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EJERCICIOS.
CABUDARE, 18 de Marzo de 2012.
UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓNESCUELA DE ELÉCTRICA
Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV ( Intensivo)Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico
1). Determine si la función es solución de la ecuación diferencial
a)
y =5 {e} ^ {-x} -4
Solución:
Reemplazando la función solución y su derivada en la e.d
y =5 {e} ^ {-x} -4
b)
y=12
senx−12+cosx+10 e−¿x ; y '+ y=senx ¿
Función= y= ½ senx -1/2 cosx+10e−¿x ¿
Ecuación diferencial= y '+ y=senx
1. Calculando la primera derivada de la función, solución:
y '=12
cosx+ 12
sen x−10 e−¿x ¿
dydx
=6 cos2 x−e− x;d y2
d x2 =-12sen 2x+e− x
y=3 sen2 x+e−x
y + 4y= 5 {e} ^ {-x
−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−4¿¿¿
−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−12 sen2 x−4 e−¿x¿¿¿
−12 sen2 x+e−¿x=−12 sen2x+e−¿x¿¿
e−¿x−12 sen2x=e−¿x−12 sen2 x ¿¿
2. Reemplazando la función solución y su derivada en la ec.
y '+ y=senx
12
cosx+ 12
sen x−10 e−¿x+ 12
sen x−12
cosx+10 e−¿x=sen x ¿¿
sen x=senx
c)
y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ; y (4 )−5 y +4y=¿¿
Función = y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ¿¿
1) y '=−c1 e−¿x+c2 ex−2c3 e−¿2 x+2 c4 e2 x¿¿
2)
y} = {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } +4 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {4c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿
ed= y(4 )−5 y +4y=
y ' } =- {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } -8 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {8c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿
y(4)=−c1e−¿x+c2 ex+16 c3e−¿2 x+16 c4 e2 x ¿¿
y(4)−5 y +4y=
−c1 e−¿x+c2e x+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5¿¿¿+
4 ¿
c1 e−¿x+c2ex+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5 c1e−¿x−5 c2 ex−20 c3 e−¿2x−20 c4 e2 x ¿¿¿¿+
4 c1e−¿x+4c2 ex+4 c3 e−¿2 x+4 c4 e2 x=0¿¿
0=0
2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.
Solución:
b) ( xy+ y2+x2 ) dx−x2dy=0
Solución:
La ecuación es homogénea y se debe aplicar la sustitución de y , dy en la siguiente formula.
y=v . x y dy=vdx+xdv
e y sen2 xdx+cos x ( e2 y− y ) dy=0A)
e y sen2 sds=−cosx (e2 y− y ) dy
sen2 xdxcosx
=−(e2 y− y )
e y dy
2 senxcosxcosx
dx=−e− x ( e2 x− y ) dy
2 senxdx=(−e y+ ye− y ) dy
Para el cálculo podemos realizar una integral:
∫2 senxdx=∫(−e y¿¿+ ye− y )dy+e¿¿
−2 cosx=−e y− ye− y−e− y+c
( xvx+x2 v2+x2) dx−x2 (vdx+xdv )=0
vx2+x2 v2+xydx−x2 vdx−x3 dv=0
vx2+v2 x2+x2−x2 v¿dx=x3 dv
( v2 x2+x2) dx=x3 dv
Ya que la x la presentamos 2 veces podemos sacarla de dentro del paréntesis y
multiplicar a la v2 y 1 (resultado de una sola x).
x2 ( v2+1 ) dx=x3 dv
x2 dxx3 = dv
v2+1
dxx
= dv
v2+1
Nuevamente realizamos una integral para el cálculo:
∫ dxx
=∫ dv
v2+1+c
ln|x|=tg−1 ( v )+c1=tg−1 (v )=μ|x|−c1
tg−1 (v )=μ|x|+c
v=tg (μ|x|+c)
v=yx
←yx=tg1(μ|x|+c)
y=x , t(lu|x|+c )
c).( y2 cos x ) dx+(4+5 ysenx ) dy=0
Solución:
M= y2 cosx y N=4+5 ysenx
My
=2 ycosx yNx
=5 ycosx
∂ M∂ y
≠N
∂ x, no es exacta.
Buscamos un factor que nos ayuda a realizar el cálculo (factor integrante).
f =e∫Mdy
;siendo M=∂ N /∂ x−∂ M /∂ yM
=∫ ycosx−2 ycosx
y2 cosx
M¿ 3 ycosx
y2cosx← M=3
y
f =e∫ 3
ydy
f =e3 lny ← f =e lny 3= f= y3
Luego de tener f sacamos la ecuación diferencial y se multiplica con la misma:
( y5 cosx ) dx+( 4 y3+5 y4 senx ) dy=0
M= y5 cosx ; N=4 y3+5 y4 senx
∂ M∂ y
=5 y4 cosx;∂ N∂ x
=5 y4 cosx ←∂ M∂ y
=∂ N∂ x
Como resultado nos da la ecuación:
Solución def (x , y )=c
(1 ) ∂ f∂ x
=M∂ f∂ x
= y5cosx
(2) ∂ f∂ y
=N∂ f∂ y
=4 y3+5 y4 senx
f¿ ( x , y )= y5 cosx+h( y )← f (x , y )= y5 senx+h ( y )(a) la integramos.
Derivamos (a) respecto ay= ∂ f∂ y
=5 y4 senx+h ' ( y ) (b)
Igualando (b) y (2) ¿5 y4 senx+h ' ( y )=4 y3+5 y4 senx ← h' ( y )=4 y3
h ( y )=4 y3 dy
h ( y )= y4
f ( x , y )= y5 senx+ y 4
f ( x , y )=c ← y5 senx+ y4=c
d). y'−2
xy=x2 cos x
Sustituimos en a
Es unas ecuación lineal en P(x )=−2x
Y q(x) = x2 cosx
M=e∫p ( x )dx=e∫
− dxx2
=e−2 lnx← M=e lnx−2
M=x−2
y= 1M
¿
y= 1
x−2(∫ x−2 . x2. cosxdx+c)
y=x2 (∫cos|xdx|+c )=x2 ( senx+c )
y=x2 senx+c x2
3). Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.
A. y} - {3 y} ^ {'} +2 y = {3 e} ^ {- x} - 10 cos 3 ¿
Es una solución homogénea asociada.
Solución:
y} - {3y} ^ {1} +2y=0 {m} ^ {2} -3m+2= ¿
(m - 1) (m - 2) = 0
m1 = 1 ; 𝝁 2 = 2
Yn=c1 em1 x+c2em2 x
Yn=c1 ex+c2 e2 x
Solución:
f ( x )=3 e−x−10 cos3 x ,la soluciónes de la forma :
yp=Αe− x+Βcos3 x+Csen3 x
y p '=−Ae− x - 3Bsen3x + 3Ccos3x
yp= {Ae} ^ {- x} - 9 Bcos 3 x - 9 Csen 3
Sustituyendo: Yp ,Yp ´ yYp en la ecuaci ó n diferencial
Yp - {3 Yp} ^ {'+2Yp=0
Ae− x−9 Bcos3x−9 Csen3 x−3 (−Ae− x−3 Bsen3 x+3Ccos 3 x )
+2¿+Bcos3x+Csen3x) =3 e− x−10 cos3 x
6 Ae− x+ (−7B−9 c ) cos3+(9 B−7C ) sen3 x=3 e− x−10 cos3 x
Igualando coeficientes de términos semejantes ajuntamos:
6A = 3 A= 12
-7B – 9C = -𝝁 B = 7
13
9B – 7C = 0 C= 9
13
Yp=12
e− x+ 713
cos 3 x+ 913
sen3 x
Y= yn+YpY =C1 ex+C2 e2x+12
e−x+ 713
cos3 x+ 913
sen 3 x
B). y(6 )−5 y(4 )+16 y ' ' '+36 y ' '−16 y '−32 y=0
La ecuacion es homogénea:
d6−5d4+16 d3+ 36d2−16 d−32 d . y=0
32=(± 1;± 2 ;± 4 ;± 8 ;±16)
1 0 - 5 16 36 -16 -32
1 1 -4 12 48 32
1 1 -4 12 48 32 0
-1 0 4 -16 -32
1 0 -4 16 32 0
-2 4 0 -32
1 -2 0 16 0
1
-1
-2
0=1
D=-1
D=-2
D=-2
d=−(−4 )±√(−4)2−4.1 .8
2 .1
LA SOLUCION ES:
1 0 - 5 16 36 -16 -32
1 1 -4 12 48 32
1 1 -4 12 48 32 0
-1 0 4 -16 -32
1 0 -4 16 32 0
-2 4 0 -32
1 -2 0 16 0
D=2+26
D=2-26
Y=C1 ex+C2 e−x+C3e−2 x+C4¿
X e−2x +C5¿
e2x SemX +C5¿ e
2x+cos2 X¿¿¿