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Aplicaciones de circuitos eléctricos
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Ecuaciones Diferenciales Unidad 1 ED de primer orden
82
M.C. ngel Len Rubio
Aplicacin 06 ELECTRICIDAD Segunda Ley de Kirchoff y ley de Ohm _
La segunda ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de cadas de potencial en un circuito cerrado debe ser igual a cero.
La ley de Ohm establece que el voltaje V en una resistencia R es directamente proporcional a la corriente I que fluye a travs de el
V IR= De lo cual se desprende que el voltaje en un inductor es proporcional a la variacin en la corriente que fluye a travs de l, es decir
L
diV L
dt=
De esta forma, siguiendo la segunda ley de Kirchoff
diL Ri V
dt+ =
Que representa la ecuacin diferencial de un circuito RL en serie. EJEMPLO 41 En un circuito RL formado por un inductor de 2 Henrios y una resistencia de 6 , se conecta una fuente de 50senV t= volts. Determine: la ecuacin de la corriente en cualquier instante de tiempo. De la segunda ley de Kirchof
2 6 50sendi
i tdt
+ =
Que es una ecuacin diferencial lineal, para la cual su factor integrante es
( ) 6 6dt tt e e = =
V
L
R
Ecuaciones Diferenciales Unidad 1 ED de primer orden
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M.C. ngel Len Rubio
Entonces
6 650 sent td
e i e tdt
=
Integrando ambos lados
6 650 sent te i e tdt= La cual es una integral cclica, resolvindola
6 6
6 61 16 6
6 6 61 1sen cos6 6
cos sen
6 6 6 61 1 1 16 6 6 6
6 6 6 61 1 16 36 36
sen sen cos
sen cos sen
sen cos se
t t
t t
t t tu t u tdv e dt dv e dtdu tdt du tdtv e v e
t t t t
t t t t
e tdt e t e tdt
e tdt e sent e t e tdt
e tdt e sent e t e
= == == == =
=
= + =
6 6 6 61 1 1
36 6 36
6 6 637 1 136 6 36
6 6 66 137 37
n
sen sen cos
sen cos
sen cos
t t t t
t t t
t t t
tdt
e tdt e tdt e sent e t
e tdt e sent e t
e tdt e sent e t
+ =
=
=
Por lo tanto,
( )6 6 66 137 376 6 6300 50
37 37
50 cos
cos
t t t
t t t
e i e sent e t
e i e sent e t
=
=
Despejando a ( )i t
300 5037 37 cosi sent t=
Que representa la ecuacin de la corriente en cualquier instante de tiempo t