Ecuaciones de Maxwell y Propagacion de Ondas electromagneticas

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.[1]

Ley de Gauss

Artículo principal: Ley de Gauss

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico

( ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido

eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico ( ) que pasa por una superficie.3 Matemáticamente se la expresa como:

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así:4 5

La forma diferencial de la ley de Gauss es

donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales se debe introducir

una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico ( ) y nuestra expresión obtiene la forma:

[editar] Ley de Gauss para el campo magnético

Artículos principales: Ley de Gauss y Monopolo magnético

Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético.

Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la no existencia del monopolo magnético.6 Matemáticamente esto se expresa así:5

donde es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética.

Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

[editar] Ley de Faraday-Lenz

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubrió esta inducción de manera

separada a Faraday pero casi simultáneamente.7 Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:8

,

como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

.

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:5

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.

La forma diferencial de esta ecuación es:

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

Ley de Ampère generalizada: Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que

no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético ( ) a lo largo de una curva

cerrada C es igual a la densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:5

donde es la permeabilidad magnética en el vacío.

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.9 Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así:5

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.9

En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:

Propagación de ondas electromagnéticas

Por medio de transistores, tubos al vacío, inductanica y capacidad y con circuitos configurados de tal forma que lleven a ejercer un movimiento oscilatorio a los electrones, geenerando así una corriente alterna de alta frecuencia. Como se indicó en la lección anterior, los electrones producen un campo electroestático y otro electromagnético alrededor de los conductores, siendo estos el resultado directo del del movimiento oscilatorio antes mencionado; cuantos más electrones en movimiento hayan, será mayor la fuerza de los campos producidos.Esto es la forma de producirlos, ahora veamos la forma de propagarlos por el espacio a través del éter alejándolo del conductor para obtener una forma nueva de energía, las ondas electromagnéticas (ondas = movimiento oscilante).

Toca el trabajo de propagarlas a la antena transmisora, misma que lo hace en todas direcciones. Las ondas electromagnéticas también pueden ser dirigidas en diferentes formas, para esto se utilizan antenas especiales, algunos ejemplos de dirigir a voluntad las ondas electromagnéticas lo puedes ver en la figura siguiente, las líneas según su posición indican la dirección y longitud en que se propagan, así como la intensidad comparativa.

Las antenas están sujetas a características que las hacer muy efectivas o poco efectivas. La antena para transmitir con eficiencia, su longitud debería de ser igual a la longitud de la onda electromagnética, bien, a la mitad o a una tercera parte, esto implica que su eficiencia se vaya reduciendo, pero si analizamos el largo de onda de una frecuencia baja, la antena tendría que ser muy grande. Este inconveniente se supera utilizando ondas de alta frecuencia y por lo mismo de una longitud de onda relativamente corta.Un ejemplo de ondas electromagnéticas bajas son las de audiofrecuencia, en estas el rango es entre 50 (longitud de onda: 6,000.000 de metros) y 10 Khz. (longitud de onda: 30,000). Por esta razón las ondas de audiofrecuencia no pueden ser radiadas directamente y se necesita de un transmisor con una frecuencia más alta que ser transportadas por la portadora llevadas al receptor donde se convertirán nuevamente a su forma original.

Las ondas electromagnéticas se dividen en bajas o de tierra y elevadas o altas, mencionados que las ondas se propagan en todas direcciones, obviamente, no toda la energía radiada es útil o aprovechada por la curvatura de la tierra.

Tenemos entonces que las ondas bajas inducen corrientes en la tierra y cualquier conductor que esté a su paso, como torres, edificios montañas, etc. esto ocasiona pérdidas de energía y se acentúa más cuando estos conductores están en sintonía con la frecuencia de la onda, por lo mismo cada vez la onda recorrerá menos distancia hasta desvanecérse por completo; las ondas son más eficientes sobre el agua. Otro factor que influye en éstas pérdidas de energía es la frecuencia a la que es transmitida la onda; las frecuencias bajas tienen menos alcance que las frecuencias altas.

Corriente de desplazamientoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Una corriente de desplazamiento es una cantidad que esta relacionada con un campo eléctrico que cambia o varia en el tiempo. Esto puede ocurrir en el vacío o en un dieléctrico donde existe el campo eléctrico. No es una corriente física, en un sentido estricto, que ocurre cuando una carga se encuentra en movimiento o cuando la carga se transporta de un sitio a otro. Sin embargo, tiene las unidades de corriente eléctrica y tiene asociado un campo magnético. La corriente de desplazamiento fue postulada en 1865 por James Clerk Maxwell cuando formulaba lo que ahora se denominan ecuaciones de Maxwell. Matemáticamente se define como el flujo del campo eléctrico a través de la superficie:

Está incorporada en la ley de Ampère, cuya forma original funcionaba sólo en superficies que estaban bien definidas (continuas y existentes) en términos de corriente. Una superficie S1 elegida tal que incluya únicamente una placa de un condensador debería tener la misma corriente que la de una superficie S2 elegida tal que incluya ambas placas del condensador. Sin embargo, como la carga termina en la primera placa, la Ley de Ampère concluye que no existe carga encerrada en S1. Para compensar esta diferencia, Maxwell razonó que esta carga se encontraba en el flujo eléctrico, la carga en el campo eléctrico, y mientras que la corriente de desplazamiento no es una corriente de carga eléctrica, produce el mismo resultado que aquella generando un campo magnético.

Pese a que hay gente que afirma que la corriente de desplazamiento no existe realmente, se puede pensar en ella como la respuesta de un material dieléctrico a un campo eléctrico variante. La corriente de desplazamiento es la única corriente que atraviesa un dieléctrico perfecto.

La densidad de corriente se puede hallar suponiendo ΦE = EA y utilizando JD = ID / A, llegando a:

Aquí, la expresión en términos del campo de desplazamiento es más general, ya que la permitividad ε del resultado de la derecha supone que el medio es no dispersivo.

Ondas electromagnéticas planas:

En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas), una onda plana o también llamada onda monodimensional, es una onda de frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos.

Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente planas y pueden considerarse como tal.

Propagación de medios sin pérdidas

Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio, o que la conductividad es cero.

Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las siguientes ecuaciones:

α = 0

la impedancia intrínseca se vuelve un numero real.

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto, solo tiene una parte real y no parte imaginaria. La velocidad de fase de la onda se vuelve:

La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico:

Ex = Emcos(ωt − βz + θ)

A continuación, la propagación del campo magnético:

Consideraciones para la propagación en el espacio libre:

μ0 = 4πx10 − 7 H/m Permeabilidad en el espacio libre

F/m Permitividad en el espacio libre

V0 = 3x108 m/s Velocidad de Propagación en el espacio libre

Para cualquier otro tipo de material y μ = μrμ0

m/s

Ω

rad/m

m

[editar] Propagación en medios con perdidas

Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y como existe conductividad dentro de ese medio la onda va a cambiar.Debemos dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con pérdidas. La primera es que la parte real de la constante de propagación se vuelve distinta de cero, y por lo tanto se divide en dos como se muestra a continuación:

Podemos ver que la gamma se dividió en su parte real alpha se le conoce como constante de atenuación y esta dada Np/m y su parte imaginaria beta que se le conoce como constante de fase y esta dada en rad/m.

La otra diferencia es la impedancia intrínseca que para medios con pérdidas también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:

Y ahora las ecuaciones de onda:

Ex = Eme( − αz)cos(ωt − βz + θ)

Teorema de Poynting

En electromagnetismo, el teorema de Poynting, desarrollado por John Henry Poynting, expresa la ley de conservación de la energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting.

Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede resumirse mediante la fórmula.

donde U es la densidad de energía, S es el vector de Poynting, J la densidad de corriente y E el campo eléctrico. Dado que el campo magnético no realiza trabajo la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo electromagnético.

De forma integral, se puede expresar como:

donde:

Pd : potencia disipada por efecto Joule

W : energía electromagnética

Reflexión de ondas e incidencia normal oblicua:

En la sección anterior consideramos ondas planas uniformes que inciden de manera normal en fronteras planas.

En esta sección vamos a considerar ondas planas uniformes que inciden en fronteras planas con ángulos de incidencia

arbitrarios. Vamos a suponer otra vez que la frontera entre los dos medios esta en el plano XY. Y supongamos también que

los vectores de Poynting de las ondas incidente, reflejada y transmitida van a estar en el plano XZ; éste se conoce como el

plano de incidencia. El ángulo de incidencia de la onda incidente,θi, se va a medir con respecto a una normal a la superficie,

como se muestra en la figura 1. De manera similar, el ángulo de reflexión de la onda reflejada,θr, también se va a medir con

respecto a esta normal. Una parte de la onda incidente se va a transmitir en el medio 2, y el ángulo de transmisión de esta

onda transmitida,θt, también se va a medir con respecto a una normal a la frontera, como se muestra en la figura 1.