Ecuaciones diferenciales lineales

En una ecuación lineal de primer orden con la forma:

dydx

+ p ( x ) y=g(x )

Esta es una ecuación lineal cuando g(x)=0, la ecuación lineal es homogénea, en cualquier otro caso es no homogénea.

P(x) y Q(x) son funciones reales, de esta forma se le puede llamar ecuación diferencial lineal.

La forma de una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma:

an ( x ) yn+an−1 ( x ) yn−1+…a1 ( x ) y '+a0 ( x ) y=f (x)

Estas EDL son de las más importantes porque tienen más aplicaciones.

La expresión anterior se traduce como: a1 ( x ) y'+b ( x ) y=c ( x )

a(x)

b(x) son variables de la función x.

c(x)

lo cual se expresa como la forma mostrada al principio: y '+ p ( x ) y=g (x)

=cero es homogénea Esta se resuelve por variables separables

Q(x) factor integrante

≠ceto es no homogénea

Variación de parámetros

Para sacar el factor integrante que sería “miu” (µ(x)) el factor integrante.

Para esto y=1μ ( x )∫Q (x ) ∙ μ (x)dx

Lo último que queda por hacer es resolver .

Ecuaciones diferenciales exactas

Teniendo la ecuación dada de la forma:

M (x , y )dx+N (x , y )dy

Para poder saber si esta ecuación es exacta y se puede realizar mediante este método es derivando “M” con respecto de “Y” y “N” con respecto de “X”.

∂M∂ y

=∂ N∂ x

Y después sustituir en la siguiente ecuación.

F(x,y)=∫M ( x , y )dx+¿

Normalmente estas ecuaciones se toman como vectores, es una de las utilidades posibles para estas, “M” se toma como un vector y “N” como otro, y se soluciona con cálculo de vectores.

Ahora bien se puede presentar el caso de que la ecuación no nos resulte exacta, para poder resolverla se debe encontrar un factor integrante, el cual se determina por los siguientes procedimientos:

∂M∂ y

≠∂ N∂ x

Se toma μ=e∫ p(x )dx

Este para sacar con M ó con N es μ=e∫ p( y)dy

P ( x )=My−NxN

P ( y )= Nx−MyM

Sacando este factor se prueba de nuevo la exactitud de la ecuación y se resuelve ahora, es primordial tener en cuenta que sólo se saca el factor integrante con una variable o con la otra( p(x) ó p(y) ), esto depende del resultado que quede del facor integrante.

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la siguiente forma:

dydx

+P ( x ) y=Q(x ) y∝

Donde P ( x ) y Q (x ) son funciones contínuas.

Se toman los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y∝ se obtiene:

y 'y∝

+P (x)y (∝−1)

=Q(x ) Definiendo: Z ( x )= 1

y(∝−1)

Lleva inmediatamente a las relaciones:

Z' ( x )=−∝−1y∝

y '=¿y '(x )e∝

= −1∝−1

Z ' (x)

Gracias a esta última se puede reescribir como:

Z' ( x )+ (1−∝ )P ( x )Z (x )=(1−∝ )Q( x)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una EDL obteniendo como resultado:

Z ( x )=(1−∝ )∫Q ( x ) e (1−∝ )∫P ( x )dx

dx+c

e(1−∝)∫ P( x)dx

En un caso particular donde α=0

La ecuacións e reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución dada por:

y ( x )=e∫ P (x )dx(∫Q ( x ) e∫ P (t )dtdx+c )

Y cuando α=1

ln y (x )=∫ [Q ( x )−P (x ) ]dx+C

Por Esteban Reyes Aguayo

9310315 CETI