Ecuación de la continuidad para flujo multifásico

Consideraciones

No hay fuentes ni sumideros No hay efectos gravitacionales

Desarrollando para equis (x)

∆ v=∆x∆ y∆z

Vol .de poros=V roca×∅

Vol .de poros=[∆x∆ y∆ z ]×∅

ρ=mv→m=∆ t×ρ×V b× A

BALANCE DE MATERIA

Masa entrante−masa saliente ± fuentes o sumideros=masaacumulada

Aceite→mo=∅ SoBo

ρo

Gas libre→mgl=∅ SgBg

ρg

Aceitedisuelto→m gd=∅ R sSoBo

ρg+∅ R swSwBw

ρg

Gas total

Gas total→mg=∅ SgBg

ρg+∅ Rs SoBo

ρg+∅ R swSwBw

ρg

Agua→mw=∅ SwBw

ρw

Despejando ρ(o ,w , g)

Aceite→ρo=moBo∅ So

Gas total→mg= ρg[ ∅ SgBg+∅ R sSoBo

+∅ R swSwBw ]

ρg=mg

¿[∅ SgBg +∅ R sSoBo

+∅ Rsw SwBw ]

Agua→ ρw=mwBw∅ Sw

Para eje X

Aceite → [∆ t ρo∆ y∆ zU x−∆ t ρo∆y∆ zU x+∆ x ]

Gas → [∆ t ρg∆ y∆ zU x−∆ t ρg∆ y∆ zU x+∆ x ]

Agua → [∆ t ρw∆y∆ zU x−∆ t ρw∆y∆ zU x+∆x ]

Para eje Y

Aceite → [∆ t ρo∆x∆zU y−∆ t ρo∆x∆ zU y +∆ y ]

Gas → [∆ t ρg∆x∆ zU y−∆ t ρg∆x∆ zU y+∆ y ]

Agua → [∆ t ρw∆x∆ zU y−∆ t ρw∆x∆ zU y+∆ y ]

Para eje Z

Aceite → [∆ t ρo∆x∆yU z−∆ t ρo∆x∆ yU z+∆ z ]

Gas → [∆ t ρg∆x∆yU z−∆ t ρg∆x∆yU z+∆ z ]

Agua → [∆ t ρw∆x∆ yU z−∆ t ρw∆x∆ yU z+∆z ]

Para masa acumulada

¿ [∆x∆ y∆ z ρm∅ ]t+∆t− [∆x∆y∆ z ρm∅ ]t

Dividiendo y eliminando: volumendecontrol×∆ t→ [∆x∆y∆ z×∆ t ]

Para eje X

Aceite→[ ∆ t ρo∆ y∆ zU x

∆x∆ y∆ z∆ t−∆t ρo∆ y∆ zU x+∆ x

∆x∆y∆ z∆ t ]= ρoU x

∆x−ρoU x+∆x

∆x

Gas→[ ∆ t ρg∆ y∆ zU x

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρg∆y∆ zU x+∆x

∆x∆ y∆z ∆ t ]= ρgU x

∆x−ρgU x+∆x

∆x

Agua→[ ∆ t ρw∆y∆ zU x

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρw∆ y∆ zU x+∆x

∆x∆ y∆z ∆t ]= ρwU x

∆x−ρwU x+∆x

∆x

Para eje Y

Aceite→[ ∆ t ρo∆x∆ zU y

∆x∆ y∆ z∆ t−∆t ρo∆x∆ zU y+∆ y

∆x∆ y∆z ∆ t ]= ρoU y

∆y−ρoU y +∆ y

∆y

Gas→[ ∆ t ρg∆x∆ zU y

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρg∆x∆ zU y+∆ y

∆x∆y∆ z∆ t ]= ρgU y

∆ y

−ρgU y +∆ y

∆ y

Agua→[ ∆ t ρw∆x∆ zU y

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρw∆x∆ zU y+∆ y

∆x∆y∆ z∆ t ]= ρwU y

∆ y

−ρwU y +∆ y

∆y

Para eje Z

Aceite→[ ∆ t ρo∆x∆yU z

∆x∆ y∆ z∆ t−∆t ρo∆x∆yU z+∆ z

∆x∆y∆ z∆ t ]= ρoU z

∆ z−ρoU z+∆z

∆ z

Gas→[ ∆ t ρg∆x∆ yU z

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρg∆x∆ yU z+∆z

∆x∆ y∆ z∆ t ]=ρgU z

∆ z−ρgU z+∆ z

∆ z

Agua→[ ∆ t ρw∆x∆ yU z

∆x∆y∆ z∆ t−∆ t ρw∆x∆yU z+∆z

∆x∆y∆ z∆ t ]= ρwU z

∆z−ρwU z+∆z

∆ z

Para masa acumulada

¿[∆x∆y∆ z ρm∅ ]t+∆t∆x∆y∆ z∆ t

−[∆x∆ y∆ zρm∅ ]t∆x∆y∆ z∆ t

=[ ρm∅ ]t+∆t∆ t

−[ ρm∅ ]t∆ t

La ecuación queda:

[( ρoU x

∆x−ρoU x+∆ x

∆x )+( ρgU x

∆x−ρgU x +∆x

∆x )+( ρwU x

∆x−ρwU x+∆x

∆x )]+[( ρoU y

∆y−ρoU y+∆ y

∆ y)+( ρgU y

∆ y

−ρgU y+∆ y

∆ y)+( ρwU y

∆y−ρwU y+∆ y

∆ y)]+[( ρoU z

∆ z−ρoU z+∆z

∆ z )+( ρgU z

∆ z−ρgU z+∆z

∆ z )+( ρwU z

∆ z−ρwU z+∆z

∆ z )]=[ [ ρm∅ ]t+∆t∆t

−[ ρm∅ ]t∆ t ]

Y cambiamos el signo (final – inicial):

[−( ρoU x+∆ x

∆x−ρoU x

∆x )−( ρgU x+∆ x

∆x−ρgU x

∆x )−( ρwU x+∆x

∆x−ρwU x

∆x )]−[( ρoU y+∆ y

∆y−ρoU y

∆ y)−( ρgU y+∆ y

∆y−ρgU y

∆y )−( ρwU y +∆ y

∆y−ρwU y

∆ y)]−[( ρoU z+∆z

∆ z−ρoU z

∆z )−( ρgU z+∆z

∆ z−ρgU z

∆ z )−( ρwU z+∆ z

∆ z−ρwU z

∆ z )]=[ [ ρm∅ ]t+∆t∆ t

−[ ρm∅ ]t∆ t ]

Aplicando límites para ∆x∆ y∆ z→0 ;∆ t=0

d lim→0=f ( x+∆ x )−f (x )

∆ x=d [ f (x )]dx

Para el eje x

Aceite→ lim∆ x→0

−[ ρoU x+∆x− ρoU x

∆x ]=−∂∂x

( ρoU x )

Gas→ lim∆x→0

−[ ρgU x+∆ x−ρgU x

∆x ]=−∂∂x

( ρgU x )

Agua→ lim∆ x→0

−[ ρwU x+∆ x−ρwU x

∆x ]=−∂∂x

( ρwU x )

Para el eje y

Aceite→ lim∆ y→0

−[ ρoU y+∆ y−ρoU y

∆ y]=−∂∂ y

( ρoU y )

Gas→ lim∆ y→0

−[ ρgU y+∆ y−ρgU y

∆ y]=−∂∂ y

( ρgU y )

Agua→ lim∆ y→0

−[ ρwU y+∆ y−ρwU y

∆y ]=−∂∂ y

( ρwU y )

Para el eje z

Aceite→ lim∆ z→0

−[ ρoU z+∆z−ρoU z

∆ z ]=−∂∂ z

( ρoU z )

Gas→ lim∆z→0

−[ ρgU z+∆z−ρgU z

∆ z ]=−∂∂ z

( ρgU z )

Agua→ lim∆ z→0

−[ ρwU z+∆ z−ρwU z

∆ z ]=−∂∂ z

( ρwU z )

Para masa acumulada

lim∆t →0 [ [ ρm∅ ]t+∆t

∆ t−

[ ρm∅ ]t∆ t ]= ∂

∂ t(∅ ρm)

La ecuación queda:

−∂∂x

¿)

Multiplicando por -1 para cambiar de signo:

∂∂x

¿)

Aplicamos el operador NATBLA:

∇ ρoU+∇ ρgU+∇ ρwU=−∂∂ t

(∅ ρm)

∇U (ρo+ ρg+ρw )=−∂∂ t

(∅ ρm)

ρm=ρo+ρg+ρw=moBo∅ So

+mwBw∅ Sw

+∅ S gBg

ρg+∅ R sSoBo

ρg+∅ R sw SwBw

ρg

∇ ρmU=−∂∂ t

(∅ ρm)

Ecuacion de difusividad

Darcy multifasico

u=−kμρ Δ ϕ

Darcy

u=−kμdpdx

Continuidad

∇ ( ρu )=−d (ϕρ)dt

−∂∂x (ρ2 kμ ∂ϕ∂ x )− ∂

∂ y (ρ2 kμ ∂ϕ∂ y )− ∂∂ z (ρ2 kμ ∂ ϕ∂ z )=−∂(ϕρ)

∂ t

Multiplicando (-1) y para cada fluido

∂∂ x (ρo2 k oμo ∂ϕ∂ x )+ ∂

∂ x (ρw2 kwμw ∂ϕ∂ x )+ ∂∂x (ρg2 kgμg ∂ϕ∂x )+ ∂

∂ y (ρo2 k oμo ∂ϕ∂ y )+ ∂∂ y ( ρw2 kwμw ∂ ϕ∂ y )+ ∂

∂ y ( ρg2 kgμg ∂ϕ∂ y )+ ∂∂z (ρo2 k oμo ∂ϕ∂z )+ ∂

∂ z (ρw2 kwμw ∂ϕ∂ z )+ ∂∂z (ρg2 k gμg ∂ϕ∂ z )= ∂

∂t(ϕ ρo+ϕ ρw+ϕ ρg )

Agrupando por fluido

∂∂ x (ρo2 k oμo ∂ϕ∂ x )+ ∂

∂ y ( ρo2 koμo ∂ϕ∂ y )+ ∂∂ z ( ρo2 koμo ∂ϕ∂ z )+ ∂

∂ x (ρw2 kwμw ∂ϕ∂x )+ ∂∂ y (ρw2 kwμw ∂ϕ∂ y )+ ∂

∂ z ( ρw2 kwμw ∂ϕ∂ z )+ ∂∂ x ( ρg2 k gμg ∂ϕ∂ x )+ ∂

∂ y ( ρg2 kgμg ∂ϕ∂ y )+ ∂∂z (ρg2 k gμg ∂ϕ∂ z )= ∂

∂t(ϕ ρo+ϕ ρw+ϕ ρg )

Factorizando

ρo2 k oμo [ ∂∂ x ( ∂ϕ∂x )+ ∂

∂ y ( ∂ϕ∂ y )+ ∂∂ z ( ∂ϕ∂ z )]+ρw2 kwμw [ ∂∂x ( ∂ϕ∂ x )+ ∂

∂ y ( ∂ϕ∂ y )+ ∂∂ z ( ∂ϕ∂z )]+ ρg2 kgμg [ ∂∂ x ( ∂ϕ∂ x )+ ∂

∂ y ( ∂ϕ∂ y )+ ∂∂ z ( ∂ ϕ∂ z )]= ∂

∂ t(ϕ ρo+ϕ ρw+ϕ ρg )

Multiplicando:

ρo2 k oμo [ ∂

2ϕ∂ x2

+ ∂2ϕ∂ y2

+ ∂2ϕ∂ z2 ]+ρw2 kwμw [ ∂

2ϕ∂x2

+ ∂2ϕ∂ y2

+ ∂2ϕ∂ z2 ]+ρg2 kgμg [ ∂

2ϕ∂ x2

+ ∂2ϕ∂ y2

+ ∂2ϕ∂z2 ]= ∂

∂t(ϕ ρo+ϕ ρw+ϕ ρg )

Esto es igual que tener:

∇2 (ϕ ) ρo2 k oμo

+∇2 (ϕ ) ρw2 kwμw

+∇2 (ϕ) ρg2 k gμg

= ∂∂ t

(ϕ ρo+ϕ ρw+ϕ ρg )

Sustituyendo la densidad en la ecuación anterior :

Aceite→ρo=moBo∅ So

Gas total→mg= ρg[ ∅ SgBg+∅ R sSoBo

+∅ R swSwBw ]

ρg=mg

¿[∅ SgBg +∅ R sSoBo

+∅ Rsw SwBw ]

Agua→ ρw=mwBw∅ Sw

∇2(moBoSo )

2 k oμo

+∇2(mwBwSw )

2 k wμw

+∇2( mg

¿ [ SgBg+ R sSoBo+Rsw SwBw ] )

2 k gμg

= ∂∂ t (moBo

So+mwBwSw

+mg

¿ [ SgBg +R sSoBo+R swSwBw ])