Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Portafolio

7/23/2019 Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Portafolio

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PUEBLA

INGENIERIA EN TECNOLOGIAS PARA LAAUTOMATIZACIN

Ecuaciones Diferenciales

Porafolio !e E"i!encia

Cae!r#ico$

Gon%#le% Mar&a Guiller'ina C(

) *C+

Toscano To,-n Gua!alu.e /assan!ra


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ECUACIONES DIFERENCIALES

Las Ecuaciones Diferenciales son ejercicios o ecuaciones que

intervienen derivadas de una o ms funciones desconocidas.

Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de lasque se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

E. D. Ordinarias: Cuando una ecuacin contiene derivadas de una o

ms variables dependientes respecto a una variable independiente.

E. D. arciales: Cuando una ecuacin contiene derivadas de una o

ms variables dependientes de dos o ms variables independientes.

Llamamos ecuacin diferencial !E. D." a una ecuacin que relaciona

una funcin !o variable dependiente", su variable o variables !variablesindependientes", # sus derivadas. $i la ecuacin contiene derivadas

respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es

una ecuacin diferencial ordinaria !E. D. O."% # si contiene las

derivadas parciales respecto a dos o ms variables independientes se

llama ecuacin en derivadas parciales !E. D. .".

Tarea$ Esa,le%ca el or!en !e ecuaci-n !iferencial or!inaria !a!a(Deer'ine si la ecuaci-n es *Lineal o No Lineal+ 0P#1ina 234e5ercicios !el 2 al )6

!&'(" # n) *(#+ -# cos ( $e/undo Orden 0 Lineal 0 EDO

x d3

d x3 (dydx)1y=0

1ercer Orden 0 2o Lineal 0 EDO

3 t-#!*") t3# n 4# 5 Cuarto Orden 0 Lineal 0 EDO


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d2

u

dr2+

du

dr+u=cos (r+u)

$e/undo Orden 0 Lineal 0 EDO

d2

r

dx2=1+(

dy

dx ) $e/undo Orden 0 2o Lineal 0 EDO

d2

dx2=kr

2

$e/undo Orden 0 Lineal 0 EDO

(sen 0) ym (cos 0) y1= 2 $e/undo Orden 0 Lineal 0 EDO

VARIABLES SEPARABLES

Tarea$ En los .ro,le'as !el 22 al 274 co'.rue,e 8ue la funci-nin!ica!a es una soluci-n !e la ecuaci-n !iferencial !a!a(Su.on1a un iner"alo I !e !efinici-n a!ecua!a .ara ca!a

soluci-n( 0P#1ina 234 e5ercicios !el 22 al 27622(9 :; < ; = 3> ;= e ?@:

;= e9@:!!@ 09@:6 !!@ e@= e@

=92: e9@:

: 092: @9@:6 < e ?@:= 3

2:(9 !; < :3;= :7> ;= 9 !

! ? ! 0e9:36 = 9 ? :3 = :7 = :7 e9:3 ! ! e:3 e:3

2(9; ? ; < ; = 3 ;= e@cos :@


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! = e@cos :@ = 0e@6 0cos :@6 < 0cos :@6 0e@6!@ = e@cos :@ < 09: e@sen :@6 !!@ = e@cos :@ ? : e@< sen @

! = e@ cos :@ 9 : e@ sen @ !@ = 0!!@ 0e@ cos :@6 9: 0!!@ 0e@

sen @66 = 0cos :@ !!@ 0e@ 6 < 0e@6 !!@ 0cos @66 9: 0e@ !!@ 0sen :@66

= 0e@6 cos :@ < 09: sen 0:@66 0e@ 6 9: 0e@ 0 : cos :@6 < 0e@6

27(9 ;+ < ;= an F> = 9 0cos@6 In 0sec @ < an @6

! = ! 0cos @6 0lo1 0sec @ < an @6 < 09cos @6 !!@!@ !@

= sen @ 0lo1 0sec @ < an @66 ? cos @ !!@ 0an 0@6 sec 0@6 < sec: 0@6 sec @ < an @

= sen @ 0lo1 0sec @ < an @66 ? cos @ 0an 0@6 sec 0@6 < sec: 0@6 sec @ < an @

= sen 0@6 lo1 0@6 0sec 0@6 < an 0@66 ? 2

Tarea$ En los .ro,le'as :H4 :)4 34 2 ; : !eer'ine los "alores!e ' ales 8ue la funci-n = sea una soluci-n !e la ecuaci-n !iferencial !a!a(

Deri"a!as a usar !e e'@$ ;='e'@> ;=':e'@

:H(9;


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e'@00'6=:6

'=2

5

;=e

2x

5

3(9 :< H 7= 3Susiuci-n:: '@< H'@ 7 '@= 3

'@0:: < H 76 = 3

'@0: 260< 76 = 3Jacori%ar .or for'ula 1eneral

x=7 7

24(2)(4)2(2)

=7 49(32)

4=7 9

4

m1=12

m2=4

e 1=ex

2

e 2=e4x

En los .ro,le'as 2 ; : !eer'ine los "alores !e ' ales 8ue lafunci-n ;=@'sea una soluci-n !e la ecuaci-n !iferencial(

2(9@; '2=92> ;2=@92

'02 36> ':=3 > ;:=2

:(9@:;9H@;


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@'00 26 ? H'


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m d2s = - mg o d2s = -g dt2 dt2

Neon = 'a = 9 '1 = '!: ; = 9'1 = ecuaci-n !iferencial!:

a= !u ;= !; ;= 036 = So ';= 9'1 ! ! ;= 036 = Vo a = ! !; = !: ; ;= 91

! !: ;= 1 < c

So = 91: 036:< Vo 036< C:= So; = 91 : < Vo < So ; = 9 1


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LE DE ENJRIAMIENTO CALENTAMIENTO DE NETON

El nombre de =saac 2e>ton !&4*&'&?


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en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos #

cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de

calor es importante en los procesos, porque es un tipo de ener/7a que

se encuentra en trnsito, debido a una diferencia de temperaturas

!/radiente", # por tanto e(iste la posibilidad de presentarse el

enfriamiento, sin embar/o esta ener/7a en lu/ar de perderse sin

nin/n uso es susceptible de transformarse en ener/7a mecnica porejemplo% para producir trabajo, /enerar vapor, calentar una corriente

fr7a, etc. En virtud de lo anterior es importante 8acer una introduccin

al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a travBs de

la determinacin e(perimental de la ecuacin emp7rica que relaciona

la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con

respecto al medio.


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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

$e menciona que un conjunto de funciones f& !(", f


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a veces puede ser utili6ado para mostrar que un conjunto de

soluciones es linealmente independiente.

%&'NIAN'

E /#ons%ano es "n 'e!e#m%nan!e %n!#o'"c%'o en 1312 *o# ema!em4!%co *oaco 5&.e6 $oene78#o9s%(1::;713


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x|0 ex

0 ex|+ex|0 10 0|

0L . D .

2(9 f1(x )=x f2(x )=x1 f3(x )=x+3

w (x , x1 , x+3 )=|x x1 x+31 1 1

0 1 1|=0

x|1 10 0|+x1|1 10 0|x+3|1 10 0|=0

0L . D .

:2(9 f1(x )=1+x f2(x )=x f3 (x )=x2

w (1+x , x , x2 )=|x x1 x+31 1 1

0 1 1|

1+x|1 2x0 2|x|1 2x0 2|+x2|1 10 0|=L . I

::(9 f1(x )=ex

f2(x )=ex

f3(x )=senhx

w ( ex , ex ,senhx )=

|

ex

ex

senhx

ex ex

ex+ex

2

ex

ex ex+ex

2

|


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ex|e

x ex+ex

2

ex e

x+ex

2|ex|e

x ex+ex

2

ex e

x+ex

2|+senhx|ex exex ex |

EC*ACI'NE +','.NEA / N' +','.NEA

Pa#a #ea%.a# e es!"'%o 'e a ec"ac%&n '%6e#enc%a ,omo>nea y no,omo>nea es %m*o#!an!e 'e6%n%# os !>#m%nos Una ec"ac%&n %nea 'e

n 7>s%mo o#'en 'e a 6o#ma a"(x) d "0 a" -1 (x) d"-1 0 ! a1(x) d0 a#(x) 0 =# dx" dx"-1 dx

Se '%ce "e es ,omo>nea m%en!#as "e "na ec"ac%&n

a"(x) d "0 a" -1 (x) d"-1 0 ! a1(x) d0 a#(x) 0 = g(x)

dx" dx"-1 dx

Con () no %"a a ce#o se '%ce "e es No Qo'o1nea( Po#e+em*o2yJJ K y7 nea en es!e con!e!o no se #e6%e#e a os coe6%c%en!es "e son6"nc%ones ,omo>neas


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Un ao# 'e a cons!an!e c '%s!%n!o 'e ce#o es o "e ,ace "e aec"ac%&n sea no ,omo>nea y aMa'e "n *aso m4s en e *#oceso 'eso"c%&n 'e a m%sma E cam%no ,ac%a "na so"c%&n ene#a*asa *o#encon!#a# *#e%amen!e "na so"c%&n a a ec"ac%&n ,omo>nea(es'ec%# "%!a# a cons!an!e c) y "eo encon!#a# "na so"c%&n *a#!%c"a# aa ec"ac%&n no ,omo>nea (es 'ec%# encon!#a# c"a"%e# so"c%&n

cons%'e#an'o a cons!an!e c como *a#!e 'e a ec"ac%&n) La so"c%&n aa ec"ac%&n ,omo>nea es

Po# s"s!%!"c%&n se *"e'e e#%6%ca# "e es!a-ec%en'o es!a 6"nc%&n %"aa ao# cons!an!e 6ao#ece#4 a a ec"ac%&n no ,omo>nea

EC*ACI'NE LINEALE

Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmenteami/able de ecuaciones diferenciales, en las que, dada una ecuacin

lineal, #a sea de primer orden o de un miembro de orden superior,

siempre 8a# una buena posibilidad de que podamos encontrar al/una

clase de solucin de la ecuacin que podamos e(aminar.

Kna ecuacin diferencial de primer orden de la forma:

a1(x) d0 a#(x) 0 = g x) se dice que es una Ecuacin Lineal en

la variabledx dependiente #.

1al ve6, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de ma#orimportancia, pues muc8as de las aplicaciones que trataremos semodelan por medio de una ecuacin de este tipo.

Kna ecuacin diferencial de primer orden que puedeescribirse en la forma
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c2


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Donde !(" # !(" son funciones reales, se llama ecuacindiferencial lineal.

Don'e os coe6%c%en!es son 6"nc%ones #eaes y No!e "ec"an'o !enemos "e

a '%%'%# *o#

La c"a !%ene a 6o#ma

Don'e y

Tarea$ En los .ro,le'as :4 4 74 4 4 234 2 ; :: !eer'inen lasoluci-n 1eneral !e la ecuaci-n !iferencial !a!a( In!i8ue eliner"alo I 'as lar1o en el 8ue esa !efini!a la soluci-n 1eneral(

Deer'ine si a; al1unos r'inos ransiorios en la soluci-n1eneral(

2.dy

dx+2y=0

e2x [dydx+2y=0]

e2xdy

dx+2 e2x y=0

e2dy

dx+e2x y=0

dy e2x

dx dx


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e2x

y=c

y=ce2x

3.dy

dx+1y=e3x

ex [ dydx +y=e3x]

exd y

dx+ ex y=ex e3x

dy ex

dx = e4x dx

ex

y=1

4e

4x+c

y=

1

4e

4x+c

ex

y=1

4

e3x+c ex

4.3dy

dx+12y=4

1

3 [ 31 dydx+12y1 =4 ]dydx+4 y=43

e4xdy

dx

+4 e4x y=4

3

e4x

e4xdy

dxe

4xy=

4

3e

4x

dy e4x

dx =

4

3 e4x dx


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e4x

y=4

3

1

4e

4x+c

e4x

y=1

3e

4x+c

y=

1

3e

4x

+c

e4x

y=1

3c e

4x

5.y '+3x2 y=x2

dy

dx+3x2

y=x2

ex 3[dydx+3x2y=x2]

ex 3dy

dx+3x2 ex 3y=ex 3x2

ex 3dy

dx+ex 3

y=ex 3

x2

dy ex 3

dx = ex3x2dx

ex 3

y=e

x3

3 +c

e

3(x 3)

y=e

x 3+c

y=1

3+c ex3

9.xdy

dxy=x2 sen (x )


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1

x[x1 dydxy1 =x2

sen (x )1 ]

dy

dx

y

x=xsen (x )

1x

dydx yx2=

senx

dy

dx(y

x)dx= sen (x )dx

y

x=cos (x )+c

(x )y=xcos (x )+c

y=xcos (x )+c

x

y=cxxcos(x)

10.xdy

dx+2y=3

1

x[dydx + 2y1 =3]dy

dx+

2y

1=3

x

2dy

dx+x2

y=3x

dy x2

dx =3xdx

x2y=

3x2

2+c


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y=

3x2

2+c

x2

y=3

2+

c

x2

y=c x2+3

2

19.(x+1 )dydx

+(x+2 )y=2x ex

1

x+1dy

dx+

(x+2 )yx+1

= 2x

ex (x+1 )

ex (x+1 )dy

dx+ex (x+2 )y=2x

dy e

x (x+1 )dx

=2xdx

ex (x+1 )y=x2+c

y= x

2+ce

x (x+1)

y= x2

x+1+

c

x+1e

x

22.dp

dt+2 tp=p+4 t2

dp

dt

+ (2t1 )p=2 e t2t(2 t1 )

et2tdp

dt+et

2t(2t1 )p=2 e t2t(2t1)

et2tdp

dt+et

2tp=2 e t

2t(2t1 )


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dp et

2t

dt et

2t(2t1 ) dt

et

2tp=2 e t

2t+c

p=2+ c

et

2t

p=2+c e t2t


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CI&C*I' L& / LC

Cons%'e#e e c%#c"%!o s%m*e "e !%ene "n %n'"c!o# "n #es%s!o# y "nca*ac%!o# En "n c%#c"%!o con e %n!e##"*!o# ce##a'o a co##%en!e se

'eno!a *o# % (!) y a ca#a en e ca*ac%!o# a !%em*o ! se 'eno!a *o# (!)Las e!#as L R y C son conoc%'as como %n'"c!anc%as #es%s!enc%a yca*ac%!anc%a #es*ec!%amen!e y en ene#a son cons!an!es A,o#a 'eac"e#'o con a se"n'a ey 'e %#c,,o66 e o!a+e a*%ca'o E (!) a "nc%#c"%!o ce##a'o 'e-e se# %"a a a s"ma 'e as ca'as 'e o!a+e en ec%#c"%!o

RC

RL


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LE/ DE C&ECI,IEN' NA*&AL

Uno 'e os mo'eos *a#a e c#ec%m%en!o *o-ac%ona cons%'e#a'o en asecc%&n 1 se -as& en a s"*os%c%&n 'e "e a *o-ac%&n c#ece a "na!asa *#o*o#c%ona a !amaMo 'e a *o-ac%&n Es >sa "na s"*os%c%&n

#a.ona-eQ S"*ona "e se !%ene "na *o-ac%&n ('e -ac!e#%as *o#e+em*o) con !amaMo y en 'e!e#m%na'o momen!o c#ece con "na#a*%'e. 'e -ac!e#%as *o# ,o#a A,o#a se !oman o!#as 1 000 -ac!e#%as'e m%smo !%*o y se coocan en a *#%me#a *o-ac%&n Ca'a m%!a' 'e an"ea *o-ac%&n c#ec%& en "na *#o*o#c%&n 'e 00 -ac!e#%as *o# ,o#aSe es*e#a#a "e a *o-ac%&n !o!a 'e 2 000 se %nc#emen!a#a a "na!asa 'e ;00 -ac!e#%as *o# ,o#a %n%c%amen!e (s%em*#e "e ,aya es*ac%os"6%c%en!e y n"!#%c%&n)De es!e mo'o s% se '"*%ca e !amaMo se '"*%ca a *#o*o#c%&n 'ec#ec%m%en!o En ene#a *a#ece #a.ona-e "e a #a*%'e. 'ec#ec%m%en!o 'e-a se# *#o*o#c%ona a !amaMo

En ene#a s% es e ao# 'e "na can!%'a' en e !%em*o s% a #a*%'e. 'ecam-%o 'e con #es*ec!o a es *#o*o#c%ona a s" !amaMo en c"a"%e#momen!o en!onces 'on'e A es "na cons!an!e La ec"ac%&n 1 se amaa eces le; !e creci'ieno naural (s% A es *os%!%a en!onces se%nc#emen!a a *o-ac%&n s% A es nea!%a '%sm%n"ye

dP

dt =P


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2( se sa-e "e a *o-ac%&n 'e "na com"n%'a' c#ece con "na #a.&n*#o*o#c%ona a nme#o 'e *e#sonas *#esen!es en e !%em*o ! s% a*o-ac%&n %n%c%a Po se '"*%c& en < aMos

En c"4n!o !%em*o se !#%*%ca#4 y c"a'#"*%ca#4Q

= P =Tdp

p = '!

dpdt = dt

Ln * = ekt

ec

P= ekt

C1

P(!)= C1 ekt

=T !=0

P(0)= Q !=< *= Po

P(


24/45

P(0)

p 0 = e0.138t

Ln = n e0.138t

Ln = nl 2 l

5 !

?= :2

(9 a *o-ac%&n 'e "n *"e-o c#ece con "na #a.&n *#o*o#c%ona a a*o-ac%&n en e !%em*o ! a *o-ac%&n %n%c%a 'e


25/45

*(!)=


26/45

?= 10 =2000

=T2000 = o e10k

=2000

xo =T 10 n2000

xo = =1

10 n2000

xo

=T1

3 n400

xo =1

10 n2000

xo = n (400

xo ) = n (2000

xo )1

10

DI3II4N DE P'LIN',I' EN&E ,'N',I'

Un *o%nom%o es "na e*#es%&n ma!em4!%ca cons!%!"%'a *o# "n con+"n!o6%n%!o 'e Ya#%a-esZ no 'e!e#m%na'as o 'esconoc%'as con Ycons!an!esZnme#os 6%+os ama'os coe6%c%en!es

Se 'enom%na *o%nom%o a a s"ma 'e a#%os monom%os Un monom%oes "na case 'e a#%os *o%nom%os con "n n%co !>#m%no

Un monom%o es "na e*#es%&n ae-#a%ca en a "e se "!%%.ane*onen!es na!"#aes 'e a#%a-es %!e#aes "e cons!an 'e "n soo

!>#m%no "n nme#o "e se#4 ama'o coe6%c%en!eS% "e#emos '%%'%# a "n *o%nom%o *o# "n monom%o se 'e-e ,ace# "so'e a *#o*%e'a' '%s!#%-"!%a so-#e a s"ma Pa#a ca'a '%%s%&n'e-emos encon!#a# e coc%en!e en!#e os coe6%c%en!es n"m>#%cos ym"!%*%ca#o *o# e coc%en!e en!#e as a#%a-es

C"an'o !enemos "e encon!#a# e coc%en!e en e coe6%c%en!e con am%sma -ase *e#o '%s!%n!os e*onen!es o "e se ,ace es cooca e


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coe6%c%en!e y #es!a# os e*onen!es C"an'o no e%s!a e!#a a##%-a se'e+a s%m*emen!e %n'%ca'a a '%%s%&n

&AN5'&,ADA DE LA PLACE

En!#e as !#ans6o#mac%ones m4s "s"aes "e o*e#an con 6"nc%ones 6()c"m*%en'o con'%c%ones a'ec"a'as en I=[a-\ *a#a o-!ene# o!#as6"nc%ones en I es!4n *o# e+em*o

] La o*e#ac%&n D 'e 'e#%ac%&n D[ 6 ()\ = 6 ^()] La o*e#ac%&n I 'e %n!e#ac%&n I 6 ( ) 6 (! )' !

] La !#ans6o#mac%&n @ 'e6%n%'a *o# @ [ ( )\ ( ) ( )

6 = _ 6 s%en'o () "na 6"nc%&n conc#e!a


28/45

En ca'a caso ,ay "e as%na# a"na #es!#%cc%&n a as 6"nc%ones 6() aas "e se a*%ca "na !#ans6o#mac%&n 'a'a As en e *#%me# e+em*o6() 'e-e se# 'e#%a-e en "n c%e#!o %n!e#ao e!cLas !#es!#ans6o#mac%ones c%!a'as son %neaes es 'ec%# "e e#%6%can

? [c1

61

( )K c2

62

( )\ = c1? [61 ( )\ Kc2? [ 62

Una case %m*o#!an!e 'en!#o 'e as !#ans6o#mac%ones %neaes son asama'as !#ans6o#mac%ones %n!e#aes Se cons%'e#an as 6"nc%ones 6()'e6%n%'as en "n %n!e#ao 6%n%!o o %n6%n%!o a ` ` - y se escoe "na6"nc%&n 6%+a (s) 'e a a#%a-e e *a#4me!#o s

En!onces a co##es*on'%en!e !#ans6o#ma'a %n!e#a es!4 'a'a *o# ?[ 6(

)\ ( s )6 ( )' F(s ) - a = = La 6"nc%&n (s) se ama nceo 'e a !#ans6o#mac%&n ? Se m"es!#a64c%men!e "e ? es %nea c"a"%e#a "e sea a (s)2

En a ma!em4!%ca a*%ca'a se es!"'%an a#%os casos es*ec%aes 'e!#ans6o#ma'as %n!e#aes a'a*!a'as a a #eso"c%&n 'e '%e#sos*#o-emas !#ans6o#ma'a 'e Fo"#%e# !#ans6o#ma'a 'e

Fo"#%e# 'e seno 'em 'e coseno !#ans6o#ma'a 'e $ane 'e @e%ne!cSe !#a!a 'e es!"'%a# a,o#a a !#ans6o#mac%&n 'e La*acees*ec%amen!e %n'%ca'a *a#a s%m*%6%ca# e *#oceso 'e #esoe#*#o-emas 'e ao# %n%c%a c"yas ec"ac%ones '%6e#enc%aes sean%neaes y *#%mo#'%amen!e c"an'o se %nc"yen 6"nc%ones '%scon!%n"asEs m"y "!%%.a'a en !eo#a 'e c%#c"%!os

An!es 'e en!#a# en s"s a*%cac%ones se a a comen.a# %n!#o'"c%en'oes!a !#ans6o#ma'a 'e La*ace as como s"s *#o*%e'a'es6"n'amen!aes y m4s !%es

2 DEFINICIbN ?RANSFOR@ADAS DE ALUNAS


29/45

FUNCIONES ELE@EN?ALES

De6%n%c%&n

Sea 6(!) 'e6%n%'a en ( 0 d ) Se 'e6%ne a !#ans6o#ma'a 'e La*ace 'e6(!) como a 6"nc%&n [6(!)\ = F(s) 'e6%n%'a *o# a %n!e#a

[ 6 (! )\ e 6 (! )' ! F( s)

De-e#4 e%s!%# a %n!e#a %m*#o*%a y 'e*en'%en!e 'e *a#4me!#o s es'ec%# 'e-e#4 se# cone#en!e *a#a c%e#!os ao#es 'e s S&oen!onces *o'#4 'ec%#se "e e%s!e a !#ans6o#ma'a 'e La*ace 'e 6(!)o "e 6(!) es 7 !#ans6o#ma-e

No!a E *a#4me!#o s se cons%'e#a#4 a" #ea Es es!o s"6%c%en!e *a#aas a*%cac%ones con ec"ac%ones '%6e#enc%aes %neaes 'e coe6%c%en!escons!an!es y a"nas 'e coe6%c%en!es a#%a-es

En o!#os casos es necesa#%o !#a-a+a# en e cam*o com*e+ocons%'e#an'o a s como com*e+o


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E6E&CICI' DEL 1 AL 7#

De os e+e#c%c%os 1 a esc#%-a a 6"nc%&n 'e6%n%'a en [0\ en !>#m%nos'e as 6"nc%ones esca&n "n%!a#%o 'e a #a6%ca

17


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f(t){0 0 t


32/45

t

tsin t

sin ( t)+t

f(t)=sin

En os e+e#c%c%os 7 esc#%-a a 6"nc%&n 'e6%n%'a en (0, ) en !e#m%nos 'e "na

6"nc%&n esca&n "n%!a#%o(

E5ercicio 7(

f( t)=

{ t , 0 t


33/45

f( t)=[2t+2 u (t1 )]+[4 u ( t2 )]+[2 t+6 u ( t3 )]+[t4 u ( t1 ) ]

E5ercicio (

f( t)={1,0 t


34/45

E+e#c%c%o :

f( t)={ 0, 0 t


35/45

E+e#c%c%o

f( t)={ t ,0t


36/45

Lfy(!)g= e72s Lf e(!K2) gK; Lf$(!7)g

Lfy(!)g= e72s[Lfy(!)g\K; e7sWs

Lfy(!)g= e72s[e;Ws7\K; e7sWs

1


37/45

Lfy(!)g=e72s[(e10Ws7< K 2e10Ws(s7


38/45

(!) =f0 0 l ! 2

2 !

2 !

0["(!70)7"(!71)\K1["(!71)7"(!7)\K2["(!7)\

"(!71)7"(!7)\K2["(!7) =(!)

7y(0)7Sy(0)KSh2 L fyg = "(!71)7"(!7)\K2["(!7)

Sh2 L fyg = "(!71)7"(!7)\K2["(!7)

L 71 L fyg = L 71 L f "(!71)7"(!7)\K2["(!7)g K L 71f1W Sh2g

= "(!71)7"(!7)\K2["(!7) !

7 yJ7y=(!) y(0)=1

(!) =

(!) =f! 0 l ! 1

!K2 1 ! 2

0 2 !

0["(!70)7"(!71)\K!K2["(!71)7"(!72)\K0["(!72)\

!K2["(!71)7"(!72)\= (!)

7y(0)7Sy(0)KSh2 L fyg = !K2["(!71)7"(!72)\

Sh2 L fyg = !K2["(!71)7"(!72)\L 71 L fyg = L 71 L f !K2["(!71)7"(!72)\g K L 71f1W Sh2g

= !K2["(!71)7"(!72)\ !


39/45

;7 yZK


40/45

(!) = "(!71)

7y(0)7Sy(0)KSh2 L fyg = "(!71)

Sh2 L fyg = "(!71)

L fyg = "(!71) K 1WSh2

L 71 L fyg = L 71 L f "(!71)K 1WSh2g

= "(!71) !

07 y7y=(!) y(0)= y(0)=0 (!)= f e7!W1

y7y=e7! K (17 e7!)"(!7)

y7y=e7!K"(!7) 7 e7!(!7)

L fy7g= L fe7! K " (!7) 7 e7! (!K)g

S2y(s)7y(s) = 1W(sK1) K 1Ws e7s7 e7s7 e7s L fe7!7g

y(s)(s27)= 1W(sK1) K 1Ws e7s 7 e7sWsK1 e7s

27 yK


41/45

y(s)= 1 W(s2 K 1)(sK) e7jW21 W(s2 K 1)(sK)= ASKBW(s2 K 1) K CW(sK) = AS2 K ASKBS KBKC S2KC W (s2 K 1) (SK< ) K C

y(s)= (1W102W (s2 K 1)) e7jW2 K W10 W s2K1 e 7jW2 7 1W10 W e 7jW2

L71 fyKyg= 1W10 L71 fsWs2K1 e 7jsW2gKW10 L71f1Ws2K1 e 7jW2g71W10 L71f1WsK e 7jW2g

y(!)= [1W10sen! W10cos!71W10 e !7jW2\"(!7jW2)

7 yKy=(!) y(0)=0 (!)= f g

yKy=cos!7cos!"(!7 jW2)

LfyKyg= Lfcos!g71fcos! " (!7 jW2)g

y(s)7y(s)=sWs2K1 7 e 7jW2 Lfcos(!7 jW2)g

y(s)=(s7)=sWs2K17 e 7jsW2 Lf7sen!g=sWs2K1 e 7jsW2y(s)= sW(ssK1)(s7) 7 1W(ssK1)(s7) e 7jsW2

y(s)= (7W1:s)W ssK1 K (1W1:)W ssK1 K (W1:s)W ssK7[7(1W1:s) ssK1e7jsW2 7 (W1:s) ssK1e 7jsW2K (1W1:s)Ws7K1e 7jsW2\

y(!)=7W1:cos!K1W1:sen!KW1:e !K(1W1:sen!7W1:cos!71W: e !7jW2)"(!7jW2)


42/45

y(s)=1W(1Ws2)(sK) 1W(sK1)(sK) e s! sen


43/45

$EMK2DO 1EONEJ DE 1N$LC=O2


44/45

5*NCI'N ECAL'N *NIA&I'

La 6"nc%&n esca&n "n%!a#%o es "na 6"nc%&n ma!em4!%ca "e !%ene comoca#ac!e#s!%ca e !ene# "n ao# 'e 0 *a#a !o'os os ao#es nea!%os 'e s"a#"men!o y 'e 1 *a#a !o'os os ao#es *os%!%os 'e s" a#"men!o e*#esa'oma!em4!%camen!e se#%a 'e a 6o#ma Pa#a !=0 se !%ene "e e *#oceso oc"##e%ns!an!4neamen!e *"es!o "e e a#"men!o 'e "(!) es e !%em*o ! "e cam-%a 'e

"n ao# nea!%o a "no *os%!%o Es!a 6"nc%&n no#mamen!e se "!%%.a *a#a*#esen!a# a#%a-es "e se %n!e##"m*en en an %ns!an!e 'e !%em*o *a#a es!o sem"!%*%ca a 6"nc%&n esca&n "n%!a#%o *o# a 6"nc%&n "e 'e6%ne a a#%a-e en e!%em*o como se m"es!#a a con!%n"ac%&n En a s%"%en!e 6%"#a se !%ene a #46%ca'e "na 6"nc%&n 6(!) 'e6%n%'a como S% se !oma es!a 6"nc%&n y se m"!%*%ca *o# a6"nc%&n esca&n "n%!a#%o "(!) se o-!%ene a s%"%en!e #46%ca

Como se *"e'e o-se#a# a 6"nc%&n 6(!)p"(!) %n%c%a en ce#o y con!%n"a en a'ean!econ os m%smos ao#es 'e 6(!) es!o se#a a #e*#esen!ac%&n 'e "n %n!e##"*!o# "ese enc"en!#a a-%e#!o y en "n !%em*o ! = 0 se c%e##a y a seMa "e se o-se#a a

*a#!%# 'e es!e momen!o !%ene como ao# 6(!)A"n"e es!a seMa es m"y !% ena"nos casos no se 'esea "e a seMa %n%c%e eac!amen!e en !=0 s%no "e %n%c%ean!es o 'es*">s como se 'em"es!#a en a 6%"#a En as 'os %m4enes an!e#%o#esse #ea%.& "n co##%m%en!o so-#e e e+e 'e !%em*o en "na se ,%.o ,ac%a a %."%e#'ay en o!#a ,ac%a a 'e#ec,a en am-os casos se a a 6o#ma 'e "(!) es as "e *a#a#ea%.a# e co##%m%en!o ,ac%a a %."%e#'a se cam-%& a 6"nc%&n "(!) *o# "(!K1)o#an'o "n co##%m%en!o ,ac%a a %."%e#'a 'e 1'an'o como #es"!a'o "e a6"nc%&n 6(!) no %n%c%e en ! = 0 s%no "e %n%c%e en ! = 71s% se 'esea "e e ao# 'e !*a#a "e %n%c%e a 6"nc%&n 6(!) sea *o# e+em*o ! = 7


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Documents

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Portafolio