( )

( )

( )

2

2 2 2 2 2 2

1

2 2

1

2 2

2 2

ln2 2

1sec

sen sen cos

cos cos sen

n v n v n v

av

av

av

av

v av a dv v a v v a c

udv uv vdu

dv vc

a av v a

v e dv v e n v e dv

ee nvdv a nv n nv c

a n

ee nvdv a nv n nv c

a n

−

−

± = ± ± + ± +

= −

= +−

= −

= − ++

= + ++

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫

i

i

i

i

i

i

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

1

2

1

2

1

2

1

2

sen cos sen sen

cos sen sen sen

cos cos cos cos

sen sen cos cos

u v u v u v

u v u v u v

u v u v u v

u v u v u v

= + + −

= + − −

= + + −

= − − +

i

i

i

i

Identidades trigonométricas

Fórmulas de derivación

( )( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )

1

2

1

2

2

1

2

0

1

ln

ln

sen cos

cos sen

tan sec

cot csc

sec sec tan

csc csc cot

1sen

1

x

x

n n

x x

x x x

x xu

x v

u u

x x

u u

x x

x xu

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

D c

D x

D u nu D u

D uv uD v vD u

vD u uD vD

v

D e e D u

D a a aD u

D u D u

D u uD u

D u uD u

D u uD u

D u uD u

D u u uD u

D u u uD u

D u Du

−

−

=

=

=

= +

−=

=

=

=

=

= −

=

= −

=

= −

=−

( )1

2

1cos

1x x

u

D u D uu

− −=

−

( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )( )( )

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1tan

1

1cot

1

1sec

1

1csc

1

senh cosh

cosh senh

tanh sech

coth csch

sech sech tanh

csch csch coth

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

D u D uu

D u D uu

D u D uu u

D u D uu u

D u uD u

D u uD u

D u uD u

D u uD u

D u u uD u

D u u uD u

−

−

−

−

=+−

=+

=−

−=

−=

=

=

= −

= −

= −

Fórmulas de integración

1

2

2

1

ln

ln

sen cos

cos sen

sec tan

csc cot

sec tan sec

csc cot csc

tan ln cos ln sec

cot l

n

n

v

v

v v

dx x c

vv dv c

n

dvv c

v

aa dv c

a

e dv e c

vdv v c

vdv v c

vdv v c

vdv v c

v vdv v c

v vdv v c

vdv v c v c

vdv

+

= +

= ++

= +

= +

= +

= − +

= +

= +

= − +

= +

= − +

= − + = +

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

( )( ) ( )

( )

1

2 2

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2 2

2

n sen ln csc

sec ln sec tan

csc ln csc cot ln csc cot

1tan

1ln

2

1ln

2

sen

ln

v c v c

vdv v v c

vdv v v c v v c

dv vc

v a a a

dv v ac

v a a v a

dv a vc

a v a a v

dv vc

aa v

dvv v a c

v a

a v

−

−

+ = − +

= + +

= − + = − + +

= ++

−= +

− +

+= +

− −

= +−

= + ± +±

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2 2 2 1sen2 2

v a vdv a v c

a

−= − + +

∫

Ecuaciones diferenciales

ED variables

separables

( )( )

f xdy

dx g y=

ED Exactas

( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =

( ) ( ) ( ) ( ), ,, o ,

du x y du x yM x y N x y

dx dy= =

ED Lineales

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

P x dx

dyP x y f x

dx

x e

dx y x f x

dx

µ

µ µ

+ =

∫=

=

ED Bernoulli

( ) ( )1

n

n

dyP x y f x

dxy

u y −

+ =

=

ED reducible

a variables

separables

1 1 1

2 2 2

z ax by

yz

x

a x b y cz

a x b y c

= +

=

+ +=

+ +

ED

red

uci

ble

a e

xact

a

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

, ,

caso I:

,

g x dx

M x y N x y

y x

x e

g xN x y

µ∂ ∂

∂ ∂

∫=

−=

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

, ,

caso II:

,

g y dy

N x y M x y

x y

y e

g yM x y

µ∂ ∂

∂ ∂

∫=

−=

( )( ) ( ) ( ) ( )

caso III: ,

, , , ,

m nx y x

M x y N x y N x y M x ym n

y x x y

yµ =

∂ ∂− = −

∂ ∂

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,

, ,

caso IV: ,P x dx Q y dy

M x y N x yP N x y Q M x y

y x

x y

x y

e eµ

∂ ∂− = −

∂ ∂

= ∫ ∫