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Presentación de seminario de deduccón y aplicaciones de la ecuación de convección difusión
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Ecuacion de Conveccion-Difusion
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Adolfo J. Cardozo S.
Junio de 2013
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Tabla de Contenido
Seccion 1. GeneralidadesSubseccion 1.1. DefinicionSubseccion 1.2. Situaciones relacionadas
Seccion 2. Deduccion y significado.Subseccion 2.1. DeduccionSubseccion 2.2. Forma y significadoSubseccion 2.3. Ejemplos de uso
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 1. Generalidades
Subseccion 1.1. Definicion
Definicion
Modelo matematico que describe situaciones fsicas donde lacantidad total de una variable se transporta y transformadebido a diversos procesos. Algunos ejemplos:
I Fluctuaciones de temperatura en un ambiente productodel transporte de calor.
I Transporte de contaminantes en el aire, agua y/o suelo.
I Transporte de sedimentos en cuerpos de agua natural(ros, lagos, estuarios, embalses, oceanos).
I Balance de fuerzas que producen la aceleracion de masasfluidas (transporte de momentum).
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 1. Generalidades
Subseccion 1.2. Situaciones relacionadas
I Flujos multifase/multicomponente en intercambiadores decalor, reactores qumicos, camaras de combustion, etc.
I Movimiento aleatorio de partculas en algun medio fluido(random walk).
I Movimiento de iones de componentes qumicos dentro deun fluido sometido a un campo electrico (bioconductoresy semiconductores).
I Evolucion de precios de un mercado financiero de acuerdoal empuje riesgo, precio referencial y volatibilidad delcapital.
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
DeduccionDel Teorema de transporte de Reynolds,
D
Dt
[s
d]
=
td+
ui nidS (1)
Donde = (xi , ..., t) con i = 1, 2, ..., n
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
Deduccion
s espacio del sistema. espacio del volumen de referencia.Aplicando el teorema de Gauss al segundo termino del ladoderecho de la ecuacion (1), y agrupando
D
Dt
[s
d]
=
[t + (ui)xi ]d (2)
Si s y son volumenes infinitesimales, entonces (2) seexpresa como,
D
Dt= t + (ui)xi (3)
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
Deduccion
En la ecuacion (3):
I La derivada material DDt
representa los cambios de en elsistema s a medida que se mueve, que lo denotaremos s
I t es el cambio de dentro de con respecto al tiempo.
I ui es un flujo neto de hacia el volumen diferencial dereferencia , que denotaremos ji
Con lo anterior, se obtiene la Ecuacion General de Continuidad,
t + (ji)xi = s (4)
Es importante no olvidar la naturaleza de cada termino.
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
Orgen del flujo netoExisten situaciones donde el flujo neto ji de una cantidad escausado por dos fenomenos:
Conveccion: causado por eldesplazamiento de masasdel medio circundante.
Difusion: causado pordistribucion de partculasdebido a la existencia de ungradiente.
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
Conveccion
= xiA
tA=
xit
lmt,A0
[
tA
]= lm
t0
[
xit
]
tA=
xit
jconvectivo = ui (5)
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.1. Deduccion
Difusion
= 0,5(1 2)xiAlm
t,A0
[
tA
]= lm
t0
[0,5(xi)
2
t
xi
]
tA= (0,5Lxi
t)
xi
jdifusivo = D xi
(6)
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.2. Forma y significado
Ecuacion Conveccion-Difusion
Al sustituir (5) y (6) en (4), tenemos
t + (ui Dxi )xi = s (7)
que es la ecuacion de conveccion-difusion. En general, = (xi , t) Cantidad Concentracion,
Escala o vectorial temperatura, momentumD = D(xi , t) Difusividad Masica, termica,
molecularui = ui(xi , t) Velocidad Del fludo, de partcula,
de burbujass = s(xi , t) Fuentes/Sumideros Reaccion, radiacion,
calor por friccion
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.2. Forma y significado
No Linealidad
Cuando alguno de los parametros depende de Entrada/Salida s = (q)xi Flujo unitario al sistema
de Reaccion s = r() = kn Reaccion de orden nqumica
Conveccion ui = ui(T (xi , t)) Cambio local de densidadtermica
Movimiento ui = ui((xi , t)) Dificultad al aumentar Obstaculizado
Ecuacion de Conveccion-Difusion
Seccion 2. Deduccion y significado.
Subseccion 2.3. Ejemplos de uso
Ejemplos
Conveccion-difusion
t+ u
x+ v
y= D
(2
x2+2
y 2
)simple 2D transitorio
Difusion-reaccion 3D D
(2
x2+2
y 2+2
z2
)= kn
estacionario
Movimiento aleatorio ft
= xi
(i f ) +2
xixj(Dij f )
de partculas f es una funcion probabilidad deXt
Movimiento de iones
t=
xi
[D
xi ui kEi
]en semiconductores
Evolucion preciosV
t+ rS
V
S+ 0,52S2
2V
S2 rV
mercado capitales
Seccin 1. GeneralidadesSubseccin 1.1. Definicin Subseccin 1.2. Situaciones relacionadas
Seccin 2. Deduccin y significado.Subseccin 2.1. Deduccin Subseccin 2.2. Forma y significado Subseccin 2.3. Ejemplos de uso