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Ecuaciones Diferenciales Tercer Departamental Solución 2012
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[GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] Tercer Departamental
Geólogos Página 1
Modelado de Ecuaciones Lineales Diferenciales de Primer Orden
Ley de Enfriamiento y Calentamiento de Newton
1. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20ºC, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿Cuánto tiempo tardara en alcanzar 90ºC si se sabe que su temperatura aumento 2ºC en un segundo? ¿Cuanto tiempo tardará en llegar a 98ºC? Solución Asumimos que la ecuación diferencial de primer orden será:
100
Por lo tanto usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial anterior tenemos que:
⇒ ⇒
| | | | ⟹ | |
⟹ ⟹ 100
Usando la primera condición inicial 0 20 , nosotros encontramos
100 ⟹ 20 100 ⟹
20 100 ⟹ 20 100 ⟹ 80
Por lo tanto
80 100
Utilizamos la segunda condición inicial 1 22 tenemos que: 22 80 100 ⟹ 22 80 100 ⟹
78 80 ⟹7880
⟹3940
⟹
3940
⟹ ≅ 0.02531780798
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Geólogos Página 2
Tenemos que la ecuación que determinará el tiempo dada una temperatura es:
80 100 ⟹ 80 100 Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 90 será:
80 100 ⟹ 90 80 100 ⟹ 90 100
80⟹
18
. ⟹
18
| . | ⟹18
0.02531780798 ⟹
≅ 82.13 Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 98 será:
80 100 ⟹ 98 80 100 ⟹ 98 100
80⟹
140
. ⟹
140
| . | ⟹140
0.02531780798 ⟹
≅ 145.70
Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado
2. Una masa de 400N estira 2m un resorte. Después, al extremo de
ese resorte se fija una masa de 50kg y parte de la posición de
equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la
ecuación del movimiento.
Solución
Planteamiento del Problema
Según la ley de Hooke, 400 2 implican que la constante del
resorte es 200; por tanto, la ecuación:
⟹ 50 200 ⟹
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50 200 0 ⟹ 4 0 ⟹ 4 0
Por lo tanto las raíces de la ecuación auxiliar 4 0 son:
4 ⟹ 2
El desplazamiento y la velocidad iniciales son:
0 0, 0 10 , donde el sino negativo en la primera
condición es consecuencia de que la masa recibe una velocidad
en dirección negativa o hacia arriba.
De modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
2 2
Al aplicar las condiciones iniciales a ′ , se obtienen
0 2 0 2 0 ⟹ 0
Y
2 2 2 2 ⟹ 10
2 0 2 0 2 2 0 ⟹
10 2 ⟹ 5
Por lo tanto la solución particular dadas las condiciones iniciales
sería:
5 2 10 2
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Transformada de Laplace
Utilice la definición de la transformada de Laplace para determinar ( )L f t
3. ( ) tf t e senht
Solución
La Transformada de Laplace de una función se define mediante:
Por lo tanto
⟹
1
Por lo tanto resolviendo la integral por partes tenemos:
1
1
1
⇒
1 1
1
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11
∞ 0
11
∞ 0
1
11 1
⟹
1
11
111
11
⟹
11
111
⟹
11
1 11
⟹11 1
Utilice las tablas para obtener la transformada de Laplace
4. ( ) coshf t kt
Solución
La transformada del cos es
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Determine la transformada inversa de Laplace
5.
12 2
1
1 1L
s s
Solución
Por lo tanto nuestra transformada inversa quedaría denotada de la siguiente manera:
11 1
11
Utilizando de tablas la siguiente transformada inversa de Laplace tenemos:
cos 2
⟹
12
cos
De acuerdo a tablas tenemos que
11 1
11
, 112
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
6. 2 0, (0) 3dy
y ydt
Solución
Primero sacamos la transformada de cada término de la ecuación diferencial:
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2 0
De acuerdo con la ecuación de la transformada de una derivada tenemos:
′ 0
Tenemos que del lado izquierdo tendremos que
2 3 0
Por lo tanto
2 3 ⟹ 2 1 3 ⟹3
2 1
3
212
⟹32
112
Por lo tanto la transformada de Laplace inversa seria la siguiente:
32
