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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DEINGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Tema: Ecuaciones de Primer Orden y Grado Superior
Nombres y Apellidos:
.Henry Vinicio Carrión Vivar
.Pedro David Gallegos Agila
. Wilson Daniel Narváez Granda
.Leonardo Javier Pulles Mina
Curso: Tercero
Paralelo: Segundo
Profesor: Ing. Raúl Villacres
Fecha de Entrega: 10/Jun/13
Marzo/Agosto
– 2013–
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 1 de 39
OBJETIVO.
General:
Reconocer e identificar los modelos que se usan para ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior.
Específicos
Resolver modelos de ecuaciones diferenciales como Ricatti y de Clairout.Desarrollar los distintos métodos de solución para ecuaciones de primer orden y grado Superior
INTRODUCCION
Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:
En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:
En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.
Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes:
Ecuación de Bernouilli Ecuación de Riccati Dentro de la categoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, tenemos varios tipos:
Ecuaciones diferenciales resolubles en y’
Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:
Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, despejando y’, ene ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:
Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 2 de 39
Y la solución general vendrá dada por una combinación lineal de ellas.
Ejemplo.- resolver la ecuación diferencial:
Puesto que no podemos poner y’ de forma explícita aplicamos el método que estamos estudiando. Consideramos la ecuación como un polinomio de grado 4 en y’, y calculamos sus raíces.
Como en el caso general de las ecuaciones algebraicas podemos aplicar la regla de Ruffini para determinar las raíces de la anterior ecuación:
Podemos decir que 1 es raíz de la anterior ecuación.
Aplicando los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas se llega a la conclusión de que, además de 1, las raíces de la anterior ecuación son 0, x, 2y, es decir, que la anterior ecuación se puede poner en la forma:
Con lo que tenemos cuatro ecuaciones diferenciales que serán:
Para expresar la solución general debemos poner cada solución parcial en la forma hi(x,y,Ci) = 0 para después multiplicar todas las ecuaciones obtenidas entre sí, es decir:
En el caso más general de las ecuaciones de la forma F(x,y,y’) = 0 se puede sustituir y’ por una variable p, de modo que se tenga F(x, y, p) = 0 que es la ecuación de una superficie, puesto que se tienen tres parámetros independientes: x, y, p.
Si se conoce una representación paramétrica de la superficie, podemos poner:
Si se conoce una integral de la ecuación diferencial del sistema anterior, dicha solución vendrá representada por una curva α y su ecuación sería:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 3 de 39
Donde suponemos que α es la proyección de otra curva σ que se encuentra sobre la superficie S de tal forma que se verifica:
Recíprocamente, si σ es una curva tal que y = f(x) ; p = g(x), sobre la que se cumple p = dy/dx, la proyección de σ sobre el plano XY nos da la curva y = f(x) que es la integral buscada.
Según eso, el problema de buscar las soluciones α sobre la superficie S tales que cumplan la condición (1):
Integrando esta ecuación se obtiene una solución de la forma H(u, v, C) = 0 que corresponde a la curva σ dada por los parámetros u, v. Mediante el cambio:
Obtendremos una proyección de dicha curva sobre el plano XY: h(x, y, C) = 0, que será la curva α buscada.
Según la anterior interpretación de la ecuación F(x, y, y’) = 0, podemos encontrar además de las ecuaciones resolubles en y’ otros casos que estudiamos en el capítulo siguiente.
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 4 de 39
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo de aplicación número 01
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
RESOLVER:
2 xy ( dydx )
2
+(2 x2+2 xy− y2 ) dydx
+2 x2−xy=0
SOLUCIÓN:
1) Problema:
① 2 xy ( dydx )
2
+(2 x2+2 xy− y2 ) dydx
+2 x2−xy=0
2)
② P=dydx
3) ② en ①
2 xy P2+(2 x2+2xy− y2 ) P+2 x2−xy=0
a x2+bx+c=0
x=−b±√b2−4ac2a
P=−(2x2+2 xy− y2)±√(2 x2+2 xy− y2)2−4(2 xy )(2x2−xy )
2(2 xy)
∗(2 x2+2xy− y2)2
−4 (2xy ) (2 x2−xy )=4 x4+8 x3 y−4 xy3+ y 4−16 x3 y+8x2 y2=4 x4−8 x3 y+8x2 y2−4 xy3+ y4
P=−(2x2+2 xy− y2)±√4 x4−8 x3 y+8 x2 y2−4 xy3+ y4
2 (4 x3 y)
P=−(2x2+2 xy− y2)±√ (2x2−2 xy+ y2 )2
4 xy
P=−(2x2+2 xy− y2)± (2 x2−2xy+ y2 )
4 xy
P1=−(2 x2+2 xy− y2)+ (2x2−2 xy+ y2 )
4 xy
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 5 de 39
P1=−2 x2−2xy+ y2+2 x2−2xy+ y2
4 xy
P1=−4 xy+2 y2
4 xy=
2 y ( y−2 x)4 xy
= y−2 x2 x
P2=−(2 x2+2 xy− y2)−(2 x2−2xy+ y2 )
4 xy
P2=−2 x2−2xy+ y2−2x2+2xy− y2
4 xy
P2=−4 x2
4 xy=−x
y
P1=y−2 x
2x=2xP+2x− y=0
P2=−xy
= yP+x=0
(2 xP+2 x− y )( yP+x )=0
(2 xdydx
+2x− y)( ydydx
+x )=0
2 xdydx
+2x− y=0÷(2 x)
dydx
+1− y2 x
=0
dydx
− y2 x
=−1
dydx
+ y P(x)=Q(x)
{y= y(x)=?
P( x)=−12 x
Q( x)=−1
Calculo de la integral de P(x)
∫P(x)dx=∫−12x
dx=¿−12
ln x=−ln x12 ¿
Potencialidad Negativa
e−∫ P( x ) dx=e−(−ln x
12 )=e ln x
12
=x12
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 6 de 39
Potencialidad Positiva
e∫P(x ) dx=e−ln x
12
= 1
x12
Formula:
y=e−∫ P( xdx) [ ∫ Q( x )⋅e
∫ P( x ) dxdx+C ]
y=x12 [∫−1⋅ 1
x12
dx+C ]y=x
12 [2 x
12+C ]
y=2x+x12 C
2 x− y+x12 C=0
ydydx
+x=0÷(dx)
ydy+xdx=0
∫ ydy+ ∫ xdx= ∫ 0
12
y2+12
x2=C∗(2)
y2+x2=C
x2+ y2−C=0
SOLUCIÓN FINAL
(2x− y+x12 C ) ( x2+ y2−C )=0
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 7 de 39
Ejemplo de aplicación número 02
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
Resolver:
x2( dydx )
2
+xydydx
−6 y2=0
SOLUCIÓN:
1. Como : P=dydx
2
2. Problema:
x2( dydx )
2
+xydydx
−6 y2=01
3. 2 EN 1
x2 ( P )2+xy P−6 y2=0x2 P2+xy P−6 y2=0=¿ ECUACI Ó N DE SEGUNDO GRADOAx2+Bxy+C=0
4. Solución por la fórmula:
x=−b±√b2−4ac2a
Donde :b=xy; a=x2;C=−6 y2
x=−xy ±√(xy )2−4 x2(−6 y2)
2x2
x=−xy ±√(xy )2−4 x2(−6 y2)
2x2
x=−xy ±√ x2 y2+24 x2 y2
2 x2
x=−xy ±√25 x2 y2
2 x2
x=−xy ±5 xy
2 x2
x=P=−xy ± 5xy
2x2
5. Raíces:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 8 de 39
Si : P=−xy+5 xy
2 x2=¿ P=4 xy
2x2=¿P=2 y
x=¿ xP−2 y=0
Si : P=−xy−5xy
2 x2=¿ P=−6 xy
2x2=¿ P=−3 y
x=¿ xP+3 y=0
¿> (xP−2 y ) (xP+3 y )=036. 2 EN 3
¿>(x dydx
−2 y )(x dydx
+3 y)=0
¿>xdydx
−2 y=0
xdydx
=2 y ÷ x
dydx
=2 yx
dyy
=2dxx
∫ dyy
=2∫ dxx
ln y=2 ln x+C
ln y−2 ln x=C
ln y−ln x2=C
lny
x2=C
y
x2=eC
Como :eC∈R=¿eC=C
y
x2=C
y=C x2
y−C x2=0
¿>xdydx
+3 y=0
xdydx
=−3 y ÷ x
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 9 de 39
dydx
=−3 yx
dyy
=−3dxx
∫ dyy
=−3∫ dxx
ln y=−3 ln x+C
ln y+3 ln x=C
ln y+ ln x3=C
ln y x3=C
y x3=eC
Como :eC∈R=¿eC=C
y x3=C
y= C
x3
y=C x−3
y−C x−3=0
7. SOLUCIÓN FINAL:
( y−C x2 )( y−C x−3)=0
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 10 de 39
Ejemplo de aplicación número 03
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
RESOLVER:
xy ( dydx )
2
+( x2+2 xy− y2 ) dydx
−4 x2−2 xy=0
SOLUCIÓN:
1) Problema:
① xy ( dydx )
2
+( x2+2 xy− y2 ) dydx
−4 x2−2 xy=0
2)
② P=dydx
3) ② en ①xy P2+ ( x2+2 xy− y2 ) P−4 x2−2 xy=0
a x2+bx+c=0
x=−b±√b2−4ac2a
P=−(x2+2 xy− y2)±√(x2+2 xy− y2)2−4 (xy )(−4 x2−2 xy )
2(2xy )
∗( x2+2xy− y2 )2−4 ( xy ) (−4 x2−2 xy )= x4+20 x3 y+10 x2 y2−2 xy3+ y4
P=−(x2+2 xy− y2)±√ x4+20 x3 y+10 x2 y2−2xy3+ y4
2 (xy)
P=−(x2+2 xy− y2)±√ ( x2−2 xy+ y2 )2
2 xy
P=−(x2+2 xy− y2)± ( x2−2 xy+ y2 )
2xy
P1=−( x2+2xy− y2 )+( x2−2 xy+ y2 )
2 xy
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 11 de 39
P1=−x2−2 xy+ y2+x2−2 xy+ y2
2 xy
P1=−4 xy+2 y2
2 xy=
2 y ( y−2 x)2 xy
= y−2 xx
P2=−( x2+2xy− y2 )−( x2−2 xy+ y2 )
4 xy
P2=−x2−2 xy+ y2−x2+2xy− y2
2 xy
P2=−2 x2
2xy=−x
y
P1=y−2 x
x=xP+2 x− y=0
P2=−xy
= yP+x=0
(xP+2 x− y )( yP+x )=0
(x dydx
+2 x− y)( ydydx
+x)=0
xdydx
+2x− y=0÷(x )
dydx
+2− yx=0
dydx
− yx=−2
dydx
+ y P(x)=Q(x)
{y= y(x)=?
P( x)=−1x
Q( x)=−2
Calculo de la integral de P(x)
∫P(x)dx=∫−1x
dx=¿−11
ln x=−ln x11 ¿
Potencialidad Negativa
e−∫ P( x ) dx=e−(−ln x
11 )=e ln x
11
=x11
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 12 de 39
Potencialidad Positiva
e∫ P(x ) dx=e−ln x1
= 1
x11
Formula:
y=e−∫ P( xdx) [ ∫ Q( x )⋅e
∫ P( x ) dxdx+C ]
y=x11 [∫−2⋅ 1
x1 dx+C ]y=−2x
11 [ ln x
11 +C ]
y=−2x∗l nx+x1C
2 x∗lnx+ y+x1C=0
ydydx
+x=0÷(dx)
ydy+xdx=0
∫ ydy+ ∫ xdx= ∫ 0
12
y2+12
x2=C∗(2)
y2+x2=C
x2+ y2−C=0
SOLUCIÓN FINAL
(2 x∗lnx+ y+x1 C ) ( x2+ y2−C )=0
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 13 de 39
Ejemplo de aplicación número 04
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
RESOLVER:
(x2+x)( dydx )
2
+( x2+x−2 xy− y ) dydx
+ y2−xy=0
SOLUCIÓN:
1) Problema:
(x2+x)( dydx )
2
+( x2+x−2 xy− y ) dydx
+ y2−xy=0
2)
P=dydx
3) en(x2+x) P2+ ( x2+x−2 xy− y ) P+ y2−xy=0
a x2+bx+c=0
x=−b±√b2−4ac2a
P=−(x2+x−2 xy )±√ ( x2+x−2xy− y )2−4(x2+x)( y2−xy)
2(x2+x)
∗( x2+x−2 xy− y )2−4 ( x2+x ) ( y2−xy )=x4+2x3−2 x2 y+x2+ y2−2 xy
P=−(x2+x−2 xy )±√ x4+2 x3−2x2 y+ x2+ y2−2xy
2(x2+x)
P=−(x2+x−2 xy )±√ ( x2+x− y )2
2(x2+ x)
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 14 de 39
P=−(x2+x−2 xy )± ( x2+x− y )
2(x2+x )
P1=−( x2+ x−2xy )+ ( x2+x− y )
2(x2+x )
P1=2xy
2x (x+1)= y
x+1
P2=−( x2+x−2 xy )−( x2+x− y )
2(x2+x )
P2=−2 x2−2x+2 xy+2 y
2x (x+1)
P2=2 ( x+1 )(x− y)
2x (x+1)=
x− yx
P1=y
x+1=P ( x+1 )− y=0
P2=x− y
x=Px+x− y=0
(P ( x+1 )− y )(Px+x− y )=0
( dydx
( x+1 )− y )( dydx
x+x− y )=0
dydx
( x+1 )− y=0
( x+1 ) dydx
−¿ y
dyy
− y(x+1 )
=0
∫ dyy
−∫ y( x+1 )
=∫0
lny−ln ( x+1 )=C
lny
( x+1 )=C
y( x+1 )
=eC
y=C ( x+1 )
y−C ( x+1 )=0
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 15 de 39
xdydx
+x− y=0
dydx
− yx=−1
Modelo
dydx
+ y P(x)=Q(x)
{y= y(x)=?
P( x)=−1x
Q( x)=−1
Calculo de la integral de P(x)
∫P(x)dx=∫−1x
dx=¿− ln x ¿
Potencialidad Negativa
e−∫ P( x ) dx=e−(−ln x )=e ln x=x
Potencialidad Positiva
e∫ P(x ) dx=e−ln x=1x
Formula:
y=e−∫ P( xdx) [ ∫ Q( x )⋅e
∫ P( x ) dxdx+C ]
y=x [∫−1 ⋅ 1x
dx+C ]y=x [−lnx+C ]
y=− xlnx+Cx
y+xlnx+Cx=0
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 16 de 39
SOLUCIÓN FINAL
( y−C ( x+1 ) ) ( y+xlnx+Cx )=0
Ejemplo de aplicación número 05
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti
RESOLVER:
dydx
−2x2= yx−2 y2
y1=x (solucion particular)
SOLUCIÓN:
1) Modelo:
dydx
=R(x) y2+Q(x) y+P(x)
2) Problema:
dydx
=2x2+ yx−2 y2
{P( x )=2 x2
Q( x)=x−1
R( x)=−2
3) Sustitución:
{ y=x+uy=x+u
dydx
=dudx
+1
4) Reemplazamos B en A
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 17 de 39
1+ dudx
=2 x2+x−1(x+u)2−2 ( x−u )2
1+ dudx
=2 x2+1+x−1 u−2 x2−4 xu−2u2
dudx
=x−1 u−4ux−2u2
dudx
+(4 x−x−1 )u=−2u2
dudx
+(−2 )u=xu2 Ec . Bernoulli
{P( x)=( 4 x−x−1 )Q(x)=−2
dudx
+(4 x−x−1 )u=−2u2
¿(u−2)
①u−2 dudx
+(( 4 x−x−1 ))u−1=−2
5) Sustitución:
② w=u−1
dwdx
=−u−2 du
dx
③ −dwdx
=u−2 du
dx6) ② y ③ en ①dwdx
+(−4 x+x−1)=2
{P( x)=x−1−4 xQ(x)=2
Calculo de la integral de P(x)
∫P(x)dx=∫(x−1−4 x)dx=2 x
Potencialidad Negativa
e−∫ P( x ) dx=e−(2 x2+lnx )= 1
e2 x2
+lnx
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 18 de 39
Potencialidad Positiva
e∫ P(x ) dx= 1
e2 x2
+lnx
Formula:
w=e− ∫ P( xdx) [ ∫ Q( x ) ⋅e
∫ P (x ) dxdx+C ]
w= 1
e2x2
+lnx[∫−x ⋅e2x2
+ lnxdx+C ]
w= 1
e2x [−∫ x ⋅ e2 xdx+C ]
Integral por Partes
v=∫ 2x e2x2
dx
7) Regreso a u
w=1u
1u=1
2x−1+C x−1e2x2
8) Regreso a y
u= y−x
y−x= 2 x
1+C e2 x2 u= y−x
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
y= 2x
1+C e2 x2 + x
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 19 de 39
Ejemplo de aplicación número 06
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti
Resolver:
dydx
+ y2+ yx− 1
x2=0
Condición : y1=1x=¿ SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ED
SOLUCIÓN:
1. MODELO: dxdy
=P (x ) y2+Q (x ) y+R(x )
Problema:
dydx
=− y2+( 1x ) y− 1
x2A
P ( x )=−1
Q ( x )=1x
R ( x )=−1
x2
2. SUSTITUCIÓN:y= y1+u
y=1x+u B
dydx
=−1
x2+ du
dx
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 20 de 39
3. Reemplazamos B EN A
dydx
=− y2+( 1x ) y− 1
x2
−1x2 + du
dx=−( 1
x+u)
2
+( 1x )( 1
x+u)− 1
x2
dudx
=−1
x2−2u
x−u2+ 1
x2+ u
xdudx
=−ux
−u2
dudx
+( 1x )u=u2 (−1 )=¿ ECUACIÓN DE BERNOUILLI
dudx
+( 1x )u=u2 (−1 )(×u−2)
u−2 dudx
+( 1x )u−1=−1 1
4. SUSTITUCIÓN:
w=1u
2
dwdx
=−1
u2
dudx
−dwdx
=u−2 dudx
3
5. 2 y3en1
−dwdx
+( 1x )w=−1
dwdx
+w (−1x )=1=¿ECUACIÓN LINEAL
w=w ( x )=?
P(x )=−1x
Q ( x )=16. Cálculo de la integral de P(x):
∫P ( x ) dx=∫−1x
dx=−∫ dxx
=−ln x
7. Potencialidad Negativa:
e−∫ P ( x ) dx=e−(−ln x)=eln x=x
8. Potencialidad Positiva:
e∫ P ( x ) dx=e−ln x=eln x−1
=1x
9. FÓRMULA:
w=e−∫ P ( x ) dx [∫Q ( x ) e∫P ( x )dx dx+C ]
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 21 de 39
w=x [∫ dxx
+C ]w=x [ ln x+C ]
10. Regresamos a (u):
Como : w=1u
1u=x [ ln x+C ]
11. Regresamos a (y):
Como: y=1x+u
u= y−1x
u= xy−1x
1xy−1
x
=x [ ln x+C ]
xxy−1
=x [ ln x+C ]
1xy−1
=[ ln x+C ]=¿1=( xy−1 ) ( ln x+C )=¿PRIMITIVA
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 22 de 39
Ejemplo de aplicación número 07
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti
RESOLVER:
dydx
−xy2+ (2x−2 ) y= x−2
y1=1(solucion particular)
SOLUCIÓN:
1) Modelo:
dydx
=P(x) y2+Q(x) y+R(x)
2) Problema:
ᴬdydx
=xy2−(2−2 x ) y+ x−2
{ P ( x )=xQ( x)=−2 x+2
R(x)=x−2
3) Sustitución:
ᴮ {y= y1+uy=1+udydx
=dudx
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 23 de 39
4) Reemplazamos B en A
dudx
=x (1+u)2+ (2−2 x )(1+u)+x−2
dudx
=x (1+2u+u2 )+(2+2u−2 x−2xu )+x−2
dudx
= x+2 xu+xu2+2+2u− ˙2x−2xu+ x−2
dudx
=xu2+2u
dudx
+(−2 )u=xu2 Ec . Bernoulli
{P( x)=−2Q(x)=x
dudx
+(−2 )u=xu2∗(u−2)
①u−2 dudx
+(−2 ) u−1=x
5) Sustitución:
② w=u−1
dwdx
=−u−2 du
dx
③ −dwdx
=u−2 du
dx6) ② y ③ en ①−dw
dx+(−2 ) w=x∗(−1)
dwdx
+(2 ) w=−x
{ P( x)=2Q( x)=−x
Calculo de la integral de P(x)
∫P(x)dx=∫ (2 ) dx=2 x
Potencialidad Negativa
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 24 de 39
e−∫ P( x ) dx=e−(2 x )= 1
e2 x
Potencialidad Positiva
e∫P(x ) dx=e2 x
Formula:
w=e− ∫ P( xdx) [ ∫ Q( x ) ⋅e
∫ P (x ) dxdx+C ]
w= 1
e2x [∫−x ⋅ e2 x dx+C ]
w= 1
e2x [−∫ x ⋅ e2 xd x+C ]
Integral por Partes
∫ x ⋅e2x dx= x e2x
2−e2x
4=e2x ( 2x−1
4 )w= 1
e2x [−e2x ( 2 x−14 )+C]
w=(2 x−14 )+ C
e2x
7) Regreso a u
w=1u
1u=( 2 x−1
4 )+ C
e2 x
8) Regreso a y
u= y−1
1y−1
=( 2 x−14 )+ C
e2x
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
1=( y−1)( 2x−14
+C
e2x )
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 25 de 39
Ejemplo de aplicación número 08
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti
RESOLVER:
dydx
=−4
x2−1
xy+ y2
- Condición: y 1=2x
Solución.-
1. Modelo:
dydx
=P (x ) y2+Q (x ) y+R ( x )
Problema:
dydx
=−4
x2−1
xy+ y2( A)
P ( x )=1
Q ( x )=−1x
R ( x )=−4
x2
Sustitución:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 26 de 39
y= y1+u
y=2x+u
dydx
=−2
x2+ du
dx(B)
Reemplazo de (B) en (A):
−2x2 + du
dx=−4
x2 −1x ( 2
x+u)+( 2
x+u)
2
dudx
=−4
x2+ 2
x2− 2
x2−u
x+ 4
x2+4
ux+u2
dudx
=u2+3ux
dudx
−3x
u=u2 Ec .de Bernoulli
P ( x )=−3x
y Q ( x )=1
dudx
−3x
u=u2 /u2
u−2 dudx
−3x
u−1=1(1)
Sustitución:
w=u−1(2)
dwdx
=−1
u2
−dwdx
=u−2 dudx
(3)
(2) y (3) en (1).-
−dwdx
−8 w=1∗(−1 )
dwdx
+ 3x
w=−1
P ( x )=3x
yQ ( x )=−1
- Cálculo de la integral P(x).-
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 27 de 39
∫P ( x ) dx=3∫ 1x
dx=3 ln ( x )=ln (x3)
- Exponencial Negativa
e−∫ P ( x ) dx=e ln (x−3 )= 1
x3
- Exponencial Positivo
e∫P ( x ) dx=e ln (x3)=x3
- Fórmula:
w=e−∫ P ( x ) dx [∫Q ( x ) . e∫ P ( x ) dx dx+C ]
w= 1
x3 [−∫ x3 dx+C ]
w= 1x3 [−x4
4+C ]
w=−x4
+ C
x3
- Regreso a u:
w=1u
1u=−x
4+ C
x3
- Regreso a y:
y=2x+u
u= y−2x
1
y−2x
=−x4
+ C
x3
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
1=( y−2x )(−x
4+
C
x3 )
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 28 de 39
Ejemplo de aplicación número 09
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout
Resolver:
( d ydx )
2
−x ( dydx )+ y=0
SOLUCIÓN:
1. MODELO: y=xdydx
+ f ( dydx )
Problema:
y=x ( dydx )−( dy
dx )2
1
2. Como : P=dydx
2
3. 2 EN 1
y=xP−P2 34. Derivamos 3 con respecto a “x”:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 29 de 39
dydx
=(1 ) P+xdPdx
−2PdPdx
dydx
=P+xdPdx
−2 PdPdx
4
5. 2 EN 4
P=P+xdPdx
−2PdPdx
P−P=xdPdx
−2 PdPdx
0=xdPdx
−2 PdPdx
0=dPdx
( x−2P)5
dPdx
=0 6 y x−2P=0 7
6. Trabajamos con6 :dP=0dx
∫ dP=∫0P=C 8
7. 8 EN 3
y=xP−P2
y=xC−C2
Como :C2∈ R=¿C2=ky=xC+k 9=¿ ECUACIÓN GENERAL DELA RECTADonde :C : PENDIENTE; k :ORDENADA ALORIGEN
8. SISTEMA DE ECUACIONES ENTRE 7 y 37 x−2 P=03 y=xP−P2
9. DESPEJAMOS P DE 7 :
P= x2
10
10. 10 EN 3
y=x ( x2 )−( x
2 )2
y= x2
2− x2
4
y= x2
4=¿SOLUCIÓN SINGULAR
x2=4 y=¿ ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLAVERTICAL(SE ABRE HACIA ARRIBA )x2=4 Py=¿ MODELO4 P=P=¿P=1
FOCO(0,1)
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 30 de 39
Ejemplo de aplicación número 10
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout
RESOLVER:
y= (2x−5 ) dydx
+( dydx )
2
SOLUCIÓN:
1) Modelo:
y=xdydx
+ f ( dydx )
2) Problema:
① y=2xdydx
−5dydx
+( dydx )
2
3) Sustitución
② P=dydx4) ② en ①
③ y=2xP−5 P+P2
5) Derivamos ③ con respecto de x
dPdx
=2 xdPdx
+2P−5dPdx
+2 PdPdx
FOCO
y= x2
4
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 31 de 39
④ dydx
=2 xdPdx
+2P−5dPdx
+2 PdPdx6) ② en ④
P=2 xdPdx
+2 P−5dPdx
+2PdPdx
⑤−1P=d Pdx
(2x−5+2P )
⑥ dPdx
=0
⑦2 x−5+2 P=0
7) Trabajamos con ⑥
dPdx
=0
dP=0dx
∫ dP= ∫ 0dx
⑦ P=C
8) ⑧ en ③
y=2xC−5C+C2
⑨ y=Cx+k Ec .General de larecta
9) Sistema de ecuaciones entre ⑦ ^ ③
2x−5+2P=02 xP−5 P+P2= y
10) De ⑦ despejamos P
⑩ P=−(2 x−5)
2
11) en ⑩ ③
−(2 x−5)1
x+5(2x−5)
2−
(2 x−5)4
2
= y
−(2 x2−5 x)1
+5(2x−5)
2+ 4 x2−20 x+25
4= y
−4 ( 2x2−5 x )+10 (2x−5 )+x2−6 x+94
= y
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 32 de 39
−8 x2+20 x+20 x−50+x2−6 x+94
= y
−7 x2+34 x−414
= y
⑪ y=−7 x2
4+ 17 x
2−41
4SolucionSingular
11) GraficoInterseccionconel eje x⇒ y=0
7 x2−34 x+41=0
( x−2.63 )1=0
x=2.63
Interseccionconel eje y⇒ x=0
y=35.1
Foco :
f =(2.63 ;35.1 )
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 33 de 39
y=−7 x2
4+ 17 x
2−41
4
Ejemplo de aplicación número 11
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout
RESOLVER:
y= (x−3 ) dydx
+( dydx )
2
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 34 de 39
1) Modelo:
y=xdydx
+ f ( dydx )
2) Problema:
① y=xdydx
−3dydx
+( dydx )
2
3) Sustitución
② P=dydx4) ② en ①
③ y=xP−3 P+P2
5) Derivamos ③ con respecto de x
dydx
=xdPdx
+P (1 )−3dPdx
+2 PdPdx
④ dydx
=xdPdx
+P−3dPdx
+2PdPdx6) ② en ④
P=xdPdx
+P−3dPdx
+2 PdPdx
⑤0=dPdx
( x−3+2P )
⑥ dPdx
=0
⑦ x−3+2P=0
7) Trabajamos con ⑥
dPdx
=0
dP=0dx
∫ dP= ∫ 0dx
⑦ P=C
8) ⑧ en ③
y=xC−3C+C2
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 35 de 39
⑨ y=Cx+k Ec .General de larecta
9) Sistema de ecuaciones entre ⑦ ^ ③
x−3+2P=0xP−3P+P2= y
10) De ⑦ despejamos P
⑩ P=−(x−3)
2
11) en ⑩ ③
−(x−3)2
x+3(x−3)
2+
(x−3)4
2
= y
−(x2−3 x)2
+3(x−3)
2+ x2−6 x+9
4= y
−2 ( x2−3x )+6 ( x−3 )+x2−6 x+94
= y
−2x2+6 x+6 x−18+x2−6 x+94
= y
−x2+6 x−94
= y
⑪ y=−x2
4+ 3 x
2−9
4Solucion Singular
11) GraficoInterseccionconel eje x⇒ y=0
x2−6 x+9=0
( x−3 )2=0
x=3
Interseccionconel eje y⇒ x=0
y=−94
Foco :
f =(3 ;−94 )
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 36 de 39
Ejemplo de aplicación número 12
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout
RESOLVER:
y= (x−2 ) dydx
+( dydx )
2
SOLUCIÓN:
1) Modelo:
3
−94
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 37 de 39
y=xdydx
+ f ( dydx )
2) Problema:
① y=xdydx
−2dydx
+( dydx )
2
3) Sustitución
② P=dydx4) ② en ①
③ y=xP−2 P+P2
5) Derivamos ③ con respecto de x
dydx
=xdPdx
+P (1 )−2dPdx
+2 PdPdx
④ dydx
=xdPdx
+P−2dPdx
+2PdPdx6) ② en ④
P=xdPdx
+P−2dPdx
+2 PdPdx
⑤0=dPdx
( x−2+2P )
⑥ dPdx
=0
⑦ x−2+2P=0
7) Trabajamos con ⑥
dPdx
=0
dP=0dx
∫ dP= ∫ 0dx
⑦ P=C
8) ⑧ en ③
y=xC−2C+C2
⑨ y=Cx+k Ec .General de larecta
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 38 de 39
9) Sistema de ecuaciones entre ⑦ ^ ③
x−2+2P=0xP−2P+P2= y
10) De ⑦ despejamos P
⑩ P=−(x−2)
2
11) en ⑩ ③
−(x−2)2
x+2(x−2)
2+(x−2)
4
2
= y
−(x2−2 x)2
+2(x−2)
2+ x2−4 x+4
4= y
−2 ( x2−2x )+4 ( x−2 )+x2−4 x+44
= y
−2x2+4 x+4 x−8+ x2−4 x+44
= y
−x2+4 x−44
= y
⑪ y=−x2
4+ x−1SolucionSingular
11) GraficoInterseccionconel eje x⇒ y=0
x2−4 x+4=0
( x−2 )2=0
x=2
Interseccionconel eje y⇒ x=0
y=−1
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 39 de 39
Foco :
f =(2 ;−1 )
CONCLUSIONES
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden establecer soluciones a
problemas de tipo o resultado lineal, es decir directamente proporcional al
modelo planteado.
Los modelos matemáticos establecidos generan un rango muy alto de seguridad
en los resultados obtenidos.
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 40 de 39
La precisión de los resultados serán más exactos según la calidad de datos
iníciales con los que se genere la operación o depende también de los criterios
de toma de datos adoptados por el individuo.
RECOMENDACIONES.
Generar esta información para nuevos años y buscar mayor cantidad de
ejercicios y así tener una variedad de casos en aplicaciones.
Buscar mayor cantidad de ejercicios en los cuales se pueda aplicar ecuaciones
diferenciales como por ejemplo en mecánica de fluidos y poblaciones futuras
para tener una visión más adecuada sobre el uso de las ecuaciones diferenciales
en Ing. civil.
BIBLIOGRAFIA
Libro: Ecuaciones Diferenciales Elementales Autor Ing Juan Gómez Romero
Libro: Análisis Matemático Autor Jorge Lara P. y Jorge Arroba R.