Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Unidad 1 – ED de primer orden

13 M.C. Ángel León Rubio

1.2.1. Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables_____________ _

En general cuando hablamos de una ecuación reducible estamos diciendo que forzaremos a que la ecuación adquiera una forma específica y por tanto resolverla a través de un método en particular, es lógico pensar que una ecuación diferencial reducible a variables separables es aquella ecuación que no tiene la forma estándar requerida, pero que a través de alguna manipulación podremos conseguir darle la forma necesaria. En términos generales cualquier sustitución ( ),z f x y= que permita hacer la separación

de variables nos dará resultados, por cuestiones de simplicidad manejaremos las siguientes tres posibles sustituciones

z ax by c= + + Función polinómica y

zx

= Función racional simple

1 1 1

2 2 2

a x b y cz

a x b y c

+ +=+ +

Función racional más compleja

Hecha esta sustitución, calculamos dz

dx y de esa expresión resultante despejaremos

dy

dx

para que sea sustituida en la ecuación diferencial original tal como se muestra en el siguiente diagrama a bloques.

Ecuación

Diferencial

Se elige la sustitución

adecuada Se deriva la ecuación Despejamos

Sustituimos en la ED original Separamos variables y

resolvemos

Sustituimos el valor asignado

a Se obtiene la solución



EJEMPLO 07 Resolver la ecuación diferencial ( )2 2dyx y a

dx+ = reduciéndola a variables

separables Solución. Podemos aprovechar la forma de la ecuación realizando la sustitución z x y= + de la cual debemos de

1dz dy

dx dx= +

Despejamos el término dy

dx y lo sustituimos en la ecuación diferencial original

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1dz

z adx

dzz z a

dxdz

z a zdx

zdz dx

a z

− =

− =

= +

=+

Integrando ambos lados de la igualdad

2

2 2

zdz dx

a z=

+∫ ∫

Para integrar, realizamos la división del lado izquierdo

2 2 2

2 2

2

1

z a z

z a

a

+

−−

2 2

2 2 2 21

z a

a z a z= −

+ +

2

2 2

1

1

tan

adz dx

a z

zz a x c

a−

− = +

− = +

∫ ∫

Regresando a las variables originales

1tanx y

x y a x ca

− + + − = +



EJEMPLO 08 Resolver la ecuación diferencial tandy y y

dx x x = +

reduciéndola a

variables separables Solución. Dada la forma del problema a resolver nos conviene realizar la sustitución

yz

x= , para la cual su derivada es

2

1 1dz dy y dy y

dx x dx x x dx x = − = −

Despejamos dy

dx obteniendo

dy dz

x zdx dx

= +

Sustituyendo en la ecuación diferencial original

tan

tan

dz yx z z

dx x

dzx z

dx

+ = +

=

Separando variables

tan

dz dx

z x=

Integrando

sencos

tancos

sen

ln sen ln

u zdu zdz

dz dx

z xz dxdz

z x

z x c

==

=

=

= +

∫ ∫

∫ ∫

Buscando una solución en la forma explícita

lnsen ln

1

sen

sen

z x ce e

z cx

z cx

+

−

==

=



Regresando a las variables originales

1

1

sen

sen

ycx

x

y x cx

−

−

=

=

EJEMPLO 09 Resolver ( ) ( )1 2 2 1 0x y dx x y dy+ + + + − = reduciéndola a variables

separables Solución. En este ejemplo será necesario acomodar la expresión para que esté presente

el término dy

dx, para esto

( )( )

1

2 2 1

x ydy

dx x y

+ += −

+ −

La sustitución más conveniente sería z x y= + de la cual, la derivada es

1dz dy

dx dx= +

Despejando al término dy

dx

1dy dz

dx dx= −

Sustituyendo en la ecuación diferencial original

11

2 11

12 1

dz z

dx zdz z

dx z

+− = −−

− −= +−

Simplificando la expresión

2

2 1

dz z

dx z

−=−

Separando variables

2 1

2

zdz dx

z

− =−



Realizamos la división del lado izquierdo para poder integrar

2 1 32

2 2

z

z z

− = +− −

Las integrales que debemos resolver serán

32

2dz dx

z + = − ∫ ∫

Como resultado

( )2 3ln 2z z x c+ − = +

En términos de las variables originales

( ) ( )2 3ln 2x y x y x c+ + + − = +

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