ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Igualdad: Es la expresión de equivalencia de dos cantidades numéricas o literales. Ejemplo: 3+2 = 5 ; x +2x = 3x

Identidad: Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la

variable. Ejemplo: 15 + x = 15 + x ; (a+b )2=a2+2ab+b2

Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas.

Ejemplos:

5 + x = 8

2x + 3y = 16

4u + 7w +3z = 27

Nota: Mucho Ojo que hay otro muchos tipos de ecuaciones, entre ellas: ecuaciones logarítmicas, exponenciales, irracionales, etc.

Las incógnitas, en general, se representan por letras minúsculas x,y,z,u,v, etc. El grado de la ecuación con una incógnita, está dado por el mayor exponente de

dicha incógnita.

Dentro de las ecuaciones de Primer grado podemos distinguir:

Ecuación Numérica: la única letra que hay es la incógnita. Ejemplo: 7x – 15 = 6x –2.

Ecuación Literal: hay una o más letras además de la incógnita.

Ejemplo: 12x – 3a = 5x + 2b + 17.

La letras "a" y "b" representan constantes (conocidas, que se pueden o no especificar),

"x" es la incógnita.

Las ecuaciones pueden tener coeficientes enteros o fraccionarios.

2x + 5 = 7 (NO Fraccionarios);

2/3 x - 1 = 5/8 (SI Fraccionarios).

Solución o raíz: Es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.5x – 2 = 13; tiene por solución 3 pues 3 hace verdadera la igualdad: 5(3) – 2 = 13

Toda ecuación de primer grado con una incógnita tiene una sola solución o raíz.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin exponente y que es cierta para un solo valor de la letra, a este valor se le llama solución de la ecuación. Ejemplo: 2x+5 = 3x-1

La solución de la ecuación es x = 4 ya que 2·4+5 = 13 y 3·4+1 = 13

La solución de la ecuación no es x = 3 ya que 2·3+5 = 11 y 3·3+1 = 10

En una ecuación se pueden distinguir varios elementos:

Incógnita – Es la letra que aparece en la ecuación. Coeficientes – Son los números o fracciones que acompañan a la incógnita. Términos independientes – Son los números o fracciones que no acompañan a la

incógnita. Primer miembro – Es todo lo que hay a la izquierda del signo igual. Segundo miembro - Es todo lo que hay a la derecha del signo igual. Ejemplo :

3x+32= 7x+ 8 Incógnita x Coeficientes 3 y 7 Términos independientes 32 y 8 Primer miembro 3x +32 Segundo miembro 7x+ 8

MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

a) Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.b) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los

paréntesis y los signos de agrupación.c) Se suprimen los denominadores, sí los hay.d) Se trasponen y reducen términos.e) Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.f)  Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

 

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos

independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones

inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

 

 

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como

– 8x)

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)

(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el

resultado es positivo)

 

 

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como

– 1)

(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)

(Dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar  4/4 quede la x sola).Esto

es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4

que en la izquierda está multiplicando.