Unidad I: Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Teora preliminar

Un sistema de ecuanciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones

diferenciales que relacionan varias funciones incgnitas, las derivadas de esta

funcin, las variables con respeto a las que estan definidas y ciertas constantes

Este sistema tiene el tiempo t como nica variable independiente y dos funciones

incgnitas x(t) e y(t).

1.1.1 Definiciones (Ecuacin diferencial, orden, grado,

linealidad)

Como su nombre lo indica, una ecuacin diferencial es aquella ecuacin que contiene

algunos trminos diferenciales. Estos son los diferenciales de la funcin que contiene

la variable dependiente de la ecuacin diferencial dada. Contiene tambin una o

varias variables independientes.

El formato general de una ecuacin diferencial es,

O,

Al hablar de las ecuaciones diferenciales, tenemos que entender algunas

terminologas bsicas relacionadas con estas ecuaciones. Algunas de estasse

analizan a continuacin.

1. Orden de una ecuacin diferencial: El orden ms alto de cualquiera de los

diferenciales en la ecuacin diferencial dada es el orden de la ecuacin diferencial.

Tomemos un ejemplo para clarificar el trmino.

d2y/ dx2 2yx2 = 9x

El diferencial presente en la ecuacin anterior es d2y/ dx2 y el orden de este

diferencial es segundo. Por lo tanto, el orden de la ecuacin diferencial es uno.

2. Grado de una ecuacin diferencial: El grado ms alto de cualquiera de los

diferenciales en la ecuacin diferencial dada es el grado de la ecuacin diferencial.

El siguiente ejemplo debe aclarar la definicin.

d2y/ dx2 2yx2 = 9x

En la ecuacin diferencial anterior que contiene el diferencial d2y/ dx2, el grado del

diferencial es uno, por lo tanto, el grado de la ecuacin diferencial es uno.

3. Ecuacin diferencial lineal: Una ecuacin diferencial que no contiene trminos

como producto de la funcin indefinida ni los del diferencial de la funcin indefinida

se llama ecuacin diferencial lineal. Mantenindola recta, todos los trminos

coeficientes son funciones que contienen variables aumentadas. Esta es de la

forma,

Esta es una ecuacin diferencial linealde primer orden.

4. Ecuacin diferencial no lineal: Las ecuaciones diferenciales que no se ajustan a

las condiciones antes mencionadas son llamadas ecuaciones diferenciales no

lineales. Esto significa que una ecuacin diferencial no lineal contiene los trminos

donde la variable dependiente y su diferencial aparecen juntos. Un ejemplo de ello

sera,

5. Ecuacin diferencial Cuasi lineal: Una ecuacin diferencial cuasi lineal es un

caso especial de la ecuacin diferencial lineal. En este tipo de ecuacin

diferencial, la funcin indefinida y sus diferenciales pueden aparecer juntos para

todos los trminos excepto para los trminos que contienen el diferencial de ms

alto orden. Esta es de la forma,

6. Ecuaciones diferenciales homogneas: Una ecuacin diferencial en la cual cada

trmino tiene como coeficiente sea el diferencial de la variable dependiente o la

variable dependiente en s es una ecuacin diferencial homognea. Esta de la

forma,

Es una ecuacin diferencialhomogneade segundo orden.

7. Ecuaciones diferenciales no homogneas: Las ecuaciones diferenciales que no

cumplen la condicin establecida anterior son llamadas ecuaciones diferenciales

no homogneas. Estas son de la forma,

8. Solucin general de la ecuacin diferencial: La integracin de la ecuacin

diferencial produceuna solucin general para aquella ecuacin diferencial. Una

ecuacin diferencial ordinaria de orden m que contendra n constantes de

integracin que resultan del proceso de integracin en la cascada para m tiempos.

9. Solucin particular de la ecuacin diferencial: El resultado obtenido en el

proceso anterior puede ser modificado para obtener una solucin particular

mediante la sustitucin de algunos valores de las constantes de integracin.

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Resolver una ecuacin diferencial requiere el conocimiento previo de las tcnicas de integracin. Una ecuacin diferencial es llamadatambin una extensin del

clculo de integracin. Sin embargo, antes de intentar resolver una ecuacin

diferencial, es esencial analizar el orden de la ecuacin diferencial ya que las

tcnicas de solucin de una ecuacin diferencial de primer orden, la ecuacin

diferencial de segundo orden y la ecuacin diferencial de ordensuperior son

diferentes.

Ahora vamos a entender las tcnicas para solucionar las mismos:

Ecuacin Diferencial de Primer Orden:

De primer orden, una ecuacin diferencial de primer grado se denota como,

Los siguientes son los mtodos para resolverlas:

1. Mtodo de separacin de variables: Si la funcin dada puede transformarse de

manera talque el diferencial de una variable en particular aparezca como el nico

coeficiente de la funcin definindola. Por otra parte, esa funcin debera definir

slo esta variable y no otra variable, si esto se cumple, entonces la tcnica de

separacin de variables puede aplicarse. Despus de la alteracin de la funcin, la

funcin debe convertirse en una como,

Despus que la funcin se transforma en talforma, integra cada trmino de forma

independiente para obtener la solucin.

2. Ecuacin diferencial homognea: No todas las ecuaciones diferenciales pueden

ser modificadas para tomar la forma descrita anteriormente. En el caso que la

tcnica anterior no funcione, entonces comprueba la homogeneidad de la

ecuacin. Una ecuacin homognea es aquella en la cual la sustitucin de las

variables con un producto de esa variable y una constante resultara en la misma

ecuacin que antes.

Para resolver una ecuacin de este tipo sustituye y = cx. Entonces dy/ dx = c +

c(dc/ dx). Tambin la ecuacin diferencial dadaM dx + N dy = 0 se puede reescribir

como, dy/ dx = -(M/ N). dy/ dxpuede escribirse como, f. Por lo tanto, para separar

las variables c y c podemos escribir, dx/ x = dc/ (f c). Esto hara la ecuacin de

manera talque sea posible que las variables sean separadas y que la tcnica de

separacin de variablessea aplicada.

1.1.3 Problema del valor inicial.

Las ecuaciones diferenciales pueden ser de dos tipos principalmente, una

ecuacin diferencial ordinaria y una ecuacin diferencial parcial. Tambin

sabemos que una ecuacin diferencial se compone del derivado de una funcin

indefinida, la funcin indefinida y una variable autnoma.

Un problema de valor inicial es una ecuacin diferencial ordinaria que tiene un pre-

requisito inicial sujeto con la misma. Este pre-requisito es la salida de la funcin

indefinida para algn valor que se encuentra dentro del dominio de la ecuacin

diferencial dada. Esto se puede expresar matemticamente como,

Donde,

El tiene un lugar en el dominio de la funcin dada y este es un conjunto abierto.

Este es el pre-requisito inicial de la ecuacin diferencial dada.

La solucin de este problema de valor inicial es tambin una solucin de la

ecuacin diferencial dada y debera ser una funcin que cumpla la condicin,

Como sabemos una ecuacin diferencial ordinaria puede ser de primer orden, de

segundo orden o de rdenes superiores. Dependiendo del orden de la ecuacin

diferencial, varia el tamao de y, esto significa que para una ecuacin diferencial

de orden superior y es un vector; tambin que para los diferenciales de orden

superior las variables pueden ser tradas, en otras palabras, se puede afirmar que

y es una funcin de dimensiones infinitas.

Al igual que es posible establecer un problema de valor inicial para una ecuacin

diferencial ordinaria, tambin lo es para una ecuacin diferencial parcial. La

diferencia aqu es que en vez de una ecuacin diferencial ordinaria, se utiliza una

ecuacin diferencial parcial que tiene unpre-requisito inicial sujeto a la misma. Este

pre-requisito inicial es establecido para la funcin indefinida definiendo la ecuacin

diferencial parcial, la cual es una funcin compuesta.

Los problemas de valor inicial ayudan a determinar una respuesta exclusiva a

partir de lasmltiples respuestas posibles para la ecuacin diferencial dada. Sin

embargo, aunque es posible establecer una serie de pre-requisitos inicialespara

una ecuacin diferencial en particular y slo unos pocos de ellos nos llevara a una

respuesta exclusiva parael problema dado. Por lo tanto, es posible concluir que

para algunos pre-requisitos iniciales pueden existir muchas o ningunasolucin. Por

este motivo, hacer una correcta eleccin del pre-requisito a ser establecido es la

mayor confusin. Otra cosa ms importante a destacar aqu esCuntos pre-

requisitos inicialessern establecidos para la ecuacin diferencial dada? Esto

depender del orden de la ecuacin diferencial dada, para una ecuacin

diferencial de primer orden slo es posible establecer un pre- requisito inicial,el

cual da a la salida de la funcin en ese punto.

Del mismo modo, para una ecuacin diferencial de segundo orden se establecen

dos pre-requisitos iniciales, uno da la salida de la funcin y el otro da la salida del

diferencial de la funcin en ese mismo punto, y as sucesivamente.

Veamos un ejemplo de esta categora para entender la tcnica para solucionar el

problema.

p + p 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p(0) = 0

La ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial dada es x2 + x 6 = 0, la cual

es factorizada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la solucin general de la

ecuacin como,

p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y

p(t) = 3 c1 e-3t + 2 c2 e2t

Coloca los pre-requisitos iniciales en las ecuaciones.

p(0) = c1 e0 + c2 e0

p(0) = 3 c1 e0 + 2 c2 e0

Al resolver las dos ecuaciones simultneamente, obtenemos los valores de c1 y c2

como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la solucines,

p(t) = 2 e-3t + 3 e2t

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad.

El teorema de existencia y unicidad es una extensin del problema con valor

inicial. Este teorema afirma que existe una solucin para los pre-requisitos iniciales

provistos de la ecuacin diferencial y la solucin obtenida, es de hecho, una

solucin nica.

Imagina una funcin valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un

rectngulo definido por la ecuacin,

Ahora supongamos que el diferencial parcial de la funcin real dada con respecto

a la variable q tambin tiene un valor continuo de este rectngulo. Entonces puede

concluirse que para la funcin dada tenemos algn intervalo I donde la funcin

dada tiene una solucin cuyo valor es nico dentro de ese intervalo. Aqu el pre-

requisito inicial definido para la funcin es,

q = f(p, q) y, q(p0) = q0

Y la ecuacindefiniendo el intervalo de la funcines,

Aqu el valor de h debera ser menor o igual que a.

Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el mtodo de

demostracin por contradiccin. Esto significa que vamos a suponer que las

afirmaciones anteriores son verdaderas. Tambin significa que existe una solucin

para la funcin dada; asume que la solucin es una funcin q(p).

Estosignificaquetenemos,

q(p) = q0 + f(t, q(t) dt

Esto es porque si q(p) es una ecuacin funcional para la ecuacin diferencial

dada, entonces podemos concluir que esta es una solucin a esa ecuacin

diferencial. Por lo tanto, tambin podemos escribir,

q = f(p, q) y, q(p0) = q0

Las aproximaciones sucesivas, tambin famosas por el nombre de su inventor,

este es, el mtodo de iteracin dePicard, esta es una tcnica utilizada para

determinar esta ecuacin de la funcin para una ecuacin diferencial. Los

pasosparadeterminarlason los siguientes:

1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuacin diferencial dada.

Supongamos que esta es cierta para cada valor de p.

2. Ahora usa la frmula intermitente para determinar el valor de qn como,

3. Utilizando el mtodo de induccin, una secuencia completa de las funciones

puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos

obtener la solucin al problema dado.

Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto.

Resuelve la ecuacin diferencial q = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0.

La ecuacin asociada de la integracin para la ecuacin diferencial dada sera,

g(p) = 2 s (1 + q(s)) ds

Asumequeq0(p) = 0. Entonces lafrmulapara la recurrencia de cada p mayor que

uno es,

qn+1(p) = 2 s (1 + qn(s)) ds

Por lo tanto, obtenemos

q1(p) = 2 s ds y,

q2(p) = 2 s (1 + s2) ds

q2(p) = p2 + p4/ 2.

Esto nos da la secuencia de las funciones como,

qn(p) = p2 + p4/ 2 + p6/ 3! + + p2n/ n!

Esta es la serie de Taylor, y por tanto, la ecuacin funcional de la ecuacin

diferencial,

q(p) = - 1

1.2 ED de variables separables y reducibles

Ecuacin diferencial de variables separadas y reducibles

El mtodo de separacin de variables es una de las varias tcnicas utilizadaspara

resolver las ecuaciones diferenciales.

Slo es posible aplicar la tcnica de separacin de variables a aquellas funciones

que han sido transformadas, de manera tal,que el diferencial de la variable

particular slo aparece con una funcin definiendo esta variable y no con otra

funcin.

Adems esa funcin debe tener slo esa variable en particular y no otra variable.

La forma reducida de tal funcin es,

Esta tcnica de solucin de ecuaciones diferenciales tiene su base en la

suposicin de que para una funcin definida como:

habr una respuesta para alguna secuaciones diferenciales parciales homogneas

definidas de forma lineal. Esta ecuacin diferencial ser definida para las variables

x y t. Hacer esta suposicin reducir las ecuaciones diferenciales en funciones

definidas separadamente que son sumadas juntas, ya que sabemos que todas las

funciones indefinidas en cada ecuacin diferencial dada es constante si tenemos

el producto de estas funciones con las variables independientes como trminos

constantes.

Estas funciones definidas separadamente, pueden ser finalmente, integradas por

separado utilizando las tcnicas adecuadas de integracin y se suman juntas para

obtener el resultado final.

Por ejemplo, para la ecuacin diferencial u/ t = c ( 2u/ x2) dada u(x, 0) = f(x), u(0, t)

= 0 y u(L, t) = 0, podemos aplicar la tcnica de separacin de variables.

De acuerdo con la tcnica de separacin de variables, el resultado de resolver la

ecuacin ser un producto de las funciones en la ecuacin dada como,

Para resolver la ecuacin diferencial dada coloca esto en la ecuacin dada para

calcular la resultante,

[ ( (x) G(t))]/ t = c [ 2( (x) G(t))]/ x2

(x) dG/ dt = c G(t) d2 / dx2

En la relacin anterior, G(t) puede ser factorizada fuera de las diferenciales

espaciales y (x) puede ser factorizada fuera de la variable tiempo. Esto dejar la

relacin sin ningn tipo de diferenciales parciales. Sin embargo, esto convertira la

ecuacin en mucho ms crptica, entonces mejor reorganiza la ecuacin dada

para mover las variables de un lado a otro como,

(1/ G) dG/ dt = c (1/ ) d2 / dx2 (1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2

Despus de terminar este proceso, finalmente necesitamos hacer las dos

ecuaciones iguales con el fin de aplicar la tcnica de separacin variable. Esto se

hace mediante igualar la ecuacin completa en una constanteseparacin como,

(1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2 = -

Esta relacin puede ser dividida en dos ecuaciones ordinarias como,

dG/ dt = -c G y, d2 / dx2 = -

Ahora cambiemos nuestro enfoque a las condiciones iniciales establecidas.

La primera establece que, u(0, t) = 0 = G(t) (0). Sin embargo igualando G(t) a cero

sera u(x, t) = 0 conduciendo a una solucin trivial. Por tanto, (t) = 0. Y la segunda

establece u(L, t) = 0 = G(t) (L). Tenemos de nuevo (L) = 0 para tener una solucin

no trivial.

Un pequeo ejemplo sera de mucha ayuda.

2dq/ q = [(p + 1) dp]/ p

Reorganiza la ecuacin anterior para obtener,

2dq/ q = [1 + 1/ p] dp

La ecuacin anterior tiene sus variables separadas y ya es posible integrarlas por

separado,

2dq/ q = [1 + 1/ p] dp

2 ln q = p + ln p + C

1.3 ED exactas y factor integrante.

Una ecuacin diferencial exacta representa una forma general de las ecuaciones

diferenciales a diferencia de las ecuaciones diferenciales homogneas o las

ecuaciones de Bernoulli. Para resolver una ecuacin diferencial general, requerimos

de un formato general o un enfoque general ms que de una tcnica especializada

que intente simplificar un conjunto restringido de ecuaciones diferenciales. Una forma

general de un diferencial es,

Esto puede ser reorganizado y escrito como,

Una ecuacin diferencial es llamada exacta si para alguna funcin u, definida para las

mismas variables que la ecuacin diferencial, tenemos las siguientes condiciones

verdaderas,

Esto significa que las derivadas parciales de esa funcin con respecto a la primera

variable debera ser igual a uno de los trminos de la ecuacin diferencial y las

derivadas parciales de esa funcin con respecto a la segunda variable debera ser

igual al segundo trmino de la ecuacin diferencial.

Tambin que si la misma funcin de los segundos diferenciales parciales con respecto

a la variable opuesta como la anterior, son continuos entonces tenemos que,

A la luz de las declaraciones anteriores, una prueba evaluadora para verificar que la

ecuacin dada es una ecuacin diferencial exacta sera,

Los siguientes son los pasos para obtener la solucin para una ecuacin diferencial

exacta:

1. El primero y ms importante paso es la realizacin de una prueba evaluadora para

verificar si la ecuacin dada es una ecuacin diferencial exacta o no.

2. Ahora, divide la ecuacin e iguala los diferentes trminos de la ecuacin a los

diferenciales parciales como,

3. Ahora integra cualquiera de las dos relaciones dependiendo de su nivel de

complejidad. La primera relacin se integra con respecto a x, mientras que la segunda

est integrada con respecto a y. Imaginemos entonces que se elige,

El trmino est incluido en la integracin porque es un integrando de un diferencial

parcial donde hemos asumido que y es un trmino constante.

4. El valor de se determina mediante el uso de la segunda relacin (la que no estaba

integrada). Esto se hace mediante,

Como sabemos que (y) est definida solamente por la variable y, esto significa que si

se obtienen unos trminos que contienen la variable x en la ecuacin dando el valor

de (y), entonces tenemos que volver a rastrear toda la solucin.

5. Despus de obtener la expresin de (y) intgrala para determinar la expresin de

(y).

6. Esta expresin es entonces sustituida en el integrando para determinar la expresin

de la funcin u(x, y).

7. La ecuacin implcita u(x, y) = C ofrece todas las respuestas.

8. En el caso de problemas de valor inicial, coloca los pre-requisitos iniciales para

obtener el valor de la constante.

Sin embargo, no todas las ecuaciones vienen a ser una ecuacin diferencial exacta.

Luego para resolver estas ecuaciones, primero tenemos que determinar un factor de

integracin el cual hace de la ecuacin una ecuacin diferencial exacta y el

procedimiento puede continuar. Esto significa que,

En este escenario necesitamos obtener una funcin u(x, y) tal que,

Esta es una ecuacin diferencial exacta.

Esta funcin se denomina factor de integracin de la ecuacin diferencial dada. El

factor de integracin debera satisfacer,

Los pasos para determinar un factor de integracin son:

1. Suponiendo que ladada es una ecuacin diferencial inexacta calcula

Si la expresin obtenida slo contiene la variable x, pasa al siguiente paso mas

calcula,

Si la expresin obtenida slo contiene la variable y, pasa al siguiente paso si no, no es

posible resolver la ecuacin diferencial usando esta tcnica.

2. Si la expresin obtenida es definida slopara la variable x entonces,

Si no,

3. Finally desarrolla,

1.4 ED lineales.

Disciplinas tales como ingeniera, fsica y economa. Una ecuacin diferencial es

una ecuacin matemtica de una funcin indeterminada de una o varias variables

relacionada con los valores de la funcin en s misma y con sus derivados de

varios rdenes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos partes de la

siguiente manera: -

1. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Se dice que una ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial parcial cuando la

funcin desconocida es funcin de varias variables independientes y la ecuacin

implica sus derivadas parciales.

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Se dice que una ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial ordinariacuando

la funcin desconocida esfuncin de una sola variable independiente. En la forma

ms simple, la funcin desconocida es una funcin valorada real o compleja.

Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones diferenciales estas pueden

llamarse homogneas o no homogneas. Una ecuacin diferencial lineal

homognea es simplemente una ecuacin en la cual ambos coeficientes de las

diferenciales dy y dt son homogneos, y las ecuaciones no homogneas son

sencillamente una ecuacin en la cual ambos coeficientes de las diferenciales dy y

dt no son homogneas.

(d/ dt) y(t) + a(t) y(t) = 0 (Ecuacin diferencial lineal homognea)

(dy/dx) xy = x3 sin (x) (Ecuacin diferencial lineal no homognea)

La ecuacin escritaarribaes llamada una ecuacin diferencial lineal homogneade

primer orden. Se dice que es homognea, porque despus de colocar todos los

trminos que contienen la ecuacin desconocida y sus derivados en el lado

izquierdo, el lado derecho es igual a cero para todo t. Es lineal, porque y(t) y su

derivado parecen estar solos, es decir, no son componentes de una funcin

compuesta. En la expresin anterior a(t) representa una funcin continua

autoritaria de t, yesta podra ser slo una constante que se multiplica por y(t); en

tal caso piensa en esta como una funcin constante de t. La ecuacin anterior es

una ecuacin diferencial lineal homognea, ya que no forma parte de una funcin

compuesta como cos (y(t)), ey(t) etc.Cualquier ecuacin diferencial que contenga

trminos como estos es llamada no lineal.

La ecuacin anterior es de primer orden debido a que la mayor derivada de la

funcin desconocida es su primera derivada. Una ecuacin diferencial de segundo

orden contendra trminos como,

Se dice que es de segundo orden debido a la derivada de orden ms altopresente,

lineal, porque ninguna de las derivadas est elevada a alguna potencia, y los

multiplicadores de las derivadas son constantes.

Sin embargo, esta no es una ecuacin homognea, ya que consta de una funcin

conocida en el lado derecho, es decir, D. Una forma general de la ecuacin

diferencial lineal homognea sera,

Del mismo modo, una ecuacin diferencial lineal homognea puede llegar hasta el

ensimo orden.

Si asumimos que y1(x) e y2(x) son una de las soluciones de la ecuacin

diferencial linealhomognea dada, la sumatoria de las dos, esto es, y3, x0 es

tambin una de las soluciones de la ecuacin diferencial dado que,

Y la solucin general de esta ecuacin puede determinarse mediante el uso de la

ecuacin,

Aqu tenemos A, B, m1, m2como trminos constantes.

1.5 ED de Bernoulli

Una ecuacin diferencial de la forma general,

es llamada una ecuacin

diferencial de Bernoulli si el valor de n no es igual a cero o a uno. Una ecuacin de

Bernoulli es una extensin de la ecuacin diferencial lineal o en otras palabras, una

ecuacin diferencial lineal es un caso especial de la ecuacin de Bernoulli dado que,

mediante hacer el valor de n igual a cero o uno, la ecuacin se reduce a una ecuacin

diferencial lineal.

Por lo tanto, la ecuacin de Bernoulli es una ecuacin diferencial no lineal.

Generalmente se utiliza el mtodo de sustitucin para resolver la ecuacin

diferencialde Bernoulli. De forma general sustituimos,

v = y1-n

Por lo tanto, tenemos que,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 n) q(x)

Al hacer estas transformaciones, podemos convertir la ecuacin dada en una

ecuacin lineal en trminos de la variable v, la cual puede ser resuelta con facilidad.

Despus de resolver esta ecuacin, se obtendr una ecuacin de la forma

y = v1/(1-n)

Aqu, si el valor de n es mayor que uno, entonces es necesario agregar y = 0 como

una de las soluciones de la ecuacin diferencial dada.

Los pasos detallados para resolver la ecuacin de Bernoulli son:

1. Calcula la ecuacin diferencial para verificar si la ecuacin dada es una ecuacin

de Bernoulli.

2. Realiza la sustitucin en la ecuacin dada.

v = y1-n

3. Ahora, haciendo uso de las tcnicas de diferenciacin, determina la ecuacin que la

nueva variable v puede satisfacer. La forma de esta ecuacin es como la siguiente,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 n) q(x)

4. Luego resuelve esta ecuacin lineal para determinar el valor de la nueva variable v.

5. Ahora reprograma la ecuacin diferencial de Bernoulliactual. Esto se hace mediante

sustituir el valor de v en la ecuacin,

y = v1/(1-n)

Esto nos dar el valor de la variable y. Ahora coloca el valor de y en la ecuacin

diferencial dada.

6. En caso de que el valor de n sea mayor que uno, entonces y = 0 tambin se agrega

a la lista de soluciones determinada en el paso cuatro.

7. Para los problemas de valor inicial, la solucin exacta puede obtenerse colocando

las condiciones iniciales en la ecuacin.

Para entender mejor el procedimiento observa el ejemplo a continuacin.

Obtn todas las respuestas para la ecuacin diferencial de Bernoulli dy/ dx = y + y2.

Como puedes observar, la ecuacin de Bernoulli dada tiene el valor de n = 3. Ahora,

haciendolassustituciones en la ecuacin,

v = y1-n

v = y-2

Esto nos da la nueva ecuacin diferencial en trminos de la nueva variable v como,

dv/ dx + 2v = 2

Al hacer uso de la prueba evaluadora, puede decirse que es una ecuacin diferencial

lineal. Para resolver esta ecuacin, primero determinemos el factor de integracin de

la ecuacin.

u(x). = exp ( 2 dx)

= e2x

u(x) q(x) dx

= e2x 2 dx

= -e2x

Esto nos da la solucin general de la diferencial como,

v = [-e2x + c]/ e2x

= c e-2x 1

Entonces el valor de y se calcula y = v-1/2

Ahora, resolviendo la ecuacin diferencialde Bernoulli, y = (c e-2x 1)1/2

Como el valor de n es mayor que uno, por lo tanto, y = 0 es tambin una de las

soluciones.

1.6 Aplicaciones.

Muchos de los problemas de la fsica como el movimiento de un sistema de masas

unidos a resortes, como tambin algunos otros problemas prominentes de la

ingeniera, etc. incluyen las ecuaciones diferenciales de orden superior para

representar el estado de tal sistema.

Para t asombro, incluso las actividades deportivas como el paracaidismo incluyen

los conceptos de las ecuaciones diferenciales de orden superior para describir el

movimiento de un cuerpo en el aire, su velocidad, aceleracin, etc. Algunos de los

ejemplos prominentes que toman en cuenta las ecuaciones diferenciales de orden

superior son los siguientes.