ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales enLATEX

Pablo David Zamorano

Primera Edicion

{{{{{

cDavid Zamorano, 2012

Esta obra esta insentivada por el Ing.Larrazabal Salas Elmer Jesus, que en su labor de educador dela Univercidad de Aquino Bolivia realiza la implementacion de LATEXen la en la formacion de losestudiantes

Indice general

1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Ecuaciones Diferencial con Variables Separadas y Separables . . . . . . . . . . . . .

2.4. Ecuaciones con Variables Separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Las Ecuaciones Diferenciales Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N

3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Independencia lineal de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. El Wromskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Captulo 1

INTRODUCCION A LASECUACIONESDIFERENCIALES

1.1. Introduccion

Las ecuaciones diferenciales poseen una parte fundamental en las matematicas en ingenieria as comoen algunas ramas de conocimiento humano, debido a que la mayoria de las leyes y relaciones fisicasse expresan mediante este tipo de ecuaciones.

En los cursos basicos, se estudian el hecho de, que dara una funcion y=f(x), mediante una reglaadecuada se hallara la derivada directa de

dy

dx= f(x)

que tambien es una funcion y=f(x).

En este curso las broblematicas que nos incumbe no es dada una funcion y=f(x) hallar su derivada,el problema se puede establecer como: dada la ecuacion derivada directa

dy

dx= f (x)

encontrar de alguna manera la funcion y=f(x) que satisfasca dicha ecuacion en otras palabras loque quiere es Resolver una ecuacion diferencial

y = f(x) f (x) = dydx

1.2. Definicion

Una ecuacion que establece una relacion entre las variables independiente x, la funcion deseadaf(x)= y y sus derivadas y.y, y(n), se llama Ecuacion Diferencial.

Ecuacion diferencial se simboliza como:

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

F (x, y, y, y, ...., yn) = 0

o

F (x, y,dy

dx,d2y

dx2, ....,

dny

dxn) = 0

Si la funcion buscada y=f(x) esta en funcion solo de las variables x la ecuacion diferencial dominaordinario

ejemplo:

i =dy

dx+ x3 = 1

ii = xy + y +1

3x = 27

iii = xy3 +dy

dx+ 23 = 0

Definicion: El orden de la derivada superior en la en la ecuacion se llama orden de la ecuaciondiferencial

Definicion: el exponente de la derivada de orden superior en la ecuacion se llama grado de la ecuaciondiferencial

Ejemplo:

i =dy

dx+dy

dx+ ex + 2xy = 0

ecuacion diferencial de orden 2 y grado 1

ii = (d3y

dx3)2 + lnx+ (

dy

dx)4 + 7 = xy3

ecuacion de orden 3 y grado 2

iii = ex(d4y

dx4)5 + sinx(

d3y

dx3)3 + (

d4y

dx4)(d2y

dx2)7 = 0

ecuacion diferencial de orden 4 y grado 5

2 Solucion de una ecuaciacion diferncial

Si y=f(x) es una funcion y F(x) es la derivada de esta funcion es decir:

dy

dxf (x) = f(x)

de aquidy

dx= f(x)()

Sabemos que la ecuacion () es una ecuacion diferencial la solucion para hallar la ecuacion diferencialconsiste en hallar una funcion G(x)=F(x)+C, donde C es una constante es decir:

d(G(x)) = d(F (x) + c)

d(G(x)) = F (x)dx

1.2. DEFINICION

(d(G(x))) =

(f(x))dx

y = G(x) = f(x) + c()

A () se le conoce como solucion general o solucion completa de la ecuacion diferencial.

La solucion completa o general esta constituida de curvas que generalmente son conocidas comofamilia de un parametro.

De una ecuacin de las soluciones generales se pueden obtener soluciones parciales mediante unarestriccion de variables o de parametros.

Ejemplo 1: Dadas las ecuaciones y1 = ex y2 = (cosh(x)) verificar si dichas ecuaciones satisfacen laecuacion diferencial y y = 0sol:

y1 = ex y1 = ex

y2 = sinh(x) y2 = cosh(x)y1 y = ex ex = 0

y2 y2 = cosh(x) cosh(x) = 0satisface la ecuacion

Ej 2:

y = = ex2

x0

et2dt = ex

2

es la solucion de la ecuacion diferencial

y = 2xy = 1 = y 2xy = 1

sol:

(x) = 2xex2

x0

et2dt+ 1 + 2xex

2

y 2xy = 2xex2 x

0

et2dt+ 1 + 2xex

2 2(ex2 x

0

et2dt+ ex

2) = 1

Ejemplo 3: dada la funcion F (x) =

0ex cosh d, x > 0, verificar la funcion que satisface la

ecuacion diferencial xF (x) + F (x) xF (x) = 0sol: de

F (x), F (x) =d

dx(F (x)) =

d

dx(

0

ex cosh d)

F (x) =

0

d

dx(ex cosh d)

F (x) =

0

ex cosh cosh d)

F (x) =d

dx(

0

ex cosh cosh d

F (x) =

0

d

dx(e cosh cosh )d

F (x) =

0

ex cosh cosh2 d


De modo que:

xF (x)F (x)xf(x) = x(

0

ex cosh cosh2 )

0

ex cosh cosh dx(

0

ex cosh )d

xF (x) F (x) xf(x) = x[

0

(ex cosh cosh2 ex cosh )d]

0

ex cosh d

xF (x) F (x) xf(x) = x[

0

ex cosh (cosh2 1)d]

0

ex cosh cosh d

xF (x) F (x) xf(x) = x

0

ex cosh senh2 d

0

ex cosh cosh d

operaciones auxiliares: integrando por partes

u = senh = du = cosh ddv =

0

ex cosh senh d = v = excoshx

0

excoshsenh2d = senhexcosh

x/0 +

1

x

0

excoshcoshd 0

excoshsenh2d = (0 0) + 1x

0

excoshcoshd

En resumen:

xF (x) F (x) xf(x) = x( 1x

)

0

excoshcoshd

0

excoshcosh = 0

3 Origen de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales no solo se originan por una familia de curvas sino tambien por el intentode resolver problemas fisicos en las ciencias asi como en otras ramas del conocimiento humano.

3.1 ecuaciones diferenciales de una familia

de curvas

Si se tiene una familia de curvas se puede obtener una ecuacion diferencial de las mismas a traves dede la alineacion de sus constantes (o parametros) estos se logra aislando la constante en un mienbrode la ecuacion de la ecuacion y derivando. Tambien se puede eliminar la constante derivando de laecuacion tantas veces como constantes arbitrarias tenga y formar un sistema de ecuaciones con laecuacion original.

ejemplo: encontrar la ecuacion diferencial cuya solucion general es:

y = Asenx+Bcosx

y = AcosxBsenxy = AsenxBcosx

de aqu formamos el sistema de ecuaciones:

1.2. DEFINICION

{y = Asenx+Bcosx{y = AsenxBcosx = Y + y = 0

ejemplo 2: Encontrar la ecuacion diferencial de una familia de parabolas que tienen sus vertices enel origen y sus focos sobre el eje y

sol: f(x) = y = x2

La familia de curvas de una parabola esta dada por:

4py = x2

Donde p es un parametro esta familia de parabolas tiene sus vertices en el punto(0,0) y sus focosen p.

4py = x2 4p = x2

y

Derivando implicitamente 0 = 2xyx2y

y2

Resultando x2y = 2xyxy = 2y

3.2 Ecuaciones diferenciales de problemas

fisicos

Estas provienen de diferentes fuentes del conocimiento humano, como, la mecanica, la electrof, lafsica entre otras.

ej. En fisica un cuerpo en caida libr tiene una aceleracion que se conoce como gravedad

v =dy

dt

a =dv

dt=

d

dt(dy

dt) =

d2y

dt2= g

Pero

Fy = g w = 0 = w = g

Captulo 2

ECUACIONESDIFERENCIALES DE PRIMERORDEN

2.1. Introduccion

A traves del tiempo los matematicos han tratado siempre de resolver diferentes tipos de ecuaciones especiales, pruebade ello es que existen diferentes metodos, sin embargo la aplicacion de un metodo en particular a las ecuacionesdiferenciales del primer orden no necesariamente se aplica a otra.

2.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la siguiente forma:

F (x, y, y) = 0

Si esta ecuaion se resuelve respecto de y, que se puede escribir como:

y = f(x, y)

En este caso se dice que la ecuacion diferencial esta resuelta respecto la derivada

2.3. Ecuaciones Diferencial con Variables Separa-

das y Separables

Estudiemos una ecuacion de la forma:

dy

dx= f1(x)f2(y) ()// 1

f2(y)6= 0

CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

donde el segundo mienbro representa la multiplicacion de las funciones f1, quedependesolodex yf2 que depende solode y si suponemos que f2(y) 6= 0

1

f2(y)

dy

dx=f1(x)f2(y)

f2(y)

1

f2(y)

dy

dx= f1(x)

1

f2(y)dy = f1(x)dx

Si de la misma forma suponemos que y en x es conocida, tendremos la igualdad de 2 diferenciales. Si integramos laultima relacion tendramos:

1

f2(y)dy =

f1(x)dx+ c

Lo que se obtiene es una correlacion entre la variable independiente x, la funcion y y la constante c Entre otraspalabras hemos obtenido la integral general de la ecuacion

2.4. Ecuaciones con Variables Separadas

La ecuacion 1f2(y)

dy = f1dx de alguna manera puede ser escrita como:

M(x)dx+N(y)dy = 0 ()se llama ecuacion diferencial de VARIABLES SEPARADAS siendo la integral de la forma:

M(x)dx+

N(y)dy = c

Ejemplo 1: sea la ecuacion

xdx+ ydy = 0

resolver la misma xdx =

ydy

x2

2+ k1 = y

2

2+ k2

k1, k2 son las cttes de integracionx2

2+y2

2= k2 k1

x2

2+y2

2= c1

x2 + y2 = 2c1

2.4. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARADAS

x2 + y2 = c2

Ejemplo 2: resolver

(y2 + xy2)dy

dx+ x2 x2y = 0

sol:

y2(1 + x)dy

dx+ x2(1 y) = 0// 1

(1 + x)(1 y)y2(1 + x)

(1 + x)(1 y)dy

dx+

x2(1 y)(1 + x)(1 y) = 0

y2

(1 y)dy

dx+

x2

(1 + x)= 0

y2

1 y dy =

x2

1 + xdx

O.A.

x2

1+x

u = 1 + x du = dx

dv =x2dx v = x3

3

= (1+x)x33

13

x3dx=

(1+x)x3

3 1

12x4 + k2

reemplazamos en la ecuacion:

(1 y)y33

+y4

12+ k1 =

(1 + x)x3

3+x4

12+ k2

x+ y = c

ej. 3: resolver

(x

1 + y2)x + y(

1 + x2)y = 0

(x

1 + y2)dx+ y(

1 + x2)dy = 0//1

(

1 + y2)(

1 + x2)

x1 + x2

dx+y

1 + y2dy = 0

x1 + x2

dx =

y1 + y2

dy

2

2

x

1 + x2dx = 2

2

y

1 + y2dy

C.V. z = 1 + x2 dz = 2xdxk = 1 + y2 dk = 2ydyde donde:

1

2

dzz

= 12

dkk

1

2

z

12 dz = 1

2

k

12 dk

1

2

z12

12

= 12

k12

12

z = k

1 + x2 +

1 + y2 = c


2.5. Ecuaciones Diferenciales de Variables Sepa-

rables

La ecuacion de la forma:M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy = 0

Se conoce como ecuacion diferencial de variables separables Esta ecuacion puede ser reducida (en un dominiodonde tanto N1(y)yM2(x)noseanulen)aunaecuaciondevariablesseparadosmediantelamultiplicaciondelasfuncionesN1(y)yM2(x)esdecir :

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy = 0//1

N1(y)M2(x)

de donde tendria que:

M1(x)N1(y)dx

N1(y)M2(x)+M2(x)N2(y)dy

N1(y)M2(x)= 0

en resumen:

M1(x)

M2(x)dx+

N2(y)

N1(y)dy = 0

Esta ecuacion tiene la forma de la ecuacion ()ej,1 : resolverlaecuaciondiferencial

(1 + x)ydx+ (1 y)xdy = 0// 1yx

sol: de la ecuacion anterior multiplicando por los inversos correspondientes se tiene:(1 + x)

xdx+

(1 y)y

dy = 0

Integrando: 1 + x

xdx+

1 yy

dy = c

1 + x

xdx+ k1 +

1 yy

dy + k2 = (k1 + k2) = c

m1

xdx+

dx+

1

ydy

dy = c

ln|x|+ x+ ln|y| y = cln|x|+ ln|y|+ x y = cln(|x||y|) + x y = cln|xy|+ x y = c

Otra manera de ver las ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables es la siguiente: Si consideramos laexpresion

dy

dx= f(ax+ by + c)

2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Donde a,b,c REsta ecuacion diferencial puede ser transformada a otra ecuacion diferencial mediante la siguiente sustitucion:z = ax+ by + c de donde:

dy

dx=

1

b(dz

dx a) ()

La anterior ecuacion se justifica de la siguiente manera:

z = ax+ bx+ c

m

z ax c = by// ddx

dz

dx a 0 = b dy

dx

dz

dx a = b dy

dx

dy

dx=

1

b(dz

dx a)

Reemplazando ()enlaecuacionoriginalseobtieneotraecuaciondiferencial, esdecir :

f(z) =1

b(dz

dx a)

De aqui resulta:dz

dx= a+ bf(z)

Y separando las variables, se tiene:dz

a+ bf(z)= dx

Ej. 1: resolver la siguiente ecuacion diferencial:

(x+ y)2y = a2

sol.z = x+ y

sabemos

dy

dx=

1

b(dz

dx a)

dy

dx= (

dz

dx 1)

Reemplazando en la ecuacion original tenemos:

z2(dz

dx 1) = a2

Separando las variables, tendria:


z2dz

dx z2 = a2

z2dz

dx= a2 + z2

z2

a2 + z2dz = dx

Integrando: z2

a2 + z2dz =

dx

z2

a2dz +

dz =

dx

z3

3a2+ z x = c

ej. 2: resolver la ecuacion diferencial

y + 1 =(x+ y)m

(x+ y)n + (x+ y)p

sol. sea z=x+y, entoncesdy

dx=dz

dx 1

De aqui se puede reescribir la ecuacion original como:

dz

dx 1 + 1 = z

m

zn + zp

dz

dx=

zm

zn + zp

Separando las variables, tendremos que:

zn + zp

zmdz = dx

zn + zp

zmdz =

dx+ c

zn

zmdz +

zp

zmdz =

dx+ c

znm+1

nm+ 1 +zpm+1

pm+ 1 = x+ c

(x+ y)nm+1

nm+ 1 +(x+ y)pm+1

pm+ 1 = x+ c

Ej. 3: resolver la siguiente ecuacion diferencial:

xy2(xy + y) = a2

sol. operando, tendremos que la ecuacion se reduce a,

x2y2y + xy3 = a2

2.6. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

(xy)2y +(xy)3

x2= a2

Haciendo un cambio de variable,

z = xy y = zx

Derivando implicitammente

y =dzdxx zx2

Reemplazando en la ecuacion original,

z2(dzdxx zx2

) +z3

x2= a2

Haciendo operaciones,

z2(dzdxx

x2 z

3

x2+z3

x2= a2

z2

xdz = a2xdx

z2

xdz =

a2xdx+ c

Integrando:

z3

3=a2x2

2+ c

(xy)3

3=a2x2

2+ c/x2

xy3

3=a2

2+ c

2.6. Las Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

Una funcion f(x,y) es homogenea de grado n en sus argumentos si se cumple la siguiente relacion:

f(tx, ty) = tnf(x, y)

Por ejemplo:f(x, y) = x2 + y2 xy

Es una funcion homogenea de grado 2, pues;

f(tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 (tx)(ty)f(tx, ty) = t2(x2 + y2) t2(xy)f(tx, ty) = t2(x2 + y2 xy)

f(tx, ty) = t2f(x, y)


En resumen;f(tx, ty) = t2f(x, y)

Si n es = 0, la ecuacion homogenea sera una ecuacion homogenea de grado 0

Por ejemplo:

f(x, y) =x2 y2x2 + y2

Es una ecuacion homogenea de grado 0, pues;

f(tx, ty) =(tx)2 (ty)2(tx)2 + (ty)2

Es decir f(tx,ty)=f(x,y) La ecuacion diferencial de la forma

dy

dx= f(x, y)

Se llama homogenea si esta es una funcion homogenea de grado cero en sus argumentos

Solucion de una Ecuacion Diferencial Homogenea

Segun la hipotesis f(x, y) = f(x, y), si consideramos que = 1x

, tendremos que:

f(x, y) = f(1,y

x)

De aqui efectuando la sustitucion u = yx

y = ux, entoncestendriamosque :

dy

dx=du

dxx+ u

si consideramos que dydx

= f(x, y) = f(1, yx

) sustituyendo en esta relacion dydx

tendremos que:

du

dxx+ u = f(1,

y

x)

pero como u = yx

, tendremos que:

du

dxx+ u = f(1, u)

Que es una ecuacion de variables separables de modo que este se puede escribir como:

du

dxx = f(1, u) u

x1

dx= f(1, u) u 1

du

mdu

f(1, u) u =dx

x

2.6. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

De aqui, tendremos que: du

f(1, u) u =

dx

x+ c

Siendo la solucion de la ecuacion diferencial homogenea de grado 0 en sus argumentos En esta solucion se deberiatomar en cuenta que u = y

xpara encontrar la solucion deseada

ej. 1: sea la ecuacion diferencial

dy

dx=

xy

x2 y2

Encontrar la solucion general

Siendo f(x, y) = xyx2y2 de aqui podemos ver que esta es una funcion homogenea de grado 0, pues:

f(tx, ty) =(tx)(ty)

(tx)a (ty)2

f(tx, ty) =t2(xy)

t2(x2 y2)f(tx, ty) = f(x, y)

Es decir, dydx

= xyx2y2 representa una ecuacion diferencial homogenea de grado 0 en sus argumentos:

f(tx, ty) = t0f(x, y)

resolviendo la ecuacion diferencial

u = yx y = ux

dy

dx= u+

du

dxx

dy

dx=

xy

x2 y2

tenemos que:

xy

x2 y2 = u+du

dxx//

1x2

1x2

Pero como u = yx

,

u

1 u2 = u+du

dxx

Separando las variables tendriamos finalmente que:

u

1 u2 u =du

dxx

1 u2u3

du =dx

x1 u2u3

du =

du

dxx

u2

2 ln|u| = ln|x|+ c


12u2

= ln|x|+ ln|u|+ c

12( y

x)2

= ln|x yx|+ c

12( y

x)2

= ln|y|

Captulo 3

ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALESDE ORDEN N

3.1. Definicion

Estas ecuaciones diferencales lineales de orden N tienen la forma

An(x) dny

dxn+An 1(x) dn1y

dxn1 + ......+A1(x)dydx

+A0y = R(x)(1) (3.1)

donde An,An1, A0 > RsonfuncionesquedependendeXosonconstantes

Las ecuaciones diferenciales pueden ser escritas como una funcion

F(x,y, y, ...., yn) = R(x)(2)

deaquisepuedeverclaramentequelavariableindependienteX, lavaraibledependienteY, ylasderivadasy, y, ..., ynestanrelacionadassilaecuacion(1)R(x) =

0esdecir

An(x) dny

dxn+An 1(x) dn1y

dxn1 + ......+A0y = R(x)(3) (3.2)

La ecuacion diferencial se conose como homogeneaPor otro lado si R(x)6= 0laecuaciondiferencialseranohomogeneaSi : y1, cy2sonsolucionesdelaecuacion(3)yc1, c2, constantesarbritarias, entoncesc1y1+c2y2estambienunasoluciondelaecuacion(3)esdecirsi, y1, cy2sonsolucionesdelaecuacion(3)An(x)yn1 +An 1(x)yn11 +A0(x)y1 = 0An(x)yn2 +An 1(x)yn12 +A0(x)y2 = 0TENDREMOS :An(x)c1yn1 +An 1(x)c1yn11 + .....+A0(x)c1y1 = 0An(x)c2yn2 +An 1(x)c2yn12 + .....+A0(x)c2y2 = 0SumandoyagrupandoAn(X)(c1yn1 + c2y

n2 ) +An 1(x)(c1yn11 + c2yn12 ) +A0(x)(c1y1 + c2y2) = 0

An(X)(c1yn1 + c2yn2 )

n +An 1(x)(c1yn11 + c2yn12 )n1 +A0(x) = 0(c1y1 + c2y2) = 0Esdecir :c1y1 + c2y2essoluciondelaecuacion(3)

CAPITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N

3.2. Independencia lineal de funciones

Consideremos un sitema finito de N funciones es decirf1(x), f2(x), ..., fn(x), definidosconintervalo(a, b), diremosqueestasfuncionessonlinealmenteindependientessiexistenescalares(1, 2, n)talque1f1(x) + 2f2(x) + ......+ nfn(x) = 0entonces : 1 = 2 = n = 0si 6= 0, entoncesdichasfuncionessonlinealmentedependientes(l.d.)Ejemplo :seanlasfuncionesf1 = x, f2 = 2x, f3 = x

2, versisonlinealmenteindependientes(l.i.)1f1(x) + 2f2(x) + 3f3(x) = 01x+ 22x+ 3x

2 = 0derivandotendremos1 + 22 + 23x = 0

3.3. El Wromskiano

Suponiendo que las n funcionesf1(x), f2(x), ...., fn(x)sondiferencialesalmenos(n1)veces, dentrodeunintervaloa < x < b, entoncesdelaecuacionc1f1 + c2f2 + ...+ cnfntienecomoderivacionessucesivasc1f1 + c2f2 + ...+ cnfn = 0c1f

1 + c2f

2 + ...+ cnf

n = 0c1f

n11 + c2f

n12 + ...+ cnf

n1n = 0

}=

(3.3)de aqui puedeconsiderarsecomounsistemaenentornoac1, ...., acnasimismoestenotienesolucionexeptoenelcasoenquetodaslasciseannulasSieldeterminanteentornoaa()respectoc1, ....., cnnoesnula, esdecirtendremos f1 f2 ....fnf 1 f 2 ....f nfn11 f

n12 ....fnn1

entoncesdiremosqlasfuncionesf1(x), f2(x), ..., fn(x)sonlinealmenteindependientes.Eldterminantedeloscoeficientesdelsistema()generalmentesedeontaporWesdecir

W =

f1 f2 ....fnf 1 f 2 ....f nfn11 f

n12 ....fnn1

.(3.4)y se llama Wronskiano de las funcionesf1(x), ...., fn(x)cEjemplo :Demostrarquelasfuncionesf1(x) = e

x, f2(x) = e2x, f3(x) = e

3xsonlinealmenteindependientesSolucion :seaeldeterminante :

0 =

f1 f2 ....fnf 1 f 2 ....f nfn11 f

n12 ....fnn1

.(3.5)de aqui

3.3. EL WROMSKIANO

ex e2x e3x

ex 2e2x 3e3x

ex 4e2x 9e3x

.= 25e6x 23e6x = 2e6x(3.6)

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ecuaciones diferenciales