ELEMENTOS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

V__ctor Manuel S_anchez de los Reyes

Departamento de An_alisis Matem_atico

Universidad Complutense de Madrid

_Indice

1 Introducci_on 7

11 Conceptos b_asicos 7

12 Algunos modelos matem_aticos 9

121 Desintegraci_on radiactiva 9

122 Movimiento pendular 10

123 La catenaria 11

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire 11

125 La curva braquist_ocrona 12

126 Oscilaciones en resortes 13

127 Din_amica de poblaciones 14

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 15

21 Ecuaciones de variables separadas 15

22 Ecuaciones homog_eneas 16

23 Ecuaciones exactas 18

24 Ecuaciones lineales 20

25 Algunas ecuaciones especiales 21

251 La ecuaci_on de Bernoulli 21

252 La ecuaci_on de Ricatti 22

253 Ecuaciones de grado n respecto a y0 22

3

254 Ecuaciones de la forma f(y y0) = 0 22

255 Ecuaciones de la forma f(x y0) = 0 23

256 La ecuaci_on de Lagrange 23

257 La ecuaci_on de Clairaut 23

3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25

31 Estructura del conjunto de soluciones 25

311 La ecuaci_on homog_enea 26

312 La ecuaci_on no homog_enea 28

32 Ecuaciones con coe_cientes constantes 29

321 La ecuaci_on homog_enea 29

322 La ecuaci_on no homog_enea 31

4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33

41 Introducci_on 33

42 Estructura del conjunto de soluciones 35

421 El sistema homog_eneo 35

422 El sistema no homog_eneo 37

43 Sistemas con coe_cientes constantes 39

431 El sistema homog_eneo 39

432 El sistema no homog_eneo 40

5 Transformada de Laplace y m_etodo de series de potencias 43

51 Transformada de Laplace 43

511 De_nici_on y propiedades 43

512 La funci_on de Heaviside y la delta de Dirac 44

513 Traslaci_on y periodicidad 45

514 Transformadas de derivadas e integrales 46

4

515 La convoluci_on 46

516 La transformada inversa 47

517 Aplicaciones 48

52 M_etodo de series de potencias 50

521 Soluciones en torno a puntos ordinarios 50

522 Soluciones en torno a puntos singulares 52

6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55

61 Conceptos 55

62 Sistemas lineales planos 56

7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59

71 M_etodo de Euler 59

72 M_etodo de Runge-Kutta 60

Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61

Bibliograf__a 63

5

Tema 1

Introducci_on

11 Conceptos b_asicos

De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-

rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on

buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que

equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma

F(x y y0 y00 yn)) = 0

De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada

superior que interviene en la expresi_on

De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno

respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma

yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)

Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene

coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso

contrario se llama no homog_enea o completa

De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-

da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita

(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)

De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por

F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes

C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de

7

las constantes y si hay condiciones iniciales

8gtgtgtlt

gtgtgt

y(x0) = y0

y0(x0) = y1

0

yn10485761)(x0) = yn10485761

0

se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga

Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente

se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial

De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-

tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral

es la gr_a_ca de una soluci_on particular

De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on

que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para

ning_un valor de las constantes

De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-

luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la

soluci_on particular que las satisfaga

Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar

de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de

la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0

Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese

punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas

De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma

direcci_on

La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por

la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los

m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen

estar_an situados en la curva de_nida por

f

x

+

f

y

f(x y) = 0

8

Ejercicios

1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = 2 +

p

x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x

b) y = x

p

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

256 La ecuaci_on de Lagrange 23

257 La ecuaci_on de Clairaut 23

3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25

31 Estructura del conjunto de soluciones 25

311 La ecuaci_on homog_enea 26

312 La ecuaci_on no homog_enea 28

32 Ecuaciones con coe_cientes constantes 29

321 La ecuaci_on homog_enea 29

322 La ecuaci_on no homog_enea 31

4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33

41 Introducci_on 33

42 Estructura del conjunto de soluciones 35

421 El sistema homog_eneo 35

422 El sistema no homog_eneo 37

43 Sistemas con coe_cientes constantes 39

431 El sistema homog_eneo 39

432 El sistema no homog_eneo 40

5 Transformada de Laplace y m_etodo de series de potencias 43

51 Transformada de Laplace 43

511 De_nici_on y propiedades 43

512 La funci_on de Heaviside y la delta de Dirac 44

513 Traslaci_on y periodicidad 45

514 Transformadas de derivadas e integrales 46

4

515 La convoluci_on 46

516 La transformada inversa 47

517 Aplicaciones 48

52 M_etodo de series de potencias 50

521 Soluciones en torno a puntos ordinarios 50

522 Soluciones en torno a puntos singulares 52

6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55

61 Conceptos 55

62 Sistemas lineales planos 56

7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59

71 M_etodo de Euler 59

72 M_etodo de Runge-Kutta 60

Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61

Bibliograf__a 63

5

Tema 1

Introducci_on

11 Conceptos b_asicos

De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-

rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on

buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que

equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma

F(x y y0 y00 yn)) = 0

De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada

superior que interviene en la expresi_on

De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno

respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma

yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)

Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene

coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso

contrario se llama no homog_enea o completa

De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-

da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita

(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)

De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por

F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes

C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de

7

las constantes y si hay condiciones iniciales

8gtgtgtlt

gtgtgt

y(x0) = y0

y0(x0) = y1

0

yn10485761)(x0) = yn10485761

0

se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga

Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente

se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial

De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-

tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral

es la gr_a_ca de una soluci_on particular

De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on

que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para

ning_un valor de las constantes

De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-

luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la

soluci_on particular que las satisfaga

Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar

de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de

la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0

Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese

punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas

De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma

direcci_on

La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por

la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los

m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen

estar_an situados en la curva de_nida por

f

x

+

f

y

f(x y) = 0

8

Ejercicios

1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = 2 +

p

x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x

b) y = x

p

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

522 Soluciones en torno a puntos singulares 52

6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55

61 Conceptos 55

62 Sistemas lineales planos 56

7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59

71 M_etodo de Euler 59

72 M_etodo de Runge-Kutta 60

Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61

Bibliograf__a 63

5

Tema 1

Introducci_on

11 Conceptos b_asicos

De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-

rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on

buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que

equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma

F(x y y0 y00 yn)) = 0

De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada

superior que interviene en la expresi_on

De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno

respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma

yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)

Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene

coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso

contrario se llama no homog_enea o completa

De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-

da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita

(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)

De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por

F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes

C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de

7

las constantes y si hay condiciones iniciales

8gtgtgtlt

gtgtgt

y(x0) = y0

y0(x0) = y1

0

yn10485761)(x0) = yn10485761

0

se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga

Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente

se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial

De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-

tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral

es la gr_a_ca de una soluci_on particular

De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on

que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para

ning_un valor de las constantes

De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-

luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la

soluci_on particular que las satisfaga

Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar

de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de

la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0

Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese

punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas

De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma

direcci_on

La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por

la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los

m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen

estar_an situados en la curva de_nida por

f

x

+

f

y

f(x y) = 0

8

Ejercicios

1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = 2 +

p

x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x

b) y = x

p

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)

De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por

F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes

C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de

7

las constantes y si hay condiciones iniciales

8gtgtgtlt

gtgtgt

y(x0) = y0

y0(x0) = y1

0

yn10485761)(x0) = yn10485761

0

se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga

Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente

se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial

De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-

tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral

es la gr_a_ca de una soluci_on particular

De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on

que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para

ning_un valor de las constantes

De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-

luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la

soluci_on particular que las satisfaga

Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar

de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de

la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0

Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese

punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas

De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma

direcci_on

La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por

la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los

m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen

estar_an situados en la curva de_nida por

f

x

+

f

y

f(x y) = 0

8

Ejercicios

1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = 2 +

p

x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x

b) y = x

p

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0

Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese

punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas

De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma

direcci_on

La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por

la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los

m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen

estar_an situados en la curva de_nida por

f

x

+

f

y

f(x y) = 0

8

Ejercicios

1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = 2 +

p

x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x

b) y = x

p

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3

c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y

d)

_

x = t log t

y = t2(2 log t + 1)

de la ecuaci_on diferencial y0 log y0

4 = 4x

e)

_

x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0

2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y

b) y =

p

x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este

caso dos soluciones singulares

3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas

a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y

c) x = y

R x

0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2

4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

a) y0 = x + 1

b) y0 = y1048576x

y+x

c) y0 = x + y

d) y0 = y 1048576 x

12 Algunos modelos matem_aticos

121 Desintegraci_on radiactiva

Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula

se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen

9

en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo

la desintegraci_on radiactiva

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la

funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de

primer orden

m0 = 1048576km

siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad

La soluci_on general viene dada por

m(t) = Ce1048576kt

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que

m(t) = m0e1048576kt

122 Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve

por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un

plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio

de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es

s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que

produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la

direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del

movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial

s00 = 1048576g sen

s

L

Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por

s = s0 sen

r

g

L

t

donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P

10

123 La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso

Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP

del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas

1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _

con el eje de abcisas

2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas

3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

del arco MP y p el peso espec___co del hilo

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio

_

T1 cos _ = T2

T1 sen _ = sp

luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que

tag _ =

sp

T2

Llamando a = T2

p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =

p

(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial

y00 =

1

a

p

(y0)2 + 1

La soluci_on particular que pasa por M es

y =

a

2

1048576

e

x

a + e1048576x

a

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

_

+ b 1048576 a = a cosh

x

a

+ b 1048576 a

124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el

que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional

a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el

coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto

mv0 = mg 1048576 kv

11

que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no

homog_enea

Se puede comprobar que la funci_on

v(t) = Ce1048576 k

mt +

mg

k

veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0 de lo que resulta que

v(t) =

_

v0 1048576

mg

k

_

e1048576 k

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

mt +

mg

k

Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es

v(t) = gt + v0

Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se

tiene que y0 = v con lo que

y(t) =

1

2

gt2 + v0t + y0

siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy

125 La curva braquist_ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin

otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con

velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

p

x2 + a2

v1

+

p

(c 1048576 x)2 + b2

v2

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe

suceder que dt

dx = 0 con lo que

x

v1

p

x2 + a2

=

c 1048576 x

v2

p

(c 1048576 x)2 + b2

o bien

senw1

v1

=

senw2

v2

12

siendo w1 = arctag x

a y w2 = arctag c1048576x

b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito

aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe

veri_car que senw

v sea constante Llamando _ = _

2 1048576 w se tiene que

senw = cos _ =

1 p

(y0)2 + 1

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t

Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial

y((y0)2 + 1) = C

La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por

_

x = r(_ 1048576 sen _)

y = r(1 1048576 cos _)

siendo r = C

2 y tag _

2 =

q

y

C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a

lo largo del eje de abcisas

126 Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo

ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que

act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento

Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on

del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas

my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)

siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que

my00 + k2y0 + k1y = g(t