*1

1

*2

*1

gd

dxg

d

dxg

óptimoxxg


2) Con restricciones Función objetivo indirecta:

Condición de primer orden:

0

),,()(*

***

Lindirecto efectox

directo efectoL

xL

Lfg

d

d

xx

Maximización del beneficio

),(,),(

,

maxmax

**

21

2211

wpywpx MCMR

1,2i wx

xfp

:orden primer de sCondicione

xxfy s.a.

xwxwpyx

ii

x

(1)


x

y

x*

p

y= f(x)

Isobeneficio: Pendiente w/p


(2) Condición de segundo orden:

0)('

)()(

2

2

hxfDh

ida semidefinnegativaxx

xfxfD

ji


Función de beneficios:

Yy s.a.

xwypwp

wpxwwpypwp

xy,

**

max,

),(),(,


Propiedades de la Función de beneficios:

1. No decreciente en , no creciente en

2. Homogénea de grado 1 en

p w

wp,


Propiedades de la Función de beneficios: Convexa en wp,

)()1()(

10;')1(

ptptp

t pttpp

''p

p p’’

')1( ptpt

π

p’


Propiedades de la Función de beneficios: Convexa en wp,

π

π(p*)

p*

** xwpyp

π(p)

pp’

Función de beneficios de corto plazo

ón)substituci (efecto alproporcion que más )( pp


Propiedades de la Función de beneficios:3. Convexa en wp,

π

π(w*)

π(w)

ww* w’

Función de beneficios de corto plazo

** wxypp


Propiedades de la Función de beneficios:4. Continuidad de

5. Lema de Hotelling

0,0,, wpwp

n1,...,j wpxw

wp

m1,...,i wpyp

wp

wpxwwpypwp

jj

ii

,,

,,

,,,


Propiedades de la Función de beneficios:5. Lema de Hotelling

wpxwx

xfp

objetivo función xwxfpwpyx

,

max,

*

,

indirecta objetivo función wpxwwpxfpwp ,,,



wpxw

wp wpxw

x

fp

w

x

wpxw

xw

w

x

x

fp

w

wp

,,

,

,,

=0 por c.p.o.



0 indirecto efecto y

directo efecto yp wpxf

p

wp

0 indirecto efecto x

directo efecto x w wpx

w

wp

jj

ii

,,

,,

Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores

1) π es función monótona en precios:

2) yi , –xj son homogéneas de grado 0 en precios

0

, 0

,

ji w

wp

p

wp

Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) Matriz de segundas derivadas de π(p,w) = matriz de

primeras derivadas de x*(p,w) e y*(p,w) y es semidefinida positiva.

ión substitucdez Matri

w

x -

p

x

w

y

p

y

ww

wp

pw

ppwpD

i

j

i

j

j

i

j

j

jiji

ijji

22

22

2 ,

Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) a) Elementos de la diagonal principal no negativos

negativa pendiente :demanda w

x -

w

positiva pendiente :oferta p

y

p

j

j

j

i

i

i

0

0

2

2

2

2

Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) b) Los efectos cruzados son simétricos (matriz de

substitución simétrica)

i

j

ijjij

i

i

j

ijjij

i

i

j

ijjij

i

w

y

wppwp

x -

w

x

wwwww

x -

p

y

ppppp

y

22

22

22

Ejemplo de maximización de beneficios Un producto – Un insumo:

0:/

max

a ; xxfyas

wxpy

a

x

1

1

1**

1*1

1

*

2

1

,

,,

01

aa

a

a

a

a

a

a

ap

ww

ap

wpwxpywp

ap

wwpy ;

ap

wwpx

xapa :orden segundode Condición

wpax :orden primer de Condición

Principio de Le Chatelier

pzz plazo largo p

plazo cortozp

variables factores x

fijo factor z

lp

cp

,


LPCP 0ph pen

0,

,

****

cplp

**cp

*lp

pzz

zppph

pzpp


0

,

negativa no es ppen derivada Segunda b)

(tangente) plazo corto de envolvente es plazo Largo

mínimo 0 )

**

2

2

2

2

*

*

p

zpy

p

py

pp

p

pha

cplp

pp

0

,**

p

zpy

p

py

Principio de Le Chatelier: Ejemplo – Cobb-Douglas

po

LP

CP

yo yCP yLP

p’

y

p

zz

Función de beneficios restringida

),(),

max,,

,

,

,

rr

rrmmrrmmxyrrmm

rm

rm

xyYxy( .a. s

xwxwypyp xy,wp

racionadosrvariables;mxxx

yyy

mm


J1,...,j xywpxw

I1,...,i xywpyp

xyYxy( s.a.

xwyp xwyp xy,wp

rrmmjmm

rrmmimm

rr

mmmmxyrrrrrrmm

j

i

mm

,,,.

,,,.

),(),

max,,,


envolvente la de teoremaAplicación

oferta la de inversa o sombra Precios

L1,...,l ,,,.

S1,...,s ,,,.

rrmmrr

rrmmrr

xywpwx

xywppy

l

l

s

s

Función de Ingresos

Todos los insumos son fijos están dados, fijos

productos de dacondiciona oferta xpy

Tyxypx,pr

*

y

,

,:max

wpx ,,

)x,py(


yVxypL

xyV s.a.

yp maxy

x: escalar


x,py

yyV

yyV

p

p

yVxL

I1,...,i y

yVp

y

L

:orden primer de sCondicione

j

i

j

i

ii

i

0

0


2021

01 ypypR

y2

y1

xyyV 21,

Frontera de posibilidades de producción

Función de isoingreso

0


dasemidefini positiva D

:orden segundo deCondición

2 yV

Propiedades de la función de ingresos

xpypxpr ,, 000

xpypxpr ,, 111

y2

y1

xpypxpr ,, 222

0

Frontera de posibilidades de producción

Propiedades de la función de ingresos (FPP no convexa)

xpypxpr ,, 111

xpypxpr ,, 000 y2

y1

xpypxpr ,, 222

0


1. No decreciente en precios

2. No decreciente en insumos

3. Homogénea de grado 1 en precios

0,:.max, pxYyypxpr

0;,, t xptrxtpr


4. Convexa en precios

xpr ,

xprtxptrxpttpr ,'1,,'1

xpr ,r

i

m

ii ypypR

211

1p01p 1

1p

B

A

p 'pp

r

r

)( pr

xpr ,


5. Es una función continua

6. Lema de Shephard: oferta condicionada

xpr ,

m1,...,i ; xpyp

xpri

i

,

,

Propiedades de la oferta condicionada

1. Es monótona en precios

2. Homogénea de grado cero en precios

xpyi ,

0

,

ip

xpr

Propiedades de la oferta condicionada

3. Matriz de transformación simétrica y positiva definida:

a) Efecto propio positivo

b) Simétrica - efectos cruzados

xpyi ,

s sustituto

arioscomplement

p

y

pp

xpr

j

i

ji 0

0,2

Econometría Modelo Estructural:

Modelo Reducido:

SD

S

D

qq

zbpbbq

zapaaq

22210

11210

322110

11

122

11

21

11

2

11

00

zzp

baz

ba

bz

ba

a

ba

bap

Econometría Maximización de beneficios 1 insumo, x 1 producto, y

1

1

,

a

ap

wwpx

0a ; xy a

1,

a

a

ap

wwpy

Econometría

p

a

aa

a

aw

a

ay log

1log

1log

1log

p

aa

aw

ax log

1

1log

1

1log

1

1log

Econometría

pwx logloglog 211101

pwy logloglog 221202

11120102 a a

Econometría

1

1

1

a

ap

w

a

aw

pa

aa

waa

aw

log1

1

log1

1log

1

11logloglog

Econometría

pw logloglog 210

1

11

log1

11log

2

1

0

a

a

a

aaa

a

Econometría: Leontieff Generalizada

m

i

n

jjiij

m

i

m

ijjiij

n

i

n

ijjiij

m

iiii

n

iiii

wpcppa

wwbpawbwp

1 1

21

1

21

1

21

11,

jiijjiijjiij cc aa bb

Econometría: Leontieff Generalizada

ni

w

pc

w

wbbwpx

w

m

j i

jij

n

j i

jijiii

i

,...,1

,1

21

1

21

mi

p

wc

p

paawpy

p

n

j i

jij

m

j i

jijiii

i

,...,1

,1

21

1

21

Econometría: Translogarítmica

n

i

m

jjiij

m

i

m

jjiij

n

i

n

jjiij

m

iii

n

iii

pwc

ppb

wwa

pbwaawp

1 1

1 1

1 1

110

loglog2

1

loglog2

1

loglog2

1

loglog,log

Econometría: Translogarítmica Simetría

Homogeneidad de grado 1 en precios

jiijjiijjiij cc aa bb

n

jij

m

jij

m

jij

n

jij

m

ii

n

ii

cb

ca

ba

11

11

11

0

0

1


mi

wcpbbwpS

pyp

ppn

jjij

m

jjijii

iii

ii

,...,1

lnln,

ln

ln

11


ni

pcwaawpS

wxw

wwm

jjij

n

jjijii

iii

ii

,...,1

lnln,

ln

ln

11

Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)

p, is a vector of m output prices r,is a vector of n input prices x,is a vector of n input quantities z, is a vector of l fixed factors T is a production possibility set

( , ; ) { ;( , ; ) }maxxy

p r z py rx y x z T

Fulginiti and Perrin (AJAE, 1990)

Fulginiti and Perrin Modelo: translogarítmica

Fulginiti and Perrin

Fulginiti and PerrinParameters are estimated using time series data for years 1940-1980

Output categories:wheat, corn, grain sorghum, sunflower, linseed, soybeans and beef.

Variable inputs:Labor, capital, and aggregate of fertilizers, seeds and chemicals

Fixed inputs:Land, precipitation, and time in years,( proxy for tech change)

Fulginiti and PerrinTable 1. Condiciones de Homogeneidad y Simetría Impuestas





Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)

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