Ecuaciones diferenciales

Transcripcin de carcter puramente personal de (y de un alumno de):Grau de Matemtiques, Universitat de Barcelona.Equacions diferencials, semestre 6, curso 2012-2013.

Dictada por: lex Haro Provinciale

No podrs decir que es propia y exclusivamente tuya, o ma, o de cualquier otrohombre, sino que por modos maravillosos, a la manera de una luz pblica y secre-tsima a la vez, se halla pronta y se ofrece en comn a todos los que son capacesde ver las verdades inmutables. Ahora bien, lo que pertenece en comn a todoslos seres racionales e inteligentes, quin dira que pertenece, como cosa propia, ala naturaleza de ninguno de ellos?.1 En consecuencia, y en lo que a m concierne,esta obra pertenece legtimamente al dominio pblico.

La nica mancha a este argumento es, y conviene reiterarla, el carcter marca-damente personal de la transcripcin, nacida de un alumno que no domina la ma-teria y que la reescribe (aunque las aadiduras propias sean las menos a excep-cin de las inevitables erratas y menos claras/tiles) precisamente para enten-derla, en un intento de ordenar y clarificar sus notas manuscritas y sus an difusasideas. Pues aunque las verdades matemticas (que no as el quehacer matemticoo nuestro conocimiento sobre las mismas; dispensen mi platonismo) puedan seresencialmente inmutables, no sucede as con los entendimientos que las escriben,que a veces la ven ms, a veces menos.1

Si pueden estas hojas, pues, ayudar a alguien ms que a m, bien. Si no, noimporta; sobrado es el servicio que ya me han rendido.

NOTACIN. El que transcribe tiene por costumbre utilizar el punto y coma(dentro de las expresiones matemticas) como sinnimo de tal que en lugar de,p.e., la pleca. Ciertamente no es la nica abreviacin que utilizo, pero s, creo, lamenos estndar y, a su vez, la ms frecuentada. Otras aclaraciones sobre la nota-cin que suelo emplear, aqu [en construccin].

Ms en Sobre la bruma..., donde pueden contactarme para cualquier sugeren-cia (a tener en cuenta en futuras entregas), as como descargar este mismo do-cumento en formato .lyx para que cada cual pueda hacer las modificaciones quecrea ms oportunas, a falta de funcionalidades tipo real-time collaborative textediting software que permitan aunar las correcciones (o incluso la transcripcinmisma con otras a lo largo del curso) en un nico documento cannico.

5 de julio de 2013, Sogol Thamaem

1San Agustn, Del libre albedro, Libro 2, Seccin XII, Apartado 33-34 respectivamente (disponibleen Augustinus). Huelga decir que este apropiacionismo, como es habitual, tergiversa y, hasta ciertopunto, se burla del sentido original del texto, que pretende concluir en ltima instancia, cf. ibdem39, la existencia de Dios. Con esta recontextualizacin, por tanto, vendra a divinizar la matematica.

ndice general

Captulo 1. Introduccin 51.1. Objeto de estudio 51.2. Ejemplo ilustrativo 6Laboratorio 2 11

Captulo 2. Teoremas fundamentales 152.1. Existencia y unicidad 152.2. Proceso evolutivo asociado a una edo 21

Captulo 3. Teora cualitativa 313.1. Campos vectoriales y edos autnomas. Flujos 313.2. Retratos de fase 323.3. Conjugacin de c.v. 343.4. Teorema del flujo tubular 363.5. Comportamiento asinttico 39

3

Captulo 1

Introduccin

1.1. Objeto de estudio

DEFINICIN 1. (Heurstica) Las ecuaciones diferenciales (ec. dif.) describenprocesos evolutivos (i.e., fenmenos que dependen del tiempo) que son:

Finito-dimensionales: el estado del proceso est caracterizado por un n.ofinito de coordenadas, n. El conjunto de estados es el espacio de fase, queest identificado con un abierto U Rn o, en general, con una variedaddiferenciable n-dim. (cf. Topologia i geometria global de superfcies). Ejemplos(cf. Models Matemtics i Sistemes Dinmics, en adelante MMSD):

Modelo de Maltus o de reproduccin normal: x = ax. Describe el cre-cimiento exponencial de, p.e., una poblacin de bacterias descrita me-diante el numero de individuos x R>0. Modelo logstico (mejora del anterior, ya que las poblaciones no

crecen indefinidamente, sino que entran en competencia por losrecursos finitos): x = ax bx2

Modelo del pndulo (Mecnica). El espacio de fase se compone por elespacio de posiciones (determinado por el angulo) y de velocidadesangulares: S1 R (cilindro). Conocidas stas, el sistema queda deter-minado. El espacio de fases del pndulo esfrico es TS2 el fibrado tangente

de la esfera S2. En mecnica de fluidos, evolucin del calor, predicciones atmosfri-

cas... se trabaja con espacios funcionales, i.e., -dim.Deterministas: los estados futuros y pasados1 del sistema estn determi-nados por el estado actual del sist. (en contraposicin con los procesosevolutivos estocsticos como la bolsa, cf. Modelitzaci). En general, esto esvalido slo para hacer predicciones a tiempos cortos. Si no debe hacerseuso de la teora del caos debido a la sensibilidad resp. de las variables (cf.MMSD, logstica).Diferenciables: la dependencia respecto al tiempo es diferenciable (y tam-bin las dependencias resp. a los estados del sist.). La continuidad es unmnimo exigible, ya que no nos interesara que hubiese discontinuidadesde salto, i.e., variaciones grandes en las imgenes (predicciones) para va-riaciones pequeas en las preeimagenes (medidas y datos empricos).

Ms formalmente:

DEFINICIN 2. Un proceso evolutivo est descrito mediante una apl. cont.

: D R RRRn Rn(t; t0, x0) (t; t0, x0)

1No siempre se puede estudiar el pasado: se necesitan ciertas condiciones, cf. MMSD; p.e., la logs-tica es irreversible.

5

6 1. INTRODUCCIN

tal que (t; t0, x0) representa el estado del sist. en el instante t cuando en el instantet0 est en el estado (del espacio de fases contenido enRn) x0, y donde (el espaciode fases ampliado) y D (su ampliacin) son abiertos tq:

1. (t0, x0) , I(t0, x0) := {t R; (t; t0, x0) D} es un abierto y la apl.(; t0, x0) : I(t0, x0) Rn es de clase C1 resp. a t (ie, t C0).2

2. (t0, x0) , (t0; t0, x0) = x03. (Ley de composicin) (t0, x0) , t1 I(t0, x0), t2 I(t1, (t1; t0, x0)),

se tiene: t2 I(t0, x0) y (t2; t1, (t1; t0, x0)) = (t2; t0, x0)EJEMPLO 3. cf. dibujo de con n = 1 (retrato de fase).

OBSERVACIN 4. Cada condicin inicial (t0, x0) espacio de fase ampliadofija una solucin, trayectoria o evolucin correspondiente a esa condicin inicial(o, de hecho, cualquier otro punto de esa trayectoria; es equivalente por unicidad,cf. 2), (; t0, x0). stas no se cruzan nunca (de otro modo, no seria determinis-ta). Condiciones iniciales similares pueden dar lugar a trayectorias muy diferentes(sensibilidad respecto las variables). Proceso evolutivo= foliacin3 en trayectorias(i.e., al dibujo de ).

Dibujando las pendientes (derivadas parciales resp. t) de los puntos de lastrayectorias obtenemos el campo de pendientes (para n general se habla de cam-po de direcciones o slope field). Obtenemos entonces una apl. cont. (pues Cpor construccin/def.) f : Rn; f (t, x) := t(t; t, x). La ec. dif. del procesoevolutivo (o ley de la naturaleza o de evolucin temporal) es: x = f (t, x). As,determinar la evolucin a partir de unas condiciones iniciales (t0, x0) es resolverel Problema de Valores Iniciales (PVI) o Problema de Cauchy:{

x = f (t, x) x(t) = f (t, x(t)), t "donde tenga sentido"(abuso de notacin)x(t0) = x0

El proceso habitual de estudio (de investigacin cientfica) pasa por:1. Cual es el espacio de fase? En mecnica, el par posicin y velocidad es

suficiente (y necesario).2. Experimentos (obtencin de datos, ie, del espacio de fase ampliado )3. Series temporales4. Obtencin de una ec. dif.

Nosotros lo haremos aqu al revs: estudiando una ec. dif., describiremos el mo-delo.

1.2. Ejemplo ilustrativo

Veamos ahora un ejemplo de la clase de problemas que trabajaremos duranteel curso a modo de bosquejo para que sirva de puente con la asignatura previade MMSD. En l emplearemos resultados que se demostraran durante el curso; lafinalidad es puramente introductoria/heurstica.

Sea el modelo dado por: x = x(1 x + e sen t), con = RR. (Graficar conun Slope Field Calculator).

1.2.1. Caso e = 0. x = x(1 x) ec. dif. autnoma (x = f (x), i.e., f (t, x) nodepende de t) en dim. 1 (pues el espacio de fases es R, n = 1). La resolvemos porvariables separadas: x = x(1 x) xx0 dxx(1x) =

tt0

dt [log x log(1 x)]xx0 =log x1x |xx0 = t|tt0 (se integra expresando en fracciones simples). Por tanto, tenemos:

2(; t0, x0) := |I(t0 ,x0){t0}{x0} representa la evolucin del sist. fijadas unas condiciones iniciales.3Paquete de 500 hojas deformado: las hojas (que representan las trayectorias) no se cortan.

1.2. EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

log x1x log x01x0 = logx(1x0)(1x)x0 = t t0. Tomando exponenciales y aislando que-

da: x(1 x0) = x0ett0 xx0ett0 x := x(t; t0, x0) = x0ett0

1x0+x0ett0 . Resuelta laedo (ec. dif. ordinaria) que rige el problema, podemos saberlo todo sobre l (noslo cualitativamente, sino tambin cuantitativamente).

Observamos que las trayectorias son invariantes por traslaciones (ya que esautnoma, ie, no depende de t) y que, segn el valor de x0, hay asntotas:

verticales: x 1 x0 + x0ett0 = 0 ln(x0ett0

)= ln (x0 1)

t t0 = ln(

x01x0

) t = t0 + ln(1 1x0 ), que est definido ssi x0 / [0, 1]

horizontales: t + x = x0x0 = 1 (dividiendo numerador y denominador de x

por ett0 ) salvo en el caso de x0 = 0: x(t) = x(t; t0, 0) = 01 = 0, t. As,en x0 = 0, x(t) 0 es una solucin estacionaria (ie, cte) o punto deequilibrio (puede verse que es repulsor/inestable).

t x = 01x0 = 0 salvo en el caso de x0 = 1: x(t) =x(t; t0, 1) = e

tt0ett0 = 1, t. As, en x0 = 1, x(t) 1 es una solucin

estacionaria (ie, cte) o punto de equilibrio (puede verse que es atrac-tor/estable).

NOTA. cf. anlisis cualitativo de MMSD: aunque no podamos resolver expli-citamente las edos [como en e 6= 0], podemos sustraer de ellas mucha informacin.

En resumen,

I(t0, x0) =

(t0 + log(1 1x0 ),+) x0 > 1R x0 [0, 1](, t0 + log(1 1x0 )) x0 < 0

(veremos que estos son siempre abiertos). Su inters radica en que estos sern losdominios de las soluciones maximales (una trayectoria completa, sin cortar orestringirla a un subconjunto de la misma). Estamos interesados tambin en estu-diar la existencia y unicidad de estas soluciones, ie, en encontrar una x(t; t0, x0, e);x = f (t, x) := x(1 x + e sen t), ie, en resolver el Problema de Cauchy:

(1.2.1){

tx(t; t0, x0, e) = f (t; x(t; t0, x0, e), e)x(t0; t0, x0, e) = x0

NOTACIN. xe(t; t0, x0) := x(t; t0, x0, e) (anlogo para cualquier otra funcin).Supondremos t0 = 0.

1.2.2. Caso e 6= 0 (fijado). Podemos intentar estudiarla como perturbacinde la anterior.4 x = 0 sigue siendo solucin. Para e pequeo, x = 1 es casisolucin. Aunque no es autnoma,5 depende peridicamente de t, pues en t =2pik, k Z, el campo de direcciones tambin coincide.

NOTA. (adelanto) El teorema de Picard nos dir que, dadas estas soluciones(estos puntos de los cuales sabemos su pendiente), podemos encontrar un entornocentrado en ellos de la trayectoria con esa condicin inicial (problema local de !).

4En fsica: rgimen perturbativo. Si e & 0, se mantendrn ciertas propiedades? podemos apro-ximar? cf. teora de perturbaciones, sistemas caoticos, etc.

5Esto significa, entre otras cosas, que ahora no tiene sentido hablar del espacio (o recta, en el caso 1-dim.) de fase (el barquito): p.e., las mareas y corrientes son diferentes segn la hora del da y la posicinde la luna.

8 1. INTRODUCCIN

Idea: iterando Picard, podemos extender la solucin particular a la solucin maxi-mal (problema global de !). Observamos tambin que para x < 0, las solucionesse comportan igual que antes.

Adems, observamos que si x > 1+ e 0 > 1 x + e > 1 x + e sin t = x,ie, que las pendientes son negativas para todo x mayor que 1+ e. As, x decrecerestrictamente hasta cruzar 1+ e y no podr volver a cruzarla (pues decrece en esazona, haciendo 1+ e de cota superior x < 1+ e), ie, quedara atrapado en esa fran-ja. Es decir, y resumiendo (como demostraremos por el teorema de aproximacin ala frontera):6 si tomamos una condicin inicial (c.i.) (t0, x0) con x [0, 1+ e], la so-lucin correspondiente no puede salir de la franja x [0, 1+ e] en tiempo t t0(presente [igualdad] y futuro) y est definida t t0 (a las malas, extendindolapor Picard). Por tanto, hemos reducido el problema a estudiar su comportamientoen [0, 1+ e] (ntese que este argumento es valido e, y no slo para e pequeo).

Sea Pe : [0, 1 + e] [0, 1 + e]; Pe(x0) := x1 := x(2pi; 0, x0, e) la aplicacin7que nos enva el valor de la solucin x [0, 1+ e] con condicin inicial x(0) = x0al instante 2pi, que est bien definida: Pe(x0) < 1 + e, x0 [0, 1 + e] (cf. prrafoanterior. La otra desigualdad se ve en los siguientes). Adems, como nuestra ecua-cin es t peridica, podemos iterar esta funcin indefinidamente, de manera quex2 = Pe(x1) = x(4pi; 0, x0, e), x3 = Pe(x2) = x(6pi; 0, x0, e), etc.8 Y recordamos (cf.MMSD) que iterar es sinnimo de buscar puntos fijos:

[dibujo de la grfica de Pe con la funcin iterada: imagen bisectriz (x1 =x0) imagen... escalera] Veamos que x = 0 es efectivamente (de modo analticoen lugar de grfico) un punto fijo repulsor. Para Pe=0, podemos emplear la formu-la explicita obtenida en 1.2.1, P0(x0) =

x0ett01x0+x0ett0 , donde podemos tomar t0 = 0

(pues habamos fijado nuestra c.i. como x(0) = x0), y t = 2pi (pues nuestra aplica-

cin se desplaza por def. hasta ese instante). As, P0(x0) =e2pi(1x0+x0e2pi)x0e2pi(1+e2pi)

(1x0+x0e2pi)2 =e2pi

(1x0+x0e2pi)2 P0(0) = e

2pi >> 1, P0(1) = e2pi 1, la grfica de Pe comienza creciendo porencima de la bisectriz (ie, Pe(x0) > 1 + e, x0 [0, 1 + e], con e = 0), mientrasque, como vimos antes, Pe(1 + e) < 1 + e, ie, est por debajo de la bisectriz. As,Pe atravesara necesariamente al menos una vez9 la bisectriz en algn punto quellamaremos x,e, ie, x.e (0, 1 + e); Pe(x,e) = x,e punto fijo (atractor) de Pecorrespondiente a la condicin inicial (en t0 = 0) para que la solucin (de nuestraedo) sea peridica.

PREGUNTA. Al considerar e 6= 0 (pequeo), en que se transforma la solucin esta-cionaria x(t) = 1? sera substituida por una solucin peridica?

La ecuacin para buscar soluciones peridicas es de hecho Pe(x) = x (ec. 1-dim.). Sin embargo, nosotros queremos despejar x de la ecuacin, obteniendox = x(e). Para ello, escribimos E(x, e) := Pe(x) x = 0 una ecuacin condos incgnitas (x, e) y de la cual queremos obtener x = x(e), ie, poner una en

6Pregunta: hasta donde estn definidas las soluciones (maximales)? Respuesta (del teorema): lassoluciones mueren al salir del dominio .

7Llamada de Poincar o retorno, y que veremos que es C debido a un teorema que nos da laregularidad de las soluciones respecto c.i. y parametros. En general, podemos definir Pe de [0,+) a[0,+).

8One line proof: x(t) es solucin x(2pi + t) es solucin, pues sin(2pi + t) = sin t y por tantox(2pi + t) y x(t) coinciden.

9Demostrar que la atraviesa una y slo una nos llevara algo de trabajo.

1.2. EJEMPLO ILUSTRATIVO 9

funcin de la otra (lo cual parece viable). Para ello emplearemos el teorema de lafuncin implcita, cuyas condiciones se satisfacen:

(x, e); E(x, e) = 0, pues vimos que P0(0) = 0 y P0(1) = 1. As, p.e.,E(1, 0) = 1 1 = 0.Condicin de no degeneracin: xE(1, 0) 6= 0. Para comprobarla, calcula-mos primero xE(1, 0) = xP0(1) 1 = e2pi 1 6= 0, pues vimos queP0(1) = e2pi .

Por tanto, el teorema aplica y x = x(e) C (pues Pe lo es) definida en unentorno de e = 0 tal que x(0) = 1 y Pe(x(e)) = x(e).

De la relacin E(x, e) = 0, e Ent(0) que acabamos de encontrar, podemosextraer dex(e) mediante diferenciacin [de hecho derivacin, ya que estamostrabajando en una dimensin] implcita (derivando a ambos lados de la ecuacinpor e, aplicando la regla de la cadena):10

xE(x(e), e)dex(e) + eE(x(e), e) = 0 dex(0) = (xE(1, 0)) e2pi1

1eE(1, 0),

donde E(x, e) := Pe(x) x = x(2pi; 0, x, e) x eE(x, e) = ex(2pi; 0, x, e)eE(1, 0) = ex(2pi; 0, 1, 0). En general, ex(t; t0, x0, e) satisface la siguiente edo,obtenida de derivar respecto e en (1.2.1) (y aplicando el teorema de schwartz y laregla de la cadena):(1.2.2){

t (ex(t; t0, x0, e)) = x f (t; x(t; t0, x0, e), e)ex(t; t0, x0, e) + e f (t; x(t; t0, x0, e), e)ex(t0; t0, x0, e) = ex0 = 0

y en particular: (t0, x0, e) = (0, 1, 0)1,2,1 x(t; t0, x0, e) = 1

{

x f (t; x(t; t0, x0, e), e) = (1 2x + e sin t)|x=1,e=0 = 1e f (t; x(t; t0, x0, e), e) = x sin t|x=1 = sin t

Por tanto, tomando y(t) = ex(t; 0, 1, 0), podemos reformular 1.2.2 como si-gue: {

y(t) = y(t) + sin ty(0) = 0

la cual es una edo lineal de primer orden y, por ende, resoluble (cf. anexo): y(t) =

et[c +

et sin(t)dt] = et[c + 12 et(sin t cos t)] = cet + 12 (sin t cos t)

y(0)=0=

12 (et + sin t cos t). As, eE(1, 0) = y(2pi) = 12 (e2pi 1) dex(0) = 12 (e

2pi1)e2pi1 =

12 x(e) x(0) + dex(0)e = 1 12e. P.e., e = 01 x(01) 1 005 =095, lo que es coherente con el dibujo generado por el Slope Field Calculator:

10Con ello podremos dar una mejor aproximacin de x(a) por Taylor: x(a) = x(0) + dex(0)e+O(e2).

Ntese que esta manera de proceder (lo que hemos llamado derivacin implcita: empezar conel teorema de la funcin implcita y terminar con Taylor) es bastante estndar. Recurdese, p.e., elrazonamiento seguido en MN II para hallar las semillas del mtodo de Newton en la seccin de curvasdefinidas de manera implcita del tema de resolucin de ecuaciones no lineales.

Recurdese tambin que en la practica no es estrictamente necesario comprobar las condicionesdel teorema de la funcin implcita per se, sino que stas se cumplirn ssi podemos aislar dex(e). Enotras palabras, podemos partir de la suposicin de que el teorema aplica.

LABORATORIO 2 11

Laboratorio 2

NOTA. A continuacin repetiremos de manera ms ordenada/pautada el pro-cedimiento antes seguido para un problema anlogo.

Sea el PVI: {x = f (t; x, e)x(0) = x0

con f (x, t, e) := (1 x2 + e sin t)x, x0 0, (t; x0, e) solucin del PVI (dado quet0 = 0, lo obviaremos).

1. Hallar (t; x0, 0). Para e = 0 tenemos: x = f (t; x, 0) = x(1 x2) edo aut-noma. Resolvemos por variables separadas: dxdt = x x3

dt =

1x(1x2)dx = 2xdx

2x2(1x2)u=x2= 12

duu(1u) =

11 12

( 1u

1u1)= 12

(ln x2 ln (x2 1)) 12 ln x2x21 xx0 =

t t0 ln x2x21 lnx20

x201= ln x

2(x201)x20(x

21) = 2 (t t0) x2(x201)x20(x

21) = e2(tt0)

x2(x20 1) = x2x20e2(tt0) x20e2(tt0)t0=0 x2 [x20 1 x20e2t] = x20e2t x =

x20e2tx201x20e2t

=

x20

x20(x201)e2tdividiendo denominador y numerador por e2t. Por

tanto,

(t; x0, 0) =x0

x20 e2t(

x20 1)

Calculemos el intervalo maximal de definicin de la solucin, I(x0). Para ello,

determinaremos las asntotas verticales: (t; x0, 0)

x20 e2t(x20 1

)=

0 x20 e2t(

x20 1)= 0 e2t = x201

x20 t = 12 ln

(1 1

x20

)ssi x0 / [0, 1] (de

otro modo el logaritmo sera negativo y no tendra tal asntota). As, como x0 0,

I(x0) =

(

12 ln

(1 1

x20

),+

)x0 > 1

R x0 [0, 1]Por otra parte, tenemos que las asntotas horizontales son:

lmt+ (t; x0, 0) = x0x0 = 1 salvo en el caso de x0 = 0: (t) = (t; 0, 0) =0, t R. As, en x0 = 0, (t) 0 es una solucin estacionaria, ie, 0 es unpunto fijo o de equilibrio.lmt (t; x0, 0) = 01x20 = 0 salvo en el caso de x0 = 1: (t) =(t; 1, 0) = 1, t R. As, en x0 = 1, (t) 1 es una solucin estacionaria,ie, 1 es un punto fijo o de equilibrio.

3. Periodicidad. Sea (t) := (2pi + t; x0, e) (t) = (2pi + t; x0, e) :=f (t; (2pi + t; x0, e) , e) := (2pi + t; x0, e)

(1 ( (2pi + t; x0, e))2 + e sin (2pi + t)

)=

(t)(

1 ( (t))2 + e sin t)

pues sin t es 2pi-peridica. Como (0) = x0, por uni-cidad, (t) := (2pi + t; x0, e) = (t; x0, e).

11 1u(1u) =

Au +

B1u =

A(1u)+Buu(1u)

{A = 1B A = 0

12 1. INTRODUCCIN

4. Aproximacin de primer orden en e de (t; 2, 0). Derivando el PVI respec-to e (aplicando el teorema de Schwartz y la regla de la cadena):(1.2.3){

t (e(t; x0, e)) = x f (t; (t; x0, e), e)e(t; x0, e) + e f (t; (t; x0, e), e)e(t0; x0, e) = ex0 = 0

En particular, para (x0, e) = (2, 0), tomando y(t) = e(t; 2, 0):{y(t) = x f (t; (t; 2, 0), 0)y(t) + e f (t; (t; 2, 0), 0)y(0) = 0

donde{e f (t; x, e) = e

(x x3 + ex sin t) = x sin t b(t) := e f (t; (t; 2, 0), 0) = 243e2t sin t

x f (t; x, e) = 1 3x2 + e sin t a(t) := x f (t; (t; 2, 0), 0) = 1 1243e2tPor tanto, hemos de resolver la edo lineal de primer orden{

y(t) = a(t)y(t) + b(t)y(0) = 0

que viene dada por y(t) = eA(t)[c +

eA(t)b(t)dt], con A(t) = a(t).6. Soluciones peridicas.

NOTACIN 5. Bn(a, r) Bnr (a) := {x Rn; d(x, a) < r} bola abierta n-dimensionalde centro a y radio r, donde d es la distancia eucldea (usualmente escrita 2), ie,d(x, a) =

ni=1(xi ai)2 (en particular, para n = 1, d(x, a) = |x a| valor abso-

luto. As, B1r (a) = (a r, a + r)).Sea Pe(x0) := (2pi; x0, e). Por (3), sabemos que Pe(x0) = x0 (t; x0, e) es

2pi-peridica. Por (2), sabemos que para e = 0, x0 = 1 es solucin de la ecuacinPe(x0) = x0, pues es un punto fijo. Veamos, pues, que podemos extenderlo e B1e0(0), ie, que x? : B1e0(0) R; Pe (x? (e)) x? (e), con x? (0) = 1, o lo que eslo mismo, que el teorema de la funcin implcita aplica. Dado que P0(1) = 1, slonos falta comprobar la condicin de no degeneracin, P0(1) 6= 1, ie, que x0 = 1 esun punto fijo no neutro. En efecto,

x0(t; x0, 0) =(

x20 e2t(

x20 1))1/2 12 (x20 e2t (x20 1))1/2 (2x0 2x0e2t) x0

x20 e2t(x20 1

)y, en particular, para (t, x0) = (2pi, 1), P0(1) = x0(2pi; 1, 0) =

1 12 (22e4pi)1 =

e4pi

LABORATORIO 2 13

Tomando (x0, e) = (1, 0), z(t) = e(t; 1, 0), nos queda en 1.2.3:{z(t) = x f (t; (t; 1, 0), 0)z(t) + e f (t; (t; 1, 0), 0)z(0) = 0

donde {e f (t; (t; 1, 0), 0) = sin tx f (t; (t; 1, 0), 0) = 1 3 1 = 2

Por tanto, hemos de resolver la edo{z(t) = 2z(t) + sin tz(0) = 0

que tiene como solucin z(t) = e2t[c +

e2t sin tdt

]= e2t

[c 15 e2t (cos t 2 sin t)

]=

ce2t 15 (cos t 2 sin t)z(0)=0= 15

(e2t cos t + 2 sin t). As, eE(1, 0) = z(2pi) =

15 (e10pi 1) 15 dex?(0) = 15 e

10pi1e4pi1 15 x?(e) x?(0) + dex?(0)e =

1+ 15e.

Captulo 2

Teoremas fundamentales

2.1. Existencia y unicidad

2.1.1. Local.

DEFINICIN 6. : X X es una apl. Lipschitz ssi L R0; x, y X, d ((x), (y)) Ld (x, y), donde L es la cte de Lipschitz; as, diremos abre-viadamente que es L-Lip. Si L < 1, se dice que es L-contractiva.

TEOREMA 7. (del punto fijo de Banach o de la apl. contractiva. Recordatorio)Sea : X X un apl. k-contactiva en un e.m. completo (X, d). Entonces !x

X; x = (x).

DEMOSTRACIN. Sea la succ. {xn}n definida por xn := (xn1) = =n(x0) d(xn+1, xn)

hip. kd(xn, xn1) knd(x1, x0), con x0 X. En-

tonces: n, p Z>0, d(xn+p, xn)des. triang. d(xn+p, xn+p1) + + d(xn+1, xn)

(kn+p1 + + kn)d(x1, x0) kn(kp1 + + 1)d(x1, x0) prog. geom.= kn 1kp1k d(x1, x0) kn

1k d(x1, x0) lmn(

supp0 d(xn+p, xn

)) k

Teorema fundamental

Teorema 1 Sea x = f(t, x) una equacion diferencial definida en el cilindro Ca,b(t, x) = Ia(t)Bb(x) RRn de centro (t, x) RRn y radios a, b > 0, tal que f : Ca,b(t, x) Rn es continua, y Lipschitzrespecto a x.

Sea M 0 tal que, para todo (t, x) Ca,b(t, x), |f(t, x)| M .Sean , 0, tales que:

0 0 , 0 < a, 0 b;( + 0)M + b.

Definimos el cilindro cerrado C,0,(t; t, x) = I(t) I0(t) B(x) R R Rn.Entonces, existe una unica funcion continua

: C,0,(t; t, x) Bb(x)(t; t0, x0) (t; t0, x0),

y diferenciable respecto a t, tal que, para todo (t; t0, x0) C,0,(t; t, x),t

(t; t0, x0) = f(t,(t; t0, x0)),

(t0; t0, x0) = x0.

Ademas, para todo (t; t0, x0) C,0,(t; t, x) se tiene

|(t; t0, x0) x0| M |t t0|.

Dem.: Consideremos el espacio metrico completo C0(C,0,(t; t, x)),Rn), dotado con la topologa de laconvergencia uniforme, dada mediante la distancia

d(1,2) = 1 2 = sup{|1(t; t0, x0) 2(t; t0, x0)| | (t; t0, x0) C,0,(t; t, x)},

para cualquier 1,2 : C,0,(t; t, x) Rn continuas. Consideremos los subconjuntos cerrados

X = { C0(C,0,(t; t, x),Rn) | (t; t0, x0) C,0,(t; t, x), |(t; t0, x0) x| b},

XM = { C0(C,0,(t; t, x),Rn) | (t; t0, x0) C,0,(t; t, x), |(t; t0, x0) x0| M |t t0|}.As, ambos subespacios metricos X y XM son completos.

Lema 1 Si XM , entonces X.

Dem. lema: Para todo (t; t0, x0) C,0,(t; t, x),

|(t; t0, x0) x| |(t; t0, x0) x0|+ |x0 x| |t t0|M + |x0 x| ( + 0)M + b,

y entonces (t; t0, x0) Bb(x). unionsqulemaDada X, podemos definir la funcion continua en C,0,(t; t, x) mediante

(t; t0, x0) = x0 +

tt0

f(t,(t; t0, x0)) ds.

Es mas, es un operador en X (denominado el operador de Picard).

Lema 2 Si X, entonces XM X.Dem. lema: Para todo (t; t0, x0) C,0,(t; t, x),

|(t; t0, x0) x0| tt0

|f(t,(t; t0, x0))| dt M |t t0|.

unionsqulemaVeamos ahora como se comporta al ser aplicado iterativamente. En lo siguiente, L 0 es la constante

de Lipschitz (respecto a x) de f .

Lema 3 Sean 0,0 X. Entonces, para todo n N:

||n0 n0|| ( + 0)nLn

n!||0 0||.

Dem. lema: Sea (t; t0, x0) C,0,(t; t, x) cualquiera. Entonces:

|0(t; t0, x0) 0(t; t0, x0)| tt0

|f(t,0(t; t0, x0)) f(t,0(t; t0, x0))| dt

L|t t0|||0 0||,donde en el segundo paso usamos la condicion de Lipschitz en Ca,b(t, x). Repitiendo el argumento,obtenemos:

|20(t; t0, x0) 20(t; t0, x0)| tt0

|f(t,0(t; t0, x0)) f(t,0(t; t0, x0))| dt

L2 tt0

|t t0| ds ||0 0||

|t t0|2L2

2!||0 0||.

Inductivamente, obtenemos que

|n0(t; t0, x0) n0(t; t0, x0)| |t t0|nLn

n!||0 0||

As, el lema se obtiene simplemente aplicando la norma del supremo (en C,0,(t; t, x)) a ambos ladosde esta desigualdad. unionsqulema

Del lema anterior se infiere que, para un N suficientemente grande, el operador N es contractivo enel espacio metrico completo X, esto es

( + 0)NLN

N !< 1.

El teorema del punto fijo de Banach implica, pues, que existe una unica X tal que N = . Esmas, como = X satisface

N = N = = ,

entonces = = . Ademas, por el lema 2, = XM .Por tanto, para cada (t0, x0) C0,(t, x), la funcion (; t0, x0) definida en I(t) satisface la ecua-

cion integral de Volterra

x(t) = x0 +

tt0

f(t, x(t)) dt,

que es equivalente a satisfacer el problema de Cauchy{x(t) = f(t, x(t)),

x(t0) = x0.

As, C0(C,0,(t; t, x)), Bb(x)) es la unica que satisface las tesis del teorema. unionsqu

18 2. TEOREMAS FUNDAMENTALES

OBSERVACIN 10. El TF es valido si b = + (ie, Bb(x) = Rn). En tal caso, fno tiene porque estar acotada, lo que tampoco debe preocuparnos (de hecho, nossimplifica la dem.), pues lo que hay que controlar es el cumplimiento de X =C0( I,Rn) X, lo que no da problemas. As, la sol. de un PVI estar def. entodo el intervalo.

NOTA 11. El caso degenerado 0 = 0, = 0 ( (0, a], M b) dondeel cilindro es un punto (una sol. particular del PVI) se conoce como teorema dePicard.

El caso en el que le exigimos solamente continuidad a x = f (t, x) se conocecomo Teorema de Peano. ste da existencia, pero no unicidad (habra que probarlaa parte en cada problema contingente por otras vas).

Por otra parte, el algoritmo empleado en la dem. se conoce como mtodo delos intervalos de Picard y puede emplearse, a priori, como mtodo numrico paraaproximar las soluciones (aunque no sea muy eficiente). En efecto:

EJEMPLO 12. Sea el PVI: {x = xx(0) = 1

que es equiv. a la integral ((t)) = x(t0) + t

t0f (s, (s))ds, con (t) solucin del

PVI, t0 = 0, x(0) = 1, f (s, (s)) = (s). Tomando, p.e., 0(t) 1 (la primera apro-ximacin es arbitraria: conv. independientemente del punto escogido), se tiene:1(t) = (0(t)) = 1+

t0 0(s)ds = 1+ t, 2(t) = (1(t)) = 1+

t0 (1+ s)ds =

1 + t + 12 t2,... y, en general, n(t) = nk=0

tkk!

n (t) = et (en principio conv. pun-tualmente, pero de hecho lo hace uniformemente, pues estamos sobre un compac-to, cf. AM).

NOTA 13. Tambin funciona para ec. dif. lin. homogneas de dim. n:

x = Ax, con x Rn, A Mnn(R)x(0) = Id Mnn(R)

} (t) = Id+ At + A

2t2

2!+ =: eAt

En particular, eA = Id+ A + A2

2! + . . .Ann! + . . .

Laboratorio 3.

NOTA. A continuacin demostraremos un resultado algo ms restrictivo queel teorema de Picard (cf. wiki), que llamaremos Lip. a bandas, razonando de ma-nera anloga al TF.

Sigui f : [a1, a2] Rn Rn una funcio contnua, i (globalment) Lipschitz respecte a x Rna la banda tancada [a1, a2] Rn (on a1 < a2). Demostreu que per a tot t0 [a1, a2] i x0 Rnexisteix una unica funcio C1, : [a1, a2] Rn, solucio del problema de valor inicial{

x = f(t, x),x(t0) = x0.

Solucio.Sigui (t0, x0) [a1, a2] Rn qualsevol.Sabem que trobar una funcio : [a1, a2] Rn de classe C1 satisfent{

t (t) = f(t, (t)),(t0) = x0.

es equivalent a trobar una funcio : [a1, a2] Rn de classe C0 satisfent

(t) = x0 +

tt0

f(s, (s)) ds.

Considerem, doncs, loperador de Picard : C0([a1, a2],Rn) C0([a1, a2],Rn), definit per

(t) = x0 +

tt0

f(s, (s)) ds.

O`bviament, esta` ben definit. De fet, si C0([a1, a2],Rn), llavors C1([a1, a2],Rn).Recordem que C0([a1, a2],Rn) es un espai me`tric complet, considerant la dista`ncia

d(1, 2) = maxt[a1,a2]

|2(t) 1(t)|.

La demostracio consisteix en provar que loperador te un unic punt fix, via el Teorema del puntfix de Banach, sota la hipotesi de Lipschitz seguent: existeix una constant L 0 tal que per a tott [a1, a2] i x1, x2 Rn,

|f(t, x2) f(t, x1)| L|x2 x1|.Observem que, per a tot 1, 2 C0([a1, a2],Rn), i per a tot t [a1, a2]:

|2(t)1(t)| tt0

|f(s, 2(s)) f(s, 1(s))| ds t

t0

L|2(s) 1(s)| ds L|tt0|d(1, 2),

repetint largument,

|22(t)21(t)| tt0

L|2(s) 1(s)| ds t

t0

L2|s t0|d(1, 2) ds L2|t t0|22 d(1, 2),

i, procedint per induccio,

|n2(t) n1(t)| Ln|t t0|n

n!d(1, 2).

Llavors, per a tot n 0,

d(n1,n2) (L(a2 a1))

n

n!d(1, 2).

Com (L(a2a1))n

n! 0 quan n +, existeix un N prou gran tal que (L(a2a1))N

N ! < 1.Aix, loperador N es contractiu i, pel teorema del punt fix de Banach, existeix un unic C0([a1, a2],Rn) tal que N = . Com

N = N = ,

llavors es tambe un punt fix de N , pero` com aquest es unic, llavors = . Per tant, esun punt fix de , i no pot haver mes perque` els punts fixos de son punts fixos de N .


2.1.2. Global: soluciones maximales de una edo.

DEFINICIN 14. (Hip. Lip.) Sea

f : = RRn Rn(t, x) f (t, x)

cont. Diremos que f es localmente Lipschitz resp. a la variable x ssi p = (t, x) , C = Ent(p) ; f|C es Lip. resp. x (ie, ssi existe un entorno [de ah el local]para cualquier c.i. en el que f sea Lip. Que tal entorno est contenido en es unacondicin tcnica para que f est definida).

OBSERVACIN 15. (Definicin equivalente)

f es localmente Lipschitz resp. x ssi K compacto , f|K es Lip. resp. x.DEMOSTRACIN. Por la def. de compacto. (link)

En 2.1.1 vimos que la condicin Lip. local nos da ! local de soluciones. Ahoraestamos interesados en extender estas sol. y hacerlas globales. Idea (por absurdo):si en algn punto las sol. se separan, aplicando Picard llegaremos a contradiccin:

TEOREMA 16. (unicidad global)Sean i : Ii Rn sol. del PVI con c.i. (t0, x0) , i {1, 2}. Entonces,

t I := I1 I2, 1(t) = 2(t)DEMOSTRACIN. (Por absurdo)Supongamos que t1 I; 1(t1) 6= 2(t1) (sin restriccin, podemos supo-

ner que t0 < t1).1 Sea t := nf{t [t0, t1]; 1(t) 6= 2(t)}. Entonces: t [t0, t], 1(t) = 2(t).2 Sean a, b > 0 (suficientemente pequeos) tq:

1. Ca,b(t, x) 2. 1, 2 estn definidas en Ia(t) := [t a, t + a].3. t Ia(t), |i(t) x| b, con i {1, 2}.3

Aplicando el Th. de Picard al PVI con c.i. (t, x) Ca,b(t, x), obtenemos que! : I(t) Bb(x) sol., con := mn(a, bmax |(t,x)| ), (t, x) Ca,b(t, x).4 Portanto, como 1, 2 son sol. del PVI con c.i. en (t, x) y i| I(t) : I(t) Bb(x)(por 2 y 3), se tiene: t I(t), 1(t) = (t) = 2(t), lo que contradice la defini-cin de t.

DEFINICIN 17. : I Rn es una sol. maximal de x = f (t, x) ssi : J Rn sol. t.q. I J y |I = , necesariamente I = J.

NOTA. Intuitiva-heursticamente, una sol. es maximal si no se puede extenderms en el dominio temporal.

1Ntese que I 6= , pues t0hip I. Ntese tambin que podemos suponer que t1 I; t1 6= t0, puesto

que de otro modo el teorema sera trivialmente cierto (pues en tal caso I sera el conjunto degenerado{t0}).

21(t) = 2(t) por continuidad (ntese que no contradice la definicin de t pues no se trata deun mnimo sino de un nfimo). Llamaremos a este valor x.

3Se puede conseguir por cont. de la sol., tomando b = e, |a| < en|t t| < |i(t) i(t)| < e

4Recordamos que para que el teorema aplique necesitamos que M b, donde M = max |(t, x)|,cf. 11.

2.2. PROCESO EVOLUTIVO ASOCIADO A UNA EDO 21

TEOREMA 18. (! de sol. max. bajo Hip. Lip.)(t0, x0) , ! : I Rn sol. del PVI con c.i. (t0, x0), que sera max. Adems,

el intervalo de definicin de la sol. max. es un intervalo abierto, I(t0, x0) = (t, t+) con t < t+ +.

DEMOSTRACIN. Sea S(t0, x0) := { : I Rn sol. del PVI x = f (t, x), x(t0) =x0}, I := S(t0,x0) I

t0I6= , : I Rn; (t) = (t) si t I. Observamos que esta bien definida por la unicidad global de sol. y que es, de hecho, la sol. max.del susodicho PVI por construccin (luego I = I(t0, x0)).

Veamos ahora por absurdo que I es un abierto, ie, supongamos I = (t, t+]con t+ < + (anlogamente para t). Entonces la sol. del PVI con c.i. (t+, (t+))dada por el Th. de Picard extendera a por la derecha del PVI, lo que contradice maximal.

TEOREMA 19. (aproximacin a la frontera)Sea f : RRn Rn cont. y localmente Lip. resp. x, : (t, t+) Rn

una sol. max. de x = f (t, x). Entonces: K compacto, tK (t, t+); t (tK, t+), (t, (t)) / K (anlogamente para t).

DEMOSTRACIN. Supongamos t+ < + (pues si t+ = + el resultado

es obvio) y razonemos por absurdo, ie, supongamos que K compacto ; tK (t, t+), t (tK, t+); (t, (t)) K. Entonces {tn}n t+; n, (tn, (tn)) K.Adems, como K es compacto, la succ. {(tn, (tn))}n0 tiene una parcial conv. aun cierto punto (t+, x+) K = (ntese que no tiene porque tener limiteen la frontera).

Sean a, b R>0; Ca,b(t+, x+) (donde f es Lip.) y M := max | f (t, x)|(t, x) Ca,b(t+, x+). Sean tambin = 0 (0, a] y < b tales que (+ 0)M + = 2M + b. Consideremos entonces la funcin + : C,0,(t+; t+, x+) R Bb(x+) Rn dada por el TF (que es sol. del PVI en el intervalo I(t+)).Tenemos entonces que (t, (t)) {(tn, (tn))}n0 C, (t+, x+) por construc-cin (pues vimos que la succ. de tiempos tena una parcial conv. a (t+, x+)).

En consecuencia, la sol. del PVI con c.i. x(t) = x := (t) es:la sol. (t), que por hip. est definida en [t+ , t+).la sol. +(t; t, x), que por el TF est definida en I(t+) := [t+ , t+ + ].

Como (t) es sol. max., no puede extenderse para t t+, en contradiccin con laconstruccin de +(t; t, x), que nos dice que se puede extender hasta t+ + !!!

2.2. Proceso evolutivo asociado a una edo

DEFINICIN 20. Dada la edo x = f (t, x) en RRn cumpliendo 14 (Hip.Lip.), definimos (legitimados por 2.1) D := {(t; t0, x0) R; t I(t0, x0)} y :D Rn; (t0, x0) , (; t0, x0) es la sol. max. del PVI {x = f (t, x), x(t0) = x0}.Diremos que es un proceso evolutivo cuya edo asociada es x = f (t, x).

TEOREMA 21. es, en efecto, un proceso evolutivo, ie, cumple 2.

DEMOSTRACIN. Los siguientes tems deben ser demostrados:

(t0, x0) , I(t0, x0) := {t R; (t; t0, x0) D} es abierto, pues D :={(t; t0, x0) R; t I(t0, x0)}, ie, I(t0, x0) = I(t0, x0), que vimos queera abierto (18).(t0, x0) , (t0; t0, x0) = x0, pues (t; t0, x0) es sol. del PVI x = f (t, x)con c.i. x(t0) = x0 (ie, (t; t0, x0) = x(t), (t0; t0, x0) = (t; t0, x0)|t=t0 =x(t0) = x0, t(t; t0, x0)|t=t0 = f (t0, x0)).


(Ley de composicin) (t0, x0) , t1 I(t0, x0), t2 I(t1, (t1; t0, x0)) 18=I(t0, x0) se tiene, por la unicidad global de soluciones maximales (18):

(t2; t1, (t1; t0, x0)) = (t2; t0, x0)

, t son cont. en D = D. Demostrarlo es la finalidad de la siguientesubseccin, culminada en 24.

2.2.1. Continuidad de las soluciones de una edo resp. c.i. Idea: extender lacontinuidad local/restringida que nos da el TF. Para ello, repetiremos el plan-teamiento 19 y definiremos un nuevo objeto:

LEMA 22. (definicin) (t, x) , C tq:1. C es abierto, conexo y relativamente compacto (ie, su adherencia C es compacta)

con C y (t, x) C.2. pit(C) la proyeccin de C sobre el eje temporal t es un intervalo abierto I que

contiene a t.3. (t; t0, x0) I C D (t, (t; t0, x0)) C.4. |IC es cont. (y C1 resp. de t)

Diremos que C es un dominio rectificable (o tubo de soluciones).

DEMOSTRACIN. Sean a, b R>0; Ca,b(t+, x+) (donde f es Lip.) y M :=max | f (t, x)| (t, x) Ca,b(t+, x+). Sean tambin = 0 (0, a] y < b tales que(+ 0)M + = 2M + b. Consideremos entonces la funcin : C,0,(t+; t+, x+) := I(t) I0(t) B(x) R Bb(x+) Rn

dada por el TF (que es sol. del PVI en el intervalo I(t+) y que en particular es cont.y C1 resp. t).5 Por unicidad de sol., = |C,0,(t ;t ,x), con : D R R

n

la sol. max.Consideremos la apl. G : I(t) B(x) I(t) Bb(x); G(t, y) = (t, (t; t, y)),

que es es un homeo. de I(t) B(x) en C := G(

I(t) B(x)) , pues

G es cont. en el compacto y conexo I(t) B(x) (por la cont. de ), inyecti-va (por la unicidad de sol. max.) y cerrada (por paso al limite).6 Entonces C :=G(

I(t) B(x)) I(t) Bb(x) cumple trivialmente (2), pues pit(C) =

I(t), (1), pues I(t) B(x) es un abierto, conexo, relativamente compacto cen-trado en (t, x), y (4), por la construccin del prrafo anterior.7

Veamos (3): (t0, x0) C 18 !y0 B(x); x0 = (t0; t, y0) (t; t0, x0) = (t; t0, (t0; t, y0))

21= (t; t, y0). En consecuencia, (t, (t; t, y0)) C.

LEMA 23. Sean C1, C2; C1 C2 6= dos dominios rectificables (en particular, I1 I2 6= ). Se tiene: (t, x) C1 C2 C dominio rectificable tq:

(t, x) Cpit(C) = I1 I2

DEMOSTRACIN. Sea t I1 I2, Ct := {y Rn; (t, y) C1 C2} (seccinen tiempo t del tubo) y C := {(t, (t; t, y)); y Ct , t I1 I2}, que est bien de-finido (si t < t, en C1. Si no, en C2). As, por construccin, se satisface trivialmente

5Ntese que hasta aqu hemos reproducido la construccin de 19 del segundo prrafo.6Esta ltima comprobacin es redundante; lo anterior es suficiente para ver que G es homeo. me-

diante un resultado ms general de topologa.7El homeo. G rectifica o parametriza el tubo de soluciones (dibujo); de ah el nombre.


(1), (2) y (3). Veamos ahora (4), ie, que es cont. en C resp. a (t; t0, x0) I C (yC1 resp. de t):

Sin restriccin, podemos suponer (t0, x0) C1 y t I2, pues el caso (t0, x0) C2 y t I1 es anlogo y los casos (t0, x0) Ci, t Ii son triviales (pues Cison dominios rectificables por hip., cf. 22). Entonces (t; t0, x0)

22= (t; t, y)

21=

(t; t, (t; t0, x0)), donde (t; t0, x0) depende cont. de (t; t0, x0) I1 C1 y (t; t, (t; t0, x0)) depende cont. de (t; t, (t; t0, x0)) I2 C2, de modo quesu composicin sera cont. (y C1 resp. de t).8

PROPOSICIN 24. , t es cont. en D = D

DEMOSTRACIN. Sea (t; t, x) D cualquiera, ie, (t, x) , t I(t, x).Sea = {(s, (s; t, x)) ; s [t, t]} (segmento de trayectoria). Obviamente, es compacto y C1 resp. s. Por tanto, por 22 y la def. de compacto, podemos re-cubrir con un numero finito de dominios rectificables C1, . . . , Ck concatenados(reordenando). Aplicando ahora iterativamente 23, construimos un dominio recti-ficable C que contiene a . En particular:

I C es un entorno abierto de (t; t, x) contenido en D, luego D satisfacela definicin de abierto.9

|IC es cont. (y C1 resp. de t), pues C es un dominio rectificable.

2.2.2. Propagacin de la regularidad de la edo a las sol. En 24 vimos que lacontinuidad10 de la edo se traduca en continuidad en las sol. resp. a c.i. y par-metros.11 En los dos siguientes teoremas veremos que ocurre algo similar con lascondiciones ser Lip. y ser Cr.12

TEOREMA 25. Sea f : RRn Rn cont. y loc. Lip. resp. x, : D R RRRn Rn el proceso evolutivo asociado (que por 24, es cont.). Entonces es (loc.) Lip. (y, de hecho, C1 resp. t).

NOTA. Pueden darse muchas combinaciones diferentes de las condiciones.Por ejemplo, el resultado tambin es valido si es C1 resp. x con f slo cont. enlugar de loc. Lip. resp. x.

DEMOSTRACIN. Consideremos un dominio rectificable C y veamos que |ICes Lip. (mismo planteamiento que 24). Tenemos que:

1. f|C est acotada por M = max(t,x)C | f (t, x)| pues es cont. en un compacto.2. f|C es L-Lip resp. x por (15).

Entonces, t pit(C), pi C c.i. (ie, pi := (ti, xi)), con i {0, 1}, se tiene que:u(t) := |(t; p1) (t; p0)| 8=

x1 + tt1 f (s, (s; p1)) ds x0 tt0 f (s, (s; p0)) ds 138De manera ms intuitiva, lo que estamos haciendo es ir de un pt. de C1 a la interseccin y de la

interseccin a C2.9Hecho para un (t; t, x) D arbitrario, hecho para todos.

10En realidad nosotros partamos de una edo localmente Lip., si bien no lo utilizbamos. Va elteorema de Peano, que no requiere de esta hiptesis (ie, que parte slo de la cont.), podra procederseanlogamente a como lo hemos hecho.

11Estrictamente hablando no hemos demostrado la continuidad en las sol. resp. a parmetros, sibien sera anlogo pero con notacin ms engorrosa, pesada y larga (habra que extender el TF, cf. 26).

12Nuevamente, y debido a la falta de tiempo, veremos nicamente el caso r = 1. Demostrado estecaso particular, y va cierto truco o idea feliz, es fcil ver el general.

13Propiedades elementales de la integral definida (recordatorio):


|x1 x0|+ t0t1 | f (s, (s; p1))| ds+ tt0 | f (s, (s; p1)) f (s, (s; p0))| ds (2) A +

L tt0 u(s)ds, con A = |x1 x0|+ t0t1 | f (s, (s; p1))| ds (1) |x1 x0|+M |t1 t0|.

Aplicando el lema de Gronwall:14 u(t) AeL|tt0||tt0||I| |x1 x0| eL|I| +

M |t1 t0| eL|I|, con |I| la medida (o longitud) del intervalo I en el que est definidau(t). Es decir, |IC es Lip. resp. a x0 con cte. eL|I| y Lip. resp. t0 con cte. MeL|I|.Adems, |IC es Lip. resp. a t pues, de hecho, es C1 resp. a t (visto en 24).15

NOTA 26. Estamos interesados en ampliar nuestro marco de trabajo y con-siderar dependencia no slo resp. de c.i., sino tambin resp. de parmetros. Sea,pues, x = f (t, x,) (que en 1.2 lo denotbamos por fe(t, x)), con f : = RRn Rp Rn cont. (resp. a las tres variables y, en particular, resp. ) y loc.Lip. resp. x. Para cada se tiene, pues: f : RRn Rn es cont. y loc.Lip. resp. x en el abierto := {(t, x) RRn; (t, x,) }, con : D RRRn Rn su proceso evolutivo asociado, que es loc. Lip. por el teoremaanterior (y C1 resp. a t). Por tanto, podemos definir (y definimos) la familia de pro-cesos evolutivos : (t; t0, x0,) D RRRn Rp Rn. Puede probarse,calcando la demostracin del TF hecha (aadindole la dependencia resp. a ),que esta familia de procesos evolutivos es cont. resp. a (D = D y cont. y loc.Lip. resp (t; t0, x0)).

TEOREMA 27. Sea x = f (t, x,), f : = RRn Rp Rn cont. yde clase C1 resp. x (y resp. ). Entonces el proceso evolutivo asociado (dependiente de ) : D RRRn Rp Rn; = (t; t0, x0,) es C1 resp. a (t; t0, x0) (y resp. ).

NOTA. El plan es el siguiente: si se satisface la tesis, se satisfacen tambin lasec. (Vi), que, al ser lineales, son resolubles (cf. observacin). Consideremos, pues,las ec. (Vi) sin tener en cuenta de donde han salido y resolvamoslas. Si la sol.obtenida resuelve tambin las ec. de la tesis que queramos demostrar, habremosterminado.

DEMOSTRACIN. Por hip., satisface el siguiente PVI:

(2.2.1){

t(t; t0, x0,) = f (t, (t; t0, x0,),)(t0; t0, x0,) = x0

Aditividad con respecto al intervalo de integracin:

F1|tt1 F2|tt0= F1|tt0 + F1|

t0t1 F2|tt0 = F1|

t0t1+ [F1 F2]tt0 a

b f ab | f |, donde || representa la norma.

Como no sabemos, a priori, si t0 < t1, tomamos el valor absoluto para asegurarnos de que sea positivo,y lo denotaremos, siempre que no haya peligro de confusin, por || (si no, usar para la norma). Elabuso de notacin es habitual en tanto que puede entenderse la norma como una extensin natural delvalor absoluto. Si se utiliza, por el contrario, la notacin del valor absoluto en lugar de la de la normaes simplemente por comodidad (ya que es ms breve).

14Si no, en este caso podemos deducir sus consecuencias fcilmente: Supongamos que la desigual-dad anterior es en realidad una igualdad. Entonces, resolviendo el PVI {u = Lu, u(t0) = A}, obtene-mos u(t) = AeL|tt0 |. De ello se sigue la desigualdad de Gronwall.

15Trivialmente, C1 Lip.. Por ejemplo, aplicando el teorema de valor medio (TVM).Si quisiramos ver que |IC es Lip. resp. a t directamente, sin apelar a resultados anterio-

res (p.e., para practicar o para obtener una cte. Lip. quiz ms fina que la dada por el TVM),

podramos razonar as: |(t1; p1) (t0; p0)| |(t1; p1) (t0; p1)| + |(t0; p1) (t0; p0)| 8=x1 + t1t1 f (s, (s; p1)) ds x1 + t1t0 f (s, (s; p1)) ds + |u(t0)| = t1t0 f (s, (s; p1)) ds + |u(t0)| M |t1 t0|+ AeL|t0t0 |.


Si fuera C1 resp. x0 (que es lo que queremos demostrar), entonces podramosderivar (2.2.1) resp. Dx0 , obteniendo las ec. variacionales resp. x0 (por el teoremade Schwartz y la regla de la cadena):{

t (Dx0(t; t0, x0,)) = Dx f (t, (t; t0, x0,),)Dx0(t; t0, x0,)Dx0(t0; t0, x0,) = Dx0 x0 = Id

que se pueden considerar (o repensar) como n PVI lineales homogneos:{y(t) = A(t)y(t)yi(t0) = ei, i {1, . . . , n}

con, t, A(t) = A(t; t0, x0,) := Dx f (t, (t; t0, x0,),) Mnn(R)y(t) := Dx0(t; t0, x0,) Mnn(R)yi(t) := xi0(t; t0, x0,) Dx0(t; t0, x0,)ei Mn1(R)

As, si Ji(t) = Ji(t; t0, x0,)16 fueran las derivadas parciales resp. x0 de , xi0,17

stas tendran que satisfacer (i {1, . . . , n}):

(Vi){

Ji (t) = A(t)Ji(t)Ji(t0) = ei

Sean, pues, Ji las soluciones de (Vi).

OBSERVACIN. Las edos (Vi) son lineales y dependen cont. resp. a los par-metros (t0, x0,), luego:

1. Se satisfacen las condiciones del TF bajo Hip. Lip a bandas (cf. 2.1.1 y13) Ji(t; t0, x0,) est definida en D el intervalo maximal de las sol.correspondiente.

2. Por 24 (y 26), la dependencia de Ji(t; t0, x0,) es cont. resp. (t0, x0,).

Veamos, pues, que, en efecto, Ji(t) = yi(t), ie, que:

xi0(t; t0, x0,) := lm

h0(t; t0, x0 + hei,) (t; t0, x0,)

h= Ji(t; t0, x0,), i {1, . . . , n}

NOTACIN. Para abreviar, denotaremos por Ji(t; t0, x0,, h)18 al cociente in-cremental de resp. la direccin ei (en x0) si h 6= 0 y a su limite en h 0 si h = 0(ie, a su derivada direccional):

Ji(t; t0, x0,, h) :=

{z1z0

h , h 6= 0lmh0 Ji(t; t0, x0,, h), h = 0

donde z1 := (t; t0, x0 + hei,), z0 := (t; t0, x0,). Esto reformula nuestro proble-

ma a demostrar que Ji(t; t0, x0,, 0)?= Ji(t; t0, x0,), para lo cual nos planteamos:

PREGUNTA. Que PVI satisface Ji(t; t0, x0,, h), h 6= 0?

16O sea, estamos pensando en Ji como la variable dependiente, t como la independiente, y (t0, x0,)como los parmetros.

17De momento ni siquiera sabemos si es derivable, de ah el si fueran. A posteriori (tras lasiguiente observacin), veremos que Ji las soluciones del sistema (Vi) (abreviatura de ec. Variacional i-sima [resp. x0, en este caso]) que hemos construido convenientemente se corresponden efectivamentecon yi := xi0

y, en consecuencia, ser C1 resp. x0 (ie, xi0 ser cont.), pues veremos que Ji es cont.en la siguiente observacin. Esto resume el sketch de la demostracin.

18Puede pensarse a h simplemente como a un nuevo parmetro.


t (Ji(t; t0, x0,, h)) = 1h ( f (t, z1,) f (t, z0,)) =19 A(t; t0, x0,, h)Ji(t; t0, x0,, h),con A(t; t0, x0,, h) :=

10 Dx f (t, z (s) ,) ds y c.i. Ji(t0; t0, x0,, h) =

1h ((x0 + hei) x0) =

ei. As, cuando h 0, obtenemos:{t (Ji(t; t0, x0,, 0)) = Dx f (t, (t; t0, x0,),)ds Ji(t; t0, x0,, 0)Ji(t0; t0, x0,, 0) = ei

de manera que, por continuidad de las sol. resp. al parmetro h, Ji(t; t0, x0,, 0) =Ji(t; t0, x0,) (pues Ji(t; t0, x0,, h) satisface (Vi) h Ent(0) \ {0}) y, por ende,Ji(t) = yi(t) las derivadas parciales resp. x0 de . As, como Ji es cont., es C1resp. x0.

Por analoga, veremos ahora que es C1 resp. t0:Si fuera C1 resp. t0, entonces podramos derivar 2.2.1 resp. t0 ,20 obteniendo

la ec. variacionales resp. t0:{t (t0(t; t0, x0,)) = Dx f (t, (t; t0, x0,),)t0(t; t0, x0,)t(t0; t0, x0,) t0 t0 + t0(t0; t0, x0,) = t0 x0 = 0 t0(t0; t0, x0,) = f (t0; x0,) 1

Sea, pues, J0(t; t0, x0,) la solucin del PVI lineal homogneo:{t J0(t; t0, x0,) = A(t; t0, x0,)J0(t; t0, x0,)J0(t0; t0, x0,) = f (t0; x0,)

con A(t; t0, x0,) := Dx f (t, (t; t0, x0,),) Mnn(R), t I(t0, x0). De hecho,J0(t; t0, x0,) = Jx0(t; t0, x0,) f (t0; x0,), con Jx0 := (J1| |Jn).21

NOTACIN. Utilizaremos la misma que antes cambiando ahora z1 por r1 :=(t; t0 + h, x0,) y z0 por r0 := (t; t0, x0,).

Falta demostrar, pues, que J0(t; t0, x0,) = t0(t; t0, x0,) := J0(t; t0, x0,, 0).

PREGUNTA. Que PVI satisface J0(t; t0, x0,, h), h 6= 0?t J0(t; t0, x0,, h) = 1h ( f (t, r1,) f (t, r0,)) =19

10 Dx f (t; r(s),)ds J0(t; t0, x0,, h) =

A(t; t0, x0,, h)J0(t; t0, x0,, h), pues lmh0 Dx f (t; r(h),) = Dx f (t; (t; t0, x0,),) =A(t; t0, x0,). C.i.: J0(t0; t0, x0,, h) = 1h ((t0; t0 + h, x0,) (t0; t0, x0,))

h0t0(t0; t0, x0,) = f (t0, x0,). As, pasando el PVI al limite h 0, por con-tinuidad de las soluciones resp. a c.i. y parametros (cf. 24 y 26), obtenemos queJ0(t; t0, x0,, 0) = J0(t; t0, x0,), qed.

NOTA. (trick) Nos falta demostrar que es C1 resp. (pues, recordamos, es C1 resp. t nos sale gratis). Para ello, si bien podemos proceder por analoga,tambin podemos hacer uso del siguiente truco:

Sea el sistema ampliado{

dtx = f (t, x,)dt = 0

, al que asociamos (t; t0, x0,).

Cambiemos la variable temporal t por s (y por ende, dt por ds), donde s es eltiempo que pasa desde el tiempo inicial, de modo que s = 0 t = t0. As,tanto x como son ahora variables espaciales, luego podemos aplicar lo queya hemos demostrado antes a nuestra ec. dif. ampliada, ie, que es C1 resp. a c.i.espaciales (las x0 del principio).

19TVM en varias variables (o Taylor en varias variables hasta orden 0):

g(z1) g(z0) = 1

0

dds(g(sz1 + (1 s)z0 ))

z=z(s)

ds = 1

0Dzg(z)ds z, con z = z1 z0

20Ntese que t0 R frente a x0 Rn.21Ntese que t = t0 Jx0 = Id, pues Ji(t0; t0, x0,, 0) = ei , i {1, . . . , n}.


Obsrvese que este truco no lo podamos aplicar para ahorrarnos la demostra-cin de es C1 resp. t0 ampliando nuestro sistema con la ecuacin t = 1, puesnecesitaramos que f fuera tambin de clase C1 resp. a t y resp. a x (pues si no,x = f (t, x,) no lo sera resp. a t).

Si bien esto nos exime de dar el anlogo para Rp, es conveniente calcularlas ecuaciones variacionales correspondientes, pues tienen utilidad practica msall de la demostracin (cf. 1.2). As, derivando 2.2.1 resp. D, obtenemos las ec.variacionales resp. :{

t (D(t; t0, x0,)) = Dx f (t, (t; t0, x0,),)D(t; t0, x0,) + D f (t, (t; t0, x0,),)D(t0; t0, x0,) = Dx0 = 0

Sea, pues, J(t; t0, x0,) la sol. de la ec. dif. lin. no homognea:{t J(t; t0, x0,) = A(t; t0, x0,)J(t; t0, x0,) + b(t; t0, x0,)J(t0; t0, x0,) = 0

donde, de hecho, J(t; t0, x0,) = (t)C(t), con (t) una matriz fundamental deJ = A(t)J y C(t) =

[1 (t0) x0 +

tt01 (s) b (s)ds

]=

tt01 (s) b (s)ds (cf.

LO6 y formula de variacin de las constantes). En resumen:

Equacions variacionals

Siguin I R, U Rn i Rm conjunts oberts. Sigui f : I U Rnuna funcio de classe C1 i considerem el problema de Cauchy{

x = f(t, x, ), t I, ,x(t0) = x0,

(1)

on t0 I i x0 U . Sigui (t; t0, x0, ) una solucio local del problema (1).A continuacio es donen les equacions variacionals respecte a t0, x0 i (bendefinides en linterval maximal de la solucio ).

Equacio variacional respecte de t0

Definim Jt0(t) :=

t0(t; t0, x0, ) (vector amb n components). Aleshores{J t0(t) = Dxf(t, (t; t0, x0, ), ) Jt0(t),Jt0(t0) = f(t0, x0, ).

Equacio variacional respecte de x0

Definim Jx0(t) := Dx0(t; t0, x0, ) (matriu n n). Aleshores{J x0(t) = Dxf(t, (t; t0, x0, ), ) Jx0(t),Jx0(t0) = Id.

Equacio variacional respecte de

Definim J(t) := D(t; t0, x0, ) (matriu nm). Aleshores{J (t) = Dxf(t, (t; t0, x0, ), ) J(t) +Df(t, (t; t0, x0, ), ),J(t0) = 0.

Totes aquestes equacions es poden obtenir fa`cilment derivant lequacio i lacondicio inicial que satisfa` respecte a t0, x0 o , depenent de lequacio varia-cional que es vulgui obtenir. Notem que les dues primeres equacions son linealsi homoge`nies, mentre que lequacio per a J es en general lineal no homoge`nia.

Daltra banda, notem que resolent les equacions variacionals podrem trobaruna aproximacio de primer ordre (per Taylor) de solucions per condicions inicialso para`metres que estiguin a prop duna solucio explcita que coneguem.


NOTA. El segundo problema del pdf miscelanea provee un nuevo ejemploilustrativo de aplicacin de stas ecuaciones.

2.2.2.1. Otra aplicacin de las ec. variacionales.

LEMA 28. (formula de Liouville) Sea

(2.2.2){

dt M(t) = A(t)M(t)M(t0) = D0

una edo (matricial) lineal no autnoma tq det M(t0) 6= 0. Entoncesdt (det M(t)) = trA(t)det M(t)

o, equivalentemente,22

det M(t) = exp( t

t0trA (s) ds

)det M(t0),

donde det M(t0) se conoce como Wronskiano.

DEMOSTRACIN. Sea M(t) = (1(t)| . . . |n(t)) una matriz de soluciones denuestra edo matricial. Como por hip. det M(t0) 6= 0, entonces M(t) es de hechouna matriz fundamental del sistema, ie,

{j}

j forman una base de Rn (y, en parti-

cular, M(t) es invertible [lo que usaremos en 24]), pues vimos en Lab.6e que:

(2.2.3) t0 I; det M(t0) 6= 0 det M(t) 6= 0, t IAs, dt (det M(t)) = dt (det (1(t)| . . . |n(t))) =23nj=1 det

(1(t), . . . , j(t), . . . , n(t)

)multi-lin.= 24 i,j B

ji (t)det(1(t), . . . , i(t)

loc. j

, . . . , n(t))i 6=jdet=0

= det M(t)i,i Bii(t) =

det M(t)trB(t) = det M(t)trA(t), pues la traza es un invariante.

NOTA. Obsrvese que 2.2.3 est implcito en la formula de Liouville.

EJEMPLO 29. (acercamiento heurstico) Consideremos un cierto fluido que semueve sobre un plano (p.e., un ro, x R2) en un instante t0 R (tiempo est-tico). Sea v(t, x) R2 el vector velocidad del fluido en el punto x en el instantet. Sea Ut0 R2 un cierto subconjunto de los puntos del ro y Ut = t,t0(Ut0) :={(t; t0, x0); x0 Ut0}, con (t; t0, x0) el proceso evolutivo asociado a nuestra edox = v, t,t0 : Ut0 Ut difeo. (ie, Ut es el conjunto de puntos Ut0 tras un ciertotiempo t t0). Sea h : RRn Rn algo susceptible de ser medido (p.e., lamasa del ro en esa porcin), que llamaremos observable, y H(t, Ut) =

Ut h(t, x)dx

la cantidad de observable en esa regin (en el caso de la masa, la densidad).

PREGUNTA. Como se transporta un cierto observable en el tiempo, ie, cmo variah?25 Cmo podemos calcular la variacin de H(t, Ut), ie, dtH(t, Ut)?

TEOREMA 30. (del transporte) Sean

22Resolviendo la edo lineal, con a(t) := trA(t).23Aplicando Leibniz en det A := Pn sgn()

ni=1 i,i (cf. derivada de un producto de n funcio-

nes numricas i).24Sea B(t) la aplicacin lineal A(t) en la base M(t), ie, B(t) := M(t)1 A(t)M(t) A(t)M(t) =

M(t)B(t) j(t)2,2,2= A(t)j(t)

jMj= M(t)Bj(t) = ni=1 B

ji (t)i(t).

25Ntese que Ut0 puede deformarse mucho en el tiempo. En mecnica de fluidos, p.e., esto dependede la viscosidad. Si es muy baja, como en el caso de la brea, la deformacin sera negligible. En el ex-tremo opuesto tendramos al agua, el nitrgeno liquido o superfluidos como el Helio-4 a temperaturasprximas al cero absoluto.


v : RRn Rn; v C1 resp. a (t, x) . : D R Rn el proceso evolutivo asociado a x = v(t, x), que sera C1por 27.h : RRn Rn; h C1 nuestro observable.

Dado t0 R, Ut0 Rn abierto relativamente compacto (para que H sea finita), sedefine t I(t0, x0): Ut = t,t0(Ut0) := {(t; t0, x0); x0 Ut0} y H(t, Ut) :=

Ut h(t, x)dx la medida de h en el abierto Ut en el instante t. Entonces, dtH(t, Ut) =Ut [Dth + h(t, x)div (v (t, x))] dx, con Dth = Dth(t, x(t)) = th(t, x)+Dxh(t, x)tx =th(t, x) + Dxh(t, x)v(t, x) la derivada material en el lenguaje de la fsica.

DEMOSTRACIN. dtH(t, Ut) = dt

Ut h(t, x)dx =26 dt

[Ut0

h(t, t,t0(x0)) det Dx0t,t0(x0)dx0]=

Ut0[th(t, t,t0(x0)) + Dxh(t, t,t0(x0))tt,t0(x0)] det Dx0t,t0(x0)dx0 +

Ut0

[h(t, t,t0(x0)) dt det Dx0t,t0(x0)]dx0. Tomando M(t) = Dx0t,t0(x0) y A(t) = Dxv(t, t,t0(x0))tenemos que M(t) satisface las ec. variacionales 2.2.2, con D0 = Id, y por tantodt (det M(t)) = trA(t)det M(t), donde trA(t) = divv(t, t,t0(x0)). Deshaciendo elc.d.v. x = t,t0(x0), ya est.

OBSERVACIN 31.Ut(Dth + h(t, x)divv(t, x)) dx = 0, Ut Dth + h(t, x)divv(t, x) = 0

COROLARIO 32. (Teorema de Liouville o del transporte del volumen)

div (v) = 0 conserva volumenesdiv (v) < 0 disminuye volumenesdiv (v) > 0 aumenta volumenes

DEMOSTRACIN. h(t, x) = 1 H(t, Ut) = vol(Ut) 30 dtvol(Ut) =

Ut divv(t, x)dx(pues h(t, x) = 1 Dth = 0). En particular, divv(t, x) = 0, t vol(Ut) = cte.27Por la observacin anterior, el reciproco tambin es cierto.

COROLARIO 33. (Ecuacin de continuidad en mecnica de fluidos)

DEMOSTRACIN. Sea h(t, x) = (t, x) C1 la densidad en el punto x en elinstante t, M(t, Ut) =

Ut (t, x)dx la masa de Ut (en el instante t), que sabe-

mos que se conserva (bajo ciertas condiciones de regularidad, cf. wiki). Entonces

0 = dt M(t, Ut) =

Ut (Dt+ (t, x)divv(t, x)) dx31 t(t, x) + Dx(t, x)v(t, x) +

(t, x)divv(t, x) = 0 ecuacin de continuidad. EJEMPLO 34. (Prestige) Supongamos conocida la densidad del petroleo y v

(la oceonografa, midiendo la variacin de luz respecto de la profundidad, etc. nosda una aproximacin). Entonces la ecuacin de continuidad es una edp de primerorden lineal en (t, x) (cf. transparencias).

NOTA. De manera similar se pueden demostrar muchas otras ecuaciones dela fsica empleando diferentes observables (cantidad de movimiento, energa...).Ejemplos: ec. de Euler, NavierStokes...

26Integracin por substitucin o por cambio de variable (c.d.v) en varias variables (cf. wi-ki): x = t,t0 (x0), Ut = t,t0 (Ut0 ), dx =

det Dx0t,t0 (x0) dx0. Obsrvese que, en nuestro caso,det Dx0t,t0 (x0) > 0, pues Dx0t0 ,t0 (x0) = Id > 0 y Dx0t,t0 (x0) no puede cambiar de signo (pues,por Bolzano, entonces pasara por 0 !!!).

27En mecnica analtica/racional se dice que el campo vectorial v es conservativo; en mecnica defluidos, que es incompresivo. Si la divergencia fuera siempre positiva, se dice que es expansivo. Sinegativa, contractivo o disipativo.

Captulo 3

Teora cualitativa

3.1. Campos vectoriales y edos autnomas. Flujos

DEFINICIN 35. Un campo vectorial (c.v.) de clase Cr (en adelante Cr-cv, conr 1), es una aplicacin X : U Rn Rn de clase Cr en el abierto U, ie,X Cr (U,Rn).

NOTACIN. (alternativa) X X (U) ssi X es un Cr-cv con r 1 (ie, dif.).U

abierto Rn por defecto.OBSERVACIN 36. X X (U) induce una edo autnoma f : = RU

Rn; x = f (t, x) = X(x), de manera que f Cr y, por el capitulo anterior, elproceso evolutivo asociado (que ahora llamaremos flujo de X) : D RRU U Rn es de clase Cr.

Dibujo del espacio de fases U Rn con n = 2: coord. espaciales x-y donde ca-da punto representa un vector (ie, una direccin que nos da implcitamente la in-formacin temporal, la nocin/sensacin de evolucin temporal o movimiento.Llamaremos a esto tiempo esttico). Siguiendo las direcciones marcadas por losvectores obtendremos una curva/trayectoria/solucin. Sea : I R U Rnuna parametrizacin de una de estas curvas, = (I) Im() la rbita asociadaa la solucin Cr (el dibujo de la curva). Imagen dinmica: es solucin sila rbita correspondiente Im es tangente al cv X en cada uno de sus puntos y elvector velocidad dt coincide con el del cv X en cada punto, ie, dt = X((t)) (cf.geometra diferencial).

EJEMPLO 37. (cf. section 1.2 y barquito) U = R retrato de fase, x = ax(1 x)edo autnoma, a R. Si a > 0, simplemente estaremos escalando la grfica dex(1 x), mientras que si a < 0, adems de escalarla, nos cambiara el sentido delflujo (de las flechas). Tiene dos puntos estables: X(0) = 0, que es repulsor (paraa > 0), y X(1) = 0, que es atractor (para a > 0).

c.v. del plano (n = 2): cf. LO7.

NOTACIN 38. (Reformulacin I) Las sol. dependen del tiempo que pasa des-de el tiempo inicial, ie, (t; t0, x0) = (t t0; 0, x0). Por tanto, y sin restriccin,consideraremos siempre c.i. a tiempo t0 = 01 y escribiremos I(x0) := I(0, x0)el intervalo temporal maximal de las soluciones, D0 := {(t; x0) R U; t I(x0)}, : D0 U Rn; (t; x0) := (t; 0, x0) el flujo asociado al c.v. X,dt(t; x0) = X((t; x0)).

OBSERVACIN 39. Con esta nueva notacin podemos reexpresar algunas no-ciones bsicas del curso como sigue (vase en especial 21 y 2):

1. D0 RU es abierto y Cr (cf. 24 y 27 resp.)2. (t0, x0) RU, I(t0, x0) = I(x0) + t0 y (t; t0, x0) = (t t0; x0)3. (x0, s) U I(x0), I((s; x0)) = I(x0) s

1Ntese que no es restrictivo en tanto que tombamos (y tomamos) comoR al espacio temporal.

31

32 3. TEORA CUALITATIVA

4. (propiedad de grupo o regla/ley de composicin para flujos)

t I((s; x0)), (t; (s; x0)) = (t + s; x0)NOTACIN 40. (Reformulacin II) Repensemos como sigue: : D0 R

U Rn; (t; x0) := t(x0), donde t : Ut Rn U; t(x0) := (t; x0), Ut :={x0 U; t I(x0)} y es un Cr-difeo sobre la imagen t(Ut). Ello nos permitereexpresar la propiedad de grupo (traduccin al lenguaje geomtrico) como t s = t+s obtenemos un grupo local (pues es posible que no est definidot, s) uniparametrico de difeomorfismos:{

0 = idt+s = t s (donde tenga sentido)

3.2. Retratos de fase

DEFINICIN 41. Dado X X (U), a cada flujo/sol. : I Rn le asociaremossu rbita := (I) Rn. La rbita por un punto x0 U Rn es la rbitaasociada a la sol. x0 : I(x0) U Rn; x0(t) := (t; x0) correspondiente y ladenotaremos por x0 := x0(I(x0)) Im x0 U Rn.

OBSERVACIN 42. (definicin) x1 x0 x0 = x1 , ie, tenemos una rela-cin de equivalencia en el espacio de fases U, estar en la misma rbita, cuyasclases de equivalencias son precisamente las rbitas. Llamaremos retrato de faseal conjunto de las rbitas (considerando, adems, el sentido en el que stas se re-corren), ie, a la particin del espacio de fase U en rbitas (orientadas segn unaflecha temporal).

En MMSD ya estudiamos profundamente el caso unidimensional (3.1.) y di-mos algunas pinceladas sobre sistemas lineales en el plano y su clasificacin ennodos atractores y repulsores, puntos de silla, focos atractores y repulsores, cen-tros atractores y repulsores y otros casos degenerados (3.2., los tres ejemplos fun-damentales a partir de los cuales estudiar los sist. no lin. localmente). En este cursoprofundizaremos sobre ellos (en general, para n > 2, puede complicarse mucho yno lo veremos).

Un primer ejemplo (sencillo) de estos puede verse en el LO7: los sistemas in-tegrables (2D), ie, los que tienen una integral primera, ie, una funcin H : U R2 R no cte salvo en las soluciones. Si H C1, esta condicin equivale a:0 = DH(x, y)X(x, y) = x H(x, y) f (x, y) + y H(x, y)g(x, y). En estos casos, las r-bitas estn sobre las curvas de nivel de la funcin H = H(x, y), ie, a cada rbita lecorresponde una curva de nivel, pero no viceversa.

EJEMPLO 43.{

x = f (x, y) = yy = g(x, y) = x Si se prefiere, podemos expresarlo como

x = x, cuya interpretacin fsica se corresponde con un oscilador armnico(para el cual la energa [mecnica] es cte). En cualquiera de los dos casos se tieneque H(x, x) = 12 x

2 + 12 x2, donde 12 x

2 corresponde a la energa cintica y 12 x2 a

la potencial (lo que es consistente con lo antes comentado: que la energa es cte).As, H(x, y) = 12 y

2 + 12 x2 son las curvas de nivel de nuestro sistema (que son

circunferencias concentricas, de modo que las rbitas sern centros [lineales]). Elproblema 25 generaliza este ejemplo.

NOTA. (planning) El planteamiento de la teora cualitativa iniciada por Poin-car es el siguiente:

Paso 1: buscar rbitas semilla (p.e., puntos fijos y soluciones peridicas,que son los casos ms sencillos y que definiremos a continuacin), alre-dedor de las cuales se organiza la dinmica del sistema (ie, el resto de las

3.2. RETRATOS DE FASE 33

rbitas). Con ello supliremos el hecho que se sepan resolver muy pocasedos de manera exacta/explicita (recurdese 1.2 y como tuvimos hacerlefrente rodendolo va teora de perturbaciones).Paso 2: buscar rbitas asintoticas a tales rbitas sencillas, ie, sol. asin-toticas a puntos fijos y orbitas peridicas. Lo trabajaremos en la ltimaseccin, que culmina con el teorema de PoincarBendixson.

DEFINICIN 44. Sea x(t) = X(x), con X X (U). Diremos que:x0 U es un punto fijo (o singular, o critico, o de equilibrio,...)2 del c.v. Xssi X(x0) = 0.

OBSERVACIN. (t; x0) = x0, t I(x0) 2,1= R x0 := Im x0 = {x0}.x0 U es un punto peridico del c.v. X ssi no es un punto fijo,3 la sol.(maximal) del PVI correspondiente est definida en I(x0) = R y T R>0; (t+ T, x0) = (t, x0), t R (ie, la sol. correspondiente es peridi-ca).

OBSERVACIN. En tal caso, x0 es una curva cerrada y simple (sin autointer-secciones); diremos que se trata de una rbita peridica [cf. dibujo].

TEOREMA 45. (de clasificacin de rbitas) Sea : I U Rn la sol max. del PVI{x(t) = X(x), x(0) = x0} y := Im x0 su rbita correspondiente. Entonces, una (yslo una) de las siguientes alternativas (disjuntas) es cierta:

1. I = R y cte. En particular, = {x0}.2. I = R y es una funcin peridica (no cte). En particular, es una rbita

peridica.3. iny. y, en consecuencia, es una imagen unvoca (uno a uno, ie, que no se

autointerseca) del intervalo I en Rn (ie, es una inmersin iny. [o difeomorfica]del intervalo I en Rn).4

DEMOSTRACIN. Puede pasar que (alternativas disjuntas):1. X(x0) = 0 Caso (1)2. X(x0) 6= 0. En tal caso, puede pasar que (alternativas disjuntas):

a) t I(x0) \ {0}, t(x0) 6= x0 Caso (3), pues t1, t2 I(x0), t1(x0) =t2(x0) x0

hip.= 0(x0)

39,4= t1(t1(x0)) = t1(t2(x0))

39,4= t2t1(x0)

(a)t2 t1 = 0

b) I(x0) \ {0}; (x0) = x0OBSERVACIN. x0

(b)= (x0)

(b)= ((x0))

(b)= . . .

(b)= k(x0)

39,4=

k(x0), k N. De hecho, como x0 = 0(x0) 39,4= ((x0)) (b)=(x0), es valido k Z. Por tanto, I = I(x0) = R y podemos con-siderar, sin restriccin, que > 0 (pues su opuesto nos da la mismaimagen).

2Aunque en la literatura se emplean todas ellas, la palabra ms adecuada es seguramente puntode equilibrio, ya que el resto se usan frecuentemente (en otros contextos) con una connotacin distinta.As, p.e., es habitual llamar punto critico a las preimagenes cuya imagen es un extremo (mximo omnimo) de la funcin, punto singular cuando sta se va a infinito y punto fijo si coinciden.

3Imponemos est condicin para distinguirlos, pues de otro modo los puntos fijos seran un casotrivial/particular/degenerado de punto peridico.

4sta curva se puede plegar de maneras muy complejas en Rn a partir de n 3 (p.e., puede serdensa a un toro, ejemplo de atractor clsico, o dar un fractal, como ocurre con algunos atractoresextraos) y por ello nos centraremos en estudiar el caso n = 2 (n = 1 ya se estudi en MMSD).


Sea T := nf { > 0; x0() = x0} 0.5 Queremos ver que T 6= 0.3 Ra-zonemos por absurdo: T = 0

por def. de T (n)n 0, n > 0, tq x0(n) =x0, n. Entonces: X(x0) = X(x0(0)) := tx0(t)|t=0 = lm0

x0 (t+)x0 (t) |t=0 =

lm0x0 ()x0

=6lmn

x0 (n)x0n

= 0, pues n(x0) = x0, lo quecontradice X(x0) 6= 0. Por tanto, T > 0 y, de hecho, se alcanza, ie, T =mn { > 0; (; x0) = x0} el periodo minimal de la solucin. Finalmente,comprobemos que es T-peridica: t+T(x0) = t(T(x0)) = t(x0).

NOTA. En Sotomayor o en Arnold pueden encontrarse demostraciones ms

elegantes teora de grupos mediante.

3.3. Conjugacin de c.v.

Idea: dos matrices se dicen conjugadas7 (o equivalentes,8 o semejantes) si soniguales por cambios de base. Queremos hacer algo similar para c.v.

DEFINICIN 46. Dados dos Cr-cv Xi : Ui Rn Rn de flujos (que son Cr)i : Di RUi Ui Rn, se dice que son topologicamente (resp. Cr-dif.) con-jugados ssi h : U1

= U2 homeo. (resp. Cr-difeo.) tq h(1(t; x1)) = 2(t; h(x1))9all donde tenga sentido, ie, (t, x1) D1 (t, h(x1)) D2.

OBSERVACIN 47.1. La relacin de conjugacin de c.v. es de equivalencia. En consecuencia,

permite clasificar los c.v. segn propiedades topologicas (resp. Cr-dif.).2. Dos cv son conjugados ssi existe una transformacin que envi rbitas a

rbitas y, adems, preserv las correspondientes parametrizaciones tem-porales. As, podemos decir que h es una suerte de cambio de variable.

3. La transformacin preserva la clasificacin de las rbitas dada en 45 y, aconsecuencia del punto anterior, preserva los periodos en el caso de lasrbitas peridicas.

PROPOSICIN 48. h es Cr-conjugacin (r 1) de los Cr-cv Xi ssi Dh(x1)X1(x1) =X2 (h(x1)), x1 U1.

DEMOSTRACIN. [] h es Cr-conjugacin : 46 h(1(t; x1)) = 2(t; h(x1)),(t, x1) D1. Derivando resp. t a ambos lados de la ecuacin: Dh(1(t; x1))t1(t; x1) =t2(t; h(x1)), (t, x1) D1. En particular, para t = 0, Dh(x1)X1(x1) = X2 (h(x1)),x1 U1.

[] Sea (t; x1) := h(1(t; x1)) t(t; x1) = Dh(1(t; x1))t1(t; x1)

hip.=38

X2((t; x1))

(0; x1) = h(x1)Por existencia y unicidad de soluciones de estos PVI, (t; x1) = 2(t; h(x1)).

PROPOSICIN 49. Sean x = X(x) = Ax, y = Y(y) = By dos Cr-cv lin. en Rn,con A, B Mn(R). Se tiene: A B X, Y son Cr-conj. (r 1).

5Una rbita de periodo 1 es tambin una rbita de periodo 2. Para evitar esta clase de ambigeda-des, tomaremos el periodo ms pequeo; como no sabemos si el mnimo se asume, nos curaremos ensalud tomando el nfimo.

6Como (t) C1 (de hecho C2), podemos tomar el limite sobre la succ. n 0 n .7No confundir con matriz conjugada.8Lo de equivalentes es porque, recordamos, definen una relacin de equivalencia cuyas clases

son las matrices de Jordan. Lo denotaremos por A B : M; A = M1BM.9Equivalentemente: 1,t = h1 2,t h.

3.3. CONJUGACIN DE C.V. 35

DEMOSTRACIN. [] A B : P GLn(R); B = P1 AP.10 As, Y(t; y) =etBy = etP

1 APy = P1etAPy = P1X(t, Py) h(Y(t; y)) := PY(t; y) =X(t; Py) = X(t; h(y)).11

[] Por la Prop.48, si h es un Cr-conj. entre X e Y, entonces Dh(x)X(x) =Y (h(x)), ie, Dh(x)Ax = Bh(x). En particular, para x = 0, 0 = Bh(0). Sea h(x) :=h(x) h(0), que sera tambin una Cr-conj. entre X e Y, de modo que Dh(x)Ax =Bh(x) y 0 = Bh(0), con h(0) = 0. Adems, x Rn, R \ {0}, Dh(x)Ax =Bh(x) Dh(x)Ax = B h(x) = B h(x)h(0) Dh(0)Ax = BDh(0)x tomando 0 (por la definicin de derivada direccional).As, PA = BP, con P = Dh(0)invertible (pues h, y por ende h, es un Cr-difeo.).

TEOREMA 50. Sea x = Ax un cv lin. hiperblico, ie, tq Spec(A), Re 6= 0(ie, los vaps no estn sobre el eje imaginario). Sea ns := #{ Spec(A); Re < 0} elindice de estabilidad. Entonces, x = Ax es topologicamente conjugado a:{

yi = yi, i {1, . . . , ns}yj = yj, j {ns + 1, . . . , n}

DEMOSTRACIN.

EJEMPLO 51. (conj. top.) Consideremos los c.v. unidimensionales x = X(x) =x, con > 0, y = Y(y) = 1 y. Observamos que ambos tienen la misma dinmi-ca: repulsora; de hecho, sus retratos de fase coinciden. Esto nos sugiere que existiralguna conjugacin entre X e Y. Intentemos buscarla aplicando 48:

La ecuacin (dif.) a resolver para la conj. y = h(x) es h(x)x = y = h(x), que

es de variables separadas: dh

h =1

dxx . Tomando c = |h(x0)|

(e|x0|)1/

, queda:

h(x) = c|x|1/. As, c = e := signx nos da una sol. particular que conserva ladinmica del sistema.

Sin embargo, notamos que, salvo el caso trivial = 1 en el que X = Y, h noes un difeo, pues > 1, h no es diferenciable (pues |x| no lo es) y, por ende, (0, 1), h1 tampoco lo sera.

No obstante, observamos que h es un homeo., lo que nos sugiere que h pue-de ser una conjugacin topologica. En efecto, h(X(t; x)) = e |X(t; x)|1/ =eetx1/ = ete |x|1/ = eth(x) = Y(t; h(x)).12

EJERCICIO 52. Pensar el caso 2D. En particular, ver que un nodo atractor eshomeomorfo a un foco atractor.

10Recordatorio: GLn(R) := {M Mn(R); det M 6= 0} es el grupo Lineal General. En otras pala-bras, el conjunto (con estructura de grupo) de matrices invertibles.

11Podemos comprobar que cumple 48. Podemos hacerlo directamente (sin hacer uso del LO4).12Esta comprobacin no es obviable en tanto que obtuvimos h por mtodos no legtimos (de modo

que no podemos decir que es conj. por construccin), pues al resolver la edo (o an antes, al aplicaraplicar 48) supusimos que h era diferenciable, lo que a posteriori vimos que era falso, invalidandoformalmente el proceso, cual reductio ad absurdum.

En este sentido, lo usual, lo matemticamente correcto y formal/riguroso, sera dar la h cual deusex machina y comprobar que es una conj. top. Sin embargo, como ello, a mi juicio, promueve ms uncierto oscurantismo o espritu escolstico que no un aprender a hacer matemticas, prefiero eludir elestandarte marcado por el Gauss que afirma cuando se finaliza un noble edificio no deben quedarvisibles los andamios (ni tan siquiera los planos, parece a veces) y del que se afirma sus demostracio-nes son rgidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas (Jacobi), es como el zorro,que borra con la cola sus huellas de la arena (Abel).


3.4. Teorema del flujo tubular

Aproximacin heurstica [cf. dibujo]: en un entorno de un punto regular x0no fijo (ie, X(x0) 6= 0), un c.v. X se comporta como (ie, es conjugado a) un c.v.cte Y. En tal entorno, pues, el teorema nos permite construir un tubo de flujo (otubo de corriente, en fsica; recurdense los tubos de soluciones construidos en22) que podemos rectificar, cuyas coord. se conocen como coordenadas de la cajade flujo o flow-box coordinates. As, vemos que se trata esencialmente de unteorema de rectificacin de cv: mediante una Cr-conj. g, se rectifica un tubo decorriente X a un campo modelo Y, ie, un dominio cilndrico horizontal (ie, unproducto de bolas centradas en 0 y con radios e, ).

Para ello, codificaremos cada punto x del tubo de corriente X por una hi-persuperficie transversal al mismo,13 , y el tiempo t que tarda en llegar esta sec-cin al dicho punto, ie, x = (x1, . . . , xn) = (t, p), con p , el flujo deX. A su vez, parametrizaremos por , ie, = (B), donde B Rn1 serauna seccin perpendicular al campo modelo Y14 (para ser ms exactos, la sec-cin/proyeccin ser, obviamente, de la forma {a} B Rn. Por comodidad,tomaremos a = 0); la interseccin entre el campo modelo Y y B ser de la formaBn1(0, ), y g; g(y) = (y1, (q)) enviar a la seccin {0} B a V, donde Ves un entorno (no nec. bola) de x0 = (0).

Por ultimo, la velocidad del campo modelo Y sera 1 en la direccin e1, ie, yi ={1, i = 10, i 6= 1 (de ah lo de cte). Es decir, Y(y) =

10...0

sera nuestro campo modelo,

cuyo flujo asociado es (t, y) =

y1 + t

y2...

yn

.Formalicemos todas estas ideas:

DEFINICIN 53. Sea X : U Rn Rn un Cr-cv (r 1) y : B Rn1 Rn una inmersin inyectiva (sin autointerseccin) Cr que define una subvariedad := (B) Im Rn (ie, Cr(Bn1,n) embedding). Se dice que (o ) es(una seccin [a tiempo 0]) transversal a X ssi s B, D(s)(Rn1) X((s)) =Rn, ie, (D(s)|X((s))) (s1(s)| . . . |sn1(s)|X((s))) Mn(R) tiene deter-minante no nulo.15 Se dice que es transversal a X en el punto x0 = (0) ssiD(s)(Rn1) X((s)) = Rn para s = 0.

TEOREMA 54. (del flujo tubular) Dados X X (Un) un Cr-cv y Cr(Bn1,n)una seccin transversal de X en el punto x0 = (0), 0 B, existen V = Ent(x0)

abierto

13Hipersuperficie: subvariedad con una dimensin menos que el espacio ambiente (o de codimen-sion 1, pues le falta 1 para tener la misma dimensin que ste). Si pensamos el dibujo (los cilindros)en R3, una hipersuperficie transversal sera un plano que lo atraviese (no necesariamente ortogonal-mente).

14As, por analoga con lo anterior, cada punto y del campo modelo Y se podr codificar por B:y = (y1, . . . , yn) = (y1, q), con el flujo asociado a Y, q = (y2, . . . , yn) B. y1 representa el tiempoque tarda en llegar a dicho punto.

15(s1(s)| . . . |sn1(s)) generan (tiene rango n 1 pues es inmersin; la inyectividad nos da laindependencia lineal) el hiperplano tangente a en (s).

3.4. TEOREMA DEL FLUJO TUBULAR 37

Rn, e, > 0 (suficientemente pequeos) y g Cr (Ae,, V) difeo, con (cf. 5) Ae, :=B1(0, e) Bn1(0, ), tq:16

1. g({0} Bn1(0, )) = V, con Bn1(0, ) B.2. g es Cr-conj. entre los cv:

Y X (Ane,); Y(y) =

10...0

X|V

DEMOSTRACIN. Sea : D RU Rn el flujo de X, que sabemos quees Cr, y definamos g : DB U; g(t, s) := (t; (s)),17 con DB := {(t, s) RB; (t, (s)) D} Rn. Observamos que:

g(0, s) = (0; (s)) = (s) g(0, 0) = (0) = x0.Dg(t, s) = (t g(t, s)|Dsg(t, s)) = (t(t; (s))|Dx(t; (s))Ds(s)) por ladefinicin de g y la regla de la cadena. En particular, Dg(0, 0) = (t(0; x0)|Dx(0; x0)Ds(0)) =(X(x0)|Ds(0))18 que es invertible (pues es transversal a X en el puntox0 = (0)).

Por tanto, el Th. de la funcin inversa aplica en (0, 0) y e, , V Rn; g := g|Ae, :Ae,

= V es un Cr-difeo.19 Veamos, para finalizar, que g es Cr-conj. (cf. 46): g((t, y)) =g(y1 + t, y2, . . . , yn) = (y1 + t; (y2, . . . , yn))

39,4= (t; (y1; (y2, . . . , yn)) = (t; g(y))

COROLARIO 55. (continuacin del teorema, sketch)

3. Cr(V,R); (x) = 0 x VOBSERVACIN. Este viene dado por h(x) := g1(x) = ((x), (x)) Ae,

(comprobar). Informalmente, (x) es el tiempo que tarda el punto x en llegar a laseccin transversal , lo que hace obvio el resultado.20

4. x V, la sol. (t, x) (insistimos, en V) est definida en J(x) = B1e((x))21 yes inyectiva.

OBSERVACIN. Basta usar que X|V , Y son Cr-conj.5. Sea P : V Rn; P(x) := ((x), x), que est bien definida por to-

do lo anterior y que es Cr por ser composicin de funciones Cr. Se tiene: x V, rgDP(x) = n 1. Es ms, ker DP(x) = X(x)

16Ntese que Ae, es el cilindro modelo del que antes hemos hablado, donde B1(0, e) representael eje temporal unidimensional y Bn1(0, ) es (un subconjunto, pues nos restringimos al tubo) de laseccin B que lo corta.

17Ntemos que g hereda de el ser Cr . Con respecto a la notacin empleada en la introduccin,y1 = t, q = s.

18pues Dx(0; x0) = Dxx0 = Id (cf. c.i. de las ecuaciones variacionales: idem)19Ntemos ya que como g(0, s) y g(Ae,) = V, necesariamente g({0} Bn1(0, )) = V,

i.e., se satisface (1).20En este sentido, un (x) < 0 debera interpretarse como el tiempo que te has pasado de largo.

En general esto no es tan interesante como preguntarse por el tiempo que tardaras (p.e., para hacerpredicciones a futuro). De ah que (x) sea el opuesto de la primera coordenada de h(x); por convenioy conveniencia.

21J(x) es la solucin maximal I(x) restringida en V.


OBSERVACIN. Informalmente, P(x) es el nico punto (por la inyectividad,cf. 4) de (t, x), con t J(x), que est en . As, mientras que (x) es el tiempode llegada, P(x) es el punto de llegada. En cuanto a la interpretacin intuitivadel resultado, X(x) es la recta generada por el vector velocidad en el punto x,mientras que ker DP(x) es la proyeccin sobre la seccin (hacemos 0 la primeracoordenada).

3.4.1. Una aplicacin: la aplicacin de Poincar (o de retorno). Idea [cf. di-bujo]: Tomemos una seccin transversal al campo X, lo que nos da unas flow-boxcoord. Sea x0 V y supongamos que x1 := (t1, x0) V, con t1 / J(x0),ie, supongamos que, tras salir la solucin del tubo, donde la tenemos controla-da/definida, vuelve a l, tras dar varias vueltas sobre las que no tenemos con-trol. Podemos definir entonces pi(x0) = P((t1; x0)) = (((t1; x0)); (t1; x0))la proyeccin sobre la seccin transversal , llamada aplicacin de Poincar (o deretorno).

Esta aplicacin de retorno (a ) se puede definir en un entorno de x0 y es unaherramienta, aunque natural dada esta construccin/explicacin heuristica, muypotente a la hora de reducir la complejidad de ciertos problemas, p.e., la bsque-da/estudio de rbitas peridicas de un c.v., problema-dimensional que se redu-ce a un problema finito-dim., pues reducimos la bsqueda/estudio de puntos queson peridicos en todos los puntos de una rbita (sistemas dinmicos continuos,donde el tiempo es todo R; flujos del campo) a la bsqueda/estudio de puntos fi-jos (o peridicos) de un sistema dinmico discreto (ie, donde el tiempo esZ) dadopor la aplicacin de retorno a .

En efecto, los puntos fijos (o peridicos) de la aplicacin de Poincar pi : se corresponden a rbitas peridicas del c.v. (en el contexto discreto):

pi(x) = x la solucin (t; x) es peridica.pin(y) = y22 la solucin (t; y) es peridica.

Por lo general, en las aplicaciones no tenemos una expresin explicita, por lo queharemos uso de mtodos numricos (inicios: Runge. Auge: con los ordenadores) yteora de perturbaciones (cf. 1.2).

EJEMPLO 56. Sea el c.v. 2-dim.:

(3.4.1){

x = x(1 x2 y2) yy = y(1 x2 y2) + x + e(x2 + y2)

Observamos que el punto (0, 0) es fijo (ie, anula el c.v.). Linealizandolo: DX(0, 0) =(1 11 1

), ie,

(xy)=

(1 11 1

)(xy

)=

(x yy + x

). Por tanto, (0, 0) es

(linealmente) un foco repulsor (vaps 1 i).Pasemos la ecuacin a coord. polares (sugestionados por la presencia de ex-

presiones tipo x2 + y2):{x = r cos y = r sin con

{r2 = x2 + y2

= arctan yx(con el convenio usual, cf. atan2). Derivando respecto de t cada ecuacin y susti-tuyendo luego de 3.4.1:

2rr = 2xx + 2yy rr = xx + yy = x2(1 x2 y2) xy + y2(1x2 y2) + xy + ey(x2 + y2) = (x2 + y2) (1 r2) + eyr2 = r2(1 r2) +er3 sin r = r(1 r2) + er2 sin

22ie, y es un punto peridico para pi

3.5. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 39

= 11+

( yx)2 yx yxx2 r = yx yx = yx(1 r) + x2 + exr

yx(1 r) + y2 = r2 + exr = r2(1+ e cos ) = r(1+ e cos ).Por tanto, para e = 0, nos queda el siguiente sistema:{

r = r(1 r2) = r

NOTA. En el calculo de , si yo no he obviado nada y estoy en lo cierto, Harocometi una errata que se ha ido acumulando a lo largo del problema. A saber, =

1

1+( y

x)2 yx yxx2(x2 + y2) (introduciendo el comando derivate arctan(y(t)/x(t)) Mat-

hematica me da la razn en este punto, pero es posible que est pasando algo poralto) y dedujo directamente que = 1 + re cos (una especie de hbrido). Enconsecuencia, tmese con precaucin lo que sigue de este ejemplo (sea como fuere,el procedimiento es el mismo que el visto en 1.2).

Si bien es cierto que en coord. polares no esta definido para r 0, ya obser-vamos directamente de 3.4.1 que (0, 0) es un punto fijo, luego podemos dibujar elretrato de fases 1D de la primera ecuacin sin problemas (0 repele, 1 atrae). De he-cho, podemos calcular la solucin exacta de la edo (hacer); en el caso de la segundaedo, quedara (t) = 0 + rt.

[cf. dibujo, producto cartesiano: todas las sol. tienden a la sol. peridica r =1 (con velocidad angular = r = 1) excepto (0, 0), que es repulsor]. Sea ={(x, 0)|x > 0} la seccin de Poincar. Se tiene: pi(1) = 1 1 es punto fijo,23 que,por el dibujo, sabemos que es atractor. Para una comprobacin formal/analticade esto, calcular pi(x) = 1

1+(

1x21)

e4pi(repasar), pi(1) = e4pi < 1 atractor

(hiperbolico), luego el teorema de la implicita aplica.Para estudiar el caso e 6= 0, prescindiremos del tiempo, pues no me interesa

lo que tarda en llegar, sino solamente conocer el nuevo punto espacial. As, porla regla de la cadena y el teorema de la funcin inversa en el segundo termino(que aplicara siempre que el cociente tenga sentido), se tiene: r() drd = drdt dtd =

r(1r2)+er2 sin r(1+e cos ) =

1+er2 sin r21+e cos , con r = r(; 0, r0, e). Consideremos ahora la

aplicacin de Poincar P(r0, e) := r(2pi; 0, r0, e) y sea E(r0, e) := P(r0, e) r0 = 0la ecuacin a resolver (la que nos da los puntos fijos). Entonces:

E(1, 0) = P(1, 0) 1 = pi(1) 1 = 1 1 = 0r0 E(r0, e) = r0 P(r0, e) r0 r0 = r0 P(r0, e) 1 r0 E(1, 0) = r0 P(1, 0)1 = pi(1) 1 = e4pi 1 6= 0

Por tanto, el teorema de la funcin implicita aplica y podemos despejar r0(e), ie,r0(e); P(r0(e), e) = r0(e), e Ent(0). As, por derivacin implcita, dr0de (0) =(1 r0 P(1, 0))1eP(1, 0) = 15 (calcular/comprobar)24 y, por ende, r0(e) = 115e+O(e2) punto inicial de la rbita peridica sobre (Graficar con un Slope FieldCalculator y comprobar que r0(e) es una buena aproximacin para e pequeos.).

3.5. Comportamiento asinttico

DEFINICIN 57. (conjuntos limite de una rbita)23Abuso de notacin. En realidad sera pi(1, 0) = (1, 0), pero esto puede llevar a confusin, pues

en realidad 0 es fijo en (ie, pi(x, 0) = (y, 0), x). Una alternativa notacional que evite tanto el abusocomo est posible confusin sera restringir pi a I = (0,+) la proyeccin de sobre x.

24Para calcular eP(1, 0) hacer las ecuaciones variacionales respecto e en drd .


Sea X : U Rn Rn un Cr-cv (r 1), x U.1. Si [0,+) I(x), (x) := {y U; (tn)n +; lmn (tn, x) = y}2. Si (, 0] I(x), (x) := {y U; (tn)n ; lmn (tn, x) = y}

NOTA. Se exige [0,+) I(x) para que la definicin tenga sentido (para quepodemos hablar de la susodicha sucesin de tiempos (tn)n); en este sentido, se tra-ta de una condicin tcnica. Por otra parte, se los llama por la archiconocidamxima, puesto que es el conjunto del que viene (el principio, primera letra),y el conjunto de puntos al que tiende (el fin, ultima letra). Enfatizo, (tn, x) seacercan a (respectivamente, vienen de) un objeto, no necesariamente un punto.Ejemplo: cf. dibujo del ejemplo anterior: (x) es la rbita peridica.

EJERCICIO 58. Las siguientes son definiciones equivalentes (para demostrarlo,hacer las dos inclusiones y usar las propiedades de interseccin y adherencia):

1. (x) = t>0([t,+); x)2. (x) = t0([t,+); x) (x) 6= es un com-pacto conexo y estn anidados/nested.26 Veamos ahora que (x) es invariante, ie,que y (x) (t, y) (x), t:

Sea y (x) = {y U; (tn)n +; lmn (tn, x) = y} y considere-mos : I(y) U Rn; (t) := (t, y) la sol. correspondiente. Se tiene: (t) =(t, y)

y(x)= (t, lmn (tn, x))

cont.= lmn (t, (tn, x))

39,4= lmn (t +

tn, x). Por tanto, (n)n +, n := t+ tn, pues tn +, tq (t) = lmn (n, x),25No tiene porque diagonalizar; es posible que tengamos que emplear la forma cannica de Jordan.26Ejercicio de topologa/anlisis; un caso particular es el teorema de los intervalos encajados o el

cuatro problema del examen de reavaluacin de anlisis (la indicacin).

3.5. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 41

ie, t I(y), (t) (x). Adems, como (x) es compacto, aplicando 19, vemosque I(y) = R.

TEOREMA 64. (de PoincarBendixson).Sea X : U R2 R2 un Cr-cv (r 1), x U.Si

K compacto U;+(x) KX tiene un numero finito de puntos fijos en (x)

Entonces1. (x) no tiene puntos fijos (x) es una rbita peridica.2. (x) solamente tiene puntos fijos (x) es un punto fijo.3. (complementario de los anteriores) (x) tiene puntos regulares (no fijos) y sin-

gulares (fijos) (x) es la unin de puntos fijos y rbitas que los conectan(cf.

Documents

Ecuaciones diferenciales