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8/19/2019 Ecuaciones Diferenciales Clase 2 (2)
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UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
2. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
Diremos que una función
cualquiera, definida en algún intervalo
es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si
sustituida en dicha ecuación diferencial la reduce a una identidad.
EJEMPLO 1:
Verifique si la función es solución de la ecuacióndiferencial .
Para este caso derivamos la función y obtenemos .Esta derivada se sustituye en la ecuación diferencial y obtenemos
Usted puede verificar que al realizar las operaciones se cumple la
igualdad, por lo tanto sí es una solución.
EJEMPLO 2:
Dada la ecuación diferencial . Será ?La ecuación diferencial se puede escribir de la forma .Y calculamos la derivada de la función para hacer la sustitución:
, y al sustituir tenemos
, al simplificar, tenemos la identidad.Luego sí es una solución.
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EJEMPLO 3:
Muestre si la familia de curvas es solución de laecuación diferencial .
Calculemos la segunda derivada de la función,
Sustituimos en la ecuación diferencial,
Se tiene entonces la identidad, luego sí es una solución.
EJERCICIOS
Verifique si la función indicada es una solución de la ecuación
diferencial dada.
1. ; i = K ℮- 500 t 2.
; ℮
3. 2
1'
x y
;
C x
y
1
4. 0
3 y xdx
dy
; 3cx y
5. 02 z t
dt
dz
;
3
3
1t
ce y
6. 03'5''2 y y y ; x
x
eC eC y 322
1
1
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7. ;
8. 052 y y y ; )2(. xCose y x
9. y x y .;
Rcc x
y
,
4
22
10. x y xdx
dy3.
1
;
12 . xc x y
3. ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE
CURVASComo hemos visto dada una ecuación diferencial, su solución
general depende de una sola constante. El problema inverso es
dada una familia de curvas dependiendo de un parámetro obtener
la ecuación diferencial cuya solución sea la familia de curvas dada.
Por ejemplo, existe una familia de curvas para la función ,como se muestra en la gráfica.
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La ecuación diferencial de esta familia de curvas viene dada por su
derivada,
A menudo, una ecuación diferencial de primer orden se da en forma
diferencial. La ecuación diferencial anterior se puede escribir como
Cada curva de la gráfica anterior debe ser solución de ella.
Veamos otro ejemplo, determinemos la ecuación diferencial de la
familia de curvas . El gráfico de esta familia viene dado por,
Derivemos la ecuación, , pero de la familia de curvassabemos que , reemplazamos y obtenemos,
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Simplificando se tiene la ecuación diferencial
Un ejemplo más. Determinemos la ecuación diferencial cuya
solución sea la familia de curvas . Su graficaes,
Derivando tenemos,
Despejamos A de esta ecuación pata tener,
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Este valor lo podemos reemplazar en la familia de curvas y
tenemos,
Usted puede resolver los binomios al cuadrado y simplificar para
tener una expresión más sencilla.
EJERCICIOS
I. Usando el graficador de funciones grafique la familia de curvas
correspondientes a:
1. 2. 3. 4. 5.
II. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la
familia de curvas dada.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
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10. 11. 12.
13. 14. 15. 16. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectas que
pasan por el origen.
17. Encuentre la ecuación diferencial que representa a la
familia de rectas que pasan por el punto (2,1).
18. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general
sea la familia de círculos centrados en el origen y de radio
A.
19. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general
sea la familia de parábolas que pasan por el origen con el
eje como su eje común.20.
Encuentre una ecuación diferencial cuya solución generalsea la familia de elipses con centro en el origen y ejes
sobre los ejes coordenados.
21. Encuentre una ecuación diferencial de tercer orden que
contenga como solución , donde A yB son constantes arbitrarias. ¿Clasificaría usted esta
solución como una solución general de la ecuación
diferencial?22. Demuestre que la ecuación diferencial de la familia de
círculos es
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II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
Estas ecuaciones son una herramienta fundamental para estudiar el
cambio (en el mundo natural y social). En las ciencias de la vida, en la
ingeniera, en la física, en la psicología, en la biología, entre muchas
otras áreas, estas ecuaciones son herramientas fundamentales en los
aspectos cuantitativos que tienen relación con el cambio. Una gran parte
de los modelos matemáticos que buscan comprender y predecir los
fenómenos tienen su base en la teoría de ecuaciones diferenciales.
Ley de enfriamiento de Newton: La tasa de cambio de la
temperatura de un cuerpo con respecto al tiempo esproporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del
medio ambiente, que llamaremos .
La tasa de cambio de la población es proporcional al tamañode la población:
Para recordarlo y diciéndolo de una de manera más simple, una
Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) involucra una función (dependiente de una variable ) y una o más de sus derivadas. Pero
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para ser EDO de primer orden, la máxima derivada que debe aparecer
esdx
dy.
Toda ecuación diferencial de primer orden se puede escribir como:
o
1. SOLUCION POR VARIABLES SEPARABLES:
Suponga que puede escribir como el producto de dosfunciones y que dependen solo de x, una de ellas, y la otradepende de y. Esto es: . Entonces, se puede escribir
)()( y g xhdc
dy . Una expresión de esta forma es una ecuación
diferencial de variables separables.
Para resolver este tipo de ecuación se hace lo siguiente:
a) Se escribe )()( y g xhdx
dy
b) Se separan las variables: dx xh y g
dy)(
)(
c) Se integra: dx xh y g dy )()(
d) Se calculan las dos integrales
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Nota: Todo cero (toda raíz) x de da lugar a la soluciónconstante
Además recuerde que una solución de esta ecuación es una función
que al sustituirla por en la ecuación, satisface la ecuación paratodo en un intervalo, es decir da una identidad.
En este capítulo sólo estudiaremos ecuaciones diferenciales de
primer orden, es decir, aquellas que involucran sólo la primera
derivada de . Estas ecuaciones tienen la siguiente particularidad:Podemos concluir algo más general:
Una ecuación de la forma , se resuelve mediante laintegración y la solución es .
1.1.
Problemas de valor inicial y de frontera
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la
solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución
particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a
los problemas de valor inicial o de frontera.
Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuacióndiferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a lafunción desconocida y a sus primeras derivadas en un valor dela variable independiente. Es decir
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EJEMPLO 1:
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la
recta tangente en el punto está dada por . ¿Hallar el miembrode esta familia que pasa por el punto ?
El problema de valor inicial asociado es con .
Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e
integrar
Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la curvabuscada es
, la cual se muestra
en la figura.
Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una
ecuación diferencial ordinaria de orden y de condiciones de
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frontera impuestas sobre la función desconocida en valores de lavariable independiente. Es decir:
EJEMPLO 2:
Consideremos la ecuación diferencial sencilla , separando las
variables tendremos e integrando a lado y lado nos da,
Este resultado se denomina la solución general de la ecuación
diferencial. Observe que la solución de la ecuación diferencial
contiene una constante arbitraria c . Este resultado permite decir
que las ecuaciones diferenciales no tienen una solución única sino
que tienen muchas soluciones, porque la ecuación secumple para cualquier valor de la constante c .
EJEMPLO 3:
Resolvamos la ecuación .
Nuevamente separamos variables y tenemos . Siintegramos a lado y lado,
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EJEMPLO 4:
Resuelva
Realizando una separación de variables tenemos,
Integrando a lado y lado,
EJEMPLO 5:
Resolvamos ahola la ecuación diferencial16
3
xt
dt dx .
Se identifican las funciones:
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;1
1)(
6 x
x g
Se separan las variables:
(x 6 + 1)dx = t 3dt
Se integra:
dt t dx x 36 1
La solución queda: C t x x 47
41
71
EJEMPLO 6:
Resuelva la ecuación diferencial tdt x
dx2
2 y halle la curva integral
que pasa por ).Separamos variables: tdt
x
dx2
2 .
Integramos: tdt xdx
22
. Queda C t x
21
.
Ordenando daC t
x
2
1.
Para hallar la curva integral que pasa por )2
1,0( .hay que hallar C.
Entonces,21 x para t = 0. Sustituyendo queda:
-2
12
0
1
2
12
t
xC C
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EJERCICIOS
Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.
1. R/ 2.
R/
3. R/ 4. R/ 5. R/ 6.
sujeta a R/
7. sujeta a R/ 8.
R/
9. R/
10. R/ 11. R/ 12.
R/
13. R/
14.
R/
15. R/
16. R/ 17. R/ 18.
R/
19.
R/
20. R/