Ecuaciones Diferenciales

7/18/2019 Ecuaciones Diferenciales

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Temática: Introducción a las ecuaciones diferenciales

a)dy

dx+sen y=0

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden.

b) y ´ ´ + y ´ + y=0

Ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

c)dy

2

dx2+

dy

dx−5 y=e

x

Ecuación diferencial ordinaria lineal del segundo orden.

d) (2 y+1 ) dx+( y2

x− y− x ) dy=0

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden.

e) xy ´ − y= x2

Ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden.

f) Muestre que y=1

x es una solución de la ecuación diferencial.

dy

dx + y2

+ y

x − 1

x2=0

d

dx {1 x }+( 1 x )2

+( 1 x ) x −

1

x2=0

d

dx { x−1 }+ 1

x2+ 1

x2− 1

x2=0

−1 x−2+ 1 x

2=0

−1

x2 +

1

x2=0 0 = 0 luego y=

1

x

Es la solución de la ecuación diferencial



Temática: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

a) Solución:dy

dx=−2 x

y

y dy=−2 x dx

Jy dy=J −2 x dx

1

2 y

2=−2 x

2

2+c

1

2 y

2=− x2+c

Luego y2=−2 x

2+k donde k =2c

b) Solución:

2 xy dy

dx+( y2−2 x )=0

2 xy dy+( y2−2 x ) dx=0

( y2−2 x ) dx+ (2 xy ) dy=0

M dx+ N dy=0

Ahora

∂ M

∂ y =2 y−

−−∂ N

∂ x =2 y Son iguales

Sea f ( x , y ) una función tal que:

∂ F

∂ x dx +

∂ F

∂ y dy=0 !onde M

∂ F

∂ x y N

∂ F

∂ y



f ( x , y ) J ∂ F

∂ x dx J ( y2−2 x ) dx= xy

2−2( x2

2 )+c ( y )

f ( x , y ) xy2− x

2+c ( y)

∂ f ( x , y )∂ y =2 xy+c

'

( y )=∂ F

∂ x = N

Luego 2 xy+c' ( y )=

∂ F

∂ x = N 2 xy+c

' ( y )=2 xy

c ´ ( y )=0

J c ´ ( y ) dy=J 0dy

c ( y )=c

"inalmente

f ( x , y )= xy

2

− x

2

+c ( y )=k xy

2− x2+c=k

xy2− x

2=k !onde k =k −c

c) Solución:

(3 xy+ y2 ) dx+( x2+ xy ) dy=0

M dx+ N dy=0

Ahora

∂ M

∂ y =

∂

∂ y (3 xy+ y

2 )=3 x+2 y Distintas

∂ N

∂ x =

∂

∂ x ( x2+ xy )=2 x+ y Distintas

La ecuación no es exacta

Factor Integrante:

Sea p ( x )=

∂ M

∂ y −

∂ N

∂ x

N =

3 x+2 y−(2 x+ y)

x2+ xy

p ( x )=3 x+2 y−2 x− y

x( x+ y ) =

x+ y

x ( x+ y)=1

x = x

−1



Luego p ( x )= x−1

y J p ( x ) dx=J x−1

dx=lin( x)

El "actor #ntegrante M ( x )=eJ p( x )dx=e

lin x= x

Luego x M dx+ x N dy=0 es e$acta

x (3 xy+ y

2

) dx+ x ( x2

+ xy ) dy=0

(3 xy2+ xy

2) dx+( x3+ x2

y ) dy=0

∂ F

∂ x dx=

∂ F

∂ y dy=0

!onde f ( x , y )=c es una familia de soluciones

f ( x , y )=J ∂ F

∂ y dy =J ( x3+ x

2 ) dy= x3

y+1

2 x

2

y2+c( x )

∂ F ( x , y )

∂ x =3 x

2 y+21

2

x y2

+c ´

( x

)

∂ F

∂ x

Luego 3 x2

y+ xy2+c ´ ( x )=3 x

2

y+ x y2

c ´ ( x )=0

c ( x )= c

Luego f ( x , y )= x3

y+1

2 x

2

y2+c=c

x3

y+1

2 x

2

y2=k

!onde k =c−c

d) Solución:

dy

dx=

y

x +

x

y →

dy

dx=

y2+ x

2

xy



xy dy=( x2

y2 ) dx → ( x2

y2) dx+(− xy ) dy=0

Sea x=ax % y=ay entonces

x2=a

2 x

2

% y2=a

2

y2

luego

(a2

x2

+a2

y2

) dx+(−ax ay )dy=0

a2 ( x2+ y

2) dx−a2 ( xy )dy=0

a2 {( x2+ y

2 ) dx−( xy ) dy }=0

La ecuación es homog&nea por lo tanto

Sea y=ux , dy

dx=u+ x

dy

dx entonces:

u+ x , du

dx=

ux

x +

x

ux ← →

dy

dx=

y

x +

x

y

u+ x , dudx =u+ 1

u → x du

dx =1

u

x du=dx

u →u du=

1

x dx

J u du=J 1

x dx →

u2

2=lin| x|+c

u2=2 lin| x|+k !onde k =2c

u=√ 2 lin| x|+k → y

x =√ 2lin| x|+k

y= x √ 2 lin| x|+k

e) Solución:4

√ yx+ y ´ =0 Si y (0 )=0

y ´ =−4

√ yx→ y ´ =− y1

4 x1

4 → dy

dx =− y

1

4 x1

4

dy

dx =− x

1

4 y1

4 → dy

y14

=− x1

4 dx

→ y1

4 dy=− x1

4 dx → J y−1

4 dy=J − x−1

4 dy=J − x1

4 dx



→ y

3

4

3

4

=− x

5

4

5

4

+c →4

3 y

3

4=−4

5 x

5

4+c

→ y

3

4

=

−4

5 .

3

4 x

5

4

+k !onde k =

3

4 c

→ y3

4=−3

4 x

5

4+k →4

√ y3=

3

5 x

5

4+k

→ y

3

4=−3

4 x

5

4+k →4

√ y3=

3

5 x

5

4+k

→ y3=(k −

3

5 x

5

4 )4

→ y=3

√(k −3

5 x

5

4 )4

Si y (0 )=0 Entonces y (0 )=3

√(k −3

5(0 )

5

4

)4

=3

√ (k )4

=k

4

3=0

Luego k 4

3=0 ' k =0 Luego

y ( x )=3

√(0−3

5 x

5

4)4

=3

√(−3

5 x

5

4 )4

y ( x )= 3

√34

54 x

5=3

√3

5 x

2

.33

53 x

3=3

5 x

3

√3

5 x

2

Luego y ( x )=3

5 x

3

√3

5 x

2

Entonces y (1 )=3

51

3

√3

512=

3

5 √ 3

5

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