-
Resolvemos la ltima ecuacin paraw, usamos w : t4.', e integramos
de nuevo:I e- JP'
u:ctl , dx*
-
En el texto clsico Ecuaciones diftrenciales de Ralph Palmer
Agnew* (usado r:: .autor cuando era estudiante) se encuentra el
siguiente enunciado:
No es razonable esperar que los estudiantes inscrilos en
este.curso tengan la /i,;:lidad computctcional ni el equipo
necesario para resolver de manera eficiente t; -"ciones como
dy cft &y dy4.3t7--2.1194+ 1.416-:. + 1.295--1+ 3.19v:0. :-
dxu dx' dx' dx
Aunque es debatible si las habilidades computacionales han
mejorado en los aos :.: "curridos, donde no hay duda es en que la
tecnologa s ha progresado. Si tenemos :: ::'"a un sistema
algebraico de cmputo, la ecuacin (15) podra considerarse razo:-::
rDespus de la simplificacin y de algunas reasignaciones del
resultado, Mathetr:- -produce la solucin general (aproximada)
! -- c re-j t zszs2' cos(0.6 1 86 05 x) + c 2ea'1 288s2' sen(0.6
1 8605x)+ cae 04'76418\ cos(0.75908I x +
c^e-l416418'sen(0.759081.tt.
En la transicin, advertimos que e Mathematica y Maple los
comandos DSoln rdsolve, al igual que muchos aspectos de cualquier
sistema asistido por compui:: -:(CAS, por sus siglas en ingls),
tienen sus limitaciones.
Por ltimo, si estamos frente a un problema de valor inicial que
consista en, di-r=una ecuacin diferencial de cuarto orden,
entonces, para ajustar Ia solucin generrl
-. -
ED a las cuatro condiciones iniciales debemos resolver un
sistema de cuatro ecua.- ::lineales con cuatro incgnitas (c1, c2,
ca y c4 en la solucin general). Podemos a::-:-:mucho tiempo al
resolver el sistema con ayuda de un CAS. Vea los problemas 35. ::
Iy 62 en los ejercicios 3.3.
+McGraw-Hi11, Nueva York, 1 960.
En los problemas I a 14, encuentre la solucin general de
laecuacin diferencial de segundo orden dada.
1. 4y" + y' :03' y"
-y'- 6y : o5.y"+8y'+16y:g7. I2y"
- 5)'- 2y : O
9.y"+9y:0ll.)"-4y'+5y:g13. 3y" +2y' +y : g
2.y"*36y:04. y" *3y' +2y: g6. y"
- 10y' + 25r, : 0
8. )" + 4y' -y :010. 3y" +) : 012.2y'; +2y'+y:g14.2y"
-3)'+4y:0
y"'+3y"-4y'-12y:0d3u *u
^ -| ^ -2u:0dr' d(cfx*x----4r:Odr'
dly"'+3y"+3y'+y:gy"'*6y"+l2y'-8y:0y()+y"'*)":oy@-2y',+):0
y cl2y16 :+24---+9v:0dx dx'tt, t,
'.-l'.-l8v:0dx* d
18.
19.
20.
21.22.
23.
24.
25.
26.
En los problemas 15 a 28, encuentre la solucin general de
laecuacin diferencial de orden superior dada.
15. y"' -4y" - 5)' : 0
16. y"'-) : o17.y"'-5y"+3y' +9y:g
724 CAPTUL0 3 Ecuaciones diferenciates de orden superior
-
J'u cl3u d2u dui--2---10-+-+5u:0dr' rlr' dl dr1 a1 ,)d x d'x
d'x.r-12 ^18 ^:0dsu dst ds'
r-rs 29 a 36, resuelva el problema de valor inicial
-.,:0.dt'
-1 dt -5y:0, y(1):0,y'(l):2-
1,.. -
3y : 0, )(0) : 1,.y'(0) : 5-
2_.r, : 0, y(0) : y'(a) : a: +.], : 0, y(0) : 5, y'(0) : l0
'- -lr'" +36y' :0, y(0):0,y'(0): 1,)"(0):
-7' -:'. '- 5Y' - 6y : 0, Y(0) : Y'(0) : 0, Y"(0) : 1
ilNrir, r:,,-ios 31 a 40, resuelva el problema de valores en lal
k-
-
:!r '- -,'l' +25Y :0, Y(0) : 1, Y(1) : 0ffi. '
-:,, : 0, y(0) : 0, y(z-) : 0
s. - -0.)'(0r :0.y'(+):0rs-
- i;,' + 2y : 0, y(0) : 1, y(z') : 1
llm ,,ufi :rr::rcios 4l y 42, resuelva el problema dado usando
pri-l,rm ::i:ra de la solucin general dada en (10); luego
hgalormuuroe -. fbrma dada en (11).,ll '-
-rr' : 0, y(0) : l,y'(O) : 5{"
-.;:0, }(0): 1,}'(1):0.rtlrr ruv
---'51emas 43 a 48, cada figura representa la grfica deLumllti
r;.-:-n particular para ,lna de las siguientes
ecuacionesulillumm.--,.i:s:
.i -31'-4Y:6 b) !"+4y:g-2-'-' +Y:0 y"+):0
' +2Y'+2Y:0 f) Y"-3Y'+2Y:gfour:i :::ncidi una curva solucin con
una de las ecuacionesulMmc--les. Explique su razonamiento.
;';:ra 3.5 Grfica para el:-::-ema 43
Figura 3.9 Grfica para e[ Figura 3.10 Grfica para eLprobtema
47
.
Orobtema 48
Problemas de anlisis49. Las races de una ecuacin auxiliar cbica
son mt : 4
y mz: mt : -5. Cul es la ecuacin diferencial lineal
homognea conespondiente? Analice: su respuesta esnica?
50. Dos races de una ecuacin auxiliar cbica con coeficien-tes
reales sonlix' :
-L y *, : 3 + i. Cul es la ecuacindiferencial lineal homognea
colrespondiente?
5I. Encuentre la solucin general Jey"' + 6y" + y' -34y : g
sabiendo Que ] r : e{'' eS una solucin.Para resolver y(*) + 1, :
0 debemos encontrar las racesde ma + 1 : 0. ste es un problema
trivial cuando se usaun CAS, pero puede hacerse a mano si se
trabaja con n-meros complejos. Observe qlue ma + I : (m2 + l)2
- 2m2.
En qu ayuda esto? Resuelva la ecuacin diferencial./\Verifique si
y : r"nn- 2 cos ( * + !) es una solu-\ 6/cin particular de y(+)
- y : 0. Haga coincidir esta so-
lucin particular con la solucin general de la
ecuacindiferencial.Considere el problema de valores en la frontera
1r" + ,\1r: 0, y(0) : 0,y(n/2): 0. Analice: es posible determi-nar
los valores de ,\ de manera que el problema poseaa) soluciones
triviales?, ) soluciones no triviales?En clculo, en el estudio de
las tcnicas de integracinpodan evaluarse ciertas integrales
indefinidas, de laforma J e" f(x) dx, al aplicar la integracin por
par-tes dos veces! recuperar la integral original del lado
de-recho, resolver para Ia integral originai, y obtener unmltiplo
constante k I e"' f(x) dl del lado izquierdo.
y(.0) : 2, y'(0) : -2
,,(+) : 0,,'(i):'Figura 3.7 Grfica para e[probtema 45
47.
Figura 3.8 Grfica para e[probtema 46
1@u
{hrM,
1lfr,
52.
53.
54.
55.
Figura 3.6 Grfica para e[problema 44
3.3 Ecuaciones [ineales homogneas con coeficientes constantes
725
-
29. Lasfunciones satisfacen la ecuacin diferencial y son
linealmente independientes- en e1 intervalo tJ"jt:-tT
iii,";-;, "-'
ln -t) : ex-6 * o; I : cr't {2'xc'rx-2 ltt x'
35' b\ )'P : I - 3'r i 3e2': Yu :
Ejercicios 3'2, Pgina 1182-r 3,1. \.: xeS. yr: ,"nft'
7'9')::alnlxl 11'13' Yz: 't cos (ln x) 15'17. y:nt',rr: \ 19'
F.iercicios 3.3. Pgina t2-l-11+1.y:c1tc*
5. o: c,e-4' + c2xe-4'9.):crcos3x*ctsen3x
1 1. y : e2-'(cr cos -t * c2 sen;r)
i;. ; :; 'ti1.' "o,
\{z* + c' sen Jrlzx)15.y: ('t-c2'' * cre5''17. t- : c(-x * r re"
+ c:.xet'19. u: cre' + e-'(.c2cos t + ca sen /)
21. y : cre' + c2xe-x + caie-"
23. y : c, I c2x + '-'P(i"os |r'6x + c4 sen |vt:')
-1,.', :.,.o,lrf:t * c' sen \;/1' +
.," .o, I r4* * c-'r sen \ V-3r .5,27, u = cte'l- c're'- c3
'+
('f ' + c529. y :2 cos 4x - I sen 4x31. Y = -\'-"- l) a
lnso-1)
33. r,:035. )' : ,i - iu'-u' +
tuxe-6'
37. y:'"5x - *,5t 39' 'lt : 0to!,r,'r-:"\(
:*),). : cosh \4" * ft r.ntt l4*
Ejercicios 3'4, Pgina 1341. ): cf-'+ cre-2'+ 33. :- : cre5' +
czxesx + !'" +
-i
5. ) : c(-1' +'r". t' + 12 - 4x + 1
-) 'o : r,.o, V-:t * c2 sen {ix +(-4x2+4.t-{)e1'
9.)= c1*crdl3x11. ) : cre't2 + crxdtz + 12 + ltx2dtz13' )' : ct
cos 2;r * c' sen 2x - lx cos
2x
15.)':cl cosr+c2sen '-1"'co x+ lsenx17' y : cvl cos 2x * cze'
sen 2 * f
rd sen 2'r
19. y: c'-x * c1r-\ - | cos'"+ l] senl'r- - ctrsl'.z-1,.'! : r:,
* rr, + cae6' - If - $ cosr * :'
s'en r
23. y : cr1' I c2x' + c'id - x - 3- t-ttn'25. .t : clcos.r[ +
c2sen -t * ca'xbos 'x
* cl-tsen -t -
f-zx-z27'Y: \4stn2"-L29. !-: -200 + 2}0e-'t5 -':'o '0" - -r.jl.
;: -10 r'cosx * ge 2'sen + 1e '
Fn Fo r cos -,f33. .r : f ttn '' - Zr' -'
35. y :11 - 11' * 9xe' * 2x - I2x2e'+ lnt'37. Y :6 cosx - 6(cot
1) senr + x2 -
1
-4 set{3x * tt39. Y :
,*-rf: + ^"9 cos \4fco'2r + isen2 + !senx' O =
t 1"-l',41 'Y: tl .o,zt-t"sen2x' x>rtt
Ejercicios 3'5, Pgina 139l.
-l : ci cosr + c2 senr + rsenx * csxlnlcos'rl
3. t :c1 cosr * c'sen" -l "tot"; t : r,.ot" + c2senr+ I - |
cos2r7. Y = c1e' I cze-' + | xsenhx9,
.),- : cre2' + c,e'2' +t ,, f'Lr,),,,,>oli.t'l'r'r-e I
,-')'"\11. ): cre-'ltr"-t'+ ('-'+ -]')ln(l + l)13. y : cre-2' + c2'
-e-x'sens'15. )' : c-t + crte-' + \ fe-' l'rt - I in-'17. r* : crr
sen -f cze' cos -t * | xa- senr:'+
I e'cos ln lcos l19. ),: \ u-' 1u" + tr"z'r2 -.\xe't2,:r', :
tr'.o' *
".nt' - \n-t' + t'-'
. ^
23. y:c1x-1/2 cos r + c2x-rt2 sen + x-1/2
25.)=ct*czcos'\rcjSel1 r - Lnlcosl -senlnlsec-t
* tan rl
Ejercicios 3.6. Pgina .l
-l-l
1. 1, = c,x-l * c2x'3.t: c1 *c, lnx5. ) = cr cos(2 1n x) + c2
sen(2 ln l)7' )-: ctl(2-"io) * c'x(2-V6)9. y : .r'"o.il ln) +
c'sen(l hx)11.)= crx-2+rrr-tl,n"^, \ ^ -^/r\4 ln,r,13. r. :
"
-' tf.,.ot(lV3 lnx) - c'sen(''15. y: c,x3 +.r"o'"1r'4 1nx) +
ctsen(Vlln''17. y: c, I crx + c,f * cax-3
-2f-6"-t,rt'
)z : sen 4lz = xe2"l3lz: I!z: f -l x * 2
^ 5 1r!)= et''Yp: ie
-2r3. v: cre'' t cg7- |: c1e'"'' 1 cf
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NMERO IMPAR
RESP'
