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“Ecuaciones diferenciales” Planeación didáctica del tema
Tópicos ECUACIONES DIFERENCIALES
Temas Métodos de Euler
Familia de Runge Kutta (2 y 4)
Objetivos
específicos
Proponer solución a situaciones reales que se resuelven en forma
óptima
mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones
diferenciales de
segundo orden con valores iniciales.
Implementar métodos de Euler y la familia de Runge Kutta
para
encontrar la solución de ecuaciones diferenciales con
condiciones
iniciales y valores de frontera.
Emplear software indicado y/o en su caso diseñar programas
especializados para hacer corridas, y estimar el concepto de
error.
Interpretar resultados en el contexto del problema.
Niveles de
comprensión
Niveles Evidencia de aprendizaje
1. Reproducción
de conocimiento
Reproduce el concepto de ecuación diferencial, al
interpretar un fenómeno.
Ubica atributos de una ecuación diferencial.
Evidencia de aprendizaje 5.1, 5.2
2. Aplicación
básica de
habilidades y
conceptos
Resuelve problemas rutinarios, en cuyo algoritmo
se constituye en múltiples etapas.
Evidencia de aprendizaje 5.3, 5.4, 5.5
3. Desarrollo de
un plan o una
secuencia de
pasos lógicos
Explica y conecta ideas, usando evidencia que lo
sustente.
Construye una representación que muestra como
se ve y/o funciona un caso real.
Cita evidencia y desarrolla un argumento lógico
para hacer conjeturas.
Resuelve el problema y analiza escenarios
distintos.
Evidencia de aprendizaje 5.6, 5.7
4. Pensamiento
matemático
(razonamiento
y abstracción)
Sintetiza ideas en nuevas representaciones
(elaborar pseudocódigo, diagrama de flujo y
programa en código).
Evidencia de aprendizaje 5.8a
Escribe el código fuente y presenta el ejecutable-
Ingeniería en Computación
Evidencia de aprendizaje 5.8b
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Conduce una investigación sobre el problema
resuelto: Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica,
Eléctrica- Electrónica:
Evidencia de aprendizaje 5.8b
Recursos
digitales:
Ejecutables elaborados para el proyecto PAPIME
Método de Euler
Video elaborado para el proyecto:
https://youtu.be/hVUGLZJcafk
De apoyo:
https://support.office.com/es-es/article/v%C3%ADdeo-crear-un-
gr%C3%A1fico-combinado-c7921539-cda8-4913-9cd7-170f372d21a2
https://www.lucidchart.com
Test de
reposición
Ponte a prueba
Tema para
participación
en foro
¿Qué otras aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias
puedes
reconocer de la vida real?
Encuesta de
satisfacción
Preguntas de reflexión
Referencias
bibliográficas
Carnahan B., Luther H.A., Wilkes J.O. (1969). Applied Numerical
Methods,
McGraw- Hill, México.
Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for
Engineers.
McGraw Hill, U.S.
- Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973).
Lenguajes de
diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México
- Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to
Numerical Methods.
A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S.
- Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos
Numéricos
Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México.
- Scheid F. (1972). Análisis numérico, McGrawHill, México.
- Zill, D.G. (1988). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones.
Iberoamerica,
México
https://youtu.be/hVUGLZJcafkhttps://support.office.com/es-es/article/v%C3%ADdeo-crear-un-gr%C3%A1fico-combinado-c7921539-cda8-4913-9cd7-170f372d21a2https://support.office.com/es-es/article/v%C3%ADdeo-crear-un-gr%C3%A1fico-combinado-c7921539-cda8-4913-9cd7-170f372d21a2https://www.lucidchart.com/
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Contenido
Presentación 4
Objetivos específicos 6
¿Qué vas a aprender? 6
Lo que debes saber antes de comenzar 8
Autoevaluación diagnóstica 11
Investiga y define 11
NIVEL 1 12
¿En qué situaciones se usan las ecuaciones diferenciales? 12
Caso 1 12
Caso 2 13
Caso 3 13
Caso 4 14
Caso 5 15
¿Qué pasa si…? 16
Actividades de aprendizaje 17
Foro 19
NIVEL 2 20
Métodos de Euler y de Runge Kutta 20
Método de Euler, una solución numérica para ecuaciones
diferenciales 20
Método de Taylor 23
Familia de métodos de Runge Kutta, para ecuaciones diferenciales
26
Ejemplos previos a las actividades de aprendizaje 30
Actividades de aprendizaje 35
NIVEL 3 44
Ejemplos de aplicación 45
Actividades de aprendizaje 56
NIVEL 4 59
Tu proyecto 60
Pseudocódigo 60
Actividad de aprendizaje 61
Ponte a prueba 62
Test de reposición 62
Preguntas de reflexión 63
Rúbricas de evaluación 64
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La importancia de estudiar métodos numéricos para la solución de
ecuaciones
diferenciales se debe a que existen numerosas situaciones que
únicamente se pueden
resolver por medios numéricos, tales como, el análisis de flujos
en reactores químicos,
movimientos con amortiguación, vibraciones de motores,
crecimiento poblacional,
economía de regiones, por mencionar algunas de ellas.
En este apartado se estudian los temas clásicos de ecuaciones
diferenciales, mediante
métodos numéricos, con un alcance en la solución de este tipo de
ecuaciones, bajo
condiciones iniciales o de frontera.
Los propósitos educativos del presente texto son los de abordar
la formulación de tales
problemas, bajo una perspectiva de modelación matemática, para
continuar con la
presentación de los métodos de Euler, Taylor y Runge- Kutta
(segundo y cuarto orden),
mediante actividades de aprendizaje, las cuales, como acciones
estructuradas, se
orientan a la resolución de problemas, a participar en un foro y
al desarrollo de un
proyecto.
Debido a que las ecuaciones diferenciales son un mecanismo muy
útil para modelar
procesos dinámicos, este este apartado, también se presentan
escenarios concretos en
el campo de la ingeniería, que le permitan al estudiante poner
en práctica conceptos de
métodos numéricos, tomar decisiones en el momento de resolver un
problema real y/o
abstracto, y emplear algoritmos, aplicando o diseñando software
necesario.
El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al
cuatro, en donde se
entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de las
ecuaciones diferenciales
con la presentación de solución de problemas, paso a paso, que
se describen con
modelos matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan
en el desempeño
profesional.
Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de
aprendizaje interactivas que
coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento
matemático y estrategias de
solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a
sitios de internet e incluso,
se proporciona software didáctico, para hacer más significativo
y efectivo el
aprendizaje.
Presentación
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Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1,
está referido a la adquisición
del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar
sus conocimientos
previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser
tratados con Métodos
Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades
cognitivas que permitan
la aplicación de métodos de solución para ecuaciones
diferenciales.
El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar
acerca de los algoritmos, y
para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel
de análisis y síntesis.
Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una
orientación en la que el estudiante
use lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos
Numéricos, también en
otros contextos académicos y externos, que se refleje en su
creación.
Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la
docencia, cuyo diseño también
favorece el trabajo colaborativo en un intento de emular el
futuro profesional y, por
tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del
conocimiento y su
comportamiento ético y profesional.
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Los objetivos específicos de esta sección son:
Proponer solución a situaciones reales que dan origen a
ecuaciones diferenciales
ordinarias, ecuaciones diferenciales de segundo orden con
valores iniciales.
Implementar métodos de Euler y la familia de Runge Kutta para
encontrar la
solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales y
valores de
frontera.
Emplear software indicado y/o en su caso diseñar programas
especializados
para hacer corridas, y estimar el concepto de error.
Interpretar resultados en el contexto del problema.
¿Qué vas a aprender?
A continuación, se presenta una explicación de los objetivos de
aprendizaje.
Cuando se estudian algunos problemas relativos a la Ingeniería y
a la Física se generan
modelos matemáticos, de los cuales algunos corresponden a
ecuaciones donde se
relaciona la variación de una magnitud con condiciones internas
y externas, llámense
variables endógenas y exógenas del sistema.
En un curso regular de ecuaciones diferenciales, se aprenden
técnicas para encontrar
la solución exacta, es decir, la función primitiva que satisface
la ecuación. Las técnicas o
métodos analíticos permiten generar soluciones exactas, que se
visualizan como
relaciones funcionales que no incluyen derivadas ni integrales
de funciones
desconocidas.
Por analizar, se trata de descomponer el todo en cada una de sus
partes y examinar a
detalle la situación y/o fenómeno, de tal forma que se distinga
la forma especial de la
ecuación y sus componentes, cuando se conocen. Por ejemplo,
2𝑓′′′ + 𝑓𝑓′′ = 0
La forma compleja de la ecuación de Blasius en Mecánica de
Fluidos, es una ED
ordinaria, de tercer orden y grado uno. Nótese que 𝑓𝑓′′, implica
que la función primitiva
se multiplica por su segunda derivada.
Objetivos específicos
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Esta ED no puede evaluarse bajo el método analítico, ya que no
se conoce una integral
explícita, y por ello, se propone abordar tales situaciones
mediante métodos numéricos.
Así que, los métodos analíticos están limitados a cierta
estructuración de las ecuaciones,
lo cual no ocurre con los métodos numéricos. Obviamente, la
solución numérica no se
genera como una relación funcional, sino que se caracteriza
porque proporciona una
solución aproximada dada una tabla de valores (tabulación), con
un resultado
numérico.
Para lograr la solución de una ED hay que recordar que
- un problema de valores iniciales o condiciones iniciales, se
refiere a obtener
una función solución y(t), de la cual se conoce su valor y el de
sus derivadas en un punto
inicial 𝑡0.
- Un problema con valores de fronteras, se refiere al alcance,
el intervalo de
solución de la ED, esto se establece por condiciones que
prevalecen en dos puntos de la
variable independiente de 𝑡0 𝑎 𝑡𝑛.
Así, dada una ecuación diferencial, se trata de obtener el valor
numérico aproximado
de la función f(x) de la que se conoce su valor y el de sus
derivadas en un punto inicial
𝑦0. Esto es, se presentarán métodos numéricos para resolver
problemas de la forma:
𝑦′(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑝𝑎𝑟𝑎, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Sujeta a una condición inicial 𝑦(𝑎) = 𝑦0, y definiendo la
condición de frontera.
Dos métodos numéricos se presentarán para obtener un valor
aproximado de la
solución 𝑦(𝑥) del problema de solución inicial: el método de
Euler por su facilidad de
comprensión, para las ecuaciones diferenciales ordinarias.
También, de la familia de métodos Runge- Kutta, se analizará el
método de orden 2
(RK2) y (RK4), como fundamento para comprender métodos más
complejos.
Dado que los métodos numéricos proporcionan una solución
aproximada mediante una
tabla de valores, y tienen la ventaja de basarse en
procedimientos generales que no
dependen de una ecuación a resolver, la precisión obedece al
error. Por ello, también
se determinarán formas para calcular el error por
iteraciones.
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Como métodos numéricos, los de Euler y de Runge Kutta, requieren
iteraciones, por lo
cual es indispensable programar y/o usar un software para la
resolución de
problemas numéricos, así como reinterpretar los resultados.
En nuestro mundo las cosas cambian, y describir cómo lo hacen,
significa determinar
una tasa de cambio o una relación de variabilidad entre un
objeto y su entorno. Newton
se dio cuenta que diversos fenómenos físicos podían ser
descritos en lenguaje
matemático y más aún, ser modelados como “ecuaciones
diferenciales” y/o “sistemas
de ecuaciones diferenciales”.
Reflexiona en lo siguiente; en el campo de la ingeniería un
proceso de transformación
se suele representar, como una caja negra (Fig. 5.1):
Fig. 5.1 Esquema de bloque de caja negra
Existe una entrada de datos al sistema, los cuales son
procesados por funciones de
transformación, para generar datos de salida.
Los datos de entrada se conocen en la terminología de sistemas,
como variables
exógenas, el proceso de transformación maneja variables de
estado, y las variables de
salida, se suelen llamar variables endógenas.
En lenguaje matemático, las variables exógenas se representan
por “x”, las endógenas
por “y”, y el proceso por “f(x)”.
La relación entrada- salida de un sistema lineal estacionario
viene dada, en general, por
𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑦 = 𝑓(𝑥), representa una función, el modelo del sistema, en
estado estable, llamado
también el primitivo. Esta forma de representación es muy útil,
debido a que se conoce
la estructura del sistema (en sus componentes más relevantes),
lo cual permite
optimizar1 al sistema de acuerdo con ciertas condiciones.
1 Por optimizar se entiende, maximizar y/o minimizar atributos
del sistema per se.
Lo que debes saber antes de comenzar
Entrada Proceso Salida
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No obstante, en la realidad, se conocen manifestaciones del
sistema, como puede ser,
por ejemplo, en cómo las poblaciones cambian, cómo fluye el
calor en un mecanismo, el
decaimiento de la radioactividad en un elemento, etc.
Estos ejemplos representan a distintos sistemas en movimiento, o
sea su dinamismo,
lo cual simbólicamente se representa por ecuaciones que
contienen derivadas2.
Lo anterior, se interpreta que la variable endógena varía en
función de la variable
exógena. O sea, la variable dependiente (y) representa la
cantidad a ser diferenciada o
analizada(𝑑𝑦), en función de la variable independiente (𝑥), a
través del incremento
(dx).
Cuando las derivadas se relacionan con funciones, y en
ocasiones, con parámetros y
constantes, se le llama Ecuación Diferencial. Véase este caso:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 5𝑥.
En el ejemplo, se tiene una derivada (𝑑𝑦
𝑑𝑥), el símbolo (=), representa la relación de “y”
con su entorno “x”, y también el símbolo “y”, indica que está en
función de la variable x.
Así que, una Ecuación Diferencial (ED) es un modelo de un
sistema que está trabajando.
Entonces, el modelo f(x) es la representación del sistema, y la
ED es la representación
de cómo funciona dicho sistema.
El propósito de las ED es resolverlas para determinar su
primitiva, y con ello, hacer las
manipulaciones necesarias para ajustar al sistema en condiciones
óptimas.
Por supuesto, también requiere de mucha destreza y conocimiento
de cálculo para
resolverlas. Por ello, su análisis, es identificar su tipo o su
clase, para elegir el método
de solución: se busca descubrir la función y/o el conjunto de
funciones y al respecto,
existen muchos “trucos” para resolverlas (si pueden ser
resueltas analíticamente).
Se llega a que:
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que
relaciona alguna función
con sus derivadas o diferenciales de una o más variables
dependientes con respecto
a una sola o más variables independientes. En aplicaciones, las
funciones
2 Recordar que una derivada es una razón de cambio, por ejemplo,
(𝑑𝑦
𝑑𝑥), 𝑦′, 𝑓′(𝑥), y también, �̇�, son
simbología que puedes encontrar en distintos textos.
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generalmente representan cantidades físicas, las derivadas
representan las tasas de
cambio, y la ecuación diferencial define la relación entre
ambas.
Sobre las clases de ecuaciones diferenciales
Hay distintos tipos de ecuaciones diferenciales. Aquí
presentamos una clasificación.
Cuando una función involucra una variable independiente (𝑒𝑗.
𝑑𝑥), la ecuación se llama
ecuación diferencial ordinaria 𝐹(𝑥, 𝑦,𝑑𝑦
𝑑𝑥, … ,
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛= 0). Por ejemplo,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒−𝑥 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 5𝑦 = 1
(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 4𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2−
2𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0
En las ecuaciones diferenciales ordinarias puede existir más de
una variable
dependiente, siempre con respecto a una sola variable
independiente.
En contraste, una ecuación diferencial parcial, involucra dos o
más variables
independientes y su simbología cambia al uso de 𝜕. 𝜕𝑢
𝜕𝑦−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑥𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦= 𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2− 2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Las ecuaciones diferenciales, también se clasifican por su
orden. Las de primer orden,
reciben su nombre porque la tasa de mayor derivación, es una
primera derivada. Por
ejemplo, la velocidad es la primera derivada de la distancia con
respecto al tiempo.
De segundo orden, involucran una segunda derivada, en el caso de
la velocidad, si se
calcula la segunda derivada de la distancia con respecto al
tiempo, se obtiene la
aceleración. Sucesivamente, una tercera derivada, recibe el
nombre de ecuación
diferencial de tercer orden, etc.
𝑎2𝜕4𝑢
𝜕𝑥4+
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2= 0
En este ejemplo, la ecuación diferencial es de cuarto orden.
Además, es también una
parcial. Así, que es una ecuación diferencial parcial de cuarto
orden.
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Otra forma de distinguir a las ecuaciones diferenciales, es por
su grado, que se refiere
a la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor
orden.
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2
+ 𝑎 = 1
Hay que tener especial cuidado en ejemplos como este
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2+ 𝑎 = 1, ya que en la ecuación diferencial el mayor orden de
derivación
(𝑑2𝑦
𝑑𝑥2) está elevado a la potencia 1.
Cuando se requiere solucionar una ecuación diferencial,
significa que se debe
encontrar una primitiva o la función original, que satisfaga a
la ecuación diferencial, y
por ende, no aparecerán derivadas ni diferenciales.
Autoevaluación diagnóstica
El volumen de una esfera de radio r es: 𝑉 =4
3𝜋𝑟3.
Si el radio se expande a razón de 0.5m/s, encontrar la razón de
cambio cuando r= 3 m
a. Definir 𝑑𝑟
𝑑𝑡=____________________
b. Definir 𝑑𝑉
𝑑𝑡=____________________
c. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen?
____________________
Investiga y define
Identifica si los ejemplos que a continuación se presentan
corresponden a
a. Una ecuación diferencial ordinaria o parcial
b. Define el orden
c. Define el grado
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 5𝑦 =
1_______________________________________________________________________________
2. (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 4𝑦𝑑𝑦 =
0___________________________________________________________________
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3. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 6𝑦 =
0_______________________________________________________________________
4. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
3− 4𝑦 =
𝑥___________________________________________________________________
5. (𝑑2𝑦
𝑑𝑥2)
3
+ 3𝑦 (𝑑𝑦
𝑑𝑥)
7+ 𝑦3 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2= 5𝑥_____________________________________________________
NIVEL 1
Uno de los objetivos en el estudio de las ecuaciones
diferenciales, inicia con la
construcción del modelo, el cual debe proporcionar un
acercamiento aceptable al
sistema real, en sus partes más relevantes.
Si en caso, no se cuenta con los conocimientos técnicos de
diseñar modelos
matemáticos, sí que es necesario comprender tales modelos y
experimentar con ellos.
A continuación, se describen algunos modelos matemáticos
sencillos que se basan en
ecuaciones diferenciales ordinarias.
¿Qué pasa si…?
1er caso. Un objeto de masa m y un resorte
Se tiene un sistema mecánico constituido por un cuerpo con masa
m, cuyo centro de
masa es P. El cuerpo se traslada sobre el eje x, debido a que se
encuentra ligado a un
resorte, cuyos extremos son A y P.
Fig. 5.2 Sistema mecánico con resorte
La acción del muelle está dada por la
Ley de Hook:
𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥
Aplicando la segunda Ley de Newton
𝑚𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= −𝑘𝑥
¿En qué situaciones se usan las ecuaciones diferenciales?
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En el sistema mecánico se debe tener en cuenta a la elasticidad,
esto es, hay tensión
cuando se jala, y la compresión cuando se oprime (fig. 5.2). Si
el sentido de la fuerza es
en la dirección positiva del eje x, el signo es positivo, si no,
entonces es negativo. En el
sistema, P se mueve a la izquierda, generando compresión, por
eso el signo (-).
El sistema se puede ajustar, para estar más acorde a la
realidad, por ejemplo, se puede
agregar al modelo las consideraciones de oscilaciones y
rozamiento. Cuando esto
ocurre, el sistema no puede ser resuelto por medios analíticos,
se debe recurrir al
método numérico.
2° caso. Un péndulo
Un péndulo es un sistema compuesto por una cuerda de la cual
pende un cuerpo, que
oscila sobre su eje. El péndulo tiene una longitud l, con un
objeto de masa m. El objeto
oscila por la acción de la gravedad. El sistema tiene
movimiento, y la ED deberá
representar tal movimiento.
Fig. 5.3 representación gráfica de un péndulo
De nuevo se toma la Segunda Ley de Newton, debido a que la
masa del sistema origina un movimiento acelerado y por
momentos desacelerado en forma cíclica (Fig. 5.3). Hay que
analizar que se tiene una masa, la longitud de la cuerda y
un
ángulo que se forma con la vertical.
𝑚𝑑2(𝑙𝜃)
𝑑𝑡2= −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃(0) = 𝜃0
𝜃′(0) = 𝜃′0
Nótese que en F=ma, a es la segunda derivada de la posición. A
medida que el péndulo
oscila, el ángulo 𝜃, crece y decrece. La fuerza que ejerce la
masa en el péndulo es la
resultante de una componente de la fuerza, por ello, el seno del
ángulo.
En este modelo se están presentando las condiciones
iniciales.
El sistema es de mayor complejidad que el presentado en el caso
1, ahora imagine si se
tomaran en cuenta oscilaciones ligeras.
3er caso. Órbita de un satélite
Considere la necesidad de calcular la órbita de un satélite
alrededor de la Tierra. Existen
algunas consideraciones del modelo simplificado, la masa total
de la Tierra se encuentra
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concentrada en su centro de gravedad y la única fuerza que
interviene es la de la
gravedad.
El sistema de referencia es la Tierra, que se encuentra en el
origen de las coordenadas.
La posición del satélite en el plano está dada por 𝑟 = (𝑥, 𝑦).
Se toma en cuenta la Ley de
la Gravitación Universal.
𝐹 = −𝐺𝑀 ∙ 𝑚
𝑟2∙ 𝑢
F, representa la fuerza gravitatoria.
G, es la constante de gravitación universal.
M y m son las masas de cuerpos que se relacionadas.
r, es la distancia que separa a los cuerpos.
u, es un vector unitario que posee la misma dirección de
actuación de F, aunque en
sentido contrario.
Fig. 5.4 Satélite alrededor de la Tierra
𝑚𝑑2𝑟
𝑑𝑡2= −𝐺𝑀𝑚 (
𝑟
||𝑟||3)
𝑟(0) = 𝑟0
𝑟′(0) = 𝑟′0
Este problema todavía tiene solución analítica,
aunque viene dada en forma implícita (por lo que
para obtener la trayectoria hay que recurrir
necesariamente a métodos numéricos).
Si se pretendiera llevar el caso a un ámbito más real, se
requiere calcular las
trayectorias con mayor precisión, esto es, el modelo queda más
sofisticado, por ejemplo,
la forma achatada de la Tierra, las influencias del Sol y la
Luna, etc.
4° caso. La población y su crecimiento
Uno de los modelos más conocidos de ED, es el correspondiente a
crecimiento y
decrecimiento de una población. Malthus (1798) genera un modelo
de crecimiento
demográfico (Fig. 5.5). Se parte de la existencia de una tasa de
crecimiento de una
población de una comunidad que crece en forma proporcional a una
población total en
cualquier momento del tiempo.
El planteamiento radica en determinar el número de personas que
habrá en el futuro.
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Fig. 5.5 Thomas Maltus
𝑑𝑃
𝑑𝑡∝ 𝑃, La tasa de crecimiento de una población es
proporcional a la población total. En otras palabras,
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃
k, representa una constante de proporcionalidad, ya sea
para el crecimiento y/o decrecimiento de una población.
El problema del valor inicial 𝑝(𝑡0), dependerá del tipo de
población que se tome, por ejemplo, bacterias.
El modelo presentado es uno de los más sencillos, ya que no
contempla la movilidad
poblacional, tal como sucede con la migración. Sin embargo, el
objetivo es que se
visualice el concepto de dinamismo y la modelación matemática
que le precede.
5° caso. Gestión de empresas
Considerar el proceso de caja negra en una empresa, cuyos
insumos se denotan por
𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛, tal como se muestra en el diagrama de bloque
(Fig. 5.6). La relación entre
el producto final y los insumos que pasan por un proceso de
transformación está dada
por: Fig. 5.6 Función de producción
𝑑𝑃 =𝜕𝑓
𝜕𝑥1𝑑𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2𝑑𝑥2
dP, representa las variaciones, o los
incrementos ∆ en los atributos del producto P. 𝜕𝑓
𝜕𝑥1𝑑𝑥1 y
𝜕𝑓
𝜕𝑥2𝑑𝑥2, son las parcialidades de
insumos.
En lugar de pensar en una única variable insumo I, se pensó en
porciones de entradas
(lo que determina la ecuación diferencial), o sea, que los
insumos son variables
independientes que ingresan al proceso de transformación f, y
generan
incrementos/decrementos de producto por cada insumo 𝑑𝑥1/ 𝑑𝑥2
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Dada una función continua se puede obtener su derivada. Cuando
ya se tiene la derivada
de dicha función, se le puede aplicar un proceso analítico o
numérico con el cual se
obtenga nuevamente la función original o primitiva.
En el ciclo una ecuación que contenga derivadas se llama
ecuación diferencial, y
aplicando un proceso analítico o numérico, se puede obtener, la
función original o
primitiva.
Con el uso de métodos numéricos, una vez comprendido el
algoritmo, su
instrumentación mediante el uso de computadoras se realiza en
forma muy eficiente.
Sin embargo, toma mucho decidir si la solución generada de la
ecuación diferencial, en
realidad tiene un “sentido común” con respecto al problema
teórico y/ o práctico que
se está resolviendo.
Por ello, en esta sección, más que pensar en el análisis del
resultado, que se puede
estudiar en el apartado de funciones polinomiales y
trascendentes, se dedicará a
analizar si la solución numérica de la ecuación diferencial es
la adecuada, cuando no se
conoce la solución analítica.
CASO 1. Cambiar el paso h, o sea los subintervalos de cálculo.
En la búsqueda de la
solución numérica de ecuaciones diferenciales, se establece un
rango de valores. Estos,
se subdividen en pasos h.
Por ejemplo, si se desea conocer el valor de “y” para un sistema
que oscila, libre de
gravedad, en principio, no se esperaría que la velocidad aumente
en un periodo de 𝑥𝑖 a
𝑥𝑖+1, por ello, es que si se toman pasos pequeños y se realiza
el cálculo y luego, pasos
con otros subintervalos distintos, la solución debería presentar
un resultado constante.
¿Qué pasa si...?
Función primitiva
Ecuación diferencial
Método analítico/ numérico
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Si el método se ha implementado correctamente, la solución de la
ecuación diferencial
posiblemente será similar con una medida de paso h y otra
medida, para la misma
ecuación diferencial h.
CASO 2. Cada método numérico genera soluciones aproximadas con
un margen de
error. Una estrategia es aplicar distintos métodos numéricos a
la misma ecuación
diferencial y determinar gráficamente, si los resultados
muestran cierta convergencia.
Por ejemplo, si se analiza el movimiento de un resorte, y se
aplica el método de Euler,
conforme el tiempo transcurre se observa un comportamiento
imposible: la amplitud
de la masa del resorte crece con el tiempo, lo cual viola el
principio de conservación de
la energía.
Por ello, aplicar otros métodos permite determinar si hay algo
incorrecto, con el
resultado obtenido.
CASO 3. Hacer los cálculos con apoyo de software y/o en su caso,
diseñar el propio
programa, en lugar de hacer cálculo en forma manual.
Evidencia de aprendizaje 5.1
Se requiere analizar los siguientes casos y determinar si cada
uno de ellos se soluciona
con ecuaciones diferenciales o no. Justificar la respuesta.
Una placa de longitud l, ancho h y espesor
unitario, es sometida a fuerzas longitudinales en
el eje x y originan compresión. Además, a la
placa se le aplica una fuerza de torsión en sus
extremos y se toman lecturas de la deformación.
a. ¿Se resuelve por ecuaciones diferenciales?
Si( ) No ( )
¿Por qué?
-
18
Una lancha navega por el río y es arrastrada por
la fuerza de la corriente hacia otra dirección, que
no coincide con la que sigue la lancha. De cada
orilla del río se atan unos cables rígidos a unos
cabos y se enganchan con la lancha. Se hace la
pregunta sobre las fuerzas que hay que aplicar a
las cuerdas para mantener la lancha en
equilibrio.
b. ¿Se resuelve por ecuaciones diferenciales?
Si ( ) No ( )
¿Por qué?
Un borracho intenta llegar de la cantina a su
casa. El trayecto es en línea recta con una
distancia x. Sin embargo, el borracho zigzaguea,
yéndose de izquierda a derecha, en forma
alternada. Por momentos, titubea e intenta
seguir la línea sin éxito. El interés radica en
calcular la posición del borracho a lo largo de su
trayectoria.
c. ¿Se resuelve por ecuaciones diferenciales?
Si ( ) No ( )
¿Por qué?
Comenta tus hallazgos con tus compañeros y, si tienes dudas,
apóyate con tu profesor.
Es interesante hacer conjeturas y tener la posibilidad de
debatir sobre conceptos que
ya conoces, pero que ahora bajo una perspectiva de exponer
aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales.
El problema de valor inicial
Como se ha mencionado, en este apartado se busca resolver
problemas de la forma:
-
19
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), con y(a), su valor inicial
Donde f(x, y) es una función en la cual están involucradas las
variables x, además, de y.
Por ejemplo; la ecuación diferencial está sujeta al valor
inicial y(0)=0 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 6 − 2
𝑦
𝑥
Evidencia de aprendizaje 5.2
Identifica cuáles de los siguientes ejemplos representan
ecuaciones diferenciales
ordinales con valor inicial (si es/ no es). Realiza las
manipulaciones algebraicas
necesarias para llegar a la forma 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), y decide.
𝑑𝐴
𝑑𝑡= 6 −
𝐴
100
Sujeta a A(0)=0
a.
Si es ( )
No es ( )
𝑦′ + 𝑦2 − 𝑦 = 0
Sujeta a x(0)=0
b.
Si es ( )
No es ( )
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑥
𝑥 = 0; 𝑦 = 2
c.
Si es ( )
No es ( )
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦𝑙𝑛𝑦
𝑥
𝑦(2) = 𝑒
d.
Si es ( )
No es ( )
3𝑑𝑦 = (50𝑥2 − 10𝑦)𝑑𝑥
𝑦(0) = 0
e.
Si es ( )
No es ( )
FORO DE DISCUSIÓN. Con tu equipo, genera un video de máximo dos
minutos ¿Qué
otras aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias puedes
reconocer de la vida
real?
-
20
NIVEL 2
Las aplicaciones de ecuaciones diferenciales brindan múltiples
posibilidades, en
muchos casos comprender cómo funciona “algo” de interés, hasta
generar posibles
conclusiones del dinamismo/ evolución del sistema
involucrado.
Asimismo, los modelos de ecuaciones diferenciales parten en gran
medida, del concepto
de continuidad en el tiempo y en el espacio.
Para muchas ED, las posibilidades de resolver por vías
analíticas no son posibles, esto
es, no se logra la separación de variables, las combinaciones de
integración, usar un
factor de integración, u otros medios similares. Como resultado,
se justifica el empleo
de métodos numéricos para resolverlas. Incluso, si se pueden
resolver ED
algebraicamente, las soluciones podrían ser muy complicadas y de
esta forma no son
útiles.
Se te mostrarán los métodos de Euler, además, se presentará el
de Taylor debido a que
es la base para el desarrollo de los métodos de Runga Kutta.
Método de Euler, una solución numérica para ecuaciones
diferenciales
Este método es el más simple de todos los métodos numéricos para
resolver problemas
del tipo: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝑦(𝑥0) = 𝑦0; 𝑦(𝑥𝑓) =?
Este método consiste en dividir el intervalo que va de 𝑥0 a 𝑥𝑓
en n subintervalos con un
ancho h, o sea,
ℎ =𝑥𝑓 − 𝑥0
𝑛
De esta forma se obtienen n+1 puntos 𝑥𝑖 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛del
intervalo [𝑥0, 𝑥𝑓]. Para
cualquiera de estos puntos se cumple
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, con 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
Métodos de Euler y de Runge Kutta
-
21
𝑥1 𝑥0
𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
F(x)
𝑥𝑓 = 𝑥𝑛
Nota: Este desarrollo se parece al primer paso de la integración
numérica.
La condición inicial 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, representa el punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0),
por donde pasa la curva
solución, la cual se llama F(x)=y. Con el punto 𝑃0, se evalúa la
primera derivada de F(x),
en ese punto
𝐹′(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑥| 𝑃0 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Con esta información, se procede a trazar una recta que pasa por
𝑃0 y de pendiente
𝑓(𝑥0, 𝑦0). En esta se aproxima a F(x) en la vecindad de 𝑥0. Se
toma una recta como
reemplazo de F(x) y se localiza en 𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0
= 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Se realiza un despeje para 𝑦1, y se obtiene
𝑦1 = 𝑦0 + (𝑥1 − 𝑥0) 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Y considerando h, se tiene
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Es claro que el cálculo de la ordenada 𝑦1, en esta forma, no es
igual a 𝑓(𝑥1), ya que existe
un error. Sin embargo, el valor 𝑦1, sirve para aproximar F’(x)
en el punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1). Este
procedimiento se repite para generar la sucesión de
aproximaciones siguientes.
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1)
…
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
…
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ℎ𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1)
h
y
-
22
𝑥1 𝑥0 𝑥3 𝑥4= 𝑥
𝑥2
En la siguiente figura se muestra como se trata de aproximar la
curva y=F(x) usando
una serie de segmentos de línea recta (pendientes).
Debido a que la aproximación a una curva, por medio de una línea
recta no es exacta, se
genera un error propio del método.
Este error se llama “error de truncamiento”, y para disminuir
este error se debe reducir
el valor de h, pero esto genera mayor número de cálculos, y por
consiguiente, se genera
un error de redondeo más grande.
Ejemplo. Resolver 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦, con y(0)=2 y y(1)=?, mediante el método de Euler.
Solución
El intervalo es [0, 1]. De manera inicial se requieren definir
intervalos, por ejemplo, n=5.
De manera que,
ℎ =1 − 0
5= 0.2
Se tiene que
𝑥0 = 0; 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 0.2 = 0.2 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0.2 + 0.2 =
0.4
… 𝑥5 = 𝑥4 + ℎ = 0.8 + 0.2 = 1
Ahora con 𝑥0 = 0; 𝑦0 = 2, se trata de calcular y, cuando x=0.2,
y tomando en cuenta que 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦
𝑦1 = 𝑦(0.2) = 2 + 0.2(0 − 2) = 1.6
𝑦2 = 𝑦(0.4) = 1.6 + 0.2(0.2 − 1.6) = 1.32
𝑦3 = 𝑦(0.6) = 1.32 + 0.2(0.4 − 1.32) = 1.136
𝑦4 = 𝑦(0.8) = 1.36 + 0.2(0.6 − 1.136) = 1.0288
𝑦5 = 𝑦(1) = 1.0288 + 0.2(0.8 − 1.0288) = 0.98304
y Error final
x
-
23
Por otro lado, la solución analítica para esas condiciones es
1.10364. El error cometido
es 0.1206 en valor absoluto.
REVISA EL EJECUTABLE DEL MÉTODO DE EULER
Método de Taylor
Se presente el método de Taylor, base del desarrollo del método
de Runge Kutta.
El método de Euler utiliza los primeros dos términos de la serie
de Taylor para su
primera iteración:
𝐹(𝑥1) ≅ 𝑦1 ≅ 𝐹(𝑥0) + 𝐹′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0)
Se observa que 𝑦1no es igual a 𝐹(𝑥1). Con esta situación se
tiene que, para encontrar 𝑦2
se debe expandir F(x) en la serie de Taylor:
𝐹(𝑥2) ≅ 𝑦2 ≅ 𝐹(𝑥1) + 𝐹′(𝑥1)(𝑥2 − 𝑥1)
Sin embargo, no se dispone de valores exactos de F(x) y de
F’(x), y rigurosamente, son
los términos que se deben usar en la expansión de Taylor de F(x)
(alrededor de 𝑥1). Por
tanto, el lado derecho de la última expresión no es
evaluable.
Así que, solo en la primera iteración, para encontrar 𝑦1, se
usar realmente una
expansión de Taylor de F(x), aceptando que se tienen valores
exactos en la condición
inicial 𝑦0 = 𝐹(𝑥0).
Después de esto, se emplea
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
y
x
Solución por medio de Euler
Solución analítica
Error final
Solución con el método de Euler
-
24
𝑥0
Error Taylor
Serie de Taylor F(x)
Error Euler
Euler 𝑦0
𝑥1
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = 𝐹(𝑥𝑖) + 𝐹′(𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 −
𝑥𝑖)
Que es muy similar a la expansión en la serie de Taylor.
Para obtener el algoritmo de Taylor se usan tres términos en
lugar de dos en la
expansión de 𝐹(𝑥1).
𝐹(𝑥1) ≅ 𝑦1 ≅ 𝐹(𝑥0) + 𝐹′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) + 𝐹′′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0)
2
2!
Además,
𝐹′′(𝑥) ≅𝑑𝐹′(𝑥)
𝑑𝑥=
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
Donde ℎ = 𝑥1 − 𝑥0
Así que queda:
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) +ℎ2
2!
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥|(𝑥0,𝑦0
Con el objetivo de mejorar la exactitud, esta fórmula de
iteración se usa para obtener
𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛, quedando
𝑦1+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) +ℎ2
2!
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥|(𝑥𝑖,𝑦𝑖 (1)
Que equivale a usar una curva que pasa por (𝑥0, 𝑦0), cuya
pendiente y segunda derivada
serán iguales que las de la función desconocida F(x) en (𝑥𝑖 ,
𝑦𝑖), como se observa en el
gráfico.
Con este método se obtiene una mejor aproximación que con el
método de Euler.
La utilidad de esta ecuación depende de cuán fácil sea la
diferenciación de f(x, y). Si f(x,y)
es solo una función de x, la diferenciación con respecto a x es
fácil y práctica. Pero, en el
caso general, f(x, y), es una función de x y de y, habrá que
usar derivadas totales. La
derivada total de f(x,y) con respecto a x está dada por
y
x
-
25
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥=
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Si se aplica el método de Euler, empleando la ecuación (1), se
obtiene el método de
Taylor de 2° orden. Se llama de segundo orden porque es
indicativo de la derivada de
mayor orden que se emplea. Bajo esta terminología, al método de
Euler le corresponde
el método de Taylor de primer orden.
Ejemplo. Usar el método de Taylor de segundo orden, para
resolver 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦
La condición inicial es y(0)=1. Se busca determinar el valor de
y, cuando x=1, o sea y(1)=?
Solución
Se consideran 5 intervalos, de manera que
ℎ =𝑥𝑓 − 𝑥0
𝑛=
1 − 0
5= 0.2
De aquí que 𝑥0 = 0.2, 𝑥1 = 0.2, 𝑥2 = 0.4, 𝑥3 = 0.6, 𝑥4 = 0.8 𝑦
𝑥5 = 1
Aplicar la ecuación (1) con 𝑥0 = 0.2
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥=
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥=
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦(𝑥 − 𝑦)
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑦
𝑦1 = 𝑦(0.2) = 𝑦0 + ℎ(𝑥0 − 𝑦0) +ℎ2
2!(1 − 𝑥0 + 𝑦0)
𝑦1 = 2 + 0.2(0 − 2) +0.22
2(1 − 0 + 2)
𝑦1 = 1.66
𝑦2 = 𝑦(0.4) = 𝑦1 + ℎ(𝑥1 − 𝑦1) +ℎ2
2!(1 − 𝑥1 + 𝑦1)
𝑦2 = 1.66 + 0.2(0.2 − 1.66) +0.22
2(1 − 0.2 + 1.66)
𝑦2 = 1.4172
Siguiendo el procedimiento, se llega a 𝑦5 = 𝑦(1) = 1.1122
-
26
El resultado tiene un error absoluto de 0.00858, y un error
porcentual de 0.78%.
Familia de métodos de Runge Kutta, para ecuaciones
diferenciales
La sección anterior, mostró que el método de Euler proporciona
un enfoque para
resolver ecuaciones diferenciales numéricamente. El problema con
el método de Euler
es que se tienen que usar tamaños de intervalos pequeños para
alcanzar resultados
relativamente precisos.
Los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de algoritmos que se
clasifican por su
orden: El método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer
orden, el método de
Heun corresponde al de segundo orden. El método de cuarto orden,
se considera uno
de los más populares, por la precisión de sus soluciones
aproximadas.
El orden del método corresponde al número de aproximaciones
diferenciales k que
tendrán las ecuaciones.
Estos métodos consisten en obtener un resultado al que se puede
llegar cuando se
utiliza un número finito de términos de la serie de Taylor de la
forma
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) +ℎ2
2!𝑓′(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) +
ℎ3
3!𝑓𝑛(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + ⋯ (1)
Con una aproximación en la cual se calcula 𝑦𝑖+1de una fórmula
del tipo:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ[𝛼0𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝛼1𝑓(𝑥𝑖 + 𝜇1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑏1ℎ) + 𝛼2𝑓(𝑥𝑖 +
𝜇2ℎ, 𝑦𝑖 + +𝑏2ℎ) + ⋯
+ 𝛼𝑝𝑓(𝑥𝑖 + 𝜇𝑝ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑏𝑝ℎ) (2)
En donde 𝛼, 𝜇 𝑦 𝑏 se determinan de modo que se expanda 𝑓(𝑥𝑖 +
𝜇𝑗ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑏𝑗ℎ) con j=1,
p.
En la serie de Taylor, alrededor de (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) se observa que los
coeficientes de ℎ, ℎ2, ℎ3, …
coincidirían con los coeficientes correspondientes de la
ecuación (1). Se procede a
derivar cuando p=1. Para ilustrar el procedimiento, los
lineamientos son los mismos.
Así la ecuación (2) con p=1 queda
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ[𝛼0𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝛼1𝑓(𝑥𝑖 + µℎ, 𝑦𝑖 + 𝑏ℎ) (3)
Hay que notar que esta última expresión, se evalúa f en (𝑥𝑖 ,
𝑦𝑖) y en (𝑥𝑖 + µℎ, 𝑦𝑖 + 𝑏ℎ).
El valor de 𝑥𝑖 + µℎ es tal que 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖 + µℎ ≤ 𝑥𝑖+1 para que
la abscisa del segundo punto
quede dentro del intervalo de interés con lo que 0 < µ ≤
1.
-
27
(𝑥𝑖 + µℎ, 𝑦𝑖 + 𝜆𝑘0)
𝑦𝑖+1
Sin embargo, b se puede manejar más libremente y expresarse como
𝑦𝑖 + 𝑏ℎ sin perder
generalidad como una ordenada arriba o debajo de la ordenada que
da el método de
Euler
𝑦𝑖 + 𝑏ℎ = 𝑦𝑖 + 𝜆ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) = 𝑦𝑖 + 𝜆𝑘0
Aquí,
𝑘0 = ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
Falta determinar 𝛼0, 𝛼1, µ 𝑦 𝜆 tal que la ecuación (3) tenga una
expansión en potencias
de h cuyos primeros términos coincidan con los primeros términos
de la ecuación (1).
Para obtener los parámetros desconocidos se expande primero
𝑓(𝑥𝑖 + µℎ, 𝑦𝑖 + 𝜆𝑘0)
En serie de Taylor
𝑓(𝑥𝑖 + µℎ, 𝑦𝑖 + 𝜆𝑘0)
= 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + µℎ𝜕𝑓
𝜕𝑥+ 𝜆𝑘0
𝜕𝑓
𝜕𝑦+
𝜇2ℎ2
2!
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+ µℎ𝜆𝑘0
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦+
𝜆2𝑘02
2!
𝜕2𝑓
𝜕𝑦
+ 0ℎ3
Nota: Todas las derivadas parciales se evalúan en (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
La expansión de la serie de Taylor se sustituye en la ecuación
(3)
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝛼0𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) + ℎ𝛼1𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + µℎ𝜕𝑓
𝜕𝑥+ 𝜆𝑘0
𝜕𝑓
𝜕𝑦+
𝜇2ℎ2
2!
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+ µℎ𝜆𝑘0
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
+𝜆2𝑘0
2
2!
𝜕2𝑓
𝜕𝑦+ +0ℎ3
Reordenando términos de esta última ecuación en potencias de h
se tiene
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(𝛼0 + 𝛼1)𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + ℎ2𝛼1 (µ
𝜕𝑓
𝜕𝑥+ 𝜆𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝜕𝑓
𝜕𝑦)
+ℎ2
2𝛼1 (𝜇
2𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+ 2µ𝜆𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝜆2𝑓2(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2) + 0ℎ4
Para que los coeficientes ℎ 𝑦 ℎ2 coincidan con la ecuación (1)
se requiere que
x
y
𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
-
28
𝛼0 + 𝛼1 = 1
µ𝛼1 =1
2
𝜆𝛼1 =1
2
Es importante tener en cuenta que hay 4 incógnitas y tres
ecuaciones, así que hay un
grado de libertad en la solución de este último sistema. Existe,
por tanto, un número
infinito de soluciones. Una solución simple es:
𝛼0 = 𝛼1 =1
2
µ = 𝜆 = 1
Con esto se sustituye en (3). Se tiene
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ
2[𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖))]
O también,
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ
2(𝑘0 + 𝑘1)
Con
𝑘0 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘0)
Esta expresión, es lo que se conoce como algoritmo de Runge
Kutta de 2° orden que no
es otra cosa que el método de Euler modificado con dos pasos
sintetizados en uno.
Tenga en cuenta que se llama Runge Kutta de 2° orden porque
coincide con los tres
primeros términos de la serie de Taylor.
Por ser de orden superior al de Euler, este método proporciona
mayor exactitud, por
tanto, h no necesita reducir su tamaño, como sucede con el
método de Euler.
Las fórmulas de Runge Kutta de cualquier orden se derivan de la
misma forma, de
manera similar a lo presentado en estas notas. El método de
Runge Kutta de 4° orden
es muy utilizado y está dado por
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
Donde
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
-
29
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +ℎ
2, 𝑦𝑖 +
ℎ𝑘12
)
𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 +ℎ
2, 𝑦𝑖 +
ℎ𝑘22
)
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3)
En el método de Runge Kutta de 4° orden hay coincidencia con los
primeros 5 términos
de la serie de Taylor, lo cual significa gran exactitud sin
cálculo de derivada.
Lo mismo que en el método de Euler modificado se ve que a los
métodos de Runge Kutta,
las ponderaciones de pendientes 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 𝑦 𝑘4, con pasos 1, 2,
2 y 1 respectivamente,
para el caso de cuarto orden dando lugar a una recta de
pendiente:
𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘46
La cual pasa por el punto (𝑥0, 𝑦0) que es la que se usa para
obtener y.
Ejemplo. Resolver por el método de Runge Kutta de cuarto
orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦
y(0)=2 y y(1)=?
Solución
Al tomar 5 intervalos, se tiene que
ℎ =𝑥𝑓 − 𝑥0
𝑛=
1 − 0
5= 0.2
De aquí que 𝑥0 = 0.2, 𝑥1 = 0.4 … 𝑥5 = 1
para la primera iteración 𝑘1 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0);𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦;
se toma la forma “x-y”, esto de la ecuación diferencial en
cuestión y evaluada en el
primer nodo (0,2), por las condiciones iniciales
𝑘1 = 0 − 2 = −2
𝑘2 = 𝑓 (𝑥0 +ℎ
2, 𝑦0 +
ℎ𝑘12
) = [(0 +0.2
2) − (2 +
(0.2)(−2)
2)]
𝑘2 = −1.7
Observar que 𝑘2, está en función de 𝑘1 y se genera tomando de
nuevo el
comportamiento de 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 − 𝑦.
𝑘3 = 𝑓 (𝑥0 +ℎ
2, 𝑦0 +
ℎ𝑘22
) = [(0 +0.2
2) − (2 +
(0.2)(−1.7)
2)]
-
30
𝑘3 = −1.73
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3) = [(0 + 0.2) − (2 + (0.2)(−1.73))]
𝑘4 = −1.454
La obtención de todas las k, permiten obtener el valor de 𝑦1
𝑦1 = 𝑦0 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑦1 = 2 +0.2
6(−2 + 2(−1.7) + 2(−1.73) − 1.454)
𝑦1 = 𝑦(0.2) = 1.6562
Se procede con la segunda iteración
𝑘1 = 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 0.2 − 1.6562 = −1.4562
𝑘2 = 𝑓 (𝑥1 +ℎ
2, 𝑦1 +
ℎ𝑘12
) = [0.2 +0.2
2] − [1.6562 +
(0.2)(−1.4562)
2] = −1.21058
𝑘3 = 𝑓 (𝑥1 +ℎ
2, 𝑦1 +
ℎ𝑘22
) = [0.2 +0.2
2] − [1.6562 +
(0.2)(−1.21058)
2] = −1.235142
𝑘4 = 𝑓(𝑥1 + ℎ, 𝑦1 + ℎ𝑘3) = [0.2 + 0.2] − [1.6562 +
(0.2)(−1.235142) = −1.0091716
Ahora se calcula
𝑦2 = 𝑦1 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑦2 = 1.6562 +0.2
6[−1.4562 + 2(−1.21058) + 2(−1.235142) − 1.0091716]
𝑦2 = 𝑦(0.4) = 1.410972813
Al continuar con el procedimiento, se obtiene que:
𝑦3 = 𝑦(0.6) = 1.246450474
𝑦4 = 𝑦(0.8) = 1.148003885
𝑦5 = 𝑦(1) = 1.103655714
Con respecto al error cometido es de 0.00001 en valor absoluto,
y en porcentaje
corresponde al 0.0009%.
-
31
Ejemplos previos a las actividades de aprendizaje
En el método de Euler, se asume que la solución está escrita en
la forma de Series de
Taylor. Esto es, se tiene una función de la forma:
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑦′(𝑥) +ℎ2𝑦′′(𝑥)
2!+
ℎ3𝑦′′′(𝑥)
3!+
ℎ4𝑦𝐼𝑉(𝑥)
4!+ ⋯
La serie de Taylor proporciona una buena aproximación si se
toman suficientes
términos, y si el valor de h es razonablemente pequeño.
Para el método de Euler, sólo se toman dos términos:
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑦′(𝑥)
El término significa h veces 𝑑𝑦
𝑑𝑥. En este sentido, se puede escribir la relación como:
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
La fórmula de Euler se usa de la siguiente manera. Se comienza
con el valor inicial
asignado a “y”, al cual se le llama 𝑦0. Para 𝑦0, implica que el
valor inicial de “x”, es 𝑥0. O
sea, se emplea el valor inicial
(𝑥0, 𝑦0)
El resultado de usar esta fórmula para “y”, con h pasos, genera
el valor actual, es decir;
𝑦1
𝑦1 ≈ 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Donde
𝑦1, es el siguiente valor estimado de la solución
𝑦0, es el valor actual
h, es el intervalo entre etapas
𝑓(𝑥0, 𝑦0) es el valor de la derivada en el punto de origen (𝑥0,
𝑦0).
Siguiente valor: Para obtener el siguiente valor 𝑦2, se emplea
el valor encontrado para
𝑦1, como se indica a continuación:
𝑦2 ≈ 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1)
Donde,
𝑦2, es el siguiente valor estimado de la solución
𝑦1, es el valor actual
h, es el intervalo entre etapas
-
32
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ,
𝑓(𝑥1, 𝑦1) es el valor de la derivada en el punto de origen (𝑥1,
𝑦1)
Este proceso se continua, hasta cubrir el intervalo requerido,
de acuerdo con los saltos/
pasos de h.
¿Qué sucede? La parte derecha de la fórmula significa “comienza
con el valor conocido
de “y” y da un paso de “h” unidades, hacia la dirección derecha
de la pendiente en este
punto, lo cual es 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦). Se llegará a una buena aproximación de cuánto vale
“y”
en el nuevo punto.
Este modo de actuación se realizará para cada subpunto, como se
muestra a
continuación:
Ejemplo. Sea el problema de valor inicial
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦𝑙𝑛𝑦
𝑥
Con condiciones iniciales y(2)=e¸ para una solución aproximada
de “x=2” a “x=3”.
Solución
Paso 1. Se comienza con distinguir que
(𝑥0, 𝑦0) = (2, 𝑒)
Se propondrá que
ℎ = 0.1
Así, se tendrán 10 pasos.
A partir del valor inicial (𝑥0, 𝑦0) = (2, 𝑒), se calcula el
valor de la derivada en el punto
inicial, la sustitución procede así: 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦𝑙𝑛𝑦
𝑥=
𝑒𝑙𝑛(𝑒)
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1.3591
-
33
Este resultado significa que la pendiente de 2.0 a 2.1, es
aproximadamente igual a
1.3591.
Paso 2. Ahora para el siguiente paso (dado que h=0.1, el
siguiente punto es 𝑥 + ℎ = 2 +
0.1 = 2.1), se sustituye en la fórmula de Euler.
Hace falta calcular el valor de “y(x)”, a partir de:
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦1 = 𝑦(2.1) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑦(2.1) ≈ e + 0.1(1.3591)
𝑦1 ≈ 2.8541
Se tiene entonces, que cuando “x=2.1”, el valor aproximado de
“y=2.8541”. A
continuación, se presenta una representación gráfica.
Se tiene una nueva pendiente, que corresponde al cálculo de la
pendiente:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(2.1, 2.8541)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2.8541ln (2.8541)
2.1= 1.4254
Esto significa que la pendiente, está un poco más inclinada que
la pendiente anterior.
Paso 3. Se pretende ahora obtener la solución, cuando
“x=2.2”.
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦2 = 𝑦(2.2) = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1)
𝑦(2.2) ≈ 2.8541 + 0.1(1.4254)
𝑦2 = 2.9966
Se muestra este nuevo valor, en forma gráfica
-
34
Se requiere calcular de nuevo la derivada, la pendiente
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2.99661ln (2.9966)
2.2= 1.4949
Esto significa, que la línea aproximada de la pendiente de
“x=2.2” a “x=2.3” es 1.4949,
se nuevo la pendiente es un poco más escarpada que las dos
anteriores.
Paso 4. Ahora, se trata de obtener la solución, cuando x=2.3, se
sustituyen en los valores
conocidos
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦3 = 𝑦(2.3) = 𝑦2 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1)
𝑦(2.3) ≈ 2.9966 + 0.1(1.4949)
𝑦3 = 3.1461
Se presenta la gráfica con el nuevo valor,
Ya el lector comienza a notar cierto tedio del procedimiento.
Los pasos subsecuentes
procederán en la misma forma. Por ello, se sugiere generar una
tabla.
Los últimos cálculos son:
X Y dy/dx
2.8 4.0105 1.9893
2.9 4.2094 2.0863
-
35
3.0 4.4180
Tenga en mente que solucionar una ecuación diferencial,
significa encontrar los valores
de “x” y “y”, de la función primitiva. Por eso, en la tabla ya
no existe un valor final para
dy/dx, ya que se han encontrado todos los valores requeridos
para “y”.
La gráfica muestra las soluciones estimadas de “x=2” a
“x=3”.
Evidencia de aprendizaje 5.3
La siguiente ecuación, no puede ser resuelta empleando técnicas
algebraicas, así que la
única forma de solución es numéricamente. Resolver por el método
de Euler. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥
𝑦0 = 4
Usar h=0.1
Las condiciones iniciales y de frontera son de 𝑥0 = 0, 𝑥𝑖 =
1
De modo similar a ejemplo anterior, realizar los cálculos de
manera manual. Sube
imágenes de tus operaciones.
Comience con distinguir el valor inicial,
calcule la derivada en ese punto
Realice las sustituciones necesarias y
obtenga
𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
Calcule el valor de la derivada en ese
punto
a.
Valor inicial=
Valor final= (1, ¿?)
Cálculos:
b. Completa la tabla:
X Y dy/dx
0.1
-1.8669
-
36
3.4565
0.4
-2.0594
2.8588
0.7
-2.3077
1
2.1930
c. Grafica los valores aproximados de las soluciones de la
ecuación diferencial.
Toma una fotografía y súbela
Ejemplo
Sea, 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2 −
𝑦
𝑥
Las condiciones iniciales son
y(1)=0
La condición de frontera es x=1.5
h=0.1
Resolver por el método de Runge Kutta de segundo orden
Solución
La fórmula de Runge Kutta 2° orden, indica lo siguiente:
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
Donde
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦),
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘1).
Paso 1. Se comienza por distinguir que
(𝑥0, 𝑦0) = (1,0)
-
37
A partir del valor inicial (𝑥0, 𝑦0), 𝑠e calcula el valor de la
derivada en el punto inicial,
considerando la sustitución en 𝑘1 y 𝑘2:
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) corresponde al lado derecho de la ED.
𝑘1 = ℎ(2 −𝑦
𝑥)
Ahora
𝑘1 = 0.1 (2 −0
1) = 0.2
Para comprender cómo sustituir en 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘1), en
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘1)
se requieren ubicar las variables “x” y “y”, en este ejemplo
“𝑦
𝑥”, para “y” se le suma 𝑘1 y
para “x” se le suma h. Además, tómese en cuenta las condiciones
iniciales para (𝑥0, 𝑦0)
𝑘2 = ℎ(2 −𝑦 + 𝑘1𝑥 + ℎ
)
𝑘2 = 0.1 (2 −0 + 0.2
1 + 0.1)) = 0.1818
Paso 2. Ahora, se obtiene el valor de y, a partir de la forma
genérica
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
Dado que, es la primera iteración
𝑦1 = 𝑦0 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑦1 = 0 +1
2(0.2 + 0.1818)
𝑦1 = 0.1909
Esto implica que la solución aproximada de la ED, cuando
“x=1.1”, es “y=0.1909”, como
ya se ha organizado en la siguiente tabla:
i X 𝒌𝟏 𝒌𝟐 y
0 1 0
-
38
1 1.1 0.2 0.1818 0.1909
Paso 3. Se pretende ahora obtener la solución, cuando
“x=1.2”.
Se procede a obtener 𝑘1𝑦 𝑘2
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑘1 = ℎ(2 −𝑦
𝑥)
Para “x” y “y”, se emplearán los valores obtenidos de la
iteración anterior:
𝑘1 = 0.1 (2 −0.1909
1.1) = 0.1826
Para los cálculos de 𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘1)
𝑘2 = ℎ(2 −𝑦 + 𝑘1𝑥 + ℎ
)
𝑘2 = 0.1(2 −0.1909 + 0.1826
1.1 + 0.1)
𝑘2 = 0.1688
Ahora, ya se puede conocer el valor de
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑦2 = 𝑦1 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑦2 = 0.1909 +1
2(0.1818 + 0.1688)
𝑦2 = 0.3666
La continuación del procedimiento genera los siguientes valores,
para el valor de
frontera “x=1.5”
i X 𝒌𝟏 𝒌𝟐 Y
0 1 0
1 1.1 0.2 0.1818 0.1909
2 1.2 0.1826 0.1688 0.3666
-
39
3 1.3 0.1694 0.1587 0.5307
4 1.4 0.1591 0.1507 0.6857
5 1.5 0.1510 0.1442 0.8333
Se observa que la función primitiva es creciente, de acuerdo a
la gráfica,
correspondiente.
De acuerdo con el método, la solución aproximada de la ecuación
diferencial cuando
“x=1.5”, es “y=0.8333”.
Evidencia de aprendizaje 5.4
Usa el método de Runge-Kutta de orden 2 para obtener una
aproximación de la solución
del problema de valor inicial
𝑦′ = 2𝑡 − 𝑦
y(0)=-1
La condición de frontera es t=1
h=0.1
Realiza los cálculos necesarios y elige la respuesta
correcta.
a. El valor de (𝑡0, 𝑦0) i. (0, -1)
ii. (-1, 0)
iii. (0, 1)
b. Para la primera iteración i.
𝑘1 = 1
𝑘2 = 1.1
𝑦1 = −0.895
ii.
𝑘1 = −1
𝑘2 = −1.1
𝑦1 = −0.895
iii.
𝑘1 = 1
𝑘2 = −1.1
𝑦1 = 0.895
c. Generar la tabla de valores
i x 𝒌𝟏 𝒌𝟐 y
0
0.1909
0.3666
0.5307
0.6857
0.8333
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
y
x
-
40
d. Grafica los valores aproximados
de las soluciones de la ecuación
diferencial. Toma una fotografía y
súbela.
Ejemplo
Usar el método de cuarto orden de Runge-Kutta para resolver la
siguiente ED
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥𝑦
𝑦(0) = 1
¿ 𝑦(0.5)?
h=0.1
La condición inicial es
(𝑥0, 𝑦0) = (0,1)
Solución
El método de cuarto orden de Runge-Kutta (RK4) es un método
popular por su nivel de
estabilidad, es un método que se mueve a lo largo de la tangente
de una cierta curva que
se encuentra cercana a la primitiva buscada. Al contener 4
elementos, en realidad
ocurre que evaluará a la función en cuatro formas, es decir;
cada diferencial 𝑘𝑖 ,
representa diferenciales intermedias, razón por la cual,
aproxima de una mejor forma
a la función desconocida.
-
41
El RK4 es una generalización de la forma básica del método de
Euler que, requiere
información del punto anterior para calcular el próximo, y es
autoiniciable, de acuerdo
con las condiciones de valor inicial y de frontera.
Las ecuaciones del método de Runge-Kutta de cuarto orden
son:
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
Donde
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦),
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥 +ℎ
2, 𝑦 +
𝑘1
2),
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥 +ℎ
2, 𝑦 +
𝑘2
2),
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3),
Como ya se ha experimentado con los métodos de Euler y RK2, 𝑦𝑖+1
es determinado por
𝑦𝑖, más el producto del tamaño del intervalo h.
Las diferenciales
𝑘1, representa una pendiente de acuerdo al valor de la condición
inicial
𝑘2, se entra a la primera mitad del punto intermedio, por eso
hay una división entre
dos
𝑘3, se tiene la segunda mitad del punto intermedio, ahora usando
𝑘2
𝑘4, representa la pendiente final del intervalo
Ahora observe de la fórmula RK4
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) que, se realiza un promedio de las
diferenciales 𝑘𝑖 , por ello, se divide entre 6.
Se procede a calcular
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑘1 = 0.1(2𝑥𝑦)
𝑘1 = .1(2 ∗ 0 ∗ 1)
𝑘1 = 0
Ahora, se usa 𝑘1, para encontrar 𝑘2
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥 +ℎ
2, 𝑦 +
𝑘12
)
-
42
𝑘2 = 0.1(2)(𝑥 +ℎ
2)(𝑦 +
𝑘12
)
𝑘2 = 0.1(2)(0.05)(1)
𝑘2 = 0.01
Se aplica el valor de 𝑘2 parara encontrar 𝑘3:
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥 +ℎ
2, 𝑦 +
𝑘22
)
𝑘3 = 0.1(2)(0.05)(1.005)
𝑘3 = 0.01005
El cálculo de la pendiente final
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3)
𝑘4 = 0.1(2)(0.1)(1.01005)
𝑘4 = 0.02020
Aplicación del método de Runge-Kutta
𝑦(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) +1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑦1 = 𝑦0 +1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑦1 = 1 +1
6(0 + 0.02 + 0.02010 + 0.02020)
𝑦1 = 1.0100
El procedimiento es largo, por ello, la necesidad de usar una
hoja de cálculo para
realizar las operaciones. A continuación, se presenta la
siguiente tabla, donde se
resumen los resultados obtenidos.
i X Y
0 0 1
1 0.1 1.0100
2 0.2 1.0408
3 0.3 1.0941
4 0.4 1.1735
5 0.5 1.2840
La gráfica de las soluciones encontradas se presenta a
continuación, desde “x=0”, hasta
“x=5”. La gráfica se observa con un crecimiento suave.
-
43
Evidencia de aprendizaje 5.5
Resuelve la siguiente ED por el método de Runge Kutta de orden
4.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥 + 𝑦)𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦
𝑦(0) = 5
a. En la primera iteración, los
valores de 𝑘𝑖 son:
i.
𝑘1 = 0
𝑘2 = 0.4890
𝑘3 = 0.5352
𝑘4 = 1.0258
ii.
𝑘1 = 0
𝑘2 = 0.4890
𝑘3 = 5.2445
𝑘4 = 5.5352
iii.
𝑘1 = 0.1
𝑘2 = 5
𝑘3 = 0.5352
𝑘4 = 1.0258
b. Sea la condición de
frontera, “x=2”, ¿cuál es la
gráfica que se obtiene?
i.
ii.
-
44
iii.
c. Extiende el cálculo del valor
de frontera a “x=6”. Toma una
fotografía y súbela. (Usar hoja
de cálculo)
d. Describe el
comportamiento de la gráfica
al extender el cálculo hasta
“x=6”, ¿qué implicaciones
existen en términos de
errores?
REVISA EL EJECUTABLE DE ECUACIONES DIFERENCIALES
-
45
BIENVENIDO AL NIVEL 3
En este nivel se integran tus conocimientos del nivel 1 y 2 y
para ello, requieres poner
en práctica tu pensamiento estratégico. En esta sección te
ayudaremos a desarrollarlo.
Fig. 5.7 Conceptualización del pensamiento estratégico en
métodos numéricos
La figura 5.7 se refiere a realizar actividades desde plantear
un fin, analizar los medios
con los que se cuenta, hasta la interpretación de resultados.
Justamente, en esta sección
te presentaremos ejemplos.
Situación del problema…
De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento de Newton, la
tasa de cambio a la cual
la temperatura de un cuerpo cambia, es proporcional a la
diferencia entre la
temperatura del cuerpo y la temperatura del medio circundante,
llamado medio
ambiente.
Si T(t) representa la temperatura del cuerpo en el tiempo t , 𝑇𝑚
representa la
temperatura del medio ambiente. Entonces, si el cuerpo es un
tubo de acero calentado
a 400°C, se requiere conocer su temperatura al cabo de 4
minutos. El tubo se encuentra
en una cámara a temperatura de 25°C. Para este caso, la
constante de proporcionalidad
es -0.213.
Ejemplos de aplicación
-
46
Organización de la información…
Planteamiento del problema
Se le llama t al tiempo de proceso de enfriamiento, en minutos
(min).
𝑇𝑚, es la temperatura de la cámara de enfriamiento en °C
T , es la temperatura del tubo en °C
Recordar que la expresión y=f(x) significa que la variable
endógena depende del
proceso de transformación f(x). En este caso T(t), es el proceso
de transformación de
la temperatura T del tubo en función del tiempo t.
Asimismo, se llama a la constante de proporcionalidad, k.
La realización del modelo matemático…
El modelo matemático del problema se puede establecer de la
siguiente forma, de
acuerdo al establecimiento de la Ley de Newton enunciada:
1) Diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio
circundante
𝑇 − 𝑇𝑚
2) Como la disminución de temperatura es proporcional a la
diferencia, se tiene:
𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)
3) Pero lo anterior, representa al sistema en movimiento, por lo
que existe una
razón de cambio de la temperatura del cuerpo con respecto al
tiempo de enfriamiento 𝑑𝑇
𝑑𝑡
4) El modelo matemático es
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)
Nota: El modelo matemático representa una línea recta con
pendiente negativa igual a
k.
Los métodos numéricos de solución…
¿Cuál método?...
-
47
Método de Euler
Antes de estudiar otros métodos numéricos, por cuestiones
didácticas se resolverá el
modelo por el método de Euler, ya que es el más simple para
ecuaciones diferenciales
ordinarias. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑝𝑎𝑟𝑎, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Nota: Es un método raramente utilizado. Sin embargo, es
relativamente fácil de analizar
e ilustra las ideas involucradas para resolver ED, en forma
numérica. Dada la
simplicidad del método, su grado de precisión es bajo.
Recuerda que se parte de una ED, con el objetivo de obtener el
valor de la función y en
un punto b, y teniendo información de las condiciones iniciales
y de frontera. El método
de Euler funciona para ecuaciones ordinarias, en el que se
pretende aproximar la
solución del problema de valor inicial de la forma: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦(𝑎) = 𝑦0, con un intervalo [a, b].
En el método, el intervalo se divide en subintervalos, llamados
puntos de acción, con un
número de pasos (n), que se define arbitrariamente, de acuerdo
con el contexto del
problema. El tamaño del paso, se define como ℎ =𝑏−𝑎
𝑛.
En este caso, se eligió n=8 (intervalos), donde a, es el tiempo
inicial, o sea 𝑡0 = 0
b, es el tiempo final, o sea 𝑡𝑓 = 4 𝑚𝑖𝑛.
Si se elige que n=8, entonces h=0.5
Paso 1. Generar condiciones iniciales (inicializar).
Paso 2. Aplicar el modelo de Euler, el cual tiene propiedades
similares a las
aproximaciones sucesivas
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)
Para el presente problema sobre la temperatura, lo anterior se
interpreta como:
𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖 + ℎ𝑓(𝑡, 𝑇)
Recuerda que t es el tiempo, variable exógena y T, la
temperatura, variable endógena.
Paso 3. Sustituir 𝑓(𝑡, 𝑇), por el resultado de la ED en
cuestión
𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖 + ℎ[𝑘(𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)]
-
48
Paso 4. Generar una tabla con variables del modelo y subíndice
(i, el número de
iteración). Se toma en cuenta que:
𝑇0 = 𝑇(0) = 400
𝑇𝑚 = 25
0 ≤ 𝑡 ≤ 4
𝑘 = −0.213
ℎ = 0.5
I H T(final)
0 0 400
1 0.5 360.0625
2 1 324.378344
3 1.5 292.49455
4 2 264.006381
5 2.5 238.552201
6 3 215.808892
7 3.5 195.487745
8 4 177.3308
𝑇(0) = 400
𝑇1 = 𝑇0 + 0.5[−0.213(400 − 25))
𝑇1 = 360.0625
𝑇2 = 𝑇1 + 0.5[−0.213(𝑇1 − 25))
𝑇2 = 324.378344
𝑇3 = 𝑇2 + 0.5[−0.213(𝑇2 − 25))
𝑇3 = 292.49455
𝑇4 = 𝑇3 + 0.5[−0.213(𝑇3 − 25))
𝑇4 = 264.006381
…
Paso 5. Identificar el resultado
Cuando 𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛., entonces, la temperatura del tubo en forma
aproximada es
177.33°C.
Método de Runge Kutta RK2
Existe una familia de métodos, de Runge Kutta, que son una
generalización de la
fórmula básica de Euler, para la aproximación de soluciones de
ecuaciones diferenciales
ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
A continuación, se muestra la forma de resolver el problema.
1. Inicializar los datos. Generar condiciones iniciales
Ruge Kutta se puede utilizar de acuerdo orden, el cual en éster
caso, se refiere al valor
que tiene n.
-
49
Se trata de resolver la ED, del problema expresado en páginas
anteriores sobre la ley
empírica de Newton.
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)
Con las siguientes condiciones iniciales
𝑇0 = 𝑇(0) = 400°𝐶
𝑇𝑚 = 25°𝐶
0 ≤ 𝑡 ≤ 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, [0,4]
𝑘 = −0.213
ℎ = 0.5
2. Aplicar el modelo de Runge Kutta, que tiene características
como uno de
aproximaciones sucesivas.
𝑦1 = 𝑦0 +1
2(𝑘1 + 𝑘2), donde 𝑇 = 𝑇0 +
1
2(𝑘1 + 𝑘2)
Además,
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥, 𝑦), o sea, 𝑘1 = ℎ[𝑘(𝑇0 − 𝑇𝑚)]
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘1), o sea, 𝑘2 = ℎ[𝑘(𝑇0 + 𝑘1 − 𝑇𝑚)]
Así que se debe tener muy claro, cuáles son las variables
dependientes e independientes
para adecuarlas al método RK2.
3. Se nota que en el modelo de aproximaciones sucesivas, hay dos
partes
importantes
𝑦𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑦𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
El algoritmo corresponde a paso por el resultado de la ED en
cuestión. En este caso, es
paso=h y el resultado de la ED es
𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) para evitar confusiones con k, (esta se refiere a la
constante igual a -0.213),
y k con subíndice 𝑘1 𝑦 𝑘2, a los componentes del método
numérico.
4. A partir del establecimiento del modelo, se genera una tabla
con variables del
modelo y una columna de subíndice i (número de iteración).
Observa la siguiente tabla I t k1 k2 Ti Tm
0 0 400 25
1 0.5 -39.9375 -35.6842 362.1892 25
2 1 -35.9106 -32.0862 328.1908 25
-
50
3 1.5 -32.2898 -28.851 297.6204 25
4 2 -29.0341 -25.9419 270.1324 25
5 2.5 -26.1066 -23.3262 245.416 25
6 3 -23.4743 -20.9743 223.1917 25
7 3.5 -21.1074 -18.8595 203.2082 25
8 4 -18.9792 -16.9579 185.2397 25
La tabla se ha llenado por partes en Excel, como autocompletado,
siguiendo las
siguientes operaciones:
A partir de 𝑘1 = ℎ[𝑘(𝑇0 − 𝑇𝑚)]
𝑘 = −0.213
ℎ = 0.5
𝑘1 = −.213 ∗ 0.5[400 − 25]
= −39.9375
Ahora, con 𝑘2 = ℎ[𝑘(𝑇0 + 𝑘1 − 𝑇𝑚)]
𝑘2 = −.213 ∗ 0.5[400 − 39.9375 − 25]
𝑘2 = −35.6842
𝑇 = 𝑇0 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑇 = 400 +1
2(−39.9375 − 35.6842)
𝑇 = 𝟑𝟔𝟐. 𝟏𝟖𝟗𝟐
I t k1 k2 Ti Tm
0 0 -39.9375 -35.6842 362.1892 25
Este resultado, será la entrada para la siguiente iteración
Se realizan otras iteraciones, para mostrar el
procedimiento.
𝑘1 = −.213 ∗ 0.5[𝟑𝟔𝟐. 𝟏𝟖𝟗𝟐 − 25]
𝑘1 = −35.9106
𝑘2 = −.213 ∗ 0.5[362.1892 − 35.9106 − 25]
𝑘2 = −32.0862
= 𝑇𝑖 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑇 = 362.1892 +1
2(−35.9106 − 32.0862)
-
51
𝑇 = 328.1908
I t k1 k2 Ti Tm
1 0.5 -35.9106 -32.0862 328.1908 25
𝑘1 = −.213 ∗ 0.5[328.1908 − 25]
𝑘1 = −32.2898
𝑘2 = −.213 ∗ 0.5[328.1908 − 32.2898 − 25]
𝑘2 = −28.851
𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑇 = 328.1908 +1
2(−32.2898 − 28.851)
𝑇 = 297.6204
I t k1 k2 Ti Tm
2 1 -32.2898 -28.851 297.6204 25
𝑘1 = −.213 ∗ 0.5[297.6204 − 25]
𝑘1 = −29.0341
𝑘2 = −.213 ∗ 0.5[297.6204 − 29.0341 − 25]
𝑘2 = −25.9419
𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖 +1
2(𝑘1 + 𝑘2)
𝑇 = 297.6204 +1
2(−29.0341 − 25.9419)
𝑇 = 270.1324
I t k1 k2 Ti Tm
3 1.5 -29.0341 -25.9419 270.1324 25
Así, se continúa hasta la iteración 8.
Interpretación de resultados…
-
52
Como el modelo es una ED, el resultado se expresa como una
sucesión de decrementos
de temperatura del tubo y se muestra el proceso en forma
tubular, esto es, se muestra
la temperatura del tubo en cada periodo de tiempo
establecido.
Lo anterior es posible, porque la función que representa al
sistema es continua, y por
ende, derivable, ya que una función discreta no permite tal
procedimiento.
Notar que este método numérico pertenece a la familia de métodos
aproximaciones
sucesivas, ya presentado desde el inicio de este documento.
Hasta aquí ha quedado resuelto el problema.
Ejemplo
Calcular el tiempo necesario para que el nivel del líquido
dentro del tanque esférico con
radio r=5metros (m) pase de 4m a 3 m. La velocidad de salida por
el orificio del fondo
es
𝑣 = 4.895√𝑎 𝑚/𝑠
El diámetro de dicho orificio es de 10cm.
Solución
Se recomienda hacer un dibujo o gráfica que represente la
descripción del problema.
El balance del líquido en el tanque es: 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = −𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 −
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎, lo cual se
representa como
𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡= 0 − 𝐴𝑣𝜌
El volumen V del líquido en el tanque está en función de la
altura y es:
𝑉 = 𝜋 (5𝑎3 −𝑎3
3) 𝑚3
r=5m
a
10 cm
-
53
Donde A es el área del orificio dada por
𝐴 =𝜋
4(0.1)2 𝑚2
Y 𝑣 = 4.895√𝑎. Al sustituir estos valores en la primera ecuación
se tiene
𝜋𝑑(5𝑎2 −
𝑎3
3 )
𝑑𝑡= −
𝜋
4(0.1)24.845√𝑎
Al realizar una derivación, se tiene
10𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑡−
3𝑎2
3
𝑑𝑎
𝑑𝑡= −
(0.1)2
44.895√𝑎
Con un despeje se tiene
𝑑𝑎
𝑑𝑡=
−4.895(0.1)2√𝑎
4(10𝑎 − 𝑎2)
Las condiciones iniciales determinan que
𝑑𝑎
𝑑𝑡= −
0.012375√𝑎
(10𝑎 − 𝑎2) 𝑐𝑜𝑛 𝑎(0) = 4𝑚 𝑦 𝑎(? ) = 3𝑚
Se empleará el método de Euler con paso h=100s
T(seg) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
altura 4 3.8982 3.7965 3.6957 3.5948 3.4941 3.3935 3.2939 3.1924
3.0917 2.9908
El último valor se considera como 3 metros por lo que el tiempo
para que el nivel del
líquido baje de 4 metros a 3 metros será de 1000 segundos.
Ejemplo
Un tanque contiene 400 litros de una salmuera en la cual están
disueltos 25 kg de sal
común. En cierto momento se hace llegar al tanque un gasto de 80
𝑙𝑡/𝑚𝑖𝑛 es una
salmuera que contiene 0.5kg de sal común por litro. El gasto de
salida es de 80 𝑙𝑡/𝑚𝑖𝑛.
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque transcurridos 10
minutos?
b) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque transcurridos un tiempo
muy grande?
Solución
Sea x los kilogramos de sal en el tanque después de t minutos.
La acumulación de sal en
el tanque será 𝑑𝑥
𝑑𝑡. Entonces,
-
54
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒
De acuerdo a los datos, se tiene
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 80(0.5) − 80(
𝑥
400)
De aquí,
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 40 − 0.2𝑥
Que con la condición inicial hay 25 kg de sal al tiempo cero, se
obtiene
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 40 − 0.2𝑥 𝑥(0) = 25; 𝑥(10) =?
Al aplicar el método de Runge Kutta de 4° orden
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
Donde
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +ℎ
2, 𝑦𝑖 +
ℎ𝑘12
)
𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 +ℎ
2, 𝑦𝑖 +
ℎ𝑘22
)
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3)
El resultado obtenido es x(10)=176.3 utilizando un paso de h=1
minuto
b) La solución se obtiene, aplicando este método hasta que la
cantidad de sal en el
tanque no cambie con el tiempo, o sea, hasta que se alcance
régimen permanente, con
condición inicial: y(0)=25 y paso n=1.
X 2 4 6 8 10 … 44 46 48 50
Y 82.712
4
121.392
0
147.315
8
164.690
2
176.334
8
199.973
8
199.982
4
199.988
3
199.992
1
Ejemplo
Un proyectil de masa m=0.11kg se lanza verticalmente hacia
arriba con una velocidad
inicial de 𝑣0 = 80𝑚/𝑠, y se va frenando debido a la gravedad 𝐹𝑔
= −𝑚𝑔 y a la
resistencia del aire 𝐹𝑅 = −𝑅𝑣2, donde 𝑔 = 9.8𝑚/𝑠2 y 𝑘 = 0.002
𝑘𝑔/𝑚, así que la
ecuación diferencial para la velocidad v está dado por 𝑚𝑣′ = −𝑚𝑔
− 𝑘𝑣2 . Encontrar la
-
55
velocidad del proyectil a diferentes tiempos en su ascenso y el
tiempo que tarda en
llegar a su altura máxima.
Solución
Al emplear el método de Runge Kutta de 4° orden y con h=0.01 se
obtiene
Se presentan algunos resultados:
t(s) 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4
v
(m/s)
80 53.55 39.11 29.76 23.04 17.85 13.55 9.86 6.54
t(s) 2.7 3 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06
v
(m/s)
3.46 0.49 0.39 0.3 0.2 0.1 0.002 -0.1
Debido que al llegar al tiempo t=3.06 seg, la velocidad es
negativa, se toma 3.05 como el
lapso que tarda en llegar a su altura máxima.
Ejemplo
Se conecta un inductor (inductancia) de 0.4 henrios en serie con
una resistencia de 8𝛺,
un capacitor de 0.15 faradios y un generador de corriente
alterna dada por la función
30𝑠𝑒𝑛5𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 para 𝑡 ≥ 0.
a. Establecer una ecuación diferencial para la carga instantánea
en el capacitor.
b. Encontrar la carga en distintos tiempos.
Solución
a. La caída de voltaje en la resistencia es 8 I, en la
inductancia es 0.4 𝑑𝐼/�
