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Ecuaciones
Alfonso López Asprilla Matemática grado 8° Lectivo 2020 pág. 27
1. ECUACIONES 1.1. ECUACION. Una ecuación es una igualdad en la cual intervienen variables (incógnitas). Sabemos que las incógnitas se
representan por las últimas letras del alfabeto. vuzyx ,,,, .
La expresión 2114 x es una ecuación ,puesto que es una igualdad en la cual intervienen variables; en este caso x
(incógnita).. Esta ecuación solo es verdadera, cuando 5x .
Ya que si remplazamos el valor 5x en la ecuación nos queda
2121
21120
211)5(4
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable (incógnita) que haga verdadera la ecuación. Cualquier valor diferente de 5x , no hace
verdadera la ecuación.
1.2. IDENTIDAD: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables que intervienen en ella.
2222 bababa . Se lee 2ba Idéntico a 22 2 baba .
Toda ecuación tiene dos miembros; el primer miembro, es el que está a la izquierda del igual )( ; el Segundo miembro, es el que está a la derecha del
igual )( .
En la ecuación 2114 x .
El primer miembro es 14 x ; el segundo miembro es 21
1.3. SOLUCION DE ECUACIONES.
Para Resolver ecuaciones se debe tener en cuenta que: Si ba entonces cbca ó cbca
Es decir, si se suma o se resta en ambos miembros de una igualdad el mismo
valor; la igualdad se mantiene.
Si ba entonces )()( cbca ó c
b
c
a
Es decir, si se multiplica o se divide en ambos miembros de una igualdad el
mismo valor; la igualdad se mantiene.
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Ecuaciones
Alfonso López Asprilla Matemática grado 8° Lectivo 2020 pág. 28
Ejemplos: Resolver la ecuación: 3835 x
Solución: Debemos despejar la variable (dejarla sola). 3835 x
)3(38)3(35 x se sumó 3 a ambos lados
355 x
5
35
5
5
x dividir entre 5 a ambos lados
7x Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 7x en la ecuación.
3838
38335
38375
Luego 7x satisface la ecuación.
En general cuando ya se conocen los pasos anteriores las ecuaciones se pueden resolver utilizando el METODO PRÁCTICO.
Que consiste en despejar la variable, haciendo una transposición de términos. Que consiste en reunir en un solo miembro todos los términos que
contengan la incógnita y en el otro término las constantes (números) y reducir términos semejantes:
En este orden: Si el término está sumando, pasa al otro miembro a restar. Si el término está restando, pasa al otro miembro a sumar.
Si el término está multiplicando, pasa al otro miembro a dividir. Si el término está dividiendo, pasa al otro miembro a multiplicar.
Ejemplos: Resolver la ecuación 3835 x
Solución: Despeje la variable. Se reúne en un solo miembro las constantes (Números) así: El 3 que está en el primer miembro pasa al segundo miembro.
Como está sumando pasa a restar. Queda así: 3835 x
3385 x (reduzca términos semejantes)
355 x Como el 5 está multiplicando en el primer miembro pasa a dividir
al segundo
75
35x
Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 7x en la ecuación.
3838
38335
38375
Luego 7x satisface la ecuación.
Ecuaciones
Alfonso López Asprilla Matemática grado 8° Lectivo 2020 pág. 29
Ejemplos: Resolver la ecuación 353 xx
Solución: Se reúne en un solo miembro las x ; en el otro miembro las constantes (Números) así:
La x que está en el segundo miembro pasa al primer miembro. Como está sumando, pasa a restar.
El 5 que está en el primer miembro pasa al segundo miembro. Como está
restando pasa a sumar. Queda así: 353 xx
353 xx (reduzca términos semejantes)
82 x Como el 2 está multiplicando en el primer
miembro pasa a dividir al segundo.
42
8x
Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 4x en la ecuación.
77
7512
34543
Luego 4x satisface la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación 11724 xx
Solución: Se reúne en un solo miembro las x ; en el otro miembro las constantes (Números) así:
El x7 que está en el segundo miembro pasa al primer miembro. Como está sumando, pasa a restar.
El 2 que está en el primer miembro pasa al segundo miembro. Como está sumando pasa a restar.
Queda así: 11724 xx
21174 xx (reduzca términos semejantes) 93 x Como el 3 está multiplicando en el primer miembro
pasa a dividir al segundo
33
9x
Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 3x en la ecuación.
1010
1121212
1137234
Luego 3x satisface la ecuación.
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Ejercicios:
Resolver las ecuaciones
214)1 y xx 5158)2 5253)3 yy
51065)4 xx yy 1210119)5
xx 827621)6 7332)7 yy 25153)8 xx
8976)9 xx 36651511)10 xxx
147348)11 mmmm
Ejemplo: Resolver la ecuación: 125)1(3 xx
Solución: Se destruye, primero los paréntesis queda:
125)1(3 xx
12533 xx Haga la transposición de términos.
53123 xx (No olvide reducir términos semejantes) 3x
Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 3x en la ecuación.
77
132543
1)3(25)13(3
Luego 3x satisface la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación: 20)32(7 x
Solución: Se destruye, primero los paréntesis queda: 20327 x
73202 x se hace la transposición de términos. 162 x
82
16x
Prueba: para probar la ecuación, se reemplaza el valor 8x en la ecuación.
2020
20137
20137
203167
20)3)8(2(7
Luego 8x satisface la ecuación.
Ejercicios: Resolver las ecuaciones. 9)3(2)1 tt )2(543)2 tt 33812)3 xxx
245327)4 xx 3261015)5 xxxx
631186435)6 xxxx
xxxxx 386545630)7
324613)8 yyy
xxxx 723321615)9
Ecuaciones
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2. FORMULAS Como producto de las investigaciones en diferentes campos del
saber, muchas veces se obtiene una ley matemática que relacionan las variables que intervienen en el problema estudiado. Esta expresión se llama
fórmulas. Generalmente las variables se designan con las letras iníciales de sus nombres.
Ejemplo: El área de un rectángulo es igual al producto del largo por el ancho. Si llamamos: A a el área, l al largo, a al ancho.
Podemos escribir la fórmula así: )(alA .
Mediante esta fórmula podemos hallar el área de una cancha de fútbol cuyas medidas son: 100m de largo y 80m de ancho. Ya sabemos que:
)(alA reemplazando valores queda: 28000)80(100 mmmA .
Como una fórmula es una ecuación, nosotros podemos despejar cualquiera de sus elementos ó variables. Aplicando los criterios prácticos que ya hemos
estudiado.
No olvide: "El término que este sumando pasa a restar; el que este restando pasa a sumar". "El término que este multiplicando pasa a dividir; el que este dividiendo pasa a multiplicar". En la fórmula )(alA , podemos calcular l
(largo); despejando: La a que está multiplicando a la derecha pasa a dividir
a la izquierda. )(alA la
A
Ejemplos: En la fórmula tve . despejar v ; t
Solución: Despejar v La t que está multiplicando a la derecha, pasa a
dividir a la izquierda así: tve .
vt
e Se puede escribir así:
t
ev Despejar: t La v que está multiplicando a
la derecha, pasa a dividir a la izquierda así: tve .
tv
e Se puede escribir así:
v
et
Ejercicios: 1) En la fórmula V
MD despejar M , V
2) En la fórmula taV . despejar a , t
3) En la fórmula 2
.. nlaA despejar a , l , n
4) En la fórmula 100
.. trcI despejar c , r , t
5) En la fórmula taVV .0 despejar a , 0V , t
6) En la fórmula xbcba .2222 despejar x
7) En la fórmula t
QI despejar Q , t
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3. PROBLEMAS DE APLICACION Resolver problemas es el fin último de
todo conocimiento, el conocimiento no tendría ninguna relevancia, si no proporciona las herramientas necesarias para enfrentar y resolver situaciones
nuevas. Muchos problemas de la vida diaria conducen a ecuaciones lineales las cuales deben resolverse para solucionar el problema. Debemos pasar lo enunciado en lenguaje corriente a una ecuación que se adecue al enunciado del
problema. Observemos algunos enunciados y como se pueden expresar en lenguaje algebraico.
La suma de un número y 6................................... ..................... 6x
Un número aumentado en 3....................................................... 3y
20 aumentado en algún número................................................. x20
54 disminuido en algún número.................................................. y54
El doble de algún número............................................................ x2
El triple de un número................................................................. x3
La mitad de un número...............................................................2
x ó x
2
1
El doble de un número aumentado en 6 ..................................... 62 k
Si una persona tiene x años, su edad hace 3 años era............... 3x .
El costo de 3 artículos a $5.000 cada uno.................................. 000.53
El costo de w artículos a m pesos cada uno.............................. )(mw
Dos números enteros consecutivos............................................ n y 1n
El cuadrado de un número............................................................. 2n Un número par........................................................................... h2
Para resolver un problema concreto se pueden seguir estos pasos:
Leer detenidamente el enunciado del problema; con el fin de entender qué se plantea. Separe lo conocido y lo que se desea encontrar.
Represente la cantidad desconocida (lo que hay que encontrar) ó incógnita con una variable, por ejemplo x .
Represente otras oraciones del problema, si es posible en términos de x .
Encuentre las relaciones en el problema que le permita "cuadrar " la ecuación. Resuelva la ecuación y verifique el resultado.
Ejemplo: Una varilla mide 300 cm, de longitud, se recorta en dos pedazos, uno de ellos es 20 cm más corto que el otro.
Hallar la longitud de cada pedazo. Solución: Leer detenidamente el enunciado del problema.
Sea x = La medida del pedazo más largo.
20x =La medida del pedazo más corto.
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Obtener la ecuación.
Al sumar la medida del pedazo más largo con el pedazo más corto nos quedaría
completa. Pedazo más largo + pedazo más corto= Longitud total de la varilla x + )20( x = 300cm
Solución de la ecuación:
300)20( xx
30020 xx 300202 x
203002 x 3202 x
2
320x
160x cm ; El pedazo más largo.
Pedazo más corto= )20( x
cm14020160
Observamos que al medir los dos pedazos: cmcmcm 300140160
Además uno de ellos es menor que el otro en 20 cm.
Ejemplo: Pagué $ 87.000 por un vestido, un libro y un estilógrafo ; el libro costo $17.000 más que el estilógrafo y $ 23.000 menos que el vestido ¿Cuánto se pagó por cada articulo?.
Solución: Leer detenidamente el enunciado del problema.
*Sea x =El precio del estilógrafo. *Como el libro costó $ 17.000 más que el estilógrafo se escribe 000.17x
*El libro costó $23.000 menos que el vestido, luego el vestido costó
$23.000 más que el libro, se escribe : 000.23000.17 x ó sea
Vestido costó 000.40x Obtener la ecuación.
Como por todos los artículos pagó $ 87.000; la suma del precio del Estilógrafo, el libro, más el vestido será igual a los 87.000 pesos.
Estilógrafo + Libro + Vestido = Valor Total. x + )000.17( x + )000.40( x = 87.000
Solución de la ecuación.
87000)000.40()000.17( xxx
000.87000.40000.17 xxx 000.87000.573 x
000.57000.873 x 000.303 x
3
000.30x
000.10x
Precio del Estilógrafo: 000.10$x
Ecuaciones
Alfonso López Asprilla Matemática grado 8° Lectivo 2020 pág. 34
Precio del Libro:
000.27$000.17000.10000.17 x
Precio del Vestido: 000.50$000.40000.10000.40 x
Observamos que al sumar 10.000+27.000+50.000=87.000 Además el libro costo 17.000 más que el estilógrafo y 23.000 menos que el vestido.
Ejercicios: 1)Blanca sacó 75 puntos en una evaluación ¿Qué puntaje debe sacar en una
segunda evaluación para obtener un promedio de 83 puntos, en las dos evaluaciones?.
2) Una tabla de 40 cm. de largo se corta en dos pedazos. Un pedazo es 7 cm más largo que dos veces la longitud del otro pedazo. Encontrar la longitud de
cada pedazo.
3) Encontrar tres enteros pares consecutivos cuya suma sea 66. 4) El ancho de un rectángulo es 42 cm menos que tres veces su largo. El
perímetro es 60 cm .Encontrar el largo y el ancho.
5) El perímetro de un triángulo es 38 m. Uno de los lados mide 2 m más que el segundo y 5 m más que el tercero. ¿Cuánto mide cada lado?.
6) El valor de A es el triple del valor de B. Si al sumar ambos valores da 128 ¿Cuál es el valor de A y cuál es el valor de B ?.
7) La edad de un padre sumada con la edad de su hijo es igual a 61 años. Si el
hijo tiene 15 años, ¿cuál es la edad del padre?
8) El perímetro de un triángulo isósceles es 55 cm, el lado desigual mide tres cuartos de la longitud de uno de los lados iguales. ¿Cuál es la medida de cada lado?.
9) Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada
problema que resuelva el muchacho recibirá 12 jugos y por cada problema que no resuelva perderá 5 jugos. Después de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe 73 jugos ¿Cuantos problemas resolvió y cuantos no resolvió?
10) En la tienda de don Juan hay una nueva nevera. Si la temperatura
desciende C04 cada hora una vez conectada la máquina, y la temperatura
actual es de C016 , ¿cuál será la temperatura dentro de ocho horas?
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 35
1. FACTORIZACION
Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de sus factores.
1.1. Factores primos. Al considerar un grupo de factores del número 12, como el 2 y el
6, se tiene que el primero es primo, pero el segundo no. Sin embargo, el 6 a su vez se puede expresar como el producto entre
2 y 3, que sí son números primos. Por lo tanto:
3232212 2 .
La expresión de un número como producto de sus factores primos se llama
descomposición en factores primos.
Al calcular los factores primos de un número, se debe comenzar por los factores menores. Después de seleccionar el menor de los factores primos, se divide el número entre este. Luego, se divide el cociente obtenido por otro
factor primo y se repite el procedimiento hasta que el cociente sea 1.
Entonces, el número es igual al producto de los factores primos entre los que se dividió.
Ejemplo: La descomposición del número 90 en sus factores primos se hace de esta manera:
Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 90 es:
53290 2 .
1.2. Máximo común divisor El mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales se llama
máximo común divisor. Se designa con la expresión m.c.d. Un procedimiento sencillo que se utiliza para encontrar el m.c.d. de dos o más
números es la descomposición en factores primos. Ejemplo: Para hallar el m.c.d de 12, 18 y 20, primero se descomponen los
números en sus factores primos. Es decir:
3212 2 , 23218 , 5220 2
Luego, se toman todos los factores comunes (repetidos) elevados al menor
exponente. En este caso, el único factor que tienen en común los tres números es el 2. Por lo tanto, el 220,18,12.. dcm .
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Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 36
1.3. Mínimo común múltiplo
El menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, de dos o más números naturales se llama mínimo común múltiplo y se abrevia con la expresión
m.c.m.
Para hallar el m.c.m. de dos o más números, estos se descomponen en factores primos.
Ejemplo: El m.c.m. de los números 12, 18 y 20 se calcula factorizando los números. Es
decir:
3212 2 , 23218 , 5220 2
Después, se toman los factores comunes y no comunes de los números
elevados al mayor exponente. En este caso son: 5 3 ,2 22 y .
Se calcula el producto entre estas potencias y el resultado es el m.c.m.
Por lo tanto, el 18059453220,18,12.. 22 mcm .
2. CASOS DE FACTORIZACION
2.1. Factor Común:
Se reconoce si hay factores "repetidos "en la parte literal o en los coeficientes. Ejemplos:
Factorizar: xx 42
Observamos que tanto 2x como x4 contienen el factor común x . Se factoriza: El factor común x por; dentro del paréntesis escribimos los
cocientes de dividir cada término de la expresión xx 42 entre el factor común x .
( xx
x
2
Además 44
x
x); queda entonces:
)4(42 xxxx
Factorizar: 332 126 mxm
Observemos que los coeficientes 6 y 12 tienen factor común 2,3, y 6.
Tomamos el 6 porque siempre tomamos el factor común mayor.
De las letras el factor común es 2m (porque está en los dos términos, observe
que mmm 23 ) luego el factor común es 26m .
Se factoriza: El factor común 26m por ; dentro del paréntesis escribimos los
cocientes de dividir cada término entre el factor común 26m .
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 37
( 3
2
32
6
6x
m
xm además m
m
m2
6
122
3
); queda entonces :
)2(6126 32332 mxmmxm
Factorizar: 3224223 4024816 yxyxyxyx
Observemos que los coeficientes 16 , 8 , 24 , 40 tienen factor común 8.
Tomamos el 8 porque siempre tomamos el factor común mayor.
De las letras el factor común es yx 2 (porque están en todos términos). Luego
el factor común es: yx 28
Se factoriza: El factor común yx 28 por; dentro del paréntesis escribimos los
cocientes de dividir cada término entre el factor común; yx 28 .
xyyx
yx2
8
162
23
; 18
82
2
yx
yx; yx
yx
yx 2
2
24
38
24
; 2
2
32
58
40y
yx
yx
Queda entonces:
)5312(84024816 2223224223 yyxxyyxyxyxyxyx
Ejercicios:
Factorizar:
2)1 abcabc 233)2 aa 43)3 axx 32 155)4 mm bcab )5 243 242)6 xxx
aaa 23)7 284)8 2 xx 2232 515)9 cxaacx
aayax 3918)10 2222 222)11 yxzxyyzx
2.2. Trinomio Cuadrado Perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto se reconoce si tiene "tres términos"; al primero
y al tercero se le puede sacar raíz cuadrada exacta, y el segundo término es el doble producto de las dos raíces cuadradas.
Ejemplo:
Factorizar: 122 aa
Observamos que tiene "tres" términos; al primero 2a se le puede sacar raíz
cuadrada exacta que es a ; al tercer término que es 1 se le puede sacar raíz
cuadrada exacta que es 1. Y el segundo término a2 ; es el doble producto de las dos raíces aa 2)1)((2
Como es Trinomio Cuadrado Perfecto se factoriza como: la suma de las
dos raíces elevada al cuadrado.
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 38
Queda entonces: 22 112 aaa
(Si el signo del segundo término es menos )( se factoriza como la
diferencia elevada al cuadrado). Ejemplo:
Factorizar: 22 25204 pmpm
Observamos que tiene "tres" términos; al primero 24m se le puede sacar raíz
cuadrada exacta que es m2 ; al tercer término que es 225p se le puede sacar
raíz cuadrada exacta que es p5 .
Y el segundo término mp20 ; es el doble producto de las dos raíces
mppm 20)5)(2(2
Como es Trinomio Cuadrado Perfecto se factoriza como: la diferencia de las dos raíces elevada al cuadrado.
Queda entonces: 222 5225204 pmpmpm
Ejercicios:
2510)1 2 aa 269)2 xx 42 254016)3 xx
aa 14491)4 2 140400)5 510 xx 242 49141)6 yxyx
422 9124)7 yxyx 96)82
mnmn 164025)9 24 xx
2.3. Diferencia de Cuadrados.
La diferencia de cuadrados se reconoce si tiene "dos" términos, separados con signo "menos" y a ambos términos se le puede sacar raíz cuadrada exacta.
Ejemplo:
Factorizar: 4216 ya
Observamos que tiene "dos" términos, separados con signo "menos"; a ambos
se le puede sacar raíz cuadrada exacta: la raíz de 216a es a4 ; la raíz de 4y es 2y .
Como es una diferencia de cuadrados se factoriza como: la suma de las
dos raíces por la diferencia de las dos raíces.
Queda entonces: 2242 4416 yayaya
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 39
Ejemplo:
Factorizar: 4222 49 zyxa
Observamos que tiene "dos" términos, separados con signo "menos"; a ambos se le puede sacar raíz cuadrada exacta:
La raíz de 29a es a3 ; la raíz de 4224 zyx es 22xyz .
Como es una diferencia de cuadrados se factoriza como: la suma de las dos raíces por la diferencia de las dos raíces.
Queda entonces: 224222 232349 xyzaxyzazyxa
Ejercicios:
25)1 2 a 4121)2 x 94)3 2 a 22491)4 ba 42 814)5 yx 282)6 cba 642 169100)7 ynm 144)8 642 nma
10412 10025)9 baa 4222 49)10 zyxa 4242 16)11 cbap
2.4. Trinomio de la Forma cbxx 2
Un trinomio de la forma cbxx 2 . Se reconoce si tiene "tres términos" y si
es posible encontrar (por tanteo), dos números que multiplicados den el
término independiente, que es )(c y sumados den el coeficiente de la x que es
)(b .
Ejemplos:
Factorizar: 1582 xx
Observamos que tiene "tres" términos.
El término independiente es el 15 y el coeficiente de la x es el 8.
Buscamos por tanteo dos números que multiplicados den el término independiente 15 y sumados den el coeficiente de la x que es 8.
Esos números son el 5 y el 3 . Puesto que 5(3)=15 , además 5+3=8.
Como es un trinomio de la forma cbxx 2 se factoriza como: el
producto de dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de 2x que es x , se completa con los números encontrados (5 y 3)
Queda entonces: 351582 xxxx
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 40
Factorizar: 1892 xx
Observamos que tiene "tres" términos. El término independiente es el 18 y el coeficiente de la x es el 9
Buscamos por tanteo dos números que multiplicados den el término independiente 18 y sumados den el coeficiente de la x que es 9 .
Esos números son el 6 y el 3 . Puesto que 18)3)(6( además
9)3(6
Como es un trinomio de la forma cbxx 2 se factoriza como: el
producto de dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de 2x que es x , se completa con los números encontrados )3 6( y
Queda entonces: 361892 xxxx
Ejercicios:
245)1 2 aa 152)2 2 xx 67)3 2 aa
34)4 2 yy 2110)5 2 xx 1112)6 2 mm
1682)7 2 mm 13524)8 2 cc 352)9 2 aa
1314)10 2 xx 1413)11 2 cc 2811)12 24 xx
2.5. Trinomio de la Forma: cbxax 2
Antes de analizar este caso recordemos los ejemplos realizados anteriormente
de la forma cbxx 2
351582 xxxx observe que 351582
361892 xxxx observe que 361892
271452 yyyy vea 2714)(5)( 2
Ejemplos:
Factorizar:
673 2 xx
Observe que es un trinomio de la forma cbxax 2
Multiplicamos todo el trinomio por el coeficiente de la 2x , que es el 3; y dividimos por 3 para que no se altere el trinomio.
3
18)3(7)3( 2 xx ))3(7)7(3 39 (
22 xxademásxxojo
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 41
factorizando como en el caso anterior nos queda:
3
)23)(93( xx (No olvide; dos números que multiplicados den 18 y
sumados den 7).
Se factoriza nuevamente ahora (factor común), )3(393 xx
3
)23)(3(3 xx)23)(3( xx
Luego queda: 673 2 xx = )23)(3( xx
Factorizar:
5112 2 aa
Observe que es un trinomio de la forma cbxax 2
Multiplicamos todo el trinomio por el coeficiente de la 2a , que es el 2 y
dividimos por 2 para que no se altere el trinomio.
2
10)2(11)2( 2 aa
))2(11)11(2 24 (22 aaademásaaojo
factorizando como en el caso anterior nos queda:
2
)12)(102( aa (No olvide; dos números que multiplicados den 10 y
sumados den 11).
Se factoriza nuevamente ahora (factor común), )5(2102 aa
1252
)12)(5(2
aa
aa
Luego queda: 5112 2 aa = )12)(5( aa
Ejercicios:
232)1 2 aa 253)2 2 xx 276)3 2 xx
6135)4 2 xx 656)5 2 xx 612)6 2 xx
132)7 2 xx 31110)8 2 aa 351312)9 2 mm
120)10 2 yy 15148)11 2 aa 35447)12 2 xx
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 42
2.6. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.
33 ba )( ba )( 22 baba y 33 ba )( ba )( 22 baba
Luego si se tiene una suma de dos cubos perfectos se factoriza: la suma de sus raíces cúbicas, por el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz Si tenemos ahora la diferencia de dos cubos perfectos se factoriza: La
diferencia de sus raíces cúbicas por el cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos:
Factorizar: 13 a
La raíz cúbica de 3a es a ; la raíz cúbica de 1 es 1.
Como es una diferencia de cubos se factoriza:
223 1)1()1(1 aaaa
)1)(1( 2 aaa
Factorizar: 273 x
La raíz cúbica de 3x es x ; la raíz cúbica de 27 es 3. Como es una suma de cubos se factoriza:
223 3)(3)3(27 xxxx
)93)(3( 2 xxx
Factorizar: 338 yx
La raíz cúbica de 38x es x2 ; la raíz cúbica de 3y es y .
2233 )()(2)2()2(8 yyxxyxyx
)24)(2( 22 yxyxyx
Ejercicios:
31)1 a 33)2 yx 33)3 nm 1)4 3 y
1)5 3 y 3327)6 ba 664)7 a 125)8 3 a 32161)9 m 33 6427)10 nm 99)11 yx 123 8)12 ba
Factorización
Alfonso López Asprilla, Matemáticas 8° Lectivo 2019 pág 43
Ejercicios de todos los casos estudiados.
2510)1 2 bb 96)2 2 xx
164025)3 24 xx 32 2106)4 bbb 222 685134)5 ayyaax 36)6 2 x
43)7 2 xx 31)8 x 127)9 3 b
334)10 2 tt 2441)11 bb 30)12 2 aa
141115)13 2 mm 1)14 6 a 24 8125)15 yx
42)16 2 nn 72)17 2 xx 691)18 a
bb 25)19 22 2)20 xmxm 20)21 2 xx
Utilizando GeoGebra, factorice la expresión: mmnnm 624 3
Abra un nuevo archivo en el programa geogebra.
En el menú vista, despliegue la opción Cálculo Simbólico (CAS), cierre la vista algebraica y la vista gráfica.
Digite mmnmn 6*2*4 3 (no olvide el *)
En las herramientas de clic en el botón factoriza
Nos da 322 2 nnmm
Utilizando procedimiento similar al anterior factorice:
2510 ) 2 xxi
Observe nos da 25x
916 ) 2 aii
Observe nos da 3434 aa
145 ) 2 mmiii
Observe nos da 27 mm
253 ) 2 yyiv
Observe nos da 132 yy
