PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES A LA ADMINISTRACION

EJEMPLO 1 La compañía manufacturera Zardos fabrica sacapuntas. Supongamos que cuesta$4 hacer un sacapuntas que se vende a $6 ¿Cuántos sacapuntas deben fabricarse y venderse para tener una ganancia de $10000?

Ganancia = ingreso – costoSi x es el número de sacapuntas vendidos, entonces el ingreso es igual a 6x y el costo igual a 4x6x-4x=10000

2x=10000x=5000 sacapuntas

EJEMPLO 2 Regresemos a la compañía manufacturera Zardos que continúa fabricandosacapuntas. Recuérdese que después de los costos iniciales de $10 000, cuesta $4 hacer un sacapuntas que se vende a $5.95. ¿Cuántos sacapuntas deben vender para obtener una ganancia de 10% (10% de sus costos)?Solución Como antes, sea x el número de sacapuntas. Como ganancia = ingreso - costo tenemos:Ingreso = 5.95xCosto = 10 000 + 4xGanancia = 0.1 (10000 + 4x)

Consecuentemente,5.95x - (10000 + 4x) = 0.1(10000 + 4x)5.95x - 10 000 - 4x = 1000 + 0.4x

1.9Sx = 11 000 + 0.4x1.55x = 11.000

X =11.0001.55

x = 7 097 sacapuntasEJEMPLO 3 Usted está promoviendo un concierto del popular grupo rock "Smooch" en unauditorio con 10 000 asientos. La mayoría de los conciertos cobran $10 por asiento reservado y $7por admisión general, y el promotor decide el número de cada tipo de lugar. Smooch cobra $40 000 por su presentación. Los gastos de usted son de $20 000. Suponiendo que todos los lugares serán vendidos, ¿cuántos asientos deberán designarse corno reservados si desea?a. no perder ni ganar?b. tener una ganancia de $30 000?

1

Soluciones Sea r el número de asientos reservados.a. Para no perder ni ganar, usted deseaIngreso = Costo

El ingreso es igual a 10r para asientos reservados, ¿pero cuánto para admisión general?Si hay r asientos reservados, debe haber (l0 000 -r) asientos de admisión general. El ingreso por estos lugares es entonces 7(10 000 - r).

De este modo

Ingreso = l0r + 7(10000 - r)Costos = $20 000 + $40 000 = $60 000

Para no perder ni ganar 10r + 7(10000 - r) = 60000l0r + 70 000 – 7r = 60 000

3r = -10 000

r = - 10000

3

Esta solución no es posible. Significa que usted no puede perder ni ganar, debe teneruna ganancia con esos precios de los boletos. Aun si todos los lugares son de admisión general usted recibe $70000 con una ganancia de $10 000.

b. Para tener una ganancia de $30 000, recordamos que

Ingreso - Costo = Ganancia

10r + 7(10000 - r)- - 60000 = 3000010r + 70000 - 7r - 60000 = 30000

3r +. 10000 = 300003r = 20 000r = 20 000/3 = 6 667

Así que las dos terceras partes, o sea 6 667, de los 10 000 lugares deben ser reservadospara obtener una ganancia de $30000.

EJEMPLO 4 Una mujer de empresa planea invertir un total de US$ 24,000.

Parte de él se pondrá en un certificado de ahorros que paga 9% de interés simple, y elresto en un fondo de inversiones que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto debe invertir en cada uno para obtener una ganancia de 10% sobre su dinero después de un año?

2

Solución. Sea

x = la cantidad en dólares invertida en el certificado de ahorros, entonces 24,000 - x = lacantidad de dólares puesta en el fondo de inversiones.

La siguiente tabla resume la información dada.

Puesto que el interés combinado procedente del certificado de ahorros y el fondo deinversiones va a igualar el de una inversión total equivalente hecha a 10% de interés simple, tenemos

0.09x + 0.12 (24,000 - x) = 0.10 (24,000)

Despeje x como sigue:

9x + 12(24,000 - x) = 10(24,000)9x + 288,000 - 12x = 240,000.

- 3x = -48,000 x = 16,000

Entonces, se deben invertir US$16,000 en el certificado de ahorros, y se deben ponerUS$24,000 - US$16,000 = US$8,000 en el fondo de inversiones.

Prueba: la suma de US$16,000 y US$8,000 es US$24,000. El interés ganado sobre elcertificado de ahorros es US$16,000 (0.9)( 1) = US$1,440. El interés ganado sobre el fondo de inversiones es de US$8,000 (0.12) (l) = US$960. Si los US$24,000 se invirtieron a 10%, el interés ganado sería (US$24,000)(0.10) (1) = 2,400. Puesto que US$1,440 +US$960 = US$2,400, la respuesta corresponde.

EJEMPLO 5 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 pormes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le

1 1

toma horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en2

promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

3Solución Supóngase que trabaja x horas por mes. Cada hora, efectúa ventas por

2$100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) enventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es20

3

20. Por tanto, en x horas ganará una comisión de ( ) x dólares.

3

3

Capital C

Tasa de Interés r

Tiempo T

INTERES GANADOI=Crt

Certificados de ahorros

X 0.09 1 X(0.09)(1)=0.09x

Fondo de inversiones.

24,000 – x 0.12 1 (24,000 – x)(0.12)(1)=0.12(24000 – x)

Inversión equivalente.

24,000 0.10 1 (24,000)(0.10)(1)=2,400

Dr. Víctor Cazar20 Agregando su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de 600 + x . Esto

3 debe ser igual a 2000, de modo que obtenemos la ecuación

20600 + x = 2000.

3

Resolviéndola obtenemos las ecuaciones siguientes:

20 x = 2000 - 600 = 1400

33

x = (1400) = 21020

La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivelde ingresos deseado.

EJEMPLO 6 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cadauna. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%?

Solución Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% delprecio de costo, que es el 25% de $150, o bien $37.50. En 400 reses, su ganancia fue de$37.50x 400 = $15,000. Sea x dólares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x - 150 y su ganancia por las restantes 600 es 600(x -150) dólares. Por tanto su ganancia total por la venta completa es

15,000 + 600(x - 150) dólares.

Esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por las 1000 reses, es decir, el3

30% de $150,000. Esto es igual a $[ (150,000)], o bien $45,000. Así, obtenemos la10

ecuación

15,000 + 600(x - 150) = 45,000.

Ahora resolvemos:

15,000 + 600x - 90,000 = 45,000

600x = 45,000 - 15,000 + 90,000 = 120,000

x 120,00

600200

El comerciante debe vender las restantes reses a $200 cada una para lograr una gananciadel 30%.

4

Dr. Víctor Cazar

Si una cantidad de dinero de P dólares se invierte a un año a una tasa de interés anual deR por ciento, la cantidad de interés anual está dada por.

RI P

100

Por ejemplo, una suma de $5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interéscada año dada por

6I $5000

100

Si este interés es retirado cada año, entonces tanto el capital P como el interés Ipermanecen sin cambio de año a año.

EJEMPLO 7 (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibirun ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000?

Solución Sea la cantidad invertida en bonos del gobierno x pesos. Entonces la cantidadinvertida en bonos hipotecarios es (70,000 - x) pesos. El ingreso recibido por los bonos

6gubernamentales al 6% es de

hipotecarios al 8.5% es.

x pesos. El ingreso percibido por los bonos100

8.5 (70,000 x) pesos

100

85(70,000 x) pesos1000

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5000,

6 85x (70,000 x) 5000

100 1000

Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos x.

60x + 85(70,000-x) = 5,000,00060x + 5,950,00 – 85x = 5,000,000

-25x = 5,000,000-5,950,000= -950,000

x 950,000 38,000

25

5

Dr. Víctor CazarEn consecuencia, la señora Cordero debería invertir $38,000 en bonos del gobierno y los restantes $32,000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso invirtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incrementaría su riesgo.

EJEMPLO 8 Una persona desea invertir $20000 en dos empresas de modo que elingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga al 6% anual y la otra paga el7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una?

Interés = Capital invertido x tanto

Cantidad invertida = $20000Empresa AEmpresa B Utilidad

= X cantidad al 6% = 0,06X= (20000 – X) al 7,5% = 0,075(20000 – X)= 1440

0,06X + 0,075(20000 – X) = 14400,06X + 1500 – 0,075X = 1440

-0,015X = -6060x = 4000

0,015

Empresa A= 40000Empresa B = 16000

PROBLEMAS DE ECUACIONES CUADRATICAS A LA ADMNISTRACION

1) Un comisionista de vinos gastó $800 en algunas botellas de vino añejo. Si cadabotella hubiera costado $4 mas, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por los $ 800. ¿Cuántas botellas se compraron.

Solución.- la solución de este problema se basa en la siguiente relación:

(Costo por botella)(Número de botellas) = 800 (1)

Para la compra real, si designamos.x = número de botellas compradas,

800Entonces costo por botella.

x

Al precio más alto,

x – 10 = número de botellas compradas.

800y 4 costo por botella.

x

6

Dr. Víctor CazarUtilizando esta información en la relación (1), obtenemos la ecuación.800 4x 10800

x

con la cual despejamos x como sigue:800 4xx

10800x

x 10x 2000 0

10 8100

10 90x

2o

2x = 50 x = - 40

Ya que debemos tener un número positivo de botellas compradas, encontramos que secompraron 50 botellas de vino.

Prueba: Si se compraron 50 botellas por 800 dólares el costo por botella fue de$800/50= $16 si cada botella costara $4 mas, entonces el precio por botella habría sido$20. A este precio mas alto precio, solo $800/20=40 botellas se habrían podido comprar por $800 ya que 50 – 10 = 40, la respuesta corresponde.

2) Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentosTorres de Bellavista, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales deaumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidadde que se renten. La compañía quiere recibir $54,600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada departamento?Solución:Método I. Suponga que r es la renta, en dólares, que se cobrará por cada departamento. Entonces el aumento sobre el nivel de $550 es r — 550. Así, el

r 505número de aumentos de 25 dólares es . Como cada 25 dólares de aumento

25causa que tres departamentos queden sin rentar, el número total de departamentos

r 550 sin rentar será 3

De aquí que el número total de departamentos25

r 550 .rentados será 96 — 3 Como

25 Renta total = (renta por departamento) . (número de departamentos rentados),tenemos :

3r

550 96 54600 = r

25

2400 3r 1650 54600 = r

25

4050 3r 54600 =

1365000 =r

25

r 4050 3r Por tanto,

3r2 – 4050r + 1365000 = 0

7

Dr. Víctor CazarUtilizando la fórmula cuadrática,

4050 (4050)2 4(3)(1365000)

23r

4050 150

64050 22500

6= = 675 ± 25.

Así, la renta para cada departamento debe ser de $650 o $700.Método II. Suponga que n es el número de incrementos de $25. Entonces el aumento en la renta por departamento será 25n y habrá 3n departamentos sinrentar.

Como renta total = (renta por departamento)(número de departamentos rentados),tenemos

54600 = (550 + 25n) (96 - 3n),54600 = 52,800 + 750n - 75n2,

75n2 - 750n + 1800 = 0, n2 - 10n + 24 = 0, (n - 6)(n - 4) = 0.

Así, n = 6 o n = 4. La renta que debe cobrarse es 550 + 25(6) = $700 o bien 550 +25(4) = $650.

3) Un fabricante de lámparas sabe por experiencia que si vende su producto a $17 cadauna, puede vender 900 lámparas; pero si aumenta el precio de cada lámpara en $2, deja de vender 30 lámparas. ¿Cuántas debe vender para obtener para obtener los mismos ingresos pero vendiendo menos lámparas?

Si vendiera todas las lámparas que produce obtendría unos ingresos de:

R = x.pR = (900).(17)R = 15300

Pero dado que quiere obtener las mismos ingresos vendiendo menos lámparas se debecalcular un valor h, que representa el número de veces que se aumenta el precio y se disminuye el número de lámparas vendidas, luego.

R = (900 – 30h). (17 + 2h)

Nuevo número de lámparas vendidas.

Nuevo precio de cada lámpara.

Entonces:15300 = 15300 + 1800h – 510h – 60h2

1260h - 60h2 = 0 h (1260 – 60h) = 0h = 0

8

Dr. Víctor Cazarh = 21.5

Se debe notar que si h = 0, significa que vende todas las lámparas a $17 c/u o sea lasmismas condiciones iniciales; luego la respuesta elegir es h = 21.5 que significa que se debe aumentar 21.5 veces $2 al precio inicial de cada lámpara, vendiendo 21.5 veces menos 30 lámparas de las iniciales.

900 – 30(21.5)=

900 – 645 = 255, nuevo número de lámparas que se deben vender.17 + 2(21.5)

17 + 43 = 60, nuevo precio de cada lámparay R = 255 x 60 = 15300, ingreso deseado si el costo de cada lámpara fuera $10 en la situación inicial, la utilidad seria:

U = R- CU = 15300 – 9000U = 6300

En la nueva situación

U = 15300 – 2550U = 12750

Lo cual muestra que, efectivamente, la nueva situación es mejor que la inicial.

4) Una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólarescada uno, en donde p = 560 – 2x.

a) calcular cuantas unidades deberá vender para obtener ingresos por $38400

b) ¿Qué precio por unidad deberá fijar para recibir ingresos por $39200

Solución.Sea x el número de unidades vendidas.

R(x) = xp

a) Reemplazando:

38400 = x (560 – 2x)38400 = 560x – 2x2

2x2 – 560x +38400 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática.

x1 = 160 y x2 = 120

Lo cual quiere decir que vendiendo tanto 120 como 160 unidades se obtienen losmismos ingresos. (¿Por qué razón?)

9

Dr. Víctor Cazarb) Ya que la pregunta aquí es precio debemos despejar de la ecuación p = 560 – 2x la variable x, para dejar la ecuación de ingreso en función de p, así.

p = 560 – 2x

x 560 p

2Luego , y remplazando en R = xp

39200 560 p

2 2

39200 560 p

p

2 2

78400 560 p p2

p2 560 p 78000

Resolviendo la ecuación obtenemos

p = 280 que es el precio al cual se deben vender los productos para obtener los ingresosdeseados.

10

Empaque de frutas:La compañía de productos orgánicos "Ilovetiny.com" tiene 3600libras de duraznos que debe empacar en cajas. La mitad de ellas se llenará con duraznos sueltos, cada una con 20 libras de fruta; las otras cajas se empacarán con ocho contenedores plásticos de apertura rápida, cada uno de los cuales contendrá 2.2 libras de durazno. Determine el número de contenedores que se requerirán.

3600/2)/20=x(3600/2)/2.2=y

x=cajas con fruta sueltay=envases

x=90y=818