Ecuaciones de la recta

La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones dela recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación.

Ecuación de la recta que pasa por el origen

Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x.

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Ecuación de la recta que pasa por el origen.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:

Esto es,

Es decir, y = mx

Ecuación de la recta en su forma punto pendienteLo que se muestra en la figura, es una recta que pasa

por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.

• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:

1

1

xx

yym

• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.

• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:

5y-x+18=0

• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:

11 xxmyy

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.• Considera dos puntos por los cuales pasa una

recta como se muestra en la figura:

• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

1

12

121 xx

xx

yyyy

• O bien, la pareja de coordenadas del punto B

• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.

• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0

2

12

122 xx

xx

yyyy

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.

• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

• Calculando la pendiente

• Despejando y, y ordenando los términos

• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y

x

ybm

0

bmxy

• Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente.

• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto.

• Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias.

• Sol. Punto de equilibrio:

27

1qp 22pq

5

16,

5

42

Ecuación de la recta en forma simétrica.

• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).

• Al calcular la pendiente obtendríamos:

a

bm

a

bm

0

0

• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos

• Ordenando los miembros de la ecuación

• Esta es la ecuación simétrica de la recta.

bxa

by

1b

y

a

x

Ecuación general de la recta.• La ecuación general de la recta es de la siguiente

forma: Ax+By+C=0

• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes

• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.

• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.

• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma

• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra

B

Cx

B

Ay

• Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales

• Sol. Longitud total de las vigas 59.41m