Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace

DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa

Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales

Transformada de Laplace

Gonzalo Palomera

1Instituto de Ciencias BásicasFacultad de Ingeniería

Universidad Diego Portales

15 de mayo de 2014

∫ +∞

0

f(t) e−stdt

Gonzalo Palomera Transformada de Laplace



Propiedades de la transformada I

Definición

Definición

Sea f : [0,+∞[−→ R. Entonces la integral∫ +∞

0

f(t) e−stdt (1)

se denomina Transformada de Laplace de f , y se denota

L[f ](s) , F (s) , f(s)

siempre que la integral exista (convergencia).

NotaLa transformada de laplace es una aplicación que lleva a una ecuacióndiferencial a una ecuación algebraica lineal.





Definición

Definición

Sea f : [0,+∞[−→ R. Entonces la integral∫ +∞

0

f(t) e−stdt (1)

se denomina Transformada de Laplace de f , y se denota

L[f ](s) , F (s) , f(s)

siempre que la integral exista (convergencia).

NotaLa transformada de laplace es una aplicación que lleva a una ecuacióndiferencial a una ecuación algebraica lineal.





Ejemplos

Calcular L[f ](s) si:f(t) = 1

f(t) = t

f(t) = sin(at)

f(t) = cos(at)

f(t) = eat





Ejemplos

L[1](s) =

∫ +∞

0

1 e−stdt

= lımb→∞

∫ b

0

e−stdt

= lımb→∞

−e−st

s

∣∣∣∣b0

= lımb→∞

[−e−sb + 1

s

]

lımb→∞

[−e−sb + 1

s

]=

1

ssi s > 0

+∞ si s < 0

Por lo tanto

L[1](s) =1

s, ∀s > 0





Ejemplos

L[sin(at)](s) =

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,∫ +∞

0

sin(at) e−stdt = −e−st

ssin(at)

∣∣∣∣+∞0

+a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e−stdt,∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

(−e−st

scos(at)

∣∣∣∣+∞0

− a

s

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

)





Ejemplos

L[sin(at)](s) =

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,

∫ +∞

0


ssin(at)

∣∣∣∣+∞0

+a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt


0

sin(at) e−stdt =a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

(−e−st

scos(at)

∣∣∣∣+∞0

− a

s

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

)





Ejemplos

L[sin(at)](s) =

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt


0


ssin(at)

∣∣∣∣+∞0

+a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt


0

sin(at) e−stdt =a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

(−e−st

scos(at)

∣∣∣∣+∞0

− a

s

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

)





Ejemplos

L[sin(at)](s) =

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt


0


ssin(at)

∣∣∣∣+∞0

+a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt


0

sin(at) e−stdt =a

s

∫ +∞

0

cos(at) e−stdt

=a

s

(−e−st

scos(at)

∣∣∣∣+∞0

− a

s

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt

)Gonzalo Palomera Transformada de Laplace




Ejemplos

Por lo tanto ∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =a

s2− a2

s2

∫ +∞

0

sin(at) e−stdt(1 +

a2

s2

)∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =a

s2(s2 + a2

s2

)∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =a

s2∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =

(s2

s2 + a2

)a

s2∫ +∞

0

sin(at) e−stdt =a

s2 + a2

AsiL[sin(at)](s) =

a

s2 + a2∀s > 0





Linealidad

Calcule L[eαt](s)

L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α

Sea L una transformación

Teorema

L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple

L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).

Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b

s2 ∀s >?

Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k





Linealidad

Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α


Teorema




s2 ∀s >?






Linealidad



Teorema




s2 ∀s >?






Linealidad



Teorema



Calcule L[sin(3t) + bt](s)

3s2+9 + b

s2 ∀s >?






Linealidad



Teorema




s2 ∀s >?






Linealidad



Teorema




s2 ∀s >?

Calcule L[sinh(kt)](s)

ks2−k2 ∀|s| > k





Linealidad



Teorema




s2 ∀s >?






Resumen

L[ 1](s) =1

s, ∀s > 0

L[ tn](s) =n!

sn+1, ∀s > 0, n ∈ N

L[ eαt](s) =1

s− α∀s > α

L[ sin(at)](s) =a

s2 + a2∀s > 0

L[ cos(at)](s) =s

s2 + a2∀s > 0

L[ sinh(kt)](s) =k

s2 − k2∀|s| > k

L[ cosh(kt)](s) =s

s2 − k2∀|s| > k




Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II

Orden exponencial

Definición

Una función f : [0,+∞[−→ R es de orden exponencial α si existenconstantes α,M > 0 tales que

| f(t)| ≤M eαt ∀t ∈ [0,+∞[

Ejemplo:

Figura: (Izquierda) f(t) = t. (Centro) f(t) = e−t. (Derecha) f(t) = cos(2πt).





Orden exponencial

TareaSean f, g dos funciones tales que f es de orden exponencial α y g es deorden exponencial β. Demostrar que:

f + g es de orden exponencial max{α, β}.f g es de orden exponencial αβ





Continuidad a trozos

Definición

Sea f una función f : [0,+∞[−→ R. Decimos que f es continua a trozos en[0,+∞[, si en cualquier intervalo [a, b] ⊂ [0,+∞[ hay a lo más un númerofinito de discontinuidades {t1, . . . , tN} de salto finito y f(t) es continuapara cada intervalo (tk, tk+1) cuando k = 1, 2, . . . , N − 1.

Figura: Función continua a tramos y función no continua a tramos.





Continuidad a trozos

Definición

Sea f una función f : [0,+∞[−→ R. Decimos que f es continua a trozos en[0,+∞[, si en cualquier intervalo [a, b] ⊂ [0,+∞[ hay a lo más un númerofinito de discontinuidades {t1, . . . , tN} de salto finito y f(t) es continuapara cada intervalo (tk, tk+1) cuando k = 1, 2, . . . , N − 1.

Figura: Función continua a tramos y función no continua a tramos.





Existencia de L

Teorema

Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0,+∞[.Entonces L[f(t)](s) existe para todo s > α

Función continuapor partes =⇒ Trasnformada

existe

La función f(x) = ex2

no es de orden exponencial.





Existencia de L

Teorema

Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0,+∞[.Entonces L[f(t)](s) existe para todo s > α

Función continuapor partes =⇒ Trasnformada

existe

La función f(x) = ex2

no es de orden exponencial.





Trasformada inversa

Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.

⇓

L es inyectiva

⇓

∃ L−1





Trasformada inversa


⇓

L es inyectiva

⇓

∃ L−1





Trasformada inversa


⇓

L es inyectiva

⇓

∃ L−1





Trasformada inversa


⇓

L es inyectiva

⇓

∃ L−1





Trasformada inversa


⇓

L es inyectiva

⇓

∃ L−1





Trasformada inversa

Definición

Sea x(t) una función continua a tramos y de orden exponencial contranformada de Laplace F (s). Llamaremos transformada inversa de F (s) ala función x(t) tal que

L[x(t)](s) = F (s).

Denotaremos por L−1 (F (s)) (t) a tal función.

L−1(

1

s

)(t) = 1

L−1(

n!

sn+1

)(t) = tn

L−1(

1

s− a

)(t) = eat

L−1(

k

s2 + k2

)(t) = sin(kt)

L−1(

s

s2 + k2

)(t) = cos(kt)

L−1(

k

s2 − k2

)(t) = sinh(kt)





Trasformada inversa

Proposición

La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas deLaplace. Entonces

L−1 (αF (s) + βG(s)) (t) = αL−1 (F (s)) (t) + βL−1 (G(s)) (t)

donde α y β son constantes.

Calcule L−1 (F (s)) (t)donde

F (s) =1

s3+

5

s− 3

t2

2 + 5 e3t





Trasformada inversa

Proposición





F (s) =1

s3+

5

s− 3

t2

2 + 5 e3t





Trasformada inversa

Proposición





F (s) =1

s3+

5

s− 3

t2

2 + 5 e3t





Ejemplos

Ejemplos

Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = 3s+4s2+7 .

Notar que3s+ 4

s2 + 7= 3

s

s2 + 7+ 4

1

s2 + 7

luego

L−1(

3s+ 4

s2 + 7

)(t) = 3L−1

(s

s2 + 7

)(t) + 4L−1

(1

s2 + 7

)(t)

por lo tanto

L−1(

3s+ 4

s2 + 7

)(t) = 3 cos(

√7t) + 4 sin(

√7t)





Ejemplos

Ejemplos

Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = s+1s2(s+2) .

Notar ques+ 1

s2(s+ 2)=

1

4s+

1

2s2− 1

4(s+ 2).

luego

L−1(

s+ 1

s2(s+ 2)

)(t) =

1

4L−1

(1

s

)(t)+

1

2L−1

(1

s2

)(t)−1

4L−1

(1

s+ 2

)(t)

por lo tanto

L−1(

s+ 1

s2(s+ 2)

)(t) =

1

4+t

2− 1

4e−2t





Transformada de la derivada

Teorema

Sea f una función continua sobre [0,+∞[ y supongamos que f ′ es continuapor tramos y de orden exponencial en [0,+∞[. Entonces

L[ f ′(t)](s) = sL[f(t)](s)− f(0).

Más generalmente,

L[ f (n)(t)](s) = sn L[ f(t)](s)−sn−1f(0)−sn−2f (1)(0)−· · ·−f (n−1)(0).





Transformada de la derivada

L[ f ′(t)](s) =

∫ +∞

0

f ′(t) e−stdt

Integramos por partes, haciendo u = e−st y dv = f ′(t)dt∫ +∞

0

f ′(t) e−stdt = e−stf(t)∣∣+∞0

+ s

∫ +∞

0

f(t) e−stdt

= sL[ f(t)](s) + lımt→+∞

e−stf(t)− f(0)

= sL[ f(t)](s)− f(0)





Ejemplos

Ejemplos

Calcular L[ sin2(at)](s).

Sea f(t) = sin2(at). Observamos que f(0) = 0 y que

f ′(t) = 2a sin(at) cos(at) = a sin(2at)

L[ f ′(t)](s) = L[ a sin(2at)](s) = aL[ sin(2at)](s) = a2a

s2 + 4a2=

2a2

s2 + 4a2

Asi 2a2

s2 + 4a2= sL[f(t)](s)

Por lo tanto L[f(t)](s) =2a2

s(s2 + 4a2)





Ejemplos

Ejemplos

Aplicar la transformada L a y′′ − 4y = 0, con y(0) = 1, y′(0) = 2.

L[ y′′(t)]− 4L[ y(t)] = 0

s2L[ y(t)]− s y(0)− y′(0)− 4L[ y(t)] = 0

(s2 − 4)L[ y(t)]− s− 2 = 0

(s2 − 4)L[ y(t)] = s+ 2

L[ y(t)] =s+ 2

s2 − 4

Por lo tanto L[ y(t)](s) =1

s− 2





Transformada de la integral

Teorema

Si f una función continua sobre [0,+∞[ y de orden exponencial en [0,+∞[y a ∈ R ∪ {0}, entonces

L[

∫ t

a

f(x) dx](s) =1

sL[ f(t)](s)− 1

s

∫ a

0

f(x) dx.

Más particularmente, si a = 0,

L[

∫ t

a

· · ·∫ t

a

f(x) dx · · · dx](s) =1

snL[ f(t)](s)

¿ Que pasa cuando a 6= 0?

L

∫ t

a

· · ·∫ t

a︸︷︷︸n veces

f(x) dx

(s) =1

snL[ f(t)](s)−

n∑k=1

1

sk

∫ a

0

∫ t

a

· · ·∫ t

a︸︷︷︸n−k veces

f(x) dx






Teorema


L[

∫ t

a

f(x) dx](s) =1

sL[ f(t)](s)− 1

s

∫ a

0

f(x) dx.


L[

∫ t

a

· · ·∫ t

a

f(x) dx · · · dx](s) =1

snL[ f(t)](s)


L

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx

(s) =1

snL[ f(t)](s)−

n∑k=1

1

sk

∫ a

0

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx






Teorema


L[

∫ t

a

f(x) dx](s) =1

sL[ f(t)](s)− 1

s

∫ a

0

f(x) dx.


L[

∫ t

a

· · ·∫ t

a

f(x) dx · · · dx](s) =1

snL[ f(t)](s)


L

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx

(s) =1

snL[ f(t)](s)−

n∑k=1

1

sk

∫ a

0

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx





Ejemplos

Ejemplos

Aplicar la transformada L a la siguiente ecuación diferencial

dv

dt(t) + 2v(t) +

∫ t

0

v(x) dx = t

con y(0) = 1.

L[ v′(t)] + 2L[ v(t)] + L[

∫ t

0

v(x) dx)] = L[ t]

sL[ v(t)]− v(0) + 2L[ v(t)] +1

sL[ v(t)] =

1

s2

(s+1

s+ 2)L[ v(t)]− 1 =

1

s2

(s+1

s+ 2)L[ v(t)] =

1

s2+ 1





Ejemplos

Ejemplos

Asi

L[ v(t)] =1s2 + 1

s+ 1s + 2

Por lo tanto

L[ v(t)](s) =s2 + 1

s(s+ 1)2

Calcule L−1 (F (s)) (t)donde F (s) = 1

s(s2+1)1− cos(t)





Ejemplos

Ejemplos

Asi

L[ v(t)] =1s2 + 1

s+ 1s + 2

Por lo tanto

L[ v(t)](s) =s2 + 1

s(s+ 1)2


s(s2+1)

1− cos(t)





Ejemplos

Ejemplos

Asi

L[ v(t)] =1s2 + 1

s+ 1s + 2

Por lo tanto

L[ v(t)](s) =s2 + 1

s(s+ 1)2


s(s2+1)1− cos(t)





TareaDemostrar que

L[ f (n)(t)](s) = sn L[ f(t)](s)−sn−1f(0)−sn−2f (1)(0)−· · ·−f (n−1)(0).

Demostrar que

L

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx

(s) =1

snL[ f(t)](s)−

n∑k=1

1

sk

∫ a

0

∫ t

a

· · ·∫ t


f(x) dx





Derivada de la transformada

TeoremaSea f una función continua a trozos y de orden exponencial α. Entoncespara s > α

d

dsL[ f(t)](s) = −L[ t f(t)](s)

Más generalmente, se tiene

dn

dsnL[ f(t)](s) = (−1)nL[ tn f(t)](s)





Integral de la transformada

TeoremaSea f una función continua a trozos y de orden exponencial α. Entoncespara s > α∫ s

0

L[ f(t)](u) du = −L[

1

tf(t)

](s) +

∫ +∞

0

1

tf(t)dt




IntroducciónPropiedades de la transformada III

Modelos Físicos

Queremos representar:Entrada constante de un fluido al sistema físico.Entrada variable de un fluido al sistema físico.Golpe de un martillo a una bolita.Entrada de una señal en un circuito.





Función periódica

Definición

Sea f : [0,+∞[−→ R una función. Se dice que f es periódica si existeT > 0 tal que

f(x+ T ) = f(x),

donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.

f(t) = sin(2πt).f(r) = (−1)[r].f(y) = y − [y].





Función periódica

Definición


f(x+ T ) = f(x),


f(t) = sin(2πt).

f(r) = (−1)[r].f(y) = y − [y].





Función periódica

Definición


f(x+ T ) = f(x),


f(t) = sin(2πt).

f(r) = (−1)[r].

f(y) = y − [y].





Función periódica

Definición


f(x+ T ) = f(x),


f(t) = sin(2πt).f(r) = (−1)[r].

f(y) = y − [y].





Transformada de una función periódica

Teorema

Si f(t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes enel intervalo [0, T ], entonces para todo s > 0

L[ f(t)](s) =1

1− e−Ts

∫ T

0

e−st f(t) dt

Calcular L[ f(t)](s) donde

f(t) =

{1 si 0 < t < 1

0 si 1 < t < 2

es de periodo 2.

1s(1+e−s) ∀s > 0





Transformada de una función periódica

Teorema

Si f(t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes enel intervalo [0, T ], entonces para todo s > 0

L[ f(t)](s) =1

1− e−Ts

∫ T

0

e−st f(t) dt

Calcular L[ f(t)](s) donde

f(t) =

{1 si 0 < t < 1

0 si 1 < t < 2

es de periodo 2.

1s(1+e−s) ∀s > 0





Ejemplos

Ejemplos

Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.

Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].

L[ | sin(at)|](s) =a

s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)

Calcular L[ g(t)](s) donde

g(t) =

{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1

2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2

para n ∈ N.

1s2(1−e−2s)

(1− 2e−s + e−2s

)





Ejemplos

Ejemplos

Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].


s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)


g(t) =

{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1

2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2

para n ∈ N.

1s2(1−e−2s)

(1− 2e−s + e−2s

)





Ejemplos

Ejemplos



s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)


g(t) =

{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1

2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2

para n ∈ N.

1s2(1−e−2s)

(1− 2e−s + e−2s

)





Ejemplos

Ejemplos



s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)


g(t) =

{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1

2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2

para n ∈ N.

1s2(1−e−2s)

(1− 2e−s + e−2s

)





Ejemplos

Ejemplos



s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)


g(t) =

{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1

2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2

para n ∈ N.

1s2(1−e−2s)

(1− 2e−s + e−2s

)





Función escalón unitario (Función de Heaviside)

DefiniciónSe define la función de Heaviside como

ut0(t) = u(t− t0) =

{0 ; 0 ≤ t < t0

1 ; t > t0





Usos de la función escalón

Representar la función

g(t) =

{0 ; 0 ≤ t < 2π

sin(t) ; t > 2π

Representar

h(t) =

4 ; 0 ≤ t < 2

−2 ; 2 < t < 4

0 ; t > 4

Representar

k(t) =

t2 ; 0 ≤ t < 7

e−2t ; 7 < t < 91

t2; t > 9

g(t) = u(t− 2π) sin(t)

h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)

k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−

7) + ( 1t2 − e

−2t)u(t− 9)







g(t) =

{0 ; 0 ≤ t < 2π

sin(t) ; t > 2π

Representar

h(t) =

4 ; 0 ≤ t < 2

−2 ; 2 < t < 4

0 ; t > 4

Representar

k(t) =

t2 ; 0 ≤ t < 7

e−2t ; 7 < t < 91

t2; t > 9


h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)

k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−

7) + ( 1t2 − e

−2t)u(t− 9)







g(t) =

{0 ; 0 ≤ t < 2π

sin(t) ; t > 2π

Representar

h(t) =

4 ; 0 ≤ t < 2

−2 ; 2 < t < 4

0 ; t > 4

Representar

k(t) =

t2 ; 0 ≤ t < 7

e−2t ; 7 < t < 91

t2; t > 9


h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)

k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−

7) + ( 1t2 − e

−2t)u(t− 9)







g(t) =

{0 ; 0 ≤ t < 2π

sin(t) ; t > 2π

Representar

h(t) =

4 ; 0 ≤ t < 2

−2 ; 2 < t < 4

0 ; t > 4

Representar

k(t) =

t2 ; 0 ≤ t < 7

e−2t ; 7 < t < 91

t2; t > 9


h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)

k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−

7) + ( 1t2 − e

−2t)u(t− 9)





Trasformada de la función escalón

Proposición

Sea ut0 la función escalón unitario. Entonces

L[ut0(t)](s) =1

se−st0 .

Calculemos

L[ut0(t)](s) =

∫ +∞

0

ut0 e−stdt =

∫ t0

0

0 e−stdt+

∫ +∞

t0

1 e−stdt

=

∫ +∞

t0

e−stdt = −1

se−st

∣∣∣∣+∞t0

= −1

se−s∣∣+∞t

= −1

s(0−)

1

se−st0

=1

se−st0





Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)

DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como

δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0

Consideremos la siguiente función

δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c







δ(t− t0) =

{+∞ si t = t0

0 si t 6= t0


δε(t−t0) =

{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

0 si e.o.c

lımε→0

δε(t− t0) = δ(t− t0)





Propiedades de la función impulso

∫ +∞

−∞δ(t− t0)dt = 1.

∫ +∞

−∞δ(t− t0)f(t)dt = f(t0).





Transformada de la función impulso

Proposición

Sea t0 ≥ 0 y δ(t− t0) la función impulso unitario. Entonces

L[ δ(t− t0)](s) = e−st0 .

Consideremos la función anterior δε(t− t0)

L[ δε(t− t0)](s) =

∫ +∞

0

δε(t− t0) e−stdt =

∫ t0−ε

0

δε(t− t0) e−stdt

+

∫ t0+ε

t0−εδε(t− t0) e−stdt+

∫ +∞

t0+ε

δε(t− t0) e−stdt

=

∫ t0−ε

0

0 e−stdt+

∫ t0+ε

t0−ε

1

2εe−stdt+

∫ +∞

t0+ε

0 e−stdt

=

∫ t0+ε

t0−ε

1

2εe−stdt





Transformada de la función impulso

L[ δε(t− t0)](s) =

∫ t0+ε

t0−ε

1

2εe−stdt

=1

2ε

∫ t0+ε

t0−εe−stdt =

1

2ε

(e−s(t0+ε) − e−s(t0−ε))−s

=1

−se−st0

(e−sε − esε)2ε

Aplicando lımε→0

lımε→0

(e−sε − esε)2ε

= −s

Por lo tanto

L[ δ(t− t0)](s) = L[ lımε→0

δε(t− t0)](s) = lımε→0L[ δε(t− t0)](s) = e−st0





Teorema de traslación

Teorema

Primer teorema de traslación Sea f : [0,+∞[−→ R continua por tramos yde orden exponencial. Si a ∈ R entonces

L[ eatf(t)](s) = L[ f(t)](s− a).

Teorema

Segundo teorema de traslación Sea f : [0,+∞[−→ R continua por tramos yde orden exponencial. Si a ∈ R+ entonces

L[u(t− a)f(t− a)](s) = e−asL[ f(t)](s).





Ejemplos

Ejemplos

Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.

Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].


s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)





Ejemplos

Ejemplos



s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)





Ejemplos

Ejemplos



s2 + a2(1 + e−

πa s)

(1− e−πa s)





Ejemplos

Ejemplos

Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = s+1s4+4s3+4s2 . Notar que

s+ 1

s4 + 4s3 + 4s2=

s+ 1

s2(s+ 2)2.

s+ 1

s4 + 4s3 + 4s2=

1

4s2− 1

4(s+ 2)2.

luego

L−1 (F (s)) (t) =1

4L−1

(1

s2

)(t)− 1

4L−1

(1

(s+ 2)2

)(t)

por lo tanto

L−1(

s+ 1

s4 + 4s3 + 4s2

)(t) =

1

4t− 1

4t e−2t





Ejemplos

Ejemplos

Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = 1(s−1)3 + 1

s2+2s−8 .

Notar que1

s2 + 2s− 8=

1

(s+ 1)2 − 9.

luego

L−1 (F (s)) (t) = L−1(

1

(s− 1)3

)(t) + L−1

(1

(s+ 1)2 − 9

)(t)

por lo tanto

L−1(

s+ 1

s4 + 4s3 + 4s2

)(t) =

1

2t2 et +

1

3sin(3t) e−t





Convolución

Definición

Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial. Sedefine la convolución entre f y g como

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(τ)g(1− τ) dτ

Proposición

Conmutatividadf ∗ g = g ∗ f.

Asociatividadh ∗ (f ∗ g) = (h ∗ g) ∗ f.

Distributivah ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g.





Convolución

Definición


(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(τ)g(1− τ) dτ

Proposición








Convolución

Definición


(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(τ)g(1− τ) dτ

Proposición








Convolución: interpretación





Ejemplos

Ejemplos

Calcule (f ∗ g)(t) dondef(t) = t y g(t) = t.f(t) = t y g(t) = sin(t).f(t) = t y g(t) = et.f(t) = sin(t) y g(t) = cos(t).





Convolución

Teorema

Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial,entonces

L[ (f ∗ g)(t)](s) = L[ f(t)](s)L[ g(t)](s)

Ejemplos

Aplicar la transformada L a la ecuación integral de Volterra

x(t) = t2 +

∫ t

0

sin(t− u)x(u) du

.





Convolución

Ejemplos

Observemos que ∫ t

0

sin(t− u)x(u) du = sin(t) ∗ x(t)

Entoncesx(t) = t2 + sin(t) ∗ x(t)

Aplicando transformada

L[x(t)] = L[ t2] + L[ sin(t) ∗ x(t)]

L[x(t)] = L[ t2] + L[ sin(t)]L[ ∗x(t)]

(1− L[ sin(t)](s))L[x(t)] = L[ t2]

(1− 1

s2 + 1)L[x(t)] =

2

s3





Convolución

Ejemplos

Luego

L[x(t)](s) =2

s31

1− 1s2+1

un poco de álgebra

L[x(t)](s) =2

s3+

2

s5

Aplicando L−1

L−1 (L[x(t)](s)) = L−1(

2

s3

)+ L−1

(2

s5

)x(t) = L−1

(2

s3

)+

2

4!L−1

(4!

s5

)x(t) = t2 +

t4

12




Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos

Ejemplo 1

Un cohete despega con velocidad inicial v0 desde la Tierra a una altura y0del suelo en forma vertical. Luego de algunos segundos, se activan losmotores de emergencia, por lo que adquiere una aceleración a > 0 duranteun intervalo de tiempo breve. Si la gravedad de la Tierra es g, encuentre laecuación de movimiento del cohete suponiendo que tiene masa m y (t1, t2)es el intervalo en el que funcionan los motores de emergencia, con t2 > t1.

md2y(t)

dt2= F (t)





Ejemplo 2

Consideremos un resorte en equilibrio con un cuerpo de masa m unida a él.Supongamos que el resorte en el timpo t = 0 el sistema esta sujeta a unafuerza sinusoidal h(t) = A sin(ωt) y que en el instante t = 10 se lesuministra un golte seco desde abajo que imparte a la masa instantáneamente2 unidades de momentum. Hallar el movimiento del sistema desde t = 0 enadelante.

md2y(t)

dt2+K y(t) = F (t)

y(0) = 0 y′(0) = 0





Ejemplo 3

Consideremos el siguiente sistema en equilibrio. Se tienen dos masas m1 ym2 unidas a 2 resortes de constantes k1 y k2 respectivamente.

Hint: Ley de Hooke F = −Kx.





Ejemplo 4

Vigas

Tipos de Vigas: Simplemente apoyada, en voladizo.





Ejemplo 4

Modelo

EId4y(x)

dx4= q(x)

Sujeto a las siguientes condiciones inicialesSoporte simple y(0) = y(L) = y′′(0) = y′′(L) = 0.En voladizo y(0) = y′(0) = y′′(L) = y′′′(L) = 0.

En dondey′(0) significa que la viga esta empotrada en x = 0.y′′(0) significa que la viga no esta sometida a momentos flectores enx = L.y′′′(L) significa que no existen fuerzas costantes en el extremo x = L.(extremo libre)





Ejemplo 4

Deflexión de vigas

Suponga una viga de largo L simplemente apoyada en sus extremos.Despreciando la masa de la viga, calcular la deflexión de la viga (flecha)sabiendo que se imprime una carga puntual P0 en x = L/2.





Ejemplo 5

Deflexión de vigas

Suponga una viga de largo 10 u (adimensionalizando unidades) simplementeapoyada en sus extremos. Despreciando la masa de la viga, calcular ladeflexión de la viga (flecha) sabiendo que la distribución de cargas enfunción de x (medida de la viga) es la siguiente:

q(x) =

{5 ; x = 2

2 ; 5 ≤ x ≤ 7





Ejemplo 6

Tráfico VehicularSunponga que se tiene una calle con un flujo vehicular constante de 2,5autos cada un minuto por medio. Al final de la calle, se tiene un semáforo, elcual mantiene el color verde (verde + amarillo) un tiempo de 0,4 min. Enese tiempo alcanza a pasar un flujo constante de 3 autos por minuto. Elcolor rojo se mantiene tambien por 0,4 minutos.

> Cual es la concentración vehicular del sistema?> Se formará congestión vehicular?> La vía es expedita?





Ejemplo 5

Tráfico Vehicular: Solución





Ejemplo 5






Ejemplo 5






Ejemplo 5



Documents

Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace