Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

Índice [ocultar]

1 Ecuaciones de Euler-Lagrange en física

1.1 Caso discreto

1.2 Caso continuo

1.3 Mecánica lagrangiana de la partícula

1.4 Teoría de campos

1.5 Aplicaciones en mecánica cuántica

1.6 Síntesis de aplicaciones en física

2 Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría

3 Referencias

3.1 Bibliografía

4 Véase también

Ecuaciones de Euler-Lagrange en física[editar]

Artículo principal: Acción (física)

Caso discreto[editar]

En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo:

S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x}(t))dt

Y su correspondiente variación viene dada por:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\;

\left(

{\partial L\over \partial x^a}

- {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x^a}

\right)dt

Si se impone ahora que \delta S =0\, para variaciones "cercanas", esto implica que:

{\partial L\over\partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial

\dot{x}^a} = 0

donde L es el lagrangiano para el sistema, y x^a son las coordenadas generalizadas del sistema.

Caso continuo[editar]

La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:

S = \int_{\Omega \subset \R^n} \; \mathcal{L}(\psi^A,\partial_\mu \psi^A) \ d^nx

Donde \scriptstyle d^nx es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y \scriptstyle \psi^A, \part_\mu \psi^A representan las variables del campo y sus derivadas respecto

a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

{\partial \mathcal{L}\over\partial \psi^A} - {d\over dx^\mu }{\partial \mathcal{L}\over\partial

(\partial_\mu\psi^A)} = 0

Mecánica lagrangiana de la partícula[editar]

Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

L(x,y,z,v_x,v_y,v_z) = \frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2) - V(x,y,z)

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas:

(q_1,...q_n;\dot{q}_1,...,\dot{q}_n;t)\mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) \in \R

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula:

{\part L\over\part x_i} - {d\over dt }{\part L\over\part v_i} = 0 \Rightarrow \quad

- {\part V\over\part x_i} - {d (mv_i) \over dt }=0 \Rightarrow \quad

\mathbf{F} = m{d \mathbf{v} \over dt } = -\boldsymbol{\nabla} V(x,y,z)

Teoría de campos[editar]

La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:

(*) \mathcal{L} = \mathcal{L}_{int} + \mathcal{L}_{em} =

\left(\frac{1}{c} \mathbf{A}\cdot\mathbf{j}-\rho_e\phi\right)+

\left( -\frac{\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2}{8\pi}\right)

Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además:

\mathbf{E}, \mathbf{B}, son los campos eléctrico y magnético.

\rho_e, \mathbf{j}, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo.

\phi, \mathbf{A}, son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo.

Considerando aquí el campo descrito por los potenciales (\psi_0, \psi_1, \psi_2, \psi_3) = (\phi, A_x, A_y, A_z)\,, los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

\mathbf{E} = -\boldsymbol\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\part \mathbf{A}}{\part t},

\qquad \mathbf{B} = \boldsymbol\nabla\times \mathbf{A}

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por:

\mathcal{L}_{m}= -\mu c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.

Aplicaciones en mecánica cuántica[editar]

Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:

“La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.

Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.

En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.

Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica.

El sólo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.

Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.1

Mecánica lagrangiana

La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica introducida por Joseph Louis Lagrange en 1788. En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la integral del lagrangiano en el tiempo; siendo éste la energía cinética del objeto menos la energía potencial del mismo.

La formulación lagrangiana simplifica considerablemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, los sistemas de referencia inerciales son tratados en pie de igualdad y a diferencia de las leyes de Newton la forma de las ecuaciones del movimiento no depende del sistema de referencia elegido.

Índice [ocultar]

1 Motivación

2 Ecuaciones de Lagrange

2.1 Derivación a partir de las leyes de Newton

2.2 Derivación a partir del principio de Hamilton

3 Mecánica lagrangiana en variedades diferenciables

4 Extensiones de la mecánica lagrangiana

5 Referencia

5.1 Enlaces externos

6 Véase también

7 Enlaces externos

Motivación[editar]

La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante.

En cambio, en la aproximación de Lagrange, uno mira todos los movimientos posibles que la cuenta podría tomar en el aro y encuentra matemáticamente el que reduce al mínimo la acción. Hay muy pocas ecuaciones puesto que no se está calculando directamente la influencia del aro en la cuenta en un instante dado.

Otro ejemplo es el caso del estudio de movimientos referidos a un sistema que gira, como por ejemplo observaciones astronómicas vistas desde el planeta Tierra: en la formulación newtoniana es necesario introducir a mano las fuerzas ficticias o fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis mientras que en la formulación lagrangiana estas fuerzas aparecen de modo natural.

Los dos problemas considerados anteriormente son mucho más sencillos de resolver empleando la formulación lagrangiana.

Ecuaciones de Lagrange[editar]

Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana son las ecuaciones de Lagrange, también conocidas como las ecuaciones de Euler-Lagrange. Debajo, bosquejamos la derivación de la ecuación de Lagrange de las leyes de Newton del movimiento. Vea las referencias para derivaciones más detalladas y más generales. En su forma más general, en que se da un sistema de referencia general con coordenadas generalizadas (q_1,...,q_N; \dot{q}_1,..., \dot{q}_N) las ecuaciones de Lagrange toman la forma:

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial q_i} = 0

Derivación a partir de las leyes de Newton[editar]

Considere una sola partícula con masa m y el vector de posición r. La fuerza aplicada, F, si es una fuerza conservativa puede ser expresada como el gradiente de una función potencial escalar V(r, t):

\mathbf{F} = - \nabla V

tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de r (o de derivadas de orden superior), por tanto la segunda ley de Newton forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o grados de libertad. Un sistema obvio de variables es {rj, r j|j = 1, 2, 3}, ′las componentes cartesianas de r y sus derivadas temporales, en un instante dado del tiempo.

Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de coordenadas generalizadas y de sus derivadas temporales, las velocidades generalizadas: {qj, q j}. r está relacionado con las ′coordenadas generalizadas por cierta ecuación de transformación:

\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1 , q_2 , q_3, t)

Considere un desplazamiento arbitrario δr de la partícula. El trabajo hecho por la fuerza aplicada F es δW = F · δr. que usa la segunda ley de Newton, escribimos:

\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = m\ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}

puesto que el trabajo es una cantidad escalar física, debemos poder reescribir esta ecuación en términos de las coordenadas y de las velocidades generalizadas. En el lado izquierdo,

\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} =

- \nabla V \cdot \sum_i {\partial r \over \partial q_i} \delta q_i =

-\sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i =

-\sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i

El lado derecho es más difícil, pero después de algunas maniobras obtenemos:

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}

= \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

Donde T = m\dot{r}^2/2 es la energía cinética de la partícula. Nuestra ecuación para el trabajo hecho se convierte en

\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]

\delta q_i = 0

sin embargo, ésta debe ser verdad para cualquier conjunto de desplazamientos generalizados δqi, así que debemos tener

\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

para cada coordenada generalizada δqi. Podemos simplificar aún más esto observando que V es una función solamente de r y t, y r es una función de las coordenadas generalizadas y t. Por lo tanto, V es independiente de las velocidades generalizadas:

{d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0

Insertando esto en la ecuación precedente y substituyendo L = T - V, obtenemos las ecuaciones de Lagrange:

{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}

Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada qi. Cuando qi = ri (es decir las coordenadas generalizadas son simplemente las coordenadas cartesianas), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.

La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema de N partículas. Habrá 6N coordenadas generalizadas, relacionadas a las coordenadas de posición por 3N ecuaciones de transformación. En cada una de las 3N ecuaciones de Lagrange, T es la energía cinética total del sistema, y V la energía potencial total.

En la práctica, es a menudo más fácil solucionar un problema usando las ecuaciones de Euler-Lagrange que las leyes de Newton. Esto es porque las coordenadas generalizadas apropiadas qi se pueden elegir para aprovechar las simetrías en el sistema.

Derivación a partir del principio de Hamilton[editar]

Artículo principal: Principio de mínima acción

Ecuaciones de Lagrange

Barbol

Mayo 2003

Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

1 Parámetros de las ecuaciones

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

$T$ - Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.

$V$ - Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.

$q_{j}$ - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.

$\dot{q}_{j}$ - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

$Q_{j}$ - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

2 Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso general

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es

\begin{displaymath}

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}

\end{displaymath} (1)

El subíndice $j$ va desde $1$ hasta $n$, por lo que éstas son $n$ ecuaciones (siendo $n$ el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas $n$ ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.

2.2 Caso conservativo

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

\begin{displaymath}

Q_{j}=\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \cdots , q_{n})}{\partial q_{j}}\equiv \frac{\partial V}{\partial q_{j}}

\end{displaymath} (2)

\begin{displaymath}

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\r...

...partial T}{\partial q_{j}}+\frac{\partial V}{\partial q_{j}}=0

\end{displaymath} (3)

Si definimos $L\equiv T-V$ como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que $\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \dots , q_{n})}{\partial \dot{q}_{j}}=0$, es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

\begin{displaymath}

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0

\end{displaymath} (4)

2.3 Caso continuo

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$, de modo que la lagrangiana sería

\begin{displaymath}L= \int_{0}^{L} \mathcal{L}dx . \end{displaymath}

La forma de la densidad lagrangiana es:

\begin{displaymath}

\mathcal{L}=\frac{1}{2} \Big[ \rho \Big( \frac{\partial q}{\...

...\Big) ^{2}-T\Big( \frac{\partial q}{\partial x}\Big) ^{2}\Big]

\end{displaymath} (5)

Con $\rho$ la densidad del objeto y $T$ la tensión a la que está sometido.

Si denotamos $\dot{q}=\frac{\partial q}{\partial t}$ y $q'=\frac{\partial q}{\partial x}$ podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:

\begin{displaymath}

\frac{\partial }{\partial t}\Big( \frac{\partial \mathcal{L}...

...l q'}\Big) -\Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}\Big)

\end{displaymath} (6)

3 Teoremas de conservación

Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías se deben a las coordenadas cíclicas.

Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) $\Rightarrow$ conservación de la energía.

Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) $\Rightarrow$ conservación del momento lineal.

Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) $\Rightarrow$ conservación del momento angular.

4 Observaciones

Las coordenadas generalizadas del sistema no tienen por que ser distancias, pueden ser ángulos, energías, cargas eléctricas...

Hay infinitos modos diferentes de escoger las coordenadas generalizadas (aunque cada sistema tiene un número fijo de grados de libertad).

En estas ecuaciones desaparece el carácter vectorial. La lagrangiana es un escalar (y por lo tanto es invariante bajo cambios de coordenadas).

La función lagrangiana depende de las coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas y el tiempo, por tanto las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas se tratan de modo independiente, por ejemplo, una derivada con respecto a $q_{j}$ no afectaría a $\dot{q}_{j}$.

5 Comentarios

Las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen de modo natural mediante el cálculo de variaciones y el problema de la braquistócrona. El sentido matemático de la lagrangiana es aquella cantidad que minimiza la acción, así que lo que tenemos aquí es un principio de mínima acción.

Las definiciones de las funciones lagrangianas dadas aquí sólo son válidas dentro de la mecánica clásica, para problemas de relatividad o de electromagnetismo (por poner dos ejemplos) habrá que definir esta función de algún otro modo, que no veremos aquí.

La dinámica de Lagrange no es en absoluto una nueva teoría para la mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser idénticos a los que proporcionan las fórmulas de Newton, lo que varía es el procedimiento para llegar al resultado, mientras que con la mecánica newtoniana se maneja un agente exterior al cuerpo (fuerzas) en la mecánica analítica se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energías).