1Ecuaciones diferenciales ordinarias

Introduccin Supngase que un cable cuelga suspendido en sus

extremos, sometidos a la accin de su propio peso. Comolo muestra la figura, podra tratarse de un largo cable detelfono tendido entre dos postes. Determine la ecuacindiferencial que rige la forma que adopta el cablecolgante.

Un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como unhombre que se desciende en paracadas) encuentra unaresistencia del aire proporcional a su velocidadinstantnea v(t). Usar la segunda ecuacin ley de Newtonpara encontrar la ecuacin diferencial de la velocidad delcuerpo en un instante cualquiera.

Tarea N 1 Un cohete se lanza de la superficie de la tierra verticalmente hacia

arriba. Despus de todo su combustible se ha consumido, la masadel cohete es una constante m. Use la segunda ley delmovimiento de Newton y el hecho de que la fuerza de gravedadvaria inversamente al cuadrado de la distancia, para encontrar laecuacin diferencial de la distancia y del centro de la tierra alcohete en un instante cualquiera despus que el combustible seha agotado.

Un medicamento se inyecta en el flujo sanguneo de un pacientecon una intensidad constante de r gramos / segundo.Simultneamente, la sustancia se elimina con una rapidezproporcional a la cantidad de sustancia x(t) presente en cadainstante. Halle la ecuacin diferencial que rige a la cantidad x(t)

Cul es la ecuacin diferencial de la velocidad v de un cuerpo demasa m que cae verticalmente a travs de un medio que oponeuna resistencia proporcional al cuadrado de la velocidadinstantnea?

Definiciones bsicas y terminologa

Una ecuacin diferencial es la que contiene lasderivadas o diferenciales de una o ms variablesdependientes con respecto a una o ms variablesindependientes.

1) ' 5 6y y 2) ''y xy x

3) z z yx y

donde ( , )z z x y2

24)dz d z dzy xdx dx dy

Ejemplo:

2Clasificacin

Las E.D. se clasifican en: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Cuando la funcin incgnita depende de una sola variable.

21) dy xy xdx

2

22) sind y dyx y xdx dx

donde ( )y f x

Ejemplo:

Clasificacin

Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)Cuando la funcin incgnita depende de 2 o ms variablesEjemplo:

21) z zx yx x

2) 2du dw dux y z

dx dy dz

donde

2 2 2ln( )u x y z

,z f x y

donde

Orden y grado de una EDO

El orden de una E.D.O est dado por el mayororden de su derivada.

El grado de una E.D.O est dado por elexponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplo:32

321)

x d y dya xdx dx

EDO de 2 orden y 1 grado

4 53 2

3 22)dy d y d ydx dx dx

EDO de 3 orden y 4 grado

Solucin de una E.D.O Una E.D.O general de orden n se representa a

menudo mediante el smbolo

Una solucin de la EDO es una funcin y=f(x)que tiene por lo menos n derivadas y sastiface laecuacin (1)

22, , , , ..., 1n

n

dy d y d yF x ydx d x d x

3ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ORDEN Y 1 GRADO

EDO de Variable Separable: Son aquellas EDO que tiene la forma:

donde M es una funcin slo de x y N es una funcin solode y. La solucin se obtiene por integracin inmediata, esdecir:

( ) ( ) 0M x dx N y dy

donde C es una constante real.

( ) ( )M x dx N y dy C

Ejemplo:

Resolver la ED de variable separable31) 'xy y y

2) ln ln 0y x ydx dy